Table Of ContentUn soup(cid:1)con de th(cid:2)eorie des groupes(cid:3)
groupe des rotations et
groupe de Poincar(cid:2)e
D(cid:1)E(cid:1)A(cid:1) (cid:2)Champs(cid:3) Particules(cid:3) Mati(cid:4)eres(cid:5)(cid:3) (cid:6)(cid:7)(cid:7)(cid:8) (cid:9) (cid:6)(cid:7)(cid:7)(cid:10)
derni(cid:4)ere modi(cid:11)cation(cid:12) Octobre (cid:6)(cid:7)(cid:7)(cid:13)
B(cid:1) Delamotte
LPTHE(cid:3) Universit(cid:14)e Paris (cid:13) (cid:9) Denis Diderot
Universit(cid:14)e Paris (cid:10) (cid:9) Pierre et Marie Curie
(cid:4)eme
Tour (cid:15)(cid:16)(cid:9)(cid:6)(cid:16)(cid:3) (cid:8) (cid:14)et(cid:1)(cid:3) (cid:13)(cid:8)(cid:15)(cid:8)(cid:6) Paris Cedex (cid:17)(cid:8)
delamotte(cid:18)lpthe(cid:1)jussieu(cid:1)fr(cid:3) (cid:17)(cid:6) (cid:16)(cid:16) (cid:15)(cid:13) (cid:19)(cid:7) (cid:7)(cid:15)
http(cid:1)(cid:2)(cid:2)www(cid:3)lpthe(cid:3)jussieu(cid:3)fr(cid:2)DEA(cid:2)
(cid:1) (cid:15)
(cid:2)D(cid:14)esordre du temps pass(cid:14)e(cid:3)
Moi(cid:3) pour dissiper la nuit(cid:3)
J(cid:20)ai risqu(cid:14)e tout mon sommeil(cid:1)(cid:5)
P(cid:1) Eluard
Pr(cid:4)eface
Ce cours de th(cid:14)eorie des groupes n(cid:20)en est en fait pas vraiment (cid:21)vraiment pas(cid:22)(cid:23) un(cid:1) De
nombreux d(cid:14)eveloppements importants sont absents(cid:3) comme par exemple la classi(cid:11)cation des
groupes compacts semi (cid:9) simples(cid:1) Rien n(cid:20)est dit(cid:3) ou presque(cid:3) (cid:4)a propos des repr(cid:14)esentations
de masse nulle du groupe de Poincar(cid:14)e(cid:3) de la th(cid:14)eorie des caract(cid:4)eres ni non plus (cid:4)a propos de
techniques de calcul(cid:3) comme par exemple celle des tableaux d(cid:20)Young(cid:1) Le but de ce cours est de
toute fac(cid:24)on ailleurs(cid:12) il vise autant (cid:4)a dire le pourquoi des choses que le comment(cid:3) (cid:4)a montrer les
liens et les dissemblances entre concepts(cid:3) par exemple entre concepts classiques et quantiques
et (cid:11)nalement (cid:4)a fournir au lecteur assidu de ces pages(cid:3) les bases n(cid:14)ecessaires tant physiques que
math(cid:14)ematiques(cid:3) (cid:4)a la lecture de la litt(cid:14)erature math(cid:14)ematiquement plus avanc(cid:14)ee(cid:1) Ces notes ne
dispensent donc en aucune fa(cid:24)con de la lecture des bons ouvrages et(cid:3) si elles sont (cid:4)a la hauteur
de l(cid:20)ambition de leur auteur(cid:3) elles devraient en revanche donner le discernement qui permet
d(cid:20)(cid:14)eviter les mauvais(cid:1)
Ces notes sont bas(cid:14)ees sur la premi(cid:4)ere partie d(cid:20)un cours de th(cid:14)eorie quantique des champs
e(cid:25)ectu(cid:14)e plusieurs ann(cid:14)ees durant au DEA (cid:2)Champs(cid:3) Particules(cid:3) Mati(cid:4)eres(cid:5) des universit(cid:14)es Paris
(cid:10)(cid:3) Paris (cid:13) et Paris (cid:6)(cid:6)(cid:1) Il repose donc sur un a priori(cid:3)celuid(cid:20)introduire les concepts et techniques
de calcul n(cid:14)ecessaires pour la suite de ce cours(cid:1) J(cid:20)ai (cid:14)egalement souhait(cid:14)e (cid:26)etre le plus rigoureux
possible (cid:27) au sens des physiciens (cid:27) en essayant de donner(cid:3) (cid:4)a chaque fois que faire se pouvait(cid:3)
le sens qualitatif des concepts expos(cid:14)es et en souhaitant que le lecteur soit plus convaincu par
les arguments donn(cid:14)es que par des preuves qui n(cid:20)auraient pas leur place ici(cid:1)
Si le courage ne me fault(cid:3) une suite en deux chapitres devrait succ(cid:14)eder(cid:3) dans les ann(cid:14)ees (cid:4)a
venir(cid:3) (cid:4)a celui(cid:9)ci(cid:12) th(cid:14)eorie quantique des champs libres(cid:3) th(cid:14)eorie des perturbations et (cid:14)electrody(cid:9)
namique quantique(cid:1)
Je souhaiteraisque ce cours soit(cid:14)evolutif(cid:1) J(cid:20)entends parl(cid:4)aqu(cid:20)(cid:14)etant sur internet (cid:21)l(cid:20)adresse est
enpagedegarde(cid:23)(cid:3)jedevraispouvoirconstammentl(cid:20)am(cid:14)eliorertoutenlelaissant(cid:4)aladisposition
permanente des lecteurs(cid:1) Donc(cid:3) si d(cid:20)aventure un de ceux ci(cid:3) int(cid:14)eress(cid:14)e par l(cid:20)am(cid:14)elioration de ces
notes(cid:3) souhaite me fairepartde ses critiques ousuggestions(cid:3) je serais heureux de lesexaminer et
de les inclure(cid:14)eventuellement dans une version corrig(cid:14)ee(cid:1) Je suis bien entendu int(cid:14)eress(cid:14)e par toute
remarque (cid:21)(cid:14)ecrite de pr(cid:14)ef(cid:14)erence(cid:23)(cid:3) de la plus petite (cid:4)a la plus grande(cid:1) Mon adresse (cid:14)electronique
est donn(cid:14)ee en page de garde de ces notes(cid:1)
