Table Of ContentGraphen- und Netzwerkop(cid:415) mierung
Chris(cid:415) na Büsing
Graphen- und
Netzwerkop(cid:415) mierung
Autorin:
Christina Büsing
TU Berlin
Fakultät II Mathematik und Naturwissenschaften, Institut für Mathematik
Straße des 17. Juni
10623 Berlin
[email protected]
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Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Sabine Bartels
Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India
Satz: Autorensatz
Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu–Ulm
Titelfotogra(cid:191) e: © tom; Fotolia.com
ISBN 978-3-8274-2422-8
Vorwort
Alle Wege führen nach Rom! Und welcher ist der beste? Was heißt „der beste“
und wie findet mein Navi einen solchen? Diese Fragen bilden nur einen kleinen
Teilaspekt dessen, was in diesem Buch behandelt wird. Andere Fragestellungen
betreffen das Färben von Landkarten, die Analyse von Abwassersystemen oder
die Planung von Massenhochzeiten.
Historisch gesehen begann die Graphentheorie im Jahr 1736, als Leonhard Eu-
ler sein Königsberger Brückenproblem vorstellte: Kann man den wöchentlichen
SonntagsspaziergangdurchdieStadtsoplanen,dassmanjededersiebenBrücken
genaueinmalüberquertundamEndewiederzuHauseankommt(Abb.1,links)?
BeimLösendiesesProblemsschufEulerdieGraphen.Hierbeihandeltessichnicht
etwa um Funktionsgraphen, wie man diese aus der Kurvendiskussion kennt; ein
GraphinunseremSinnbestehtausKnotenundKanten,diedieseKnotenverbin-
den (Abb. 1, rechts). Mit einem solchen Konzept lässt sich das Brückenproblem
in Königsberg und auch in jeder anderen Stadt einfach lösen. Darin besteht auch
heutenocheinReizderGraphentheorie:VieleProblemeausderPraxislassensich
leicht in ihre Sprache übersetzen. Häufig treten schon dadurch die Problemstruk-
tur und die Hauptschwierigkeit deutlich zutage.
Knoten
Alt-Pregel
KKnneeiipphhooff
PPrreeggeell
Neu-Pregel
Kante
Abb. 1: Links sehen Sie Königsberg zu Eulers Zeiten und rechts eine Darstellung als
Graph.
HeutestelltdieGraphentheorieeinesderwichtigstenTeilgebietederDiskretenMa-
thematikdar.IhreAnwendungsfelderwurdenindenletztenJahrzehntenvielfälti-
ger und für die moderne Welt immer entscheidender. Konnten sich Unternehmen
früher noch durch den Erwerb besserer Produktionsmittel voneinander absetzen,
so ist heute die optimale Nutzung der vorhandenen Ausstattung entscheidend.
Eine moderne Fluggesellschaft etwa muss mit den vorhandenen Flugzeugen und
FlughafenzeitenmöglichstvieleFluggästebefördern.DiesesProblemlässtsichbei-
spielsweisemitderGraphentheoriealsspeziellesMulti-Commodity-Flow-Problem
formulieren und optimal lösen. Auch beim Lotsen von Automatic Guided Vehic-
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les durch den Hamburger Hafen kommt die Graphentheoriezum Tragen undhilft
dabei die Schiffe so schnell wie möglich zu entladen.
