Geometría y Álgebra Lineal 1, Parte 2 [Lecture notes]

627 Pages·2011·3.219 MB·Spanish

by  Rafael Laguardia

´
Geometr´ıa y Algebra Lineal 1
Parte 2
Instituto de Matem´atica y Estad´ıstica “Prof. Ing. Rafael Laguardia”
Abril de 2005
Oficina de Publicaciones del Centro de Estudiantes de Ingenier´ıa
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Puesta en p´agina: Omar Gil (IMERL - Facultad de Ingenier´ıa)
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Montevideo – Uruguay – 2005
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0.1. Introducci´on
Este texto pretende servir como referencia b´asica para el curso Geometr´ıa
y A´lgebra Lineal 1 (GAL1) que la Facultad de Ingenier´ıa de la Universidad
de la Repu´blica ofrece a sus estudiantes en el primer semestre de sus carreras.
Trabajaremos con la versi´on que ten´es entre tus manos en la edicio´n 2005 de
ese curso.
En esta introduccio´n comentaremos algunas de las razones por las que un
cursocomoGAL1apareceenelcurr´ıculodelaFacultaddeIngenier´ıa;daremos
una descripcio´n general, ligeramente t´ecnica, de los contenidos del curso y el
texto,ycomentaremosalgunosdetallesacercadelaelaboraci´ondeesteu´ltimo.
0.1.1. ¿Por qu´e estudiar Geometr´ıa y A´lgebra Lineal?
Nosgustar´ıacompartircontigoalgunasrazonesquejustificanqueuncurso
como GAL1 aparezca al principio de las carreras de Ingenier´ıa.
Comenzaremos por mencionar la enorme utilidad y aplicabilidad que tiene
el A´lgebra Lineal, que provee la aritm´etica b´asica para tratar problemas en los
queintervienem´asdeunavariable.Est´aenlosfundamentosdelaMatema´tica
contemp´oranea, y en el coraz´on de muchas de sus aplicaciones a nuestra tec-
nolog´ıa.
Algunas aplicaciones del A´lgebra Lineal
Hagamos una lista no exhaustiva y un tanto abigarrada de problemas en
cuya soluci´on el A´lgebra Lineal desempen˜a un papel relevante:
la emplean los buscadores de Internet para ofrecer al usuario una lista
de sitios ordenada de una forma u´til;
analizarc´omosedistribuyenlosesfuerzosencualquierestructurasometi-
daacargas(laestructurareticuladadeunpuente,elfuselajedeunavio´n,
etc´etera);
permiteordenarlainformaci´ondemuchosproblemascombinatoriospara
tratarlos. Por ejemplo, con su ayuda se puede dar una demostraci´on
simple de un criterio para determinar si es posible casar a todas las
mujeres de un pueblo de forma tal que cada una de ellas est´e satisfecha
con el marido que le toc´o;
protegerlaintegridaddenuestrainformaci´oncuandolaalmacenamosen
un disco compacto o la transmitimos por cualquier canal;
i
desplegar un gra´fico sobre la pantalla de una computadora;
nos ayuda a describir c´omo depende el costo de una serie de productos
del costo de cada uno de los insumos necesarios para fabricarlos;
permitedescribirlosmovimientosdelbrazodeunrobotparacontrolarlo
y ponerlo a realizar alguna tarea que nos interese;
provee algunas de las herramientas necesarias para ajustar un conjunto
de observaciones a los modelos teo´ricos disponibles;
trabaja dentro de muchos algoritmos de compresio´n de la informaci´on
quesonimprescindiblesparahacerposibleslascomunicacionesmodernas
(por ejemplo, se despliega ante nuestros ojos cada vez que miramos un
archivo .jpg);
interviene en los procesos de optimizacio´n necesarios para una gestio´n
eficiente;
permite describir el esquema de conexiones en cualquier red de cualquier
naturaleza;
etc´etera, etc´etera, etc´etera, requete-recontra-etc´etera.
Discutiremos algunos de estos ejemplos a lo largo de este curso. Encon-
trara´s otros m´as adelante en tu carrera, o a lo largo de tu vida profesional. En
particular, hemos omitido en la lista aplicaciones relevantes cuya presentaci´on
requerir´ıa explicaciones previas demasiado extensas para esta introduccio´n1.