Et maintenant(cid:3) voici une bibliographie (cid:21)tr(cid:4)es restreinte(cid:23)(cid:12)
(cid:1) (cid:19)
P(cid:1) Ramond(cid:12) Field Theory(cid:2) A Modern Primer(cid:3) second edition(cid:3) Frontiers in Physics(cid:3) Addison
(cid:9) Wesley(cid:3) (cid:6)(cid:7)(cid:28)(cid:7)(cid:1)
Un ouvrage recommandable(cid:1)Faitune petite introduction au groupe de Lorentz tr(cid:4)es e(cid:29)cace(cid:1)
La partie th(cid:14)eorie des champs est assez bien faite (cid:4)a quelques exceptions pr(cid:4)es (cid:21)le th(cid:14)eor(cid:4)eme spin
(cid:9) statistique est ni plus ni moins omis(cid:30)(cid:23)(cid:1)
L(cid:1) Fonda et G(cid:1)C(cid:1) Ghirardi(cid:12) Symmetry Principle in Quantum Physics(cid:3) Marcel Dekker(cid:3) Inc(cid:1)
New York (cid:6)(cid:7)(cid:13)(cid:17)(cid:1)
Tr(cid:4)es original dans sa pr(cid:14)esentation(cid:1) Devient un peu pesant quand il passe (cid:4)a l(cid:20)(cid:14)equation de
Dirac(cid:1) En fait(cid:3) presque toute la partie quantique de ces notes est inspir(cid:14)ee de ce livre(cid:1)
S(cid:1) Weinberg(cid:12) The quantum theory of (cid:3)elds(cid:3) Volume I(cid:3) Cambridge University Press(cid:3) (cid:6)(cid:7)(cid:7)(cid:8)(cid:1)
Appel(cid:14)e (cid:4)a devenir un classique(cid:1) Voil(cid:4)a (cid:21)en(cid:11)n et de nouveau(cid:30)(cid:23) un livre de th(cid:14)eorie des champs
ou(cid:4) l(cid:20)on voit quelqu(cid:20)un penser(cid:1) Ca n(cid:20)est pas fr(cid:14)equent et tendait (cid:4)a dispara(cid:26)(cid:31)tre(cid:30) D(cid:20)un niveau un
peu avanc(cid:14)e pour un d(cid:14)ebutant(cid:1)(cid:1)(cid:1) et tr(cid:4)es rapide sur lapartie groupe quoique la notion de sym(cid:14)etrie
soit au c ur de son expos(cid:14)e(cid:1)
nd
P(cid:1) W(cid:1) Atkins(cid:12) Molecular quantum mechanics(cid:3) (cid:15) edition(cid:3) Oxford University Press(cid:3) (cid:6)(cid:7)(cid:28)(cid:19)(cid:1)
Plus un livrede m(cid:14)ecanique quantique que de th(cid:14)eorie des groupes(cid:1) Traitesurtout des groupes
discrets et de leur utilit(cid:14)e en physique atomique et mol(cid:14)eculaire(cid:1) Toute la distinction anglo (cid:9)
saxonne(cid:1) Que c(cid:20)est beau(cid:30) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
S(cid:1) Sternberg(cid:12) Group theory and physics(cid:3) Cambridge University Press(cid:3) (cid:6)(cid:7)(cid:7)(cid:16)(cid:1)
Comme son nom l(cid:20)indique(cid:1)(cid:1)(cid:1)Un vrai penchant pour les maths avec cependant (cid:21)c(cid:20)est rare(cid:23)
de la vraie physique(cid:1) Parfois d(cid:14)eroutant(cid:12) parler du groupe de Lorentz dans un chapitre intitul(cid:14)e
(cid:2)vibrations mol(cid:14)eculaires et (cid:11)br(cid:14)es vectoriels(cid:5) n(cid:20)est pas tout (cid:4)a fait commun(cid:1)(cid:1)(cid:1)
Etpuisdenombreuxcoursm(cid:20)ontinspir(cid:14)e(cid:1)Lescoursd(cid:20)AlainLaverne dem(cid:14)ecaniquequantique
et de th(cid:14)eorie des champs e(cid:25)ectu(cid:14)es (cid:4)a l(cid:20)ex DEA de Physique Nucl(cid:14)eaire d(cid:20)Orsay et au DEA
(cid:2)Champs(cid:3) Particules(cid:3) Mati(cid:4)eres(cid:5) ainsi que les tr(cid:4)es nombreuses discussions que j(cid:20)ai eues avec lui
ont largement contribu(cid:14)e (cid:4)a ma compr(cid:14)ehension du sujet(cid:1) Certains arguments pr(cid:14)esent(cid:14)es dans ces
(cid:1)
notes lui sont enti(cid:4)erement dus (cid:1) J(cid:20)ai (cid:14)egalement (cid:14)et(cid:14)e un lecteur assidu des notes du cours de
DEA de (cid:2)Physique Quantique(cid:5) de F(cid:1) Lalo!e intitul(cid:14)ees (cid:2)Les sym(cid:4)etries en m(cid:4)ecanique quantique(cid:5)(cid:1)
L(cid:20)encadr(cid:14)e IV de ce cours est tout droit issu du cours de G(cid:1) Mahoux (cid:2)Cin(cid:4)ematique relativiste(cid:5)
e(cid:25)ectu(cid:14)e (cid:4)a Orsay en (cid:6)(cid:7)(cid:13)(cid:17)(cid:9)(cid:6)(cid:7)(cid:13)(cid:6)(cid:1)
Ces notes ont beaucoup pro(cid:11)t(cid:14)e des critiques de nombreux(cid:14)etudiants de DEA et de coll(cid:4)egues(cid:1)
Je tiens (cid:4)a les en remercier vivement(cid:1) Je remercie tout particuli(cid:4)erement M(cid:1) Ca(cid:25)arel(cid:3) A(cid:1) Laverne(cid:3)
(cid:1)(cid:1)Merci Monsieur Laverne(cid:2)
(cid:1) (cid:16)
E(cid:1) Kahn(cid:3) P(cid:1) Lecheminant et D(cid:1) Mouhanna qui ont consacr(cid:14)e beaucoup de temps et d(cid:20)(cid:14)energie (cid:4)a
me lire et (cid:4)a me sugg(cid:14)erer moult modi(cid:11)cations(cid:1) La typographie de ces notes doit beaucoup (cid:4)a D(cid:1)
Lederer qui m(cid:20)a fac(cid:24)onn(cid:14)e un style LateX sur mesure(cid:1) L(cid:1) Laloux a r(cid:14)eduit une (cid:4)a une les di(cid:29)cult(cid:14)es
