Table Of ContentHubert Frank
Fuzzy Methoden in der Wirtschaftsmathematik
Aus dem Programm _____________ ____.
Mathematik
Fuzzy Methoden in der Wirtschaftsmathematik
von Hubert Frank
Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control
von Jorg Kahlert und Hubert Frank
Fuzzy Control fUr Ingenieue
von Jorg Kahlert
Derivate, Arbitrage und Portfolio-Selection
von Wilfried Hausmann, Karthrin Diener und Joachim Kasler
Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung
von Ralf und Elke Korn
Okonometrie
von Jorg-Uwe Lobus
EinfUhrung in die Finanzmathematik
von Jiirgen Tietze
Obungsbuch zur Finanzmathematik
von Jiirgen Tietze
EinfUhrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik
von Jiirgen Tietze
Obungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik
von Jiirgen Tietze
vieweg _________________
Hubert Frank
Fuzzy Methoden in der
Wirtschaftsmathematik
Eine Einfiihrung
I I
vleweg
Die Deutsche BibJiothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz rur diese Publikation ist bei
Der Deutschen BibJiothek erhaltlich.
Prof. Dr. Hubert Frank
Universitat Dortmund
Fachbereich Mathematik
Vogelpothsweg 87
44227 Dortmund
E-Mail: [email protected]
1. Auflage Juli 2002
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 2002
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Umschlaggestaitung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
ISBN-13: 978-3-528-03195-4 e-ISBN-13: 978-3-322-80232-3
DOl: 10.1 007/978-3-322-80232-3
Vorwort
In der Wirtschaftsmathematik sind zu den bisher bewahrten Methoden, insbesondere
der Stochastik, neue mathematische Methoden hinzugekommen, die eine effiziente und
wirkungsvolle Erg3nzung zum Bisherigen liefem. Dies gilt vor aHem fUr die Methoden
der Fuzzy Technologie, die bereits im Controlling von Maschinen und Fertigungs
prozessen mit gro6em Erfolg eingesetzt werden. In vielen FaIlen sind Wahrschein
lichkeiten Dicht das geeignete Beschreibungsmittel fUr UnsclUirfe und Ungenauigkeit.
Genau diese Liicke rullt die neue Fuzzy Methodik.
Ziel dieses Buches ist es aufzuzeigen, dass die Fuzzy Methoden ein mathematisch kor
rektes und zuverUissiges Werkzeug zur Handhabung von unscharfbeschriebenen Infor
mationen sind, und Anleitungen fUr deren Einsatz in der Wirtschaftsmathematik zu
geben.
Die Stoffauswahl ist so getroffen, dass wichtige Begriffe und Methoden behandelt
werden und kein unnOtiger Balast mit mOglichen Varianten eingebracht wird. FUr die
Vielfalt der AnwendungsmOglichkeiten muss auf die Literatur verwiesen werden. Der
Aspekt, eine mOglichst einfache und dennoch umfassende Entwurfstechnik bereitzu
stellen, ist das Hauptanliegen dieses Buches.
1m I. Kapitel werden zunAchst die Modellierungen von unscharfen Informationen als
Fuzzy Mengen und deren Verkniipfung mit UNO und ODER dargestellt. FUr die
Beschreibung und Weitergabe von unscharfen Informationen ist es wichtig, einen
geeigneten Begriff der AhnIichkeit von Fuzzy Mengen zu benutzen und Aussagen iiber
die Fuzziness im Sinne eines UnsclUirfema6es zu machen. Letzteres erfolgt in Verall
gemeinerung der physikalischen Entropie. Bereits mit diesen einfachen Mitteln kann
man nUichtige mathematische Werkzeuge auf Fuzzy Mengen verallgemeinem wie
Clusteralgorithmen auf Datenmengen, OptimierungslOsungen und auf Regression be
ruhende Prognose. Au6erdem bietet das Konzept der Fuzzy Relation eindrucksvoll
MOglichkeiten fUr Multikriteria-und Gruppen-Entscheidungen an.
Die mathematische Modellierung von umgangssprachlich beschriebenen Problemstel
lungen und Expertensystemen bedarf einer sorgfiiltigen mathematischen Vorbereitung.
Die mathematischen Grundlagen hierzu werden im 2. Kapitel im Sinne einer Verallge
meinerung der mathematischen Aussagenlogik erbracht. Die Untersuchungen auf der
Basis von Fuzzy Wahrheitswerten verdeutIichen, dass fUr ein auf Regeln basiertes
Schlie6en von Fakten auf Foigerungen Dicht jeder in der Mathematik vorfindbare
Operator zur Modellierung herangezogen werden kann. Der zentraIe Knackpunkt ist
der Modus Ponens - die Ersetzungsregel -, die eine "schliissige" Regel auf den Wahr
heitswerten sein muss.
