Table Of ContentEssener Beiträge zur Mathematikdidaktik
Stephanie Weskamp
Heterogene Lerngruppen
im Mathematikunterricht
der Grundschule
Design Research im Rahmen
substanzieller Lernumgebungen
Essener Beiträge zur
Mathematikdidaktik
Reihe herausgegeben von
Bärbel Barzel, Essen, Deutschland
Andreas Büchter, Essen, Deutschland
Florian Schacht, Essen, Deutschland
Petra Scherer, Essen, Deutschland
In der Reihe werden ausgewählte exzellente Forschungsarbeiten publiziert, die
das breite Spektrum der mathematikdidaktischen Forschung am Hochschulstand-
ort Essen repräsentieren. Dieses umfasst qualitative und quantitative empirische
Studien zum Lehren und Lernen von Mathematik vom Elementarbereich über
die verschiedenen Schulstufen bis zur Hochschule sowie zur Lehrerbildung. Die
publizierten Arbeiten sind Beiträge zur mathematikdidaktischen Grundlagen-
und Entwicklungsforschung und zum Teil interdisziplinär angelegt. In der Reihe
erscheinen neben Qualifikationsarbeiten auch Publikationen aus weiteren Essener
Forschungsprojekten.
Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/13887
Stephanie Weskamp
Heterogene Lerngruppen
im Mathematikunterricht
der Grundschule
Design Research im Rahmen
substanzieller Lernumgebungen
Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Petra Scherer
Stephanie Weskamp
Essen, Deutschland
Dissertation der Universität Duisburg-Essen, Fakultät für Mathematik, 2018
Erlangung des Doktorgrades: „Dr. rer. nat.“
Datum der mündlichen Prüfung: 15.08.2018
Gutachterinnen: Prof. Dr. Petra Scherer, Prof. Dr. Bettina Rösken-Winter
ISSN 2509-3169 ISSN 2509-3177 (electronic)
Essener Beiträge zur Mathematikdidaktik
ISBN 978-3-658-25232-8 ISBN 978-3-658-25233-5 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-25233-5
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Geleitwort
Der Umgang mit Heterogenität stellt eine der großen Herausforderungen für den Mathematik-
unterricht aller Schulstufen und Schulformen dar. Dabei können verschiedene Facetten von He-
terogenität im Fokus stehen, u. a. die Leistungsheterogenität. Für die entsprechenden Lehr- und
Lernprozesse besteht in diesem Feld weiterhin Forschungsbedarf: Dieser bezieht sich einerseits
auf die Konzeption und Evaluation geeigneter Konzepte für zentrale Inhalte des Mathematik-
unterrichts. Andererseits sind aus derartigen Evaluationsstudien lokale Theorien für die Gestal-
tung eines Mathematikunterrichts für heterogene Lerngruppen abzuleiten.
Insofern schließt Stephanie Weskamp mit der vorliegenden Arbeit eine Forschungslücke, in-
dem sie sich damit beschäftigt, wie einerseits geeignete Lernumgebungen konzipiert werden
können, die individuellen Lernbedürfnissen und -potenzialen von Schülerinnen und Schülern
im Mathematikunterricht der Grundschule gerecht werden können. Andererseits werden ent-
sprechende Lernsituationen zu verschiedenen mathematischen Themen qualitativ untersucht
und unter verschiedenen Perspektiven analysiert. Hierzu wurden umfangreiche Erprobungen
für die Jahrgangsstufe 4 analysiert. Für das Forschungsanliegen wird der Ansatz des Educatio-
nal Design Research gewählt, der einen wichtigen und geeigneten Forschungsrahmen darstellt
und für das eigene Projekt konkretisiert wird. Mit dem Ziel, die individuellen Arbeitsprozesse
von Schülerinnen und Schülern zu erfassen, erfolgt die Entscheidung für ein qualitatives De-
sign, in dem u. a. eine Breitenanalyse bzgl. der Anforderungsbereiche gemäß Bildungsstandards
als auch eine Tiefenanalyse hinsichtlich zentraler Bearbeitungsaspekte erfolgt.