d(cid:20)Unix(cid:3) de Mac Intosh(cid:3) de polices de caract(cid:4)eres(cid:3) d(cid:20)impression(cid:3) etc(cid:1)(cid:1)(cid:1)Quel cauchemar tout cela
aurait (cid:14)et(cid:14)e sans lui(cid:1)(cid:1)(cid:1)
Pour (cid:11)nir(cid:3) je ne peux pas r(cid:14)esister au plaisir de citer H(cid:1)J(cid:1) Lipkin dont les deux phrases
suivantes (cid:14)ecrites en (cid:6)(cid:7)(cid:13)(cid:17) ont souvent accompagn(cid:14)e mes pens(cid:14)ees(cid:12)
(cid:2)A survey of the literature in theoretical particle physics in the past decade would probably
indicate that there is more misuse than use of group theory(cid:5) The authors either know too little
group theory or too much(cid:5)(cid:6)
(cid:2)I have often wondered why it took so many years from the discovery of strangeness to the
proposal of unitary symmetry(cid:5) (cid:7)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:8) Evidently physicists active in strange(cid:9)particle physics knew
very little group theory while those familiar with group theory knew very little about strange
particles(cid:5)(cid:6)
(cid:1) Table des mati(cid:10)eres (cid:8)
Table des matie`res
(cid:5) Les prol(cid:4)egom(cid:6)enes (cid:13)
I De l(cid:20)int(cid:14)er(cid:26)et de la notion de sym(cid:14)etrie (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:13)
A Brisure spontan(cid:14)ee et brisure explicite de sym(cid:14)etrie (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:17)
II Groupes de sym(cid:14)etrie et repr(cid:14)esentations (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:15)
III Le groupe C(cid:2)v (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:10)
(cid:7) Groupes de Lie (cid:8) groupes SO(cid:9)(cid:10)(cid:11) et SU(cid:9)(cid:7)(cid:11) (cid:15)(cid:6)
I Le groupe des rotations (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:15)(cid:6)
A Les vecteurs (cid:9) alg(cid:4)ebre de Lie du groupe des rotations (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:15)(cid:15)
B Repr(cid:14)esentation de dimension deux du groupe des rotations(cid:3) groupe SU(cid:21)(cid:15)(cid:23)(cid:3)
spineurs (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:15)(cid:28)
C Construction de la relation SO(cid:21)(cid:19)(cid:23) (cid:9) SU(cid:21)(cid:15)(cid:23) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:15)(cid:7)
II Vecteurs(cid:3) spineurs(cid:3) tenseurs et g(cid:14)en(cid:14)erateurs (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:19)(cid:19)
A Les repr(cid:14)esentations de SU(cid:21)(cid:15)(cid:23) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:19)(cid:19)
B La convention d(cid:20)Einstein et quelques menus th(cid:14)eor(cid:4)emes (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:19)(cid:8)
C Base et coordonn(cid:14)ees sph(cid:14)eriques (cid:9) Op(cid:14)erateurs vectoriels (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:19)(cid:10)
D Les tenseurs (cid:9) produit tensoriel de repr(cid:14)esentations (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:16)(cid:6)
E Autres petits th(cid:14)eor(cid:4)emes (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:16)(cid:19)
F Comment construire des vecteurs (cid:4)a partir de spineurs (cid:9) composition de deux
spins (cid:6)"(cid:15) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:16)(cid:8)
(cid:10) Th(cid:4)eorie quantique et sym(cid:4)etries (cid:16)(cid:28)
I Les axiomes de la m(cid:14)ecanique quantique (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:16)(cid:28)
II Points de vue actif et passif (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:17)
III Le th(cid:14)eor(cid:4)eme de Wigner (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:6)
IV Transformations des observables # sym(cid:14)etries (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:16)
A Sym(cid:14)etries en repr(cid:14)esentation de Schr!odinger (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:8)
B Sym(cid:14)etries en repr(cid:14)esentation de Heisenberg (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:28)
C Le mod(cid:4)ele de la particule a(cid:4) spin (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:7)
D Quelques remarques (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:19)
(cid:1) Table des mati(cid:10)eres (cid:10)
V Un point de vue ni actif ni passif (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:16)
(cid:12) Le groupe de Lorentz SO(cid:9)(cid:10)(cid:13)(cid:5)(cid:11) et le groupe de Poincar(cid:4)e (cid:10)(cid:28)
I Les groupes de Lorentz et de Poincar(cid:14)e (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:28)