Estamos seguros de que existen aplicaciones bonitas e interesantes que los
autores de este texto ignoramos, pero que bien podr´ıan formar parte de ´el.
Tambi´en que en el futuro aparecera´n otras que hoy no existen. Es posible
incluso que tu trabajo consista en desarrollarlas.
Por el lugar que ocupa en la ciencia contempora´nea el A´lgebra Lineal
est´a entre los primeros cursos de las carreras cient´ıficas en cualquier lugar del
mundo. En particular, en las carreras de Ingenier´ıa. Te invitamos a hacer una
recorridaporlossitioswebdeotrasinstitucionescient´ıficasycomprobarlopor
t´ı mismo. Si el tema te interesa, tambi´en pod´es buscar informaci´on adicional
sobre el A´lgebra Lineal y sus aplicaciones en las bibliotecas y en Internet.
1Algunasdeellasest´andirectamenterelacionadasconlaposibilidaddeconstruirbuenas
aproximacioneslinealesdefen´omenosnolineales,unasuntoquediscutimosalgunasp´aginas
m´as adelante, en esta misma introducci´on.
ii
Para cerrar estos comentarios citemos un p´arrafo tomado2 de la introduc-
cio´n de [S]: Estoy muy feliz porque la necesidad del A´lgebra Lineal es am-
pliamente reconocida. Es absolutamente tan importante como el ca´lculo. No
cedo nada al respecto, cuando miro co´mo se usa actualmente la matema´tica.
Muchas aplicaciones son hoy discretas ma´s que continuas, digitales ma´s que
analo´gicas, linealizables ma´s que erraticas y cao´ticas. Entonces los vectores y
las matrices son el lenguaje a conocer.
El papel de la Geometr´ıa
En el curso GAL1 tambi´en trataremos temas de Geometr´ıa. Quiza´s no
parezca necesario detenerse a explicar por qu´e se justifica estudiar Geometr´ıa.
Al fin y al cabo, muchos de los problemas que tiene que resolver un ingeniero
est´an ubicados en el espacio, y la Geometr´ıa, rama antigua de la Matema´tica
especializadaenestosmenesteres,lomodelaadecuadamente.Sinembargo,hay
otra razo´n, al menos tan valiosa como la que acabamos de dar, para estudiar
Geometr´ıa: la Geometr´ıa va much´ısimo ma´s alla´ y es muchas ma´s cosas que
una rama de la Matema´tica que describe el espacio f´ısico.
Algunasnocionesgeom´etricasb´asicascomodistancia,a´ngulo,recta,plano,
curva, etc´etera, admiten generalizaciones a contextos muy variados, que prob-
ablemente no imagin´as; con los que casi seguramente ni siquiera son˜aron
Pit´agoras, Euclides, ni los antiguos egipcios preocupados por las crecidas del
Nilo.Apuntamosunodeellos:eltratamientocontemp´oraneodelainformaci´on
(sen˜ales de radio y televisi´on, informaci´on digital) emplea elaborados concep-
tos geom´etricos.
LaMatema´ticacreapermanentemenenuevasgeometr´ıas,paranuevassitua-
ciones.
Esperamos que estos comentarios sean u´tiles para todos los estudiantes,
pero los hacemos teniendo especialmente presentes a los estudiantes de In-
forma´tica, que suelen mostrar menos inter´es por la Geometr´ıa. Quiza´s la di-
fusi´on de la creencia err´onea de que la Geometr´ıa se refiere exclusivamente
al mundo f´ısico, que es distinto del mundo en el que a muchos informa´ticos
les gusta vivir, explique este feno´meno. Enfaticemos entonces que Internet,
las cadenas de bits y los c´odigos criptogra´ficos, por poner algunos ejemplos,
tambi´en tienen su Geometr´ıa. ¡¡¡Ni qu´e hablar de la computaci´on gra´fica!!!
Se trata, adem´as, de una Geometr´ıa que se lleva muy bien con el A´lgebra
Lineal, y es su compan˜era inseparable en el tratamiento de muchos de los
problemas que hemos incluido en nuestra lista de aplicaciones del A´lgebra
2La traducci´on es de los autores.
iii
Lineal.
0.1.2. ¿De qu´e se trata el curso Geometr´ıa y A´lgebra Lineal?
