Table Of ContentN achrich ten technik
Herausgegeben von H. Marko
Band 7
Raimund Lücker
Grundlagen
digitaler Filter
Einführung in die Theorie
linearer zeitdiskreter
Systeme und Netzwerke
Mit 96 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1980
Dr.-Ing. RAIMUND LÜCKER
Labor für technisch-wissenschaftliche Grundlagen,
TE KA DE FeIten & Guilleaume, Fernmeldeanlagen GmbH,
Nürnberg
Dr.-Ing. HANS MARKO
Professor, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik
Technische Universität München
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Lücker, Raimund:
Grundlagen digitaler Filter 1 R. Lücker. -Berlin, Heidelberg, New York : Springer, 1980.
(Nachrichtentechnik; Bd. 7)
ISBN 978-3-540-10198-7 ISBN 978-3-662-11925-9 (eBook)
DOlIO.1007/978-3-662-11925-9
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980
Originally published by Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York in 1980.
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gebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Offsetdruck und Bindearbeiten: fotokop wilhelm weihert KG, Darmstadt
2362/3020 5 4 3 2 1 0
Vorwort
Das vorliegende Buch entRt'l.nd aus dem Skriptum einer Wahlvorlesung,
die in den Wintersemestern 1978/79 und 1979/80 an der Technischen
Hochschule Darmstadt für Studenten der Nachrichtentechnik, Regelungs
technik, Datentechnik und Theoretischen Elektrotechnik im Rahmen der
Ausbildung nach dem Vordiplom angeboten wurde. Es ist als eine Einfüh
rung in die Theorie digitaler Filter gedacht und richtet sich an Studenten
und Ingenieure, die mit dem Stoff üblicher Grundvorlesungen in Elektro
technik und Ingenieurmathematik vertraut sind.
Der Inhalt läßt sich im wesentlichen in drei Teile untergliedern, die ihrer
seits aus mehreren, unterschiedlich langen Abschnitten bestehen.
Der erste Teil ist den systemtheoretischen Grundlagen gewidmet. So wer
den in Abschnitt 2 zeitdiskrete Signale und Systeme definiert und klassifi
ziert, auf die Charakterisierung linearer zeitinvarianter Systeme (LTI
Systeme) durch die sog. Impulsantwort eingegangen und die Beschreibung
kausaler LTI-Systeme durch Differenzengleichungen erörtert. Nach der in
Abschnitt 3 eingeführten (zweiseitigen) z-Transformation beschäftigt sich
Abschnitt 4 mit der Kennzeichnung zeitdiskreter Systeme durch Ubertra
gungsfunktionen und Frequenzgänge. In diesem Zusammenhang erfolgt auch
die für spätere Betrachtungen wichtige Einteilung der Systeme in solche mit
endlicher Impulsantwort (FIR-Systeme), die in Form linearphasiger
Systeme ihre interessantesten Vertreter besitzen, und solche mit unend
licher Impulsantwort (HR-Systeme).
Einen zweiten zusammenhängenden Teil bilden die Abschnitte 5 bis 8, die
sich mit zeitdiskreten Netzwerken befassen. Nachdem in Abschnitt 5 der Be
griff zeitdiskretes Netzwerk erläutert, Netzwerkeigenschaften wie kano
I I
nisch, nichtkanonisch, rekursiv und nichtrekursiv erklärt sowie verschie
dene elementare und spezielle Netzwerkstrukturen wiedergegeben sind, be
handelt Abschnitt 6 eine aus der Theorie der Signalflußgraphen gewonnene
Matrixbeschreibung dieser Netzwerke, auf der die in den nachfolgenden Ab
schnitten dargestellten Verfahren zur Netzwerkanalyse und -synthese basie
ren. Im Vordergrund der Betrachtungen zur Netzwerkanalyse in Abschnitt 7
VI Vorwort
steht die Konzeption des Zustandsraums. Hierauf aufbauend werden Ver
fahren zur Ermittlung von Zustandsdarstellungen, Übertragungsfunktionen
und Frequenzgängen zeitdiskreter Netzwerke beschrieben, wobei am Rande
auch bisher wenig bekannte Methoden zur numerischen Berechnung von Zu
standsmatrizen und zur Frequenzganganalyse Berücksichtigung finden.
Weitere Unterabschnitte beschäftigen sich mit Stabilitätsuntersuchungen
im Zustandsraum sowie einem Algorithmus zur Netzwerkanalyse im Zeit
bereich. Ein in Abschnitt 8 skizziertes und an mehreren Beispielen er
läutertes Verfahren zur strukturunabhängigen Synthese zeitdiskreter Netz
werke schließt den netzwerktheoretischen Teil des Buches ab.