A Quelques d(cid:14)e(cid:11)nitions et conventions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:7)
II Le groupe SO(cid:21)(cid:19)(cid:2)(cid:6)(cid:23) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:13)(cid:15)
A Quelques remarques sur le calcul tensoriel et le groupe de Poincar(cid:14)e (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:13)(cid:19)
III Les transformations sp(cid:14)eciales de Lorentz et les rotations (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:13)(cid:10)
A Les alg(cid:4)ebres de Lie de SO(cid:21)(cid:16)(cid:23) et de SO(cid:21)(cid:19)(cid:3)(cid:6)(cid:23) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:13)(cid:13)
(cid:6) Le cas euclidien (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:13)(cid:13)
(cid:15) Le cas minkowskien (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:13)(cid:7)
B Construction de la relation SO(cid:21)(cid:19)(cid:3)(cid:6)(cid:23)(cid:9)SL(cid:21)(cid:15)(cid:3)C(cid:23) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:28)(cid:15)
IV La Parit(cid:14)e (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:28)(cid:8)
V Spineurs(cid:3) scalaires et quadri(cid:9)vecteurs (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:28)(cid:7)
(cid:1)
VI Les bi(cid:9)spineurs et les matrices (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:17)
A Autres repr(cid:14)esentations de l(cid:20)alg(cid:4)ebre de Cli(cid:25)ord (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:19)
B Transformations de Lorentz des bi(cid:9)spineurs (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:16)
VII Champs et groupe de Poincar(cid:14)e (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:10)
A Les champs(cid:3) les rotations et les transformations de Lorentz (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:10)
(cid:6) Le cas euclidien (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:10)
(cid:15) Le cas minkowskien (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:28)
VIIILes translations et le groupe de Poincar(cid:14)e (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:7)
A le g(cid:14)en(cid:14)erateur des translations (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:7)
(cid:3)
B Un premier op(cid:14)erateur de Casimir(cid:12) P (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:17)(cid:17)
C Notion d(cid:20)orbite et de groupe d(cid:20)isotropie (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:17)(cid:15)
D Les repr(cid:14)esentations massives et de masse nulle de Poincar(cid:14)e (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:17)(cid:19)
IX Les lagrangiens invariants (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:17)(cid:8)
(cid:14) Appendices (cid:6)(cid:17)(cid:28)
I Appendice I(cid:12) repr(cid:14)esentations lin(cid:14)eaires et non lin(cid:14)eaires (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:17)(cid:28)
A Equations covariantes et calcul tensoriel (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:17)(cid:7)
II Appendice II(cid:12) groupes (cid:11)nis et caract(cid:4)eres (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:6)(cid:19)
III Appendice III(cid:12) transformation des spineurs classiques (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:6)(cid:16)
IV Appendice IV(cid:12) Points de vue actifs (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:6)(cid:10)
A R(cid:14)ecapitulatif (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:6)(cid:7)
(cid:15) Quand on a tout oubli(cid:4)e (cid:6)(cid:15)(cid:6)
(cid:11) (cid:13)
CHAPITRE (cid:6)
Les prole´gome`nes
I DE L’INTE´REˆT DE LA NOTION DE SYME´TRIE
Pourquoi diable un physicien normal devrait(cid:9)il s(cid:20)int(cid:14)eresser (cid:4)a la notion de sym(cid:14)etrie et (cid:4)a la
th(cid:14)eoriedes groupes(cid:22)Aujourd(cid:20)hui(cid:3)un cristallographe(cid:3)unatomisteetun physicien des particules
auraient probablement des id(cid:14)ees assez di(cid:25)(cid:14)erentes sur le sujet(cid:1) Qui plus est(cid:3) ces id(cid:14)ees ont beau(cid:9)
coup chang(cid:14)e avec le temps car suivant les(cid:14)epoques la communaut(cid:14)e physicienne n(cid:20)a pas toujours
pens(cid:14)e de la m(cid:26)eme fa(cid:24)con(cid:3) ni accord(cid:14)e la m(cid:26)eme importance (cid:4)a la notion de sym(cid:14)etrie(cid:3) importance
qui d(cid:20)ailleurs n(cid:20)a (cid:14)et(cid:14)e reconnue que tardivement(cid:1) Il est instructif(cid:3) (cid:4)a cet (cid:14)egard(cid:3) de se souvenir
que la loi de conservation de l(cid:20)(cid:14)energie a (cid:14)et(cid:14)e d(cid:14)ecouverte dans le cadre de la thermodynamique