Ausgehend von Ergebnissen zentraler Vergleichsstudien wird in der vorliegenden Arbeit die
Notwendigkeit der Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts konstatiert. Dabei wird die
Leistungsheterogenität genauer in den Blick genommen, und es werden zunächst bildungspoli-
tische Diskussionen hinsichtlich der Rolle und Bedeutung von Aufgaben im Mathematikunter-
richt beleuchtet: Eine der zentralen Entwicklungen stellte dabei eine veränderte Aufgabenkultur
dar, um allen Schülerinnen und Schülern adäquate Lernmöglichkeiten zu bieten. Darüber hin-
aus wurden im Bereich der Bildungsstandards Anforderungsbereiche formuliert, um das Hete-
rogenitätsspektrum im Mathematikunterricht bei den jeweiligen Inhalten und Lernangeboten
genauer zu fassen. Fokussiert werden in der vorliegenden Arbeit substanzielle Lernumgebun-
gen als geeignetes Angebot und Forschungsobjekt, wobei das Aufgabenangebot noch nicht als
hinreichend für den Umgang mit Heterogenität konstatiert wird, sondern empirische Studien
zur Erforschung konkreter Lern- und Arbeitsprozesse als Notwendigkeit herausgearbeitet wer-
den.
Zwei unterschiedliche mathematische Themen aus dem Inhaltsbereich ‚Zahlen und Operatio-
nen’ bilden die Grundlage, die für die vorliegende Studie begründet ausgewählt und ausgewer-
tet werden. Während bei der Lernumgebung zum Pascal’schen Dreieck die Kombinatorik im
Fokus steht, hebt die Lernumgebung zum Würfel mit der Bearbeitung eines Würfeltricks auf
die Entdeckungen und Begründungen arithmetischer Zusammenhänge ab. Beide Lernum-
VI Geleitwort
gebungen werden hinsichtlich ihres fachlichen und fachdidaktischen Gehalts analysiert und
können lernumgebungsspezifische Abhängigkeiten zeigen. Im Fokus stehen bei den Analysen
sowohl der mathematische Gegenstand als auch Materialeinsatz und Lehrerinterventionen. Die
Analysen videographierter Sequenzen und schriftlicher Schülerbearbeitungen liefern erste Fol-
gerungen für die Organisation der Bearbeitungsprozesse.
Die Breitenanalyse kann zum einen belegen, dass die beteiligten Schülerinnen und Schüler ein
breites Spektrum an Bearbeitungen zeigen, was die erforderliche fachliche Durchdringung der
Lehrperson und die notwendige Flexibilität in der fachdidaktischen Begleitung bestätigt. Auf
der Basis der Tiefenanalyse ergeben sich als zentrale Erkenntnisse, dass einerseits nicht unbe-
dingt von einer hierarchischen Anordnung der Anforderungsbereiche ausgegangen werden
kann, sondern dass sich durchaus untypische Bearbeitungen und Sprünge in den Bearbeitungen
zeigen. Dies bedeutet, dass bspw. leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern nicht ein-
zelne Anforderungsbereiche vorenthalten werden sollten, sondern vielmehr möglichst alle An-
forderungsbereiche bei allen Schülerinnen und Schülern herausgefordert werden sollten. Zu-
dem zeigt sich, dass die Anforderungsbereiche nicht trennscharf zu verstehen sind und sich
bzgl. ausgewählter Bearbeitungsaspekte zwischen den Anforderungsbereichen verschiedene
Überlappungen und auch Wechselbeziehungen zeigen, die es in unterrichtlichen Prozessen zu
beachten gilt. Neben diesen Analysen auf Schülerebene kommt daher auch der Lehrperson eine
zentrale Rolle zu bei der Moderation von Klassengesprächen, bspw. in der generellen Steue-
rungsfunktion der Lern- und Unterrichtsprozesse.