Die beiden folgenden Abschnitte legen Methoden zum Entwurf zeitdiskreter
Systeme dar, die mit wenigen Ausnahmen von Vorschriften im Frequenz
bereich ausgehen. Abschnitt 9 zeigt vor allem wie sich Verfahren aus der
Theorie zeitkontinuierlicher Systeme mit Hilfe der Bilineartransformation
zum Entwurf zeitdiskreter IIR-Systeme nutzen lassen. Besonders erwähnt
sei der in diesem Rahmen skizzierte Entwurf von Wellendigitalfiltern auf
der Grundlage klassischer LC-Abzweigschaltungen. Mit Abschnitt 10 soll
schließlich am Beispiel der ausführlicher behandelten Fourier-Approxima
tion und der nur kurz umrissenen Tschebyscheff-Approximation in die Pro
blematik des Entwurfs linearphasiger FIR-Systeme eingeführt werden.
Das Buch schließt mit einem kurzen Ausblick auf Realisierungsprobleme
digitaler Filter, wobei hauptsächlich auf die umfangreiche Literatur zu die
sem Themenkreis hingewiesen wird.
Der Verfasser dankt all denen, die ihn beim Abfassen des Manuskripts un
terstützt haben, vor allem Herrn Dr. -Ing. Hermann Kremer für stete Dis
kussionsbereitschaft und wertvolle Anregungen, den Herren Dipl. -Ing.
K. Labonte und Dip!. -Ing. K. -H. Witte für geduldiges Korrekturlesen und
Frau Edith Mönch für die Anfertigung der zahlreichen Zeichnungen. Be
sonderer Dank gilt auch Herrn Prof. Dr.-Ing. H. W. Schüßler für kriti
sche Bemerkungen zum Manuskript, dem Herausgeber der Reihe 'Nach
richtentechnik' und dem Springer-Verlag für die gute Zusammenarbeit.
Nürnberg, im April 1980 Raimund Lücker
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung.......................................................... 1
2. Zeitdiskrete Signale und Systeme. • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • 8
2.1. Zeitdiskrete Signale, Zahlenfolgen •••••••••••••••••••••••• 8
2.2. Zeitdiskrete Systeme •••••••••••••••••••.•••••••••••••••••••••• 16
2.2.1. Allgemeines 16
2.2.2. Lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) ••••••.•••••• 18
2.2.3. Beschreibung kausaler LTI-Systeme durch Differenzen-
gleichungen ••••••••••••••••••••••.••..••••••••••••••••• 21
2.2.4. Schlußbemerkung ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 23
3. Die z-Transformation 24
3.1. Einleitung..................................................... 24
3.2. Definition •••••••••••••••••••••••••.•••••.••••••••••••••••••••. 25
3.3. Beispiele ••••••••••••••••••.•••.•••••••••••••••••••••••••••••• 29
3.4. Eigenschaften von z-Transformierten ••••••••••••••..•••••••••••• 32
3.5. Inverse z-Transformation ••.••••••.•••••••••••••••••••••••••••• 36
3.6. Fourier-Transformation •••••••••••••••••••••••••••••••••.•••••• 45
3.6. 1. Definition •.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 45
3.6.2. Fourier-Transformation von Abtastwerten 48
3.7. Einseitige z-Transformation •••••••••••••••••••••••••••••••••••• 49
4. Übertragungsfunktion und Frequenzgang 51
4.1. Übertragungsfunktion •••.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 51
4.2. Frequenzgang ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 54
4.3. Systeme mit speziellem Frequenzgang ••••••••••••••••••••••••••• 59
4.3.1. Allpässe ••••••.••••••••••••••••••••••••.••••••••••••••• 59
4.3.2. Linearphasige Systeme ••••••••..•••.•••••••••••••••••••• 61
VIII Inhaltsverzeichnis
4.4. Erweiterung •••••••.••••••.••.••••••.•••••••••••••••••••••••••• 63
5. Zeitdiskrete Netzwerke ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 65
5.1. Operationen, Bauelemente, Netzwerke ••••••••••••••••••••••••• 65
5.2. Elementare Netzwerkstrukturen ••••••••••••••.•••••••••••••••• 69
5.2.1. Erste und zweite kanonische Form ••••••••.••••••••••••• 69
5.2.2. Kaskaden- und Parallelform •••••••••••••••••••••••••••• 72
5.3. Spezielle Netzwerkstrukturen ••••••••••••••••••.•••••••••••••• 75
5.3.1. Systeme zweiten Grades ••••.•••••••••••••••••••.•••••• 75
5.3.2. Allpässe ••••••••••.•••••••••••••••••••••••••.•••••••• 77
5.3.3. Linearphasige Systeme 78
5.4. Systeme mit mehreren Eingängen und mehreren Ausgängen 80
6. Matrixbeschreibung zeitdiskreter Netzwerke •••••••••••••••••••••••• 82
6. 1. Signalflußgraphen •••••••••••••••••••••••••••••.••••••••••••• 82
6.2. Zweigübertragungsgleichungen zeitdiskreter Netzwerke 85