Welche Fragestellungen beschäftigen einen Mathematiker, wenn er ein Problem
untersucht?AlserstesmussnatürlichdieProblemstellungindieSprachederGra-
phentheorieübersetztwerden.BetrachtetmandasKönigsbergerBrückenproblem,
sobildendieLandmassendieKnotenunddieBrückendieKanten.IndiesemGra-
phen wird anstelle eines Spaziergangs eine so genannte Euler-Tour gesucht, die
jedeKantegenaueinmaldurchläuft.DesWeiterenstelltsichdieFrage,welcheEi-
genschaft ein Graph besitzen muss, damit eine Euler-Tour existiert; und ob man
diese Eigenschaft nutzen kann, um effiziente Algorithmen zu konstruieren, die ei-
nesolcheTourbestimmen.DiesebeidenFragennacheinerCharakterisierungund
einer Lösungsmöglichkeit werden uns bei allen Problemstellungen begegnen. Die
Antwortenfallenjedochsehrunterschiedlichaus.BeimKönigsbergerBrückenpro-
blem können sie positiv beantwortet werden, bei anderen Problemen ist hingegen
sowohl eine Charakterisierung als auch die Konstruktion von Lösungsverfahren
schwierig.EinigeLösungsverfahrensindnurfürkleineProbleminstanzengeeignet,
wohingegenbeigroßenProblemensogareinSupercomputerJahrezurBerechnung
der Lösung benötigen würde.
Aufbau des Buches
Jedes Kapitel dieses Buchs behandelt ein Themengebiet aus der Graphentheorie
bzw. der Netzwerkoptimierung. Den Ausgangspunkt bildet immer ein Problem
aus der Praxis, anhand dessen die graphentheoretischen Begriffe und Definitio-
nen eingeführt werden. An Beispielen und ersten Beobachtungen werden dann
die Charakteristika eines Problems und die gängigen Lösungsverfahren erarbei-
tet. Der Text ist dabei in Definitionen, Sätze, Beispiele und Beweise gegliedert.
Diese Form erlaubt einen schnellen Überblick über die Themen und erleichtert
die Arbeit mit diesem Buch. Eine kurze Einführung in diese Struktur bietet der
Anhang A Satz, Beweis, Definition. Wichtig beim Lesen des Textes ist es, sich
neueBegriffe,AussagenoderAlgorithmenüberBeispielezuverdeutlichenundzu
überprüfen. Deswegen finden Sie im Text immer wieder kleine Aufgaben, die mit
einem Übungssymbol am Rand des Textes gekennzeichnet sind. Einige dieser
FragensindmiteinerNummerversehen.EineLösungbefindetsichdannamEnde
des jeweiligen Kapitels nach dem Aufgabenteil.
Das Buch richtet sich an interessierte Schüler der Oberstufe, Studenten der Ma-
thematikundInformatikimerstenundzweitenSemestersowiePraktiker.Eswird
neben den mathematischen Grundkenntnissen aus der Schule kein weiteres Wis-
sen vorausgesetzt. In dem schon erwähnten Anhang A finden Sie eine Einführung
in die wichtigsten Beweismethoden; gerade die Beweise im ersten Kapitel sind
gut verständlich und lassen sich anhand eines Beispiels leicht nachvollziehen. Die
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grundlegenden Inhalte eines Kapitel können Sie allerdings auch ohne die Beweise
verstehen. Ebenfalls im Anhang enthalten ist ein Kapitel B über die in diesem
(cid:2) (cid:3)
Buch verwendeten Symbole. Falls Ihnen die Zeichen ∈, , , und ∀ unbekannt
sind, sollten Sie einen kurzen Blick in diesen Abschnitt werfen.
Inhalt
Im ersten Kapitel werden grundlegende Begriffe wie Graph, Grad, Weg und Kon-
zepte der Graphentheorie wie der Zusammenhang eingeführt. Außerdem wird die
spezielle Graphenklasse der Bäume untersucht. Das zweite Kapitel handelt von
der Breiten- und Tiefensuche, mit deren Hilfe sich ein gegebener Graph auf sein
Grundgerüst,einenBaum,reduzierenlässt.DieAlgorithmenkönnenebensodafür
Verwendetwerden,einenGegenstandineinemLabyrinthzufinden,einenkürzes-
ten Weg von einem Startknoten bezüglich der Anzahl der Kanten zu berechnen
oder einen Graphen auf Bipartitheit zu überprüfen.
Auch im nächsten Kapitel beschäftigen wir uns mit Bäumen. Dabei werden wir
das Minimal-Spannende-Baum-Problem lösen, d.h. zu einem gegebenen Graphen
mit Kantengewichten einen günstigsten spannenden Baum in diesem Graphen
finden.MitdemAlgorithmusvonPrimoderdemAlgorithmusvonKruskal,kann
ein solcher spannender Baum schnell berechnet werden. Anwendung findet das
Problem beispielsweise bei der Verlegung von Kabeln in einem Server-Raum.