En las pr´oximas secciones daremos una breve descripcio´n del curso GAL1,
con un tono que es casi de divulgaci´on. No esperamos que todo quede claro en
una primera lectura, pero s´ı que el hacerla te estimule a aprender ma´s. Todo
lo que aqu´ı se discute se desarrolla luego en el cuerpo principal del texto.
A´lgebra Lineal
Intentemos una explicacio´n breve. Escojamos, para empezar, entre varias
opcionesposibles,unpuntodevistaquecreemosquepuedeserinteresantepara
un estudiante de Ingenier´ıa: podemos decir que se trata de las matema´ticas
de los feno´menos en que los efectos son proporcionales a las causas. Las in-
tensidades son proporcionales a las ca´ıdas de potenciales, los esfuerzos en una
estructura son proporcionales a las cargas a las que se somete, lo que gasta-
mos en bizcochos es proporcional a la cantidad que comemos. Pero cuando
hay muchas causas y muchos efectos mezclados entonces las relaciones de de-
pendencia se vuelven m´as complejas, y hay que ordenarlas para entenderlas.
Al hacerlo, emerge una estructura algebraica, una estructura absoluta-
mente abstracta que en principio no hace referencia a ninguna aplicaci´on par-
ticular, que ni siquiera las necesita para sostenerse y vivir, pero que permite
tratar infinidad de ellas3.
Esta estructura algebraica es la de los espacios vectoriales de dimensio´n
finita. El A´lgebra Lineal es la rama de la matema´tica que estudia, justamente,
los espacios vectoriales de dimensio´n finita.
¿Qu´e significa esto?
La expresio´n “espacio vectorial” alude a un espacio formado por vectores.
Lapalabra“espacio”hacereferenciaaunconjuntodotadodeciertaestructura.
De modo que estamos hablando de un conjunto de vectores, que tiene adem´as
la estructura de espacio vectorial que mencionamos antes.
¿Qu´e cosas son los vectores?
Enalgu´nsentidoestapreguntaestaesencialmentedesencaminada,fuerade
lugar. Estamos tratando con una estructura algebraica abstracta. Para ella
3Arriesgamosaqu´ıunaopini´on.Creemosqueenestafrasesecondensabuenapartedelas
dificultadesquemuchaspersonastienenparaelaprendizajedelasmatem´aticas:laestructura
abstracta no significa nada, porque jam´as han recorrido un camino que les diera contenido.
Y terminan enfrentadas a una tarea que podr´ıa ser comparada con el intento de aprender
un idioma sin entender el significado de ninguna de sus palabras.
iv
no importa nada la naturaleza de sus elementos. S´olo interesa co´mo
se relacionan entre s´ı. Digamos entonces que los vectores pueden sumarse,
ymultiplicarsepornu´meros,yestasdos operacionessiguen unaseriedereglas
que son las que definen la estructura algebraica de un espacio vectorial.
Un vector es, pues, una nocio´n abstracta. Llamaremos vector a cualquier
elemento de un conjunto dotado de estructura de espacio vectorial, indepen-
dientemente de cua´l sea su naturaleza.
Dados dos vectores X e Y podremos sumarlos para producir un nuevo
vector
X +Y,
o multiplicar uno de ellos, por ejemplo X, por un nu´mero λ para generar el
vector
λX.
Muchos objetos obedecen este esquema. Por ejemplo, los vectores geom´etricos
y las funciones reales. En nuestro cursos trabajaremos mucho con listas de
nu´meros
X = (x ,x ,...,x ), (1)
1 2 n
donde x , x ,..., x , son, por ejemplo, nu´meros racionales o reales.
1 2 n
Los vectores tambi´en pueden ser cosas como clases de equivalencia de cur-
vas que pasan por el mismo punto de un objeto que es una generalizaci´on de
una superficie. Ejemplo un tanto intimidante en una primera aproximaci´on,
peroquesirveparaextenderalasgeometr´ıasnoeuclidianaslanocio´ndeplano
tangente a una superficie . Esta construccio´n es necesaria, por ejemplo, para
formular la Teor´ıa General de la Relatividad.