Perspektiven werden sowohl für die unterrichtliche Gestaltung als auch für weitere Forschungs-
kontexte gegeben, und die Verbindung von Theorie und Praxis wird reflektiert. Die Folgerun-
gen betreffen einerseits die Konstruktion substanzieller Lernumgebungen, andererseits aber
auch die sorgfältige unterrichtliche Umsetzung und Begleitung derartiger Lernangebote. Die
Ergebnisse der vorliegenden Studie geben Hinweise, dass das vorgestellte Konzept auch auf
weitere Inhaltsbereiche und inklusive Settings übertragbar ist.
Petra Scherer, Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen
Vorwort
Eine angemessene Förderung aller Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht der
Grundschule stellt eine zentrale Anforderung für Lehrpersonen dar. Um insbesondere der Leis-
tungsheterogenität gerecht zu werden, bietet das Konzept der natürlichen Differenzierung, rea-
lisiert durch den Einsatz substanzieller Lernumgebungen, eine geeignete Möglichkeit.
An der Universität Duisburg-Essen zielt das Projekt Mathe-Spürnasen u. a. auf die Entwicklung
und Erforschung substanzieller Lernumgebungen ab. In diesen Gesamtrahmen, bei denen vierte
Schulklassen für einen Experimentiervormittag die Universität besuchen und zu ausgewählten
substanziellen mathematischen Themen forschen, lässt sich die vorliegende Arbeit einordnen.
So begann im August 2013 die Entwicklung der substanziellen Lernumgebung Pascal‘sches
Dreieck für den Einsatz im Lehr-Lern-Labor Mathe-Spürnasen. Im Sinne eines Design-Rese-
arch-Ansatzes wurde die Lernumgebung sowie diesbzgl. Theorien über dabei ablaufende Be-
arbeitungsprozesse von Lernenden fortlaufend weiterentwickelt.
An dieser Stelle möchte ich allen herzlich danken, die mich in der Zeit meiner Promotion be-
gleitet und unterstützt haben.
Mein besonderer Dank gilt Frau Prof. Dr. Petra Scherer für die Begleitung und Betreuung mei-
nes Dissertationsvorhabens sowie zahlreichen Gesprächen mit wertvollen Anregungen und er-
mutigenden Rückmeldungen. Frau Prof. Dr. Bettina Rösken-Winter danke ich für ihre Arbeit
als Zweitgutachterin.
Herzlich danken möchte ich allen Mitgliedern des Projekts Mathe-Spürnasen für die intensive
Zusammenarbeit und anregenden Diskussionen. In diesen Dank einschließen möchte ich auch
die weiteren Mitglieder der Arbeitsgruppe Scherer für zahlreiche Rückmeldungen zu meiner
Arbeit sowie von den Kolleginnen und Kollegen der Arbeitsgruppe Mathematikdidaktik an der
Universität Duisburg-Essen.
Sehr dankbar bin ich an dieser Stelle auch allen Lehrpersonen, die im Rahmen des Projekts
Mathe-Spürnasen Schulbesuche an der Universität Duisburg-Essen ermöglicht haben sowie al-
len studentischen Hilfskräften und Schülerinnen und Schülern, die im Rahmen von Experimen-
tiervormittagen Lernumgebungen durchgeführt bzw. erforscht haben. Ohne deren Teilnahme
am Experimentiervormittag wäre das Projekt zur Erforschung und Charakterisierung von Be-
arbeitungsprozessen nicht möglich gewesen.
Von ganzem Herzen danke ich meinen Eltern und meinem Bruder Christoph, die mich auf mei-
nem bisherigen Lebensweg begleitet und mir in allen Situationen zur Seite gestanden haben.
Ohne ihren Rückhalt, ihre stetige Unterstützung und nicht aufhörende Ermutigung wäre diese
Arbeit sicher nicht möglich gewesen.