au dix neuvi(cid:4)eme si(cid:4)ecle (cid:21)premier principe(cid:23) et non comme une cons(cid:14)equence de l(cid:20)invariance par
translation dans le temps # ce qu(cid:20)elle est en fait(cid:1) On peut maintenant(cid:3) avec le recul des ann(cid:14)ees(cid:3)
se rendre compte que la plupart des lois fondamentales trouv(cid:14)ees empiriquement(cid:3) de Newton (cid:4)a
Maxwell et (cid:4)a Schr!odinger(cid:3) sont des cons(cid:14)equences quasi obligatoires de sym(cid:14)etries sous jacentes
(cid:1)
aux th(cid:14)eories physiques (cid:1) Cependant(cid:3) (cid:4)a quelques exceptions (cid:21)importantes(cid:23) pr(cid:4)es dont je parlerai
dans la suite(cid:3) les sym(cid:14)etries n(cid:20)ont (cid:14)et(cid:14)e d(cid:20)aucune utilit(cid:14)e pratique dans la d(cid:14)ecouverte des lois phy(cid:9)
siques probablement parce que leur maniement (cid:14)etait trop abstrait et (cid:14)eloign(cid:14)e des ph(cid:14)enom(cid:4)enes
(cid:3)
sensibles(cid:1) (cid:1) C(cid:24)a n(cid:20)est donc bien souvent qu(cid:20)apr(cid:4)es coup que l(cid:20)on a pu r(cid:14)einterpr(cid:14)eter les lois phy(cid:9)
siques en question en termes de sym(cid:14)etries et en appr(cid:14)ecier toute l(cid:20)importance(cid:1) De toute fa(cid:24)con(cid:3)
mise (cid:4)a part la gravitation ou(cid:4) l(cid:20)invariance par changement de coordonn(cid:14)ees a e(cid:25)ectivement servi
(cid:1)(cid:1)En fait du m(cid:3)elange de sym(cid:3)etries et de principes fondamentaux de la physique(cid:4) principes quantiques(cid:5)
principe de moindre action(cid:5) causalit(cid:3)e(cid:5) localit(cid:3)e(cid:5) etc(cid:1)(cid:1)(cid:1)On consultera avec pro(cid:6)t (cid:7)a ce sujet Landau et Lifschitz
(cid:8)M(cid:3)ecanique(cid:9) ou(cid:7) il est montr(cid:3)e que le principe fondamental de la dynamique(cid:4) F(cid:2) (cid:10) m(cid:2)a est une cons(cid:3)equence
quasi(cid:11)obligatoirede l(cid:12)invariance galil(cid:3)eenne et du principe de moindre action(cid:2)
(cid:13)(cid:1)Maxwell(cid:5)parexemple(cid:5)avaitunevision(cid:3)epouvantablementm(cid:3)ecanistedel(cid:12)(cid:3)electromagn(cid:3)etisme(cid:5)faitederoues
dent(cid:3)ees et d(cid:12)engrenages(cid:5) rien qui ne ressembla (cid:7)a une quelconque invariance de jauge(cid:5) fondement pourtant
universellement reconnu aujourd(cid:12)hui de l(cid:12)(cid:3)electrodynamique(cid:2) On peut e(cid:14)ectivement montrer que cette th(cid:3)eorie
est une cons(cid:3)equence quasi(cid:11)obligatoire de l(cid:12)invariance de Lorentz et d(cid:12)une sym(cid:3)etrie(cid:5) dite de jauge(cid:5) stipulant
que le quadri(cid:11)potentiel (cid:3)electromagn(cid:3)etique(cid:5) form(cid:3)e du potentiel scalaire et du potentiel vecteur(cid:5) est d(cid:3)e(cid:6)ni a(cid:7) un
quadri(cid:11)gradient pr(cid:7)es(cid:2) C(cid:12)est ce qui impose de faire un choix de jauge(cid:5) Coulomb(cid:5) Lorentz(cid:5) etc(cid:1)(cid:1)(cid:1)lorsqu(cid:12)on veut
fairedescalculs(cid:2)Quant(cid:7)alapertinencephysiquedesth(cid:3)eoriesdejauge(cid:5)elleesttr(cid:7)esfortementreli(cid:3)ee(cid:7)alastructure
quantique des interactions (cid:15)renormalisabilit(cid:3)e(cid:16) entre particules (cid:3)el(cid:3)ementaires(cid:2) En un mot(cid:5) ceci provient du fait
quelesseulesinteractionsquirestentsu(cid:17)sammentfortes(cid:7)a(cid:8)basse(cid:3)energie(cid:9)(cid:5)i(cid:2)e(cid:2)aux(cid:3)energiesexp(cid:3)erimentalement
accessibles(cid:5) pour jouer un r(cid:18)ole sont celles fond(cid:3)ees sur des sym(cid:3)etries de jauge (cid:15)(cid:7)a quelques exceptions pr(cid:7)es(cid:4)
(cid:1)
interaction de Yukawa ou en (cid:3) par exemple(cid:16)(cid:2)
(cid:11) I(cid:5) De l(cid:12)int(cid:4)er(cid:13)et de la notion de sym(cid:4)etrie (cid:28)
de guide (cid:4)a Einstien pour b(cid:26)atir sa th(cid:14)eorie(cid:3) la notion de sym(cid:14)etrie (cid:14)etait en g(cid:14)en(cid:14)eral con(cid:11)n(cid:14)e (cid:4)a un
r(cid:26)ole purement descriptif comme par exemple pour la classi(cid:11)cation des cristaux (cid:21)Pasteur fut
probablement un des premiers (cid:4)a utiliser la notion de structure de la mati(cid:4)ere et de sym(cid:14)etrie
miroir avec les sucres dextrogyres et l(cid:14)evogyres(cid:23)(cid:1)
C(cid:20)est en fait vers le milieu des ann(cid:14)ees cinquante avec Yang et Mills que l(cid:20)on a assist(cid:14)e en
physique des particules (cid:4)a un changement de paradigme lorsque les physiciens de ce domaine ont
compris qu(cid:20)ils pouvaient utiliser les sym(cid:14)etries non plus simplement de mani(cid:4)ere descriptive mais