Im vierten Kapitel wenden wir uns dem Reisen zu und behandeln das schon be-
schriebeneKönigsbergerBrückenproblem.NebenderModellierungdurchGraphen
hat Euler schon damals eine einfache Charakterisierung aller Graphen gefunden,
dieeineEuler-Tourenthalten.EinAlgorithmuszurBerechnungeinersolchenTour
wurdeallerdingserstvonHierholzer1873veröffentlicht.AlsAlternativezudiesem
AlgorithmuswirdnochderAlgorithmusvonFleuryvorgestellt.BeideAlgorithmen
können auch dazu verwendet werden einen Euler-Weg zu berechnen.
Nach den Euler-Graphen behandeln wir ein weiteresReise-Problem, bei demeine
Rundreise gesucht ist, die anstelle aller Kanten, alle Knoten genau einmal durch-
läuft. Ein solcher Graph heißt hamiltonsch und schon hier sei vorweggenommen,
dass eine einfache Charakterisierung hamiltonscher Graphen noch nicht bekannt
ist.DerSatzvonDiracbietetlediglicheinehinreichendeBedingungüberdenMi-
nimalgrad eines Graphen. Erweitert man das Problem auf vollständige Graphen
mitKantengewichten,soerhältmandasberühmteTravelling-Salesman-Problem,
für das noch keinen effizienten Algorithmus existiert. Wieso vermutlich auch nie
einer gefunden wird und was genau „effizient“ bedeutet, wird im Abschnitt über
die Komplexitätstheorie erklärt.
Imsechsten Kapitel beschäftigtunsdieFrage,obeinGraphsogezeichnetwerden
kann, dass sich keine Kanten überkreuzen. Solche planaren Graphen haben viele
schöne Eigenschaften und erfüllen vor allem die Euler-Formel, welche einen Zu-
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sammenhangzwischenderAnzahlanKnoten,KantenundFlächeneinesplanaren
Graphenherstellt.DesWeiterenwirddieseKlassedurchdenSatzvonKuratowski
vollständig charakterisiert.
DassiebteKapitel behandeltdasFärbenvonGraphen.Darunterfälltinsbesondere
dasberühmteVier-Farben-Problem,dasdieMathematikerüber100JahreinAtem
hielt.DabeisolltedieVermutungbewiesenwerden,jedeLandkartekönnemitvier
Farben gefärbt werden, ohne dass benachbarte Länder dieselbe Farbe erhalten.
Den Vier-Farben-Satz werden wir nicht beweisen, dafür den etwas schwächeren
Fünf-Farben-Satz.
Imnächsten Kapitel betrachtenwirgerichteteGraphenund erweiternvieleschon
behandelte Problemstellungen auf diese. Im Anschluss (Kapitel 9) beschäftigen
wir uns mit der Berechnung eines kürzesten Wegs zwischen zwei gegebenen Or-
ten.NebeneinemOptimalitätskriteriumlernenwirdenAlgorithmusvonDijkstra
unddenAlgorithmusvonMoore-Bellman-Fordkennen,derauchbeiGraphenmit
negativen Kantengewichten einen kürzesten Weg berechnet.
Kapitel 10 behandelt die Fragestellung, wieviel Wasser in einem Wassersystem
an einer bestimmten Stelle maximal zur Verfügung stehen kann. Dazu entwickeln
wirzuersteinesinnvolleModellierungdergegebenenProblemstellungüber(maxi-
male) Flüsse. Der Algorithmus von Ford-Fulkerson berechnet dazu eine optimale
Lösung, deren Maximalität mit Hilfe des Max-Fluss-Min-Schnitt-Satzes bewiesen
wird.