Nicht zuletzt möchte ich mich ganz herzlich bei meinem Freund Stefan bedanken für seine aus-
giebige Geduld und tatkräftige Unterstützung, besonders während der Zeit meiner Promotion.
Stephanie Weskamp
Inhaltsverzeichnis
Geleitwort ............................................................................................................................ V
Vorwort ............................................................................................................................ VII
Inhaltsverzeichnis .............................................................................................................. IX
Abbildungsverzeichnis .................................................................................................... XIII
Tabellenverzeichnis ....................................................................................................... XVII
1 Einleitung .......................................................................................................................... 1
2 Zum Umgang mit Heterogenität im Mathematikunterricht der Grundschule .............. 5
2.1 Leistungsheterogenität unter der Perspektive von Schulleistungsstudien und
Vergleichsarbeiten ........................................................................................................ 5
2.2 Berücksichtigung von Leistungsniveaus in Lehrplänen und Bildungsstandards ............. 9
2.3 Natürliche Differenzierung zur Berücksichtigung verschiedener Bearbeitungsniveaus 10
2.4 Unterrichtsentwicklung durch geeignete Aufgabenkultur ............................................ 14
2.4.1 Bedeutung der Aufgabenkultur ............................................................................. 14
2.4.2 Begriffsbestimmungen zu Lernumgebungen und Aufgaben ................................... 15
2.5 Substanzielle Lernumgebungen (SLU) ....................................................................... 27
2.5.1 Definitionen im Zusammenhang mit SLU ............................................................. 27
2.5.2 SLU auf der Basis konstruktivistischer Grundpositionen..................................... 29
2.5.3 SLU als Möglichkeit natürlicher Differenzierung und diesbzgl. Anforderungen ... 30
2.5.4 SLU als Möglichkeit für empirische Unterrichtsforschung ................................... 33
3 Educational Design Research ......................................................................................... 35
3.1 Begriffsverständnisse und Bedeutung von Educational Design Research .................... 35
3.2 Forschungsansätze des Educational Design Research ................................................. 37
3.2.1 Design-Experiment als methodologische Veränderung aufgrund lerntheore-
tischer Entwicklungen .......................................................................................... 37
3.2.2 Von Developmental Research zu Design Research als Forschungsparadigma ..... 40
3.2.3 Design-Based Research ....................................................................................... 44
3.2.4 Research-Based Design als Variante des Educational Design Research .............. 46
3.2.5 Action Research zur Professionalisierung von Lehrpersonen ............................... 47
3.2.6 Von Formativer Evaluation zu Formative Research ............................................. 48
3.2.7 Engineering Research als weiterführende Methodologie durch „Scaling up“ ...... 52
3.3 Vergleich der verschiedenen Forschungsansätze und Diskussion ................................ 54
3.4 Folgerungen für fachdidaktische Entwicklungsforschung ........................................... 58
3.4.1 Mathematikdidaktik als Design Science ............................................................... 58
3.4.2 FUNKEN-Modell als Beispiel der Entwicklungsforschung ................................... 60
4 Forschungsrahmen und Design der Studie .................................................................... 63
4.1 Forschungsdesiderata und Forschungsfragen .............................................................. 63
4.2 Forschungsansätze bzgl. Educational Design Research als Forschungsrahmen ........... 65
4.2.1 Verknüpfung verschiedener Ansätze des Educational Design Research ................ 65
4.2.2 Planung und Übersicht der Forschungszyklen ..................................................... 67
4.2.3 Konstruktion, Erforschung und Weiterentwicklung substanzieller
Lernumgebungen.................................................................................................. 69
4.3 Design der Untersuchung ........................................................................................... 71