demani(cid:4)ereconstructivepourb(cid:26)atirdenouvellesth(cid:14)eoriesdeparticuleseninteraction(cid:21)lesth(cid:14)eories
de jauge(cid:23)(cid:1) Pour cette physique(cid:3) la possibilit(cid:14)e o(cid:25)erte par les sym(cid:14)etries de s(cid:14)electionner un jeu en
d(cid:14)e(cid:11)nitive tr(cid:4)es restreint de lois admissibles pour d(cid:14)ecrire les interactions entre particules dans
l(cid:20)ensemble(cid:3) a priori in(cid:11)ni(cid:3) des (cid:14)equations que l(cid:20)on peut imaginer(cid:3) a ramen(cid:14)e en grande partie le
probl(cid:4)eme de la d(cid:14)eterminationdes interactions fondamentales (cid:4)a celui des sym(cid:14)etries sous tendant
(cid:2)
ces interactions (cid:21)mod(cid:4)ele standard des interactions (cid:14)electrofaibles(cid:3) chromodynamique(cid:3) th(cid:14)eories
supersym(cid:14)etriques(cid:3) etc(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:23)(cid:1) On con(cid:24)coit d(cid:4)es lorsl(cid:20)int(cid:14)er(cid:26)et essentiel des sym(cid:14)etries dans ce domaine(cid:1)
Une deuxi(cid:4)eme caract(cid:14)eristique des sym(cid:14)etries(cid:3) (cid:14)egalement tr(cid:4)es importante(cid:3) est l(cid:20)existence de
quantit(cid:4)es conserv(cid:4)ees dans le temps qui leur sont associ(cid:14)ees (cid:21)pour les sym(cid:14)etries continues(cid:3) voir la
suite(cid:23)(cid:1) C(cid:20)est le cas(cid:3) par exemple(cid:3) des sym(cid:14)etries de l(cid:20)espace(cid:9)temps(cid:12) la conservation de l(cid:20)(cid:14)energie
pour un syst(cid:4)eme isol(cid:14)e quelconque est une cons(cid:14)equence de la sym(cid:14)etrie de translation dans le
(cid:4)
temps (cid:21)et non d(cid:20)une propri(cid:14)et(cid:14)e sp(cid:14)eci(cid:11)que du syst(cid:4)eme (cid:23)(cid:3) celle de l(cid:20)impulsion une cons(cid:14)equence
de l(cid:20)invariance par translation dans l(cid:20)espace(cid:3) celle du moment cin(cid:14)etique une cons(cid:14)equence de
(cid:5)
l(cid:20)invariance par rotation (cid:3) etc(cid:1)(cid:1)(cid:1)
Les deux propri(cid:14)et(cid:14)es majeures pr(cid:14)ec(cid:14)edemment (cid:14)enonc(cid:14)ees(cid:3) contraintes sur les lois possibles et
existence de quantit(cid:14)es conserv(cid:14)ees(cid:3) ne sont pas ind(cid:14)ependantes car(cid:3) pour un syst(cid:4)eme donn(cid:14)e(cid:3)
l(cid:20)existence m(cid:26)eme de quantit(cid:14)es conserv(cid:14)ees est une contrainte sur la dynamique de ce syst(cid:4)eme(cid:12)
les trajectoires des mol(cid:14)ecules d(cid:20)un gaz(cid:3) par exemple(cid:3) pour erratiques qu(cid:20)elles soient(cid:3) sont telles
qu(cid:20)a(cid:4)chaque instant(cid:3)l(cid:20)(cid:14)energiedu gazreste inchang(cid:14)ee(cid:1)Ces contraintes peuvent donclogiquement
d(cid:14)eterminer tout ou partie de la dynamique du syst(cid:4)eme(cid:1)
(cid:19)(cid:1)Il ne faudrait pas en d(cid:3)eduire que les mod(cid:7)eles fond(cid:3)es sur des sym(cid:3)etries de jauge sont univoquement
d(cid:3)etermin(cid:3)es par ces sym(cid:3)etries(cid:2) Parmi les param(cid:7)etres non contraints par les sym(cid:3)etries(cid:5) on trouve la force des
interactions(cid:5) le contenu en particules de la th(cid:3)eorie et les masses des particules(cid:5) le sch(cid:3)ema de brisure spontan(cid:3)ee
(cid:15)voir la suite(cid:16)(cid:2) C(cid:12)est (cid:3)evidemment un fantasme de la communaut(cid:3)e d(cid:12)imaginer qu(cid:12)il existe une th(cid:3)eorie (cid:20) LA
th(cid:3)eorie(cid:20) qui n(cid:12)auraitaucun param(cid:7)etrelibreet quiserait enti(cid:7)erementd(cid:3)etermin(cid:3)eeparun principe desym(cid:3)etrie(cid:2)
Cette TOE (cid:15)theory of everything(cid:16)(cid:5) beaucoup ont cru l(cid:12)avoirtrouv(cid:3)ee ces vingt derni(cid:7)eresann(cid:3)ees(cid:1)(cid:1)(cid:1)
(cid:21)(cid:1)Decefait(cid:5) lanotiondesym(cid:3)etrie(cid:5)et soncorollairelesloisdeconservation(cid:5)sontpeut(cid:18)etreles seulsconcepts
qui(cid:8)traversent(cid:9)laphysiqueetseretrouventaussibienenphysiquedesparticulesqu(cid:12)enastronomieetd(cid:12)ailleurs
aussi en biologie ou en chimie(cid:2)
(cid:22)(cid:1)La charge(cid:3)electrique est (cid:3)egalement une quantit(cid:3)e conserv(cid:3)ee associ(cid:3)ee (cid:7)a une sym(cid:3)etrie (cid:23) la sym(cid:3)etrie de jauge
mentionn(cid:3)ee dans la note num(cid:3)ero (cid:13) en bas de page (cid:23) qui(cid:5) elle(cid:5) n(cid:12)a(cid:5) pense t(cid:12)on(cid:5) rien (cid:7)a voir avec la structure de
l(cid:12)espace(cid:11)temps(cid:2)
(cid:11) I(cid:5) De l(cid:12)int(cid:4)er(cid:13)et de la notion de sym(cid:4)etrie (cid:7)
Ces notes de cours (cid:1)et leur suite non encore r(cid:2)edig(cid:2)ees(cid:3) vont raconter comment les sym(cid:2)etries