Los conjuntos formados por los vectores geom´etricos, las funciones reales
y las listas de n nu´meros, tambi´en el espacio tangente a una superficie en uno
cualquiera de sus puntos, son ejemplos de espacios vectoriales. Realizaciones
concretas de la nocio´n abstracta de espacio vectorial.
A´lgebra Lineal y Geometr´ıa
A continuaci´on explicaremos cua´l es la geometr´ıa que vamos a usar ma´s
frecuentemente en este texto. Vale la pena subrayar que no es la u´nica geome-
tr´ıa posible.
Trabajaremos frecuentemente con vectores de la forma (1), listas de n
nu´meros reales. Listas de dos o tres nu´meros representan, respectivamente,
vectores geom´etricos en el plano (de dimensio´n 2) o el espacio (de dimen-
si´on 3), luego de que se escoge un sistema ortogonal de coordenadas. Con-
siderar listas con m´as nu´meros no genera mayores dificultades, la geometr´ıa
v
puede extenderse a espacios de dimensiones muy altas, y conservar all´ı todo
su significado.
Por ejemplo, el procedimiento con el que las ima´genes son codificadas en
la forma de un archivo.jpg requiere una nocio´n de perpendicularidad en un
espacio de dimensio´n 64; el buscador Google ordena datos trabajando en un
espacio que, en principio, tiene una dimensio´n igual a la cantidad de p´aginas
web disponibles en Internet; para describir la vibracio´n de una cuerda de
guitarra analizando el peso de cada una de las frecuencias presentes en el
sonido hace falta un espacio que contiene infinitas direcciones perpendiculares
entre s´ı.
Todas estas extensiones de la geometr´ıa dependen de que las nociones de
distancia y ´angulo pueden introducirse a trav´es de un procedimiento alge-
braico, el producto escalar, o producto interno. Lo que habilita a definirlas
en cualquier espacio vectorial, independientemente de la naturaleza de sus
vectores.
Dimensio´n finita
Resta explicar qu´e significa la expresio´n “dimensi´on finita”. Quiere decir
que cualquier vector del espacio queda perfectamente caracterizado por una
cantidad finita de nu´meros. Por ejemplo, para las listas de nu´meros (1) hacen
faltaexactamenten.Lacantidaddenu´merosqueprecisamosesloquesellama
la dimensio´n del espacio.
Hay otra imagen m´as geom´etrica para expresar el mismo concepto. Un
espacio tiene dimensio´n n si es posible especificar n vectores
X ,X ,...,X ,
1 2 n
de modo que cualquier vector X en el espacio puede reconstruirse de manera
u´nica a partir de esos n usando las dos operaciones disponibles: multiplicando
primero cada X por un nu´mero λ , i = 1,2,...,n, para producir nuevos n
i i
vectores
λ X ,λ X ,...,λ X ,
1 1 2 2 n n
y luego sumando todo de modo que
X = λ X +λ X +...+λ X . (2)
1 1 2 2 n n
En esta sencilla observacio´n reside buena parte de la gracia de la teor´ıa de
los espacios vectoriales. Con s´olo n vectores podemos reconstruir todos los
vectores del espacio, que pueden ser infinitos, o ma´s, muchos ma´s, que n. La
expresio´n de X en la forma (2) es lo que llamamos una combinacio´n lineal de
vi
la familia formada por los vectores X ,X ,...,X . Esta construccio´n es tan
1 2 n
b´asica para la teor´ıa, que podr´ıamos resumir en una u´nica frase la caracter-
izaci´on de los vectores como objetos que pueden sumarse y multiplicarse por
escalares: consideramos vectores a los objetos con los que podemos
hacer combinaciones lineales.
Enlosproblemaspr´acticosladimensio´nsueleaparecercomolacantidadde
variables independientes que podemos manipular o los par´ametros disponibles
para el disen˜o. Tambi´en es una medida del “taman˜o” del espacio vectorial.
0.1.3. Miradas cruzadas
De la geometr´ıa al ´algebra, del ´algebra a la geometr´ıa; de las aplicaciones a
la teor´ıa, de la teor´ıa a las aplicaciones; de un problema pr´actico a su modelo
matema´tico, del modelo a su teor´ıa y al c´alculo, de aqu´ı a interpretar los
resultados en el problema original.