4.3.1 Einordnung ins Projekt Mathe-Spürnasen ............................................................ 71
X Inhaltsverzeichnis
4.3.2 Datenerhebung im Rahmen unterrichtsnaher Lernsituationen .............................. 73
4.3.2.1 Durchführungen im Rahmen von Experimentiervormittagen ......................... 73
4.3.2.2 Interviewsampling und Planung der Einzelinterviews ................................... 74
4.3.3 Methoden der Datenauswertung .......................................................................... 79
4.3.3.1 Qualitative Inhaltsanalyse ............................................................................. 79
4.3.3.2 Breitenanalyse bzgl. der Anforderungsbereiche ............................................ 80
4.3.3.3 Tiefenanalyse bzgl. der Bearbeitungsaspekte................................................. 81
5 Entwicklung, Erprobung und Durchführung ausgewählter SLU ................................. 85
5.1 SLU Pascal’sches Dreieck .......................................................................................... 85
5.1.1 Pascal’sches Dreieck als mathematischer Lerngegenstand .................................. 85
5.1.2 Aufbau der SLU Pascal’sches Dreieck ................................................................. 88
5.1.3 Fachliche und fachdidaktische Analyse ausgewählter kombinatorischer
Aufgaben- und Problemstellungenstellungen ........................................................ 89
5.1.3.1 Grundlagen zu kombinatorischen Aufgaben- und Problemstellungen ............ 89
5.1.3.2 Einführung – Murmeln Ziehen ...................................................................... 98
5.1.3.3 Vertiefung – Wege in Mannheim ................................................................. 103
5.1.4 Durchführung der SLU ...................................................................................... 109
5.1.4.1 Einführung: Konstruktion des Pascal’schen Dreiecks ................................. 109
5.1.4.2 Vertiefung: Wege in Mannheim ................................................................... 112
5.2 Design-Research-Prozess der SLU Pascal’sches Dreieck bzgl. ausgewählter
Aufgabenstellungen .................................................................................................. 115
5.2.1 Design-Research-Prozess am Beispiel der Einführung – Murmeln Ziehen ......... 115
5.2.1.1 Analysen und Folgerungen hinsichtlich des mathematischen Gegenstands .. 115
5.2.1.2 Analysen und Folgerungen hinsichtlich des Materialeinsatzes .................... 116
5.2.1.3 Analysen und Folgerungen hinsichtlich der Lehrerinterventionen ............... 119
5.2.1.4 Analysen und Folgerungen hinsichtlich der Organisation der
Bearbeitungsprozesse .................................................................................. 124
5.2.2 Design-Research-Prozess am Beispiel der Vertiefung – Wege in Mannheim ...... 124
5.2.2.1 Analysen und Folgerungen hinsichtlich des mathematischen Gegenstands .. 124
5.2.2.2 Analysen und Folgerungen hinsichtlich des Materialeinsatzes .................... 125
5.2.2.3 Analysen und Folgerungen hinsichtlich der Lehrerinterventionen ............... 128
5.2.2.4 Analysen und Folgerungen hinsichtlich der Organisation der
Bearbeitungsprozesse .................................................................................. 134
5.3 SLU Würfel .............................................................................................................. 134
5.3.1 Würfel als mathematischer Lerngegenstand unter fachlicher Perspektive .......... 134
5.3.2 Aufbau der SLU Würfel ...................................................................................... 135
5.3.3 Fachliche und fachdidaktische Analyse ausgewählter Aufgaben- und
Problemstellungen (Vertiefung – Würfeltrick) .................................................... 136
5.3.4 Durchführung der SLU Würfeltrick .................................................................... 141
6 Analyse und Charakterisierung der Bearbeitungsprozesse ........................................ 143
6.1 Breitenanalyse bzgl. der Anforderungsbereiche zur Beschreibung des
Bearbeitungsspektrums ............................................................................................. 143
6.1.1 Fallbeispiele zur SLU Pascal’sches Dreieck ...................................................... 143
6.1.1.1 Einführung – Murmeln Ziehen und Fortsetzen des Pascal’schen
Dreiecks...................................................................................................... 143
6.1.1.2 Vertiefung – Wege in Mannheim ................................................................. 160
6.1.2 Fallbeispiele zur SLU Würfel (Vertiefung – Würfeltrick) .................................... 170