de l(cid:4)espace(cid:5)temps (cid:1)rotations(cid:6) translations et transformations de Lorentz(cid:3) alli(cid:2)ees (cid:7)a la th(cid:2)eorie
quantique d(cid:2)eterminent enti(cid:7)erement(cid:6) pour les particules libres(cid:6) l(cid:4)ensemble des dynamiques phy(cid:5)
siquement acceptables(cid:1) En fait(cid:3) comme on peut le voir sur la th(cid:14)eorie quantique des champs
libres(cid:3) m(cid:26)eme la notion de particule (cid:14)el(cid:14)ementaire # et d(cid:20)anti(cid:9)particules # n(cid:20)a pas (cid:4)a (cid:26)etre expli(cid:9)
citement introduite(cid:12) elle est une cons(cid:14)equence quasi(cid:9)obligatoire des (cid:14)equations quantiques et
invariantes de Lorentz que nous serons amen(cid:14)es (cid:4)a (cid:14)ecrire(cid:30) Comme nous l(cid:20)avons d(cid:14)ej(cid:4)a mentionn(cid:14)e(cid:3)
cette d(cid:14)emarche constructive s(cid:20)(cid:14)etend ensuite aux th(cid:14)eories quantiques d(cid:14)ecrivant les particules en
(cid:6)
interaction gra(cid:26)ce aux sym(cid:14)etries de jauge (cid:1)
Nous allons donc dans la suite adopter comme point de vue de construire les th(cid:14)eories
quantiques relativistes de Lorentz (cid:10)a partir des sym(cid:4)etries(cid:1) Ce faisant(cid:3) nous trahirons le pro(cid:9)
cessus historique de la d(cid:14)ecouverte puisque nous ne chercherons pas (cid:4)a d(cid:14)ecrire quoi que soit
mais (cid:4)a construire a priori des (cid:14)equations r(cid:14)epondant seulement (cid:4)a des exigences de sym(cid:14)etrie (cid:21)et
aux principes quantiques(cid:23)(cid:1) Evidemment(cid:3) et c(cid:20)est l(cid:4)a la beaut(cid:14)e de la chose(cid:3) ce jeu qui pourrait
para(cid:26)(cid:31)tre st(cid:14)erile(cid:3) ne l(cid:20)est en fait pas car nous nous attaquons (cid:4)a des syst(cid:4)emes simples # au sens
d(cid:20)(cid:14)el(cid:14)ementaires # pour lesquels les sym(cid:14)etries sont su(cid:29)santes pour tout d(cid:14)eterminer(cid:1) Plus expli(cid:9)
(cid:7)
citement(cid:3) nous postulerons que les (cid:14)equations d(cid:20)(cid:14)evolution des champs (cid:21)quantiques on non(cid:23) de
Dirac(cid:3) Maxwell(cid:3) etc(cid:1)(cid:1)(cid:1)d(cid:14)erivent d(cid:20)un principe de moindre action(cid:3) i(cid:1)e(cid:1) sont les (cid:14)equations d(cid:20)Euler
(cid:9) Lagrange de lagrangiens bien choisis(cid:12)
(cid:2)
(cid:4)L (cid:4) (cid:4)L
$ (cid:17) (cid:21)I(cid:9)(cid:6)(cid:23)
(cid:4)(cid:5) (cid:1)(cid:1)(cid:8)(cid:9) (cid:4)x(cid:1) (cid:4)(cid:21)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:4)x(cid:1)(cid:23)
X
avec L$ lagrangien et (cid:5)$ champ(cid:21)s(cid:23) de Dirac(cid:3) Maxwell(cid:3) etc(cid:1)(cid:1)(cid:1)
Le probl(cid:4)eme de trouver toutes les dynamiques possibles est ainsi ramen(cid:14)e (cid:4)a celui de la
d(cid:14)etermination de tous les lagrangiens et de tous les types de champs qui peuvent (cid:26)etre physi(cid:9)
quement pertinents(cid:1) Pour une raison qui sera claire dans la suite(cid:3) les seuls lagrangiens (cid:21)en fait
les actions(cid:23) qui sont susceptibles de conduire (cid:4)a des (cid:14)equations physiquement acceptables sont
ceux qui sont invariants sous les sym(cid:14)etries de la Nature(cid:3) les sym(cid:14)etries de l(cid:20)espace (cid:9) temps en
(cid:24)(cid:1)Exception notable(cid:5) la gravitation qui r(cid:3)esiste toujours (cid:7)a une description quantique(cid:2) L(cid:7)a(cid:5) la solution choisie
par une grande partie de la communaut(cid:3)e est plus radicale(cid:4) abandonner la th(cid:3)eorie des champs au pro(cid:6)t de la
th(cid:3)eorie des cordes qui s(cid:12)av(cid:7)ere (cid:18)etre un peu plus coriace mais qui fera tr(cid:7)es probablement jouer (cid:7)a la notion de
sym(cid:3)etrieun ro(cid:18)lede tout premierplan(cid:2) Il est vraiaussi queles th(cid:3)eoriesdes (cid:15)super(cid:11)(cid:16) cordessesentent (cid:7)aleur aise
essentiellement dans un espace (cid:11) temps de dimension dix(cid:1)(cid:1)(cid:1)
(cid:25)(cid:1)Onpeutjusti(cid:6)erassezsimplementqu(cid:12)ilfautconsid(cid:3)ererdeschampsd(cid:12)op(cid:3)erateursdansledomainequantique
et relativiste de Lorentz car il est tr(cid:7)es di(cid:17)cile d(cid:12)avoir un formalisme explicitement covariant sans utiliser de
champs(cid:2) La di(cid:17)cult(cid:3)e conceptuelle qu(cid:12)il y a (cid:7)a admettre que la bonne math(cid:3)ematisation d(cid:12)objets discrets comme
des particules passepar des objets continus comme les champs se r(cid:3)esout en reconnaissantqu(cid:12)elles apparaissent
dans le spectre des hamiltoniens comme des excitations des champs et non comme les champs eux m(cid:18)emes(cid:2)