In Kapitel 11 untersuchen wir das Problem, Güter möglichst kostengünstig in
einemNetzwerkzutransportieren.DazuerweiternwirdieDefinitioneinesFlusses
ausdemvorherigenKapitel,lerneneinneuesOptimalitätskriteriumübernegative
Zykel kennen, und berechnen anschließend einen solchen kostenminimalen Fluss
mit dem Cycle-Canceling- oder dem Successive-Shortest-Path-Algorithmus.
Das letzte Kapitel behandelt das Problem Paare zu bilden, wie es zum Beispiel
beiderZuordnungvonBewerbernzuJobsauftretenkann.FürbipartiteGraphen
beweisen wir hier den Satz von König und den Satz von Hall und lernen dabei
einen Algorithmus zur Berechnung einer maximalen Paarung bzw. eines maxima-
len Matchings kennen.
Literatur
DreiBüchersollenhierkurzvorgestelltwerden,diegutalsweiterführendeLitera-
tur geeignet sind. Das Buch von Douglas West „Introduction to Graph Theory“
wurdealsBegleitbucheinerVorlesungzurGraphentheoriegeschrieben.DasBuch
enthält anschauliche Beispiele und behandelt alle Themen bis auf das der Flüsse
(Kapitel10und11)aufeinemmathematischabstrakteremNiveaualsdieshierin
diesem Buch geschieht. Allerdings wird von dem Leser ein hohes Maß an mathe-
matischem Verständnis vorausgesetzt. Als Ergänzung zu dem Thema der Flüsse
ix
sei das Buch „Network Flows“ von Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti und Ja-
mes Orlin empfohlen. Das letzte Buch „Kombinatorische Optimierung erleben“,
auf das hier verwiesen werden soll, stammt von Stephan Hußmann und Brigitte
Lutz-Westphal.EingroßerSchwerpunktdesBuchesliegtinderdidaktischenAuf-
bereitung der Kombinatorischen Optimierung und seiner Anwendung in Schulen.
DerLeserwirdzumMitarbeitenermutigtundlerntsodieArbeitsweisevonMathe-
matikern – insbesondere auch die vielen Irrwege bis zur Lösungen eines Problems
– kennen.
Das hier vorliegende Buch soll den Leser in die grundlegenden Themengebieten
derGraphentheorieund Netzwerkoptimierungeinführen.AlleSätze,Beweiseund
Algorithmen entsprechen dem Standardwissen in diesem Gebiet und werden hier
mit vielen Beispielen und Anwendungen vorgestellt.
Danksagung
Dieses Buch wäre ohne die Unterstützung meiner Kollegen, Freunde und Familie
nicht entstanden. Die Idee zu diesem Buch entstand bei der Vorbereitung mehre-
rer Kurse für die Deutschen Schülerakademie, die ich mit Georg Hoever gehalten
habe. Bei ihm möchte ich mich für die vielen Anregungen, kritischen Nachfra-
gen und Diskussionen bedanken. Henrik Büsing, Wiebke Höhn, Mareike Massow,
JensSchulzundMadeleineTheilehabenebenfallsmitihrenAnmerkungenzuden
Kapiteln wertvolle Unterstützung geliefert und das Buch um einige Beispiele rei-
cher gemacht. Für den sprachlichen Schliff hat Tobias Kober gesorgt, der sich als
Germanist und Theologe durch die vielen Kapitel gearbeitet hat.
DerAufbaudesBuchesorientiertsichandemvonProfessorMöhringentwickelten
Skript zur Vorlesung Algorithmische Diskrete Mathematik. Für sein Engagement
in der Vorlesung, seine ansteckende Begeisterung für dieses Gebiet und die viele
Zeit, die er mir zur Verfügung gestellt hat, möchte ich mich ganz herzlich bedan-
ken.AbschließendgiltmeinDankFrauBartelsundHerrnRüdingervonSpektrum
Akademischer Verlag für die gute Zusammenarbeit.