6.3. Signalflußmatrizen zeitdiskreter Netzwerke 88
7. Analyse zeitdiskreter Netzwerke ••••••••••••••••••••••••.•••••••••• 91
7. 1. Einleitung •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.••• 91
7.2. Berechnung der Zustandsdarstellung •••••••••••..•••.•.•••••••• 92
7.2.1. Allgemeines •••••••••••••••••••••••••••••.•••••••••••• 92
7.2.2. Analyse durch schrittweise Matrixreduktion ••••.••••••••• 97
7.2.3. Numerische Zustandsanalyse ••••••••••••••••••••••••••• 100
7.3. Berechnung der Übertragungsfunktion •••••••••••••••••••••••••• 101
7.4. Numerische Berechnung des Frequenzgangs ••.•••••••••••••••••• 103
7.5. Stabilitätsuntersuchungen im Zustands raum ••••••••••••••••••••• 104
7.5.1. Charakteristisches Polynom •••••••••••••••••••••••••••• 105
7.5.2. Lösung der Zustandsgleichungen im Zeitbereich •••••••••• 108
7.5.3. Lyapunov-Stabilität •••.•••••••••••••••••••••••••••••••• 110
7.5.4. Erreichbarkeit und Beobachtbarkeit •••••••.•••••••••••••• 113
7.6. Strukturbezogene Zeitbereichsanalyse •••••••••••••••••••••••••• 118
Inhaltsverzeichnis IX
8. Strukturunabhängige Synthese zeitdiskreter Netzwerke ••••••••••••••••• 125
8.1. Einleitung •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 125
8.2. Konzeption des Syntheseverfahrens ••••••••••••••••••••••••••••• 126
8.3. Synthese durch schrittweise Matrixerweiterung •••••••••••••••••• 129
8.4. Beispiele ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 132
9. Entwurf zeitdiskreter !IR-Systeme ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 141
9. 1. Einleitung •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 141
9.2. Entwurf nach vorgeschriebener Impulsantwort 142
9.2.1. System identifikation bei vorgeschriebener Impulsantwort 142
9.2.2. Impulsantwort-Invariante Transformation zeit-
kontinuierlicher Systeme... • • • • • •• • • • •• ••••••• • •• ••••••• 145
9.3. Entwurf nach Vorschriften bezüglich des Frequenzganges ••••••••••• 147
9.3.1. Allgemeines ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 147
9.3.2. Entwurf durch Transformation zeitkontinuierlicher
Systeme •••.••••••.....••..•......••..•••••.•..•••...•. 149
9.3.2.1. Bilineartransformation ....••.•..••••..•.....•.. 149
9.3.2.2. Entwurf zeitkontinuierlicher Systeme .......••••• 152
9.3.2.2.1. Frequenztransformationen ...•.•••••. 152
9.3. 2. 2. 2. Standardverfahren zum Entwurf
normierter Tiefpässe .••••.•••••...•. 154
9.3.2.2.3. Abschließende Bemerkungen •••••....• 168
9.3.2.3. Beispiel •••••••••••...•..•...•.••.•••.••..•.•. 170
9.3. 3. Entwurf mittels transform ierter Verfahren der
zeitkontinuierlichen Theorie .......••...........•••.....• 175
9. 3. 3. 1. All paßtransform ationen ........••••..........•• 175
9.3.3.2. Entwurf normierter Tiefpässe •••............•••• 180
9.3.4. Wellendigitalfilterentwurf nach zeitkontinuierlichen
LC -Abzweigschaltungen .......•.••..•.••.••...••••...••. 181
9.3.4.1. Spannungswellenstreumatrizen zeit-
kontinuierlicher Mehrtore •..•••.•.....•••••..•. 182
9.3.4.2. Entwurfsablauf . . . • • . . . • • . . . . . • • • . • • • . . . • . . • . • •• 185
9.3.4.3. Beispiel •••••..•.•••••.•••..•.•..•.•...••...... 192
x Inhaltsverzeichnis
10. Entwurf linearphasiger FIR-Systeme nach Vorschriften im Frequenz-
bereich ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 196
10.1. Einleitung................................................ 196
10.2. Allgemeines zum Entwurf linearphasiger Fm-Systeme •••••••• 198
10.3. Fourier-Approximation, Fensterung •••••••••••••••••••••••• 208
10.4. Tschebyscheff-Approximation •••••••••••••••••••••••••••••• 220
10.4.1. Formulierung der Approximationsaufgabe •••••••••••• 220
10.4.2. Bemerkungen zur Lösung der Approximationsaufgabe •• 222
10. 5. Abschließende Bemerkungen ••••••••••••••••••••••••••••••• 231
11. Bemerkungen zum Verhalten digitaler Filter. • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • 232
Anhang: FORTRAN-Programme ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 237
Literaturverzeichnis ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 242
Sachverzeichnis. • • • • • • ••• ••• • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • •• • • 252