(cid:11) I(cid:5) De l(cid:12)int(cid:4)er(cid:13)et de la notion de sym(cid:4)etrie (cid:6)(cid:17)
(cid:10)
tout premier lieu(cid:1) Cette invariance sera notre seul guide (cid:1) Tout notre travail (cid:4)a venir a donc
en d(cid:14)e(cid:11)nitive un seul but(cid:12) construire tous les champs (cid:21)scalaires(cid:3) spinoriels(cid:3) quadri(cid:9)vectoriels(cid:3)
etc(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:23) qui entreront dans nos lagrangiens et tous les invariants fonctions de ces champs qui
seront les lagrangiens eux m(cid:26)emes(cid:1) La dynamique des th(cid:14)eories obtenues et leur interpr(cid:14)etation
(cid:11)
en termes de particules seront des cons(cid:14)equences in(cid:14)evitables des (cid:14)equations d(cid:20)Euler (cid:9) Lagrange
et du spectre des hamiltoniens d(cid:14)eduits de ces lagrangiens(cid:30) Le cas le plus simple(cid:3) celui des
particules libres(cid:3) aura le bon gou(cid:26)t de nous fournir les dynamiques exactes de ces particules et
qui serviront de point de d(cid:14)epart (cid:4)a l(cid:20)(cid:14)etude des particules en interaction(cid:1) Dans ce contexte(cid:3) la
formalisationmath(cid:14)ematique de la notion de sym(cid:14)etrie est un des exemples les plus frappants de
(cid:2)l(cid:20)absurde e(cid:29)cacit(cid:14)e des math(cid:14)ematiques(cid:5) (cid:21)Wigner(cid:23)(cid:1)
Mais avant cela(cid:3) encore un mot g(cid:14)en(cid:14)eral sur la notion de sym(cid:14)etrie(cid:1)
A Brisure spontane´e et brisure explicite de syme´trie
On pourrait a priori s(cid:20)(cid:14)etonner des propos que je tiens pr(cid:14)ec(cid:14)edemment(cid:1) Apr(cid:4)es tout(cid:3) si l(cid:20)exis(cid:9)
tencedesym(cid:14)etries(cid:14)etaitcontraignanteaupointded(cid:14)eterminerpresqueenti(cid:4)erementladynamique
des syst(cid:4)emes(cid:3) cela devrait nous crever les yeux(cid:1) Or (cid:24)ca n(cid:20)est pas le cas(cid:1) Pourquoi n(cid:20)en est il pas
ainsi(cid:22) Il y a (cid:4)a cela de multiples r(cid:14)eponses(cid:1) Je voudrais juste en exposer trois(cid:1)
(cid:6)(cid:23)Toutd(cid:20)abord(cid:3)lesloisdeconservationissuesdesprincipesdesym(cid:14)etrienesontqueglobales(cid:1)
Par exemple(cid:3) seule l(cid:20)(cid:14)energie totale d(cid:20)un syst(cid:4)eme isol(cid:14)e est conserv(cid:14)ee(cid:3) mais il n(cid:20)en va pas de
m(cid:26)eme en g(cid:14)en(cid:14)eral pour chacun de ses sous syst(cid:4)emes(cid:1) Ainsi(cid:3) lorsqu(cid:20)on (cid:14)etudie un syst(cid:4)eme en
interaction avec son environnement(cid:3) il se peut qu(cid:20)aucune quantit(cid:14)e relative au syst(cid:4)eme (cid:21)son
(cid:14)energieinterne(cid:3)sonimpulsion(cid:3)etc(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:23)nesoitconserv(cid:14)ee(cid:1) Ilpeutn(cid:14)eanmoinsexisterdessituations
ou(cid:4) l(cid:20)on parvient (cid:4)a isoler tr(cid:4)es bien un syst(cid:4)eme de son environnement et dans ce cas les lois
habituelles de conservation valent ind(cid:14)ependament pour le syst(cid:4)eme et pour le reste de l(cid:20)univers(cid:1)
Mais la notion de (cid:2)syst(cid:4)eme isol(cid:14)e(cid:5) est en fait relative (cid:4)a une quantit(cid:14)e conserv(cid:14)ee donn(cid:14)ee(cid:1) Ainsi(cid:3)
on sait bien isoler (cid:14)energ(cid:14)etiquement un syst(cid:4)eme en le mettant dans une bo(cid:26)(cid:31)te ayant des parois
adiabatiques(cid:3) mais il est beaucoup plus di(cid:29)cile de le faire pour ce qui est de l(cid:20)impulsion(cid:12) une
fois que l(cid:20)on a mis un gaz dans une bo(cid:26)(cid:31)te pos(cid:14)ee sur une table(cid:3) il peut (cid:14)echanger de l(cid:20)impulsion
(cid:1)(cid:9)
avec un r(cid:14)eservoir (cid:2)in(cid:11)ni(cid:5) # la terre # via les parois de la bo(cid:26)(cid:31)te (cid:1)
(cid:15)(cid:23) Dans les syst(cid:4)emes (cid:4)a grand nombre de corps(cid:3) on sait que m(cid:26)eme un couplage tr(cid:4)es faible
avec l(cid:20)environnement peut bouleverser la dynamique microscopique du syst(cid:4)eme (cid:21)l(cid:20)interaction
gravitationnelle des mol(cid:14)ecules d(cid:20)un gaz avec un (cid:14)electron plac(cid:14)e (cid:4)a l(cid:20)autre bout de la galaxie
(cid:26)(cid:1)A condition de supposer que nous pouvons nous limiter aux th(cid:3)eories quantiques(cid:5) causales(cid:5) lagrangiennes
et locales des champs(cid:2)
(cid:27)(cid:1)Attention au photon(cid:28)
(cid:1)(cid:29)(cid:1)C(cid:12)est pour cela que dans l(cid:12)approche microcanonique de la m(cid:3)ecanique statistique(cid:5) on ne suppose jamais
(cid:6)x(cid:3)ee l(cid:12)impulsion du syst(cid:7)eme(cid:2)