En ese ir y venir, entre distintas maneras de aproximarse a un problema,
entre distintas descripciones en distintos registros, est´a mucho de la capacidad
de usar una teor´ıa cient´ıfica para modelar la realidad y transformarla. En este
curso intentaremos ilustrar, aunque sea modestamente, estas posibilidades.
Compartimos desde ya una de ellas con el lector.
Matrices
Buena parte de nuestro trabajo tendra´ que ver con matrices. Una matriz
es un arreglo de nu´meros en filas y columnas. Por ejemplo
2 1 0 0
3 e π 1
 − 
√2 e2 0 √3
− −
 
es una matriz de nu´meros reales, que tiene 3 filas y 4 columnas. A lo largo
del texto trabajaremos con matrices con un nu´mero arbitrario de filas y de
columnas, cuyas entradas podr´an ser nu´meros de cualquier naturaleza.
Las matrices son un interesante ejemplo de como distintos puntos de vista
pueden enriquecerse y complementarse. Por ejemplo, nuestra primera matriz
podr´ıa provenir de algu´n problema pr´actico, y tener un significado propio en
el contexto de ese problema; pero puede pensarse tambi´en como un conjunto
de doce nu´meros; como una familia ordenada de tres filas de cuatro nu´meros;
como cuatro columnas de tres nu´meros; tambi´en puede considerarse como una
u´nica cosa, que adem´as es un elemento de una estructura algebraica; puede
ser el objeto de trabajo de un algoritmo; o la descripcio´n de una funcio´n de un
vii
espaciodedimensio´n4enunodedimensio´n3.Cadaunadeestasposibilidades
tiene pleno sentido, dentro alguna estructura algebraica y/o geom´etrica.
Matrices y Geometr´ıa
El punto de vista geom´etrico es especialmente rico y fruct´ıfero. Tal co-
moveremos,transformacionesgeom´etricascomorotaciones,simetr´ıas,proyec-
ciones y dilataciones pueden describirse por medio de matrices. Esto es real-
mente notable. Pero m´as notable au´n es que se puede dar la vuelta a esta
observacio´n. Si la geometr´ıa puede guardarse en unas matrices, las matrices y
su accio´n pueden ser reinterpretadas en clave geom´etrica.
Cuando pensamos las cosas de esta manera ganamos un nuevo punto de
vista para analizar distintas situaciones y problemas. Muchos problemas en
que los datos son listas o matrices de nu´meros admitir´an una representaci´on
geom´etrica.Ganaremosas´ıunaimagenclara,enlaquenuestraintuicio´npuede
guiarnos, para entenderlos. Una cosa es pensar en t´erminos de una larga lista
de, digamos, 1.600 nu´meros reales. Y otra es pensar que, por ejemplo, esos
nu´meros est´an ordenados en una matriz de 40 filas y 40 columnas, cuya accio´n
puede ser comprendida como una proyecci´on de un espacio de dimensio´n 40
sobre uno que tiene dimensio´n 3. Tal vez te sorprendas si te anunciamos que
semejante proyecci´on no se comporta muy distinto que la proyecci´on usual
sobre un plano del espacio. Y una vez comprendido este hecho la danza de los
1.600 nu´meros empieza a cobrar sentido. En consecuencia, puede describirse
eficientemente con menos informaci´on. Por ejemplo, con 120 nu´meros. 40 por
cadaunodelos3vectoresnecesariospararecuperartodounespaciodedimen-
si´on 3.
Este es el tipo de relaciones que esperamos ir iluminando y desentran˜ando
a lo largo del texto.
0.1.4. La estructura conceptual del A´lgebra Lineal
Una vez que hemos ilustrado brevemente algunos de los ejes conceptuales
delcursoGAL1estamosprontosparacorregirelexcesodelosprimerosp´arrafos
de esta introduccio´n, en el que se justifica el estudio del A´lgebra Lineal por su
gran cantidad de aplicaciones. Esta visio´n es esencialmente incompleta, insu-
ficiente, y no hace justicia a la disciplina. ¡Ni siquiera a su gran versatilidad y
aplicabilidad!
E´l A´lgebra Lineal constituye una teor´ıa coherente, elegante, rica. Como
dice el autor de [T] al analizar el papel que tiene en la actualidad el A´lge-
bra Lineal: ¡El A´lgebra Lineal es un modelo de lo que una teor´ıa matema´tica
viii