1m 3. Kapitelliegen dann diese Ergebnisse der Herieitung von Entwurfskonzepten fUr
die Modellierung mit Fuzzy Logik zugrunde. Die hergeleitete Entwurfsanieitung ist
fiberzeugend einfach und besteht darin, dass aus drei Operatorenpaaren zunachst ein fUr
die Problemstellung passendes Paar ausgewAhlt wird. Daraus ergibt sich ein soge
nanntes Jnferenzschema, mit dem sowohl die Fuzzy Wahrheitswerte der Aussagen fiber
unscharfe Informationen als auch die ZugeMrigkeitswerte der dazu modellierten Fuzzy
Mengen berechnet werden. Die· Feineinstellung wird dann mittels ordnungserhaltender
Automorphismen des Einheitsintervalls der Fuzzy Wahrheitswerte bewerkstelligt. Diese
einfache Modellierungsanieitung ist ein Novum und bringt Licht in das Dickicht der
veroffentlichten Fallbeispiele. Jetzt konnen damit Spreu und Weizen getrennt werden.
Dieses Buch ist aus Voriesungen an der Universitlit Dortmund entstanden. FUr An
regungen und Korrekturen danke ich vor aIlem meiner ehemaligen Assistentin, Frau
Dr. Petra Neuhaus-Hanisch.
Dortmund im Marz 2002 H. Frank
Inhaltsverzeichnis
1 FUZZY MENGEN UND ENTSCHEIDUNGSSYSTEME ........................... 1
1.1 NAIVE Fuzzy MENGENLEHRE ....................................................................... 3
1.2 OPERATOREN AUF FUZZY MENGEN ............................................................. 15
1.3 Fuzzy ALGEBREN ...................................................................................... 21
1.4 MAnE FOR DIE FuZZINESS ........................................................................... 23
1.5 Fuzzy RELATIONEN ................................................................................... 31
1.6 Fuzzy RELATIONSMATRIZEN ...................................................................... 37
1.7 Fuzzy PARTITIONEN .................................................................................. 55
1.8 Fuzzy ENTSCHEIDUNGSSYSTEME ............................................................... 65
1.9 Fuzzy OPTIMIERUNG ................................................................................. 85
1.10 Fuzzy CLUSTERANALYSE ......................................................................... 109
1.11 Fuzzy LINEARE REGRESSION .................................................................... 131
2 FUZZY LOGIK ......................................................................................... 141
2.1 EINLEITENDE BEMERKUNGEN ................................................................... 143
2.2 ZUR KLASSISCHEN MATHEMATISCHEN LOGIK ............................................ 145
2.3 ALGEBREN FOR Fuzzy WAHRHEITSWERTE ................................................ 157
2.4 Fuzzy AUSSAGENLOGIK ........................................................................... 163
3 FUZZY LINGUISTIK UND EXPERTENSYSTEME •••••••••••••••••••••••••••••• 175
3.1 DAS KONZEPT DER FUZZY LINGUISTISCHEN V ARIABLEN ............................. 177
3.2 Fuzzy LINGUISTISCHE OPERATOREN UND ATTRIBUTE ................................ 187
3.3 DIE SEMANTISCHEREGEL ......................................................................... 195
3.4 Fuzzy LINGUISTISCHES SCHLIEBEN UND INFERENZSCHEMATA .................... 199
3.5 BEISPIELE FOR Fuzzy EXPERTENSYSTEME ................................................. 207
3.6 ERSETZUNGREGEL DER Fuzzy INFERENZ .................................................... 219
LITERA TUR ........................................................................................................ 231
SACHWORTVERZEICHNIS .............................................................................. 239
1 Fuzzy Mengen und
Entscheidungssysteme
1.1 Naive Fuzzy Mengenlehre 3
1.1 Naive Fuzzy Mengenlehre
In der klassischen Mengenlehre ist die Teilmenge einer Menge dadurch wohldefiniert,
dass fur jedes Element der Menge eindeutig gesagt is!, ob es zur Teilmenge gehOrt oder
nicht gehOrt. Man spricht dabei vom Zweiwertigkeitsprinzip der ZugehOrigkeit. Diese
Zweiwertigkeit tritt auch in der mathematischen Logik in der Form "wahr oder falsch"
auf. Die klassische Mengenlehre und die mathematische Logik erweisen sich bei
tiefergehender Betrachtung a1s deckungsgleich.