Inhaltsverzeichnis
1 Erste Orientierung in der Graphentheorie .................. 1
1.1 Erster Schultag ............................................... 1
1.2 Zusammenhang und Schnitte ................................... 10
1.3 Bäume....................................................... 14
1.4 Aufgaben .................................................... 17
2 Tiefen- und Breitensuche ................................... 21
2.1 Spannende Bäume ............................................ 21
2.2 Wie findet man spannende Bäume? ............................. 24
2.3 Anwendungen von BFS und DFS ............................... 29
2.4 Aufgaben .................................................... 33
3 Das Minimal-Spannende-Baum-Problem ................... 39
3.1 Das Problem und zwei Algorithmen ............................. 39
3.2 Zwei Optimalitätskriterien ..................................... 43
3.3 Aufgaben .................................................... 51
4 Euler-Touren und -Wege ................................... 57
4.1 Das Königsberger Brückenproblem .............................. 57
4.2 Die Algorithmen von Hierholzer und Fleury ...................... 61
4.3 Euler-Wege oder das Haus vom Nikolaus ........................ 65
4.4 Aufgaben .................................................... 68
5 Noch zwei Rundreise-Probleme ............................. 71
5.1 Hamilton und das Icosian-Spiel ................................. 71
5.2 Das Travelling-Salesman-Problem............................... 78
5.3 Komplexitätstheorie........................................... 84
5.4 Aufgaben .................................................... 86
6 Planarität .................................................. 91
6.1 Gas-Wasser-Strom und Planarität............................... 91
6.2 Outerplanare Graphen ........................................ 95
6.3 Die Euler-Formel.............................................. 98
6.4 Die Graphen K , K und Kuratowski .......................... 104
3,3 5
6.5 Aufgaben .................................................... 108
7 Knotenfärbung ............................................. 111
7.1 Die chromatische Zahl ......................................... 111
7.2 Das Vier-Farben-Problem ...................................... 115
7.3 Aufgaben .................................................... 121
8 Gerichtete Graphen und Turniergraphen.................... 125
8.1 Gerichtete Graphen — Digraphen............................... 125
8.2 Starker Zusammenhang ....................................... 128
8.3 Gerichtete Euler-Graphen ..................................... 132
xii Inhaltsverzeichnis
8.4 Hamilton-Wege in Turniergraphen .............................. 134
8.5 Könige in Turniergraphen ...................................... 136
8.6 Aufgaben .................................................... 141
9 Kürzeste Wege ............................................. 145
9.1 Der Kürzeste-Wege-Baum...................................... 145
9.2 Ein Optimalitätskriterium und der Dijkstra-Algorithmus........... 149
9.3 Negative Kosten .............................................. 155
9.4 Aufgaben .................................................... 158
10 Maximale Flüsse............................................ 163
10.1 Flüsse und der Dekompositionssatz von Ford-Fulkerson ............ 163
10.2 Das maximale Fluss-Problem ................................... 169
10.3 Der Max-Fluss-Min-Schnitt-Satz ................................ 176
10.4 Aufgaben .................................................... 181
11 Kostenminimale Flüsse ..................................... 187
11.1 Problemstellung .............................................. 187
11.2 Ein Optimalitätskriterium...................................... 190
11.3 Zwei Algorithmen ............................................. 193
11.4 Aufgaben .................................................... 199
12 Maximale Matchings........................................ 203
12.1 Definition und ein Optimalitätskriterium......................... 203
12.2 Matchings in bipartiten Graphen ............................... 207
12.3 Aufgaben .................................................... 218
13 Lösungshinweise ............................................ 223
A Satz, Beweis, Definition..................................... 247
A.1 Folgerungen und Äquivalenzen.................................. 248
A.2 Negationen................................................... 249
A.3 Beweis durch Widerspruch ..................................... 250
A.4 Vollständige Induktion......................................... 251
A.5 Ringschluss .................................................. 253
B Zeichen und Symbole ....................................... 257
B.1 Aus der Mengentheorie ........................................ 257
B.2 Aus der Arithmetik ........................................... 258
B.3 Zwei Quantoren............................................... 259
Literaturverzeichnis .............................................. 261
Index............................................................. 263
