Introduç ˜ao a Programaç ˜ao Linear e Inteira

182 Pages·2017·0.75 MB·Portuguese

UNIVERSIDADE DE CAMPINAS - UNICAMP
INSTITUTO DE COMPUTAC¸A˜O - IC
Introduc¸a˜o a Programac¸a˜o Linear e Inteira
Fla´vio Keidi Miyazawa
Campinas,2002-2016
Fla´vioKeidiMiyazawa (Unicamp) Introduc¸a˜oaProgramac¸a˜oLineareInteira 1/182
Introduc¸a˜o
Programac¸a˜o Linear
Programac¸a˜o linear
(cid:73) da´ a resoluc¸a˜o exata para muitos problemas
(cid:73) da´ a resoluc¸a˜o aproximada para muitos problemas
(cid:73) faz parte dos principais me´todos para obter soluc¸o˜es o´timas
(cid:73) fazpartedosprincipaisme´todosparaobtersoluc¸o˜esaproximadas
(cid:73) da´ excelentes delimitantes para soluc¸o˜es o´timas
(cid:73) pode ser executada muito rapidamente
(cid:73) ha´ diversos programas livres e comerciais
Obs.: Algumas teorias sobre a estrutura dos programas lineares
sera˜o apresentadas para se entender os resultados das reduc¸o˜es,
mas o foco da aula sera´ nas reduc¸o˜es para Programas Lineares.
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Introduc¸a˜o
Programac¸a˜o Linear
Problema PL: Dados matriz A = (a ) ∈ Qn×m, vetores c = (c) ∈ Qn e
ij i
b = (b) ∈ Qm, encontrar vetor x = (x) ∈ Qm (se existir) que
i i
minimize c x +c x +···+c x
1 1 2 2 m m

a x +a x +···+a x ≤ b
 11 1 12 2 1m n 1

 a21x1+a22x2+···+a2mxn ≥ b2

. . .
sujeitoa .. .. ..

 an1x1+an2x2+···+anmxn = bn

 x ∈ Q
i
Teorema: PL pode ser resolvido em tempo polinomial.
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Introduc¸a˜o
Exemplo gra´fico x2
x1+x2≤5 6 x1≤4
5
2x +3x ≤12
1 2 4
3
2
P
1
x ≥0
2
0 1 2 3 4 5 6 x1
−2x −x =−9
1 2
x ≥0
1 −2x −x =−4
minimize −2x −x 1 2
 1 2 −2x1−x2=0
x +x ≤ 5
 1 2

 2x1 +3x2 ≤ 12 Sol. o´tima: x1 = 4 e x2 = 1
sujeitoa x ≤ 4 Valor da sol. o´tima = −9
1
 x ≥ 0
 1

 x ≥ 0
2
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Introduc¸a˜o
Teorema: Uma soluc¸a˜o que e´ ve´rtice do PL pode ser encontrada em
tempo polinomial.
Algoritmos polinomiais para resolver PL:
(cid:73) Algoritmo dos elipso´ides (Khachiyan’79) e
(cid:73) Me´todo dos pontos interiores (Karmarkar’84).
Algoritmos exponenciais para resolver PL:
(cid:73) Me´todo simplex (Dantzig’47) (tempo me´dio polinomial).
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Introduc¸a˜o
Nem sempre encontramos uma soluc¸a˜o o´tima
(cid:73) Sistema ilimitado
y
P
x
(cid:73) Sistema invia´vel
y
x+y≥5
−y−x≥−2
x
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ResolvedoresdeProgramac¸a˜oLinear
Resolvedores de Sistemas Lineares
Programas comerciais
(cid:73) CPLEX / IBM: www.ilog.com/products/cplex/
(cid:73) XPRESS: www.dashoptimization.com/
(cid:73) GUROBI:: http://www.gurobi.com/
Programas livres
(cid:73) SCIP: http://scip.zib.de/
(cid:73) COIN-CLP: www.coin-or.org/Clp/
(cid:73) SoPlex / Zib: www.zib.de/Optimization/Software/Soplex
(cid:73) GLPK / Gnu: www.gnu.org/software/glpk/glpk.html
(cid:73) LEMON / Coin-OR: http://www.coin-or.org/
Biblioteca de grafos usando solver GLPK ou COIN-CLP
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ResolvedoresdeProgramac¸a˜oLinear
Trecho de implementac¸a˜o usando LEMON
#include <lemon/lp.h> // g++ ex_lp1.cpp -lemon -lglpk -o ex_lp1
using namespace lemon;
using namespace std;
int main()
{ Lp lp; / Declarando/criando um LP (inicialmente vazio)
Lp::Col x1 = lp.addCol(); // Adicionando duas vari´aveis
Lp::Col x2 = lp.addCol();
lp.addRow( x1 + x2 <= 5 ); // Adicionando restric¸˜oes
lp.addRow( 2*x1 + 3*x2 <= 12);
// Definindo os limitantes superior e inferior de cada vari´avel
lp.colLowerBound( x1, 0 ); lp.colUpperBound( x1, 4 );
lp.colLowerBound( x2, 0 );
// Definindo a func¸˜ao objetivo e se de minimizac¸˜ao ou maximizac¸˜ao
lp.obj( -2*x1 - x2 ); lp.min();
lp.solve(); // Resolvendo o sistema
if (lp.primalType() == Lp::OPTIMAL) {// Imprimindo valor das vari´aveis
cout << "Valor da funcao objetivo: " << lp.primal() << endl;
cout << "x1 = " << lp.primal(x1) << endl;
cout << "x2 = " << lp.primal(x2) << endl;
} else {cout << "Nao encontrou solucao otima." << endl;}
return 0;}
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Exemplos ProblemadaDieta
Problema da Dieta
Sa˜o dados:
(cid:73) m alimentos: ali ,...,ali
1 m
(cid:73) n nutrientes: nut ,...,nut
1 n
(cid:73) prec¸o p de cada alimento ali
j j
(cid:73) recomendac¸o˜es dia´rias r de cada nutriente nut , para uma dieta
i i
balanceada
(cid:73) quantidade q do nutriente nut no alimento ali ,
ij i j
Objetivo: Encontrar uma dieta mais barata respeitando as
recomendac¸o˜es nutricionais
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Exemplos ProblemadaDieta
Exemplo: Dieta I
Nutrientes, com recomendac¸o˜es dia´rias m´ınima e ma´xima
Nutriente m´ınimo ma´xima
nut = ca´lcio 800 1200
1
nut = ferro 10 18
2
Alimentos, com prec¸o e composic¸a˜o nutricional:
Alimento prec¸o ca´lcio ferro
ali = carne de boi (kg) 20.0 110.00 29.00
1
ali = feija˜o cozido (kg) 6.0 170.00 15.00
2
ali = leite desnatado (lt) 2.0 1150.00 0.00
3
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