In Problernstellungen der Praxis ist keineswegs immer mit Sicherheit zu sagen, ob ein
Objekt oder eine Information zu einer betrachteten Teilmenge gehOrt oder nieht gehOrt.
Man denke etwa an die Aussage iiber die Stabilitiit einer wrurrung. Wer kann schon mit
absoluter Sicherheit sagen, dass der EURO gerade stabil oder nicht stabil ist. Fiir die
Problembeschreibung sind Zwischenstufen zwischen "wahr" und "falsch" geeignet.
Dies fordert uns dazu heraus, die klassische Mengenlehre zu relaxieren, indem wir das
ZugehOrigkeitsprinzip relaxieren und ZugehOrigkeitsstufen zwischen "wahr" und
"falsch", oder mathematisch ausgedriickt zwischen Werten 1 und 0 zuzulassen. Hierzu
gehOrt dann a1lerdings auch eine mathematische Logik, die in gleicher Weise relaxiert
ist und dann a1s Mebrwertige Logik bezeichnet wird.
Mit Mehrwertiger Logik hat sieh zunachst der Mathematiker Lukasiewicz in den
zwanziger Jahren befallt. Die Anwendung auf die Verarbeitung unscharfbeschriebener
Informationen erfolgte unabhangig von den Untersuchungen von Lukasiewicz durch
Lotti A. Zadeh 1965, der die "fuzzy set theory" begriindete.
Wir betrachten zunachst das Intervall [3,4]ER der reellen Zahlen zwischen 3 und 4.
Diese Teilmenge der reellen Zahlen ist hart definiert und kann durch eine Funktion auf
R beschrieben werden, die wir cbarakteristiscbe Funktion X nennen.
I fur X E [3,4]
{
X(x) := 0
sonst
O~O--~~2--3~-4--~5--6----X
H. Frank, Fuzzy Methoden in der Wirtschaftsmathematik
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 2002
4 Fuzzy Mengen und Entscheidungssysteme
Es liegt daher der naive Ansatz nahe, eine Menge mit relaxierten ZugehOrigkei°tsw erten
durch eine charakteristische Funktion zu beschreiben, die Werte zwischen und 1
annehmen kann.
1.1.1 Definition
Es sei eine Grundmenge G gegeben. Wir nennen eine Abbildung
f: G ~ [O,IJ
eine Fuzzy Menge in G.
Bemerkung:
Die Abbildung f wird auch aIs ZugehorigkeitsfunktioD der Fuzzy Menge bezeichnet,
die jedem Element xeG den ZugehOrigkeitsgrad f(x) aus dem Intervall [0, IJ zu
ordnet. Wir werden im Folgenden nicht zwischen der ZugehOrigkeitsfunktion und der
dadurch definierten Teilmenge {(x,f(x»I xeG} von GxR sprachlich unterscheiden.
Existiert genau ein Element aeG mit f(a) =1 und gilt fUr aIle xeG\{a} f(x)=O, so hellit
die Fuzzy Menge f auch ein Singleton und wir schreiben kurz {all}. Wir schreiben
eine Fuzzy Menge auf einer endlichen Menge G in VeraIIgemeinerung der Singletons
auch aIs Menge in der Form {f(x)/x I xeG}.
Bemerkung:
1st der ZugehOrigkeitsgrad f(x)=1 fUr ein Element x der Fuzzy Menge f, so liegt der Fail
der klassischen Mengeulehre des Elementseins vor. 1st f(x)=O, so gehOrt das Element
xe G nicht der Fuzzy Menge fan.
1.1.1.1 Beispiel: Die Menge der reellen Zahlen viel grofier als I
Mathematisch wird diese Menge mittles des Symbols» belegt durch
M:= {x I xeR, x»I}
und durch unterschiedliche ZugehOrigkeitsunktionen beschrieben. Drei Beispiele flir
ZugehOrigkeitsfunktionen sind in der untenstehenden Abbildung zu sehen. Allen Funk
tionen ist gemeinsam, dafi die Funktionswerte sich flir gr06e x immer mehr der 1
rUi.hem, aIlerdings unterschiedlich schnell. Das Annahem an die 1 ist eine Sache der
individuellen problemorientierten Betrachtungsweise. Es ist flir aile drei Beispiele die
unten definierte Hohe gleich 1. Sie sind jedoch subnormale Fuzzy Mengen (siehe
Definition 1.1.4).
