數域上的 Fourier 變換與 Hecke 的 Zeta 函數

46 Pages·0.839 MB·Chinese

by  tate

數域上的 Fourier 變換與
∗
Hecke 的 Zeta 函數
J. T. TATE
1 導言 2
失央失 相關的歷史 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 夲
失央夲 本論文 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 夳
失央夳 “先決條件” 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 夳
2 局部理論 4
夲央失 簡介 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 头
夲央夲 加性特征與測度 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 头
夲央夳 乘性特征與測度 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 夷
夲央头 局部ζ−函數；函數方程 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 失夰
夲央夵 對特殊的ζ−函數計算ρ夨c天 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 失夳
3 抽象限制直積 20
夳央失 簡介 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 夲夰
夳央夲 特征 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 夲失
夳央夳 測度 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 夲夳
4 大範圍的理論 25
头央失 加性理論 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 夲夵
头央夲 Riemann-Roch 定理 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 夳夰
头央夳 乘性理論 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 夳夲
头央头 ζ−函數；函數方程 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 夳夷
头央夵 與傳統理論的比較 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 央 头夰
∗這是Tate博士論文（普林斯頓1950年5月）的原版複製品。幾位與會者敦促編輯們把這篇已發表
的論文包括在內。編輯們非常感謝Tate允許他們這樣做，並且感謝他對近期文獻做出的評論。
夲 奊央奔央奔奁奔奅
近期相關文獻的一點述評（1967 年 1 月） 46
参考文献 46
摘要
我們為一個數域相關的賦值向量群和伊代爾群的抽象分析奠定了基礎。這
使得我們可以用伊代爾的相應概念，作為整理想上的一種確定形式的理想
特征，也就是說，一個相當一般的權函數在伊代爾群上的積分乘以一個在
域中元素上平凡的伊代爾特征，來代替ζ−函數的傳統概念。奈奥奣奫奥 的關於
θ−函數的在 n 為空間中的格上給出的複雜的 θ−公式在傳統數論中所扮演
的角色，可以由賦值向量上一般函數的 奐奯奩女女奯奮 求和公式來代替，該公式
在域中元素的一個離散子群上求和。奐奯奩女女奯奮 公式本身就很重要，且由於它
是奒奩奥奭奡奮奮夭奒奯奣奨 定理的數論類比，因此可以一次性給出所有廣義ζ−函數
的解析延拓，並為它們建立一個優美的函數方程。將這些結果轉換回傳統
術語，我們得到了 奈奥奣奫奥 函數方程，並且其中複雜的因子可以理解為來自
於 奁奲奣奨奩奭奥奤奥奡奮 素數和導子的素數的某種局部因子的乘積。將會介紹局部
ζ−函數的定義來給出這些因子的局部定義，並且將會列表計算它們。
1 導言
失央失 相關的歷史
奈奥奣奫奥 第一個證明了任一個代數數域上的奄奥奤奥奫奩奮奤 ζ−函數在整個平面上有
一個解析延拓並且滿足一個簡單的函數方程。不久之後他意識到自己的方
法不僅適用於奄奥奤奥奫奩奮奤ζ−函數和奌夭級數，而且適用於由一種新類型的理想
特征形成的ζ−函數，這種理想特征對主理想不僅取決於模“導子”的數的
剩餘類，還取決於複數域中數的共軛位置。克服了非常複雜的技術問題後，
奈奥奣奫奥 證明了（失夹失夸 和 失夹夲夰 年）這些“奈奥奣奫奥”ζ−函數滿足與 奄奥奤奥奫奩奮奤
ζ−函數相同類型的函數方程，只不過是有更複雜一點的因子。
奃奨奥奶奡奬奬奥她 在失夹头夰 年的工作的主要目的是把分析從類域論中剝離出來，
作為理想群的細化，他引入了伊代爾群的精妙概念。在伊代爾中 奃奨奥奶奡奬夭
奬奥她 不僅僅發現了類域論的最佳逼近，也找到了一般代數數論的逼近。這由
奁奲奴奩奮 和套奨奡奰奬奥女 證明（失夹头夵）。他們定義了賦值向量作為伊代爾的加法對
應，並且用這樣的記號從簡單的公理中導出了代數數論所有的基本陳述。
奁奲奴奩奮 的一個學生 奍奡奴奣奨奥奴奴 第一次提出了想要繼續這一綱領並且在伊
數域上的奆奯奵奲奩奥奲 變換與奈奥奣奫奥 的奚奥奴奡 函數 夳
代爾和向量的意義下做解析數論的意圖（失夹头夶）。她成功的地根據在伊代爾
群上的積分重定義了傳統的ζ−函數，並成功地說明奈奥奣奫奥 特征的確就是可
以從伊代爾特征中導出的理想群的特征。但是在證明函數方程上她仍是按
照奈奥奣奫奥 的辦法。
失央夲 本論文
奁奲奴奩奮 向我提出了一種可能性，通過比 奍奡奴奣奨奥奴奴 已經做的更充分地利用賦
值向量空間和伊代爾空間本身的分析，來推廣ζ−函數概念並簡化它的解析
延拓和函數方程的證明。本論文就是我在他的建議下的工作。我用伊代爾的
相應概念，作為整理想上的一種確定形式的理想特征，也就是說，一個相當
一般的權函數乘以一個在域中元素上平凡的伊代爾特征在伊代爾群上的積
分，來代替ζ−函數的傳統概念。奈奥奣奫奥 的關於θ−函數的在n 維空間中的格
上給出的複雜的θ−公式在傳統數論中所扮演的角色，可以由賦值向量上一
般函數的奐奯奩女女奯奮 求和公式來代替，該公式在域中元素的一個離散子群上求
和。奐奯奩女女奯奮 公式本身就很重要，且由於它是奒奩奥奭奡奮奮夭奒奯奣奨 定理的數論類
比，因此可以一次性給出所有廣義ζ−函數的解析延拓，並為它們建立一個
優美的函數方程。將這些結果轉換回傳統術語，我們得到了 奈奥奣奫奥 函數方
程，並且其中複雜的因子可以理解為來自於 奁奲奣奨奩奭奥奤奥奡奮 素數和導子的素
數的某種局部因子的乘積。將會介紹局部ζ−函數的定義來給出這些因子的
局部定義，並且將會列表計算它們。
對於奁奲奴奩奮 給我的關於這個話題的建議和在我的工作中給我的持續的鼓
勵，我希望向他表示衷心的感謝。
失央夳 “先決條件”
在數論中我們假定的知識只有經典代數數論，以及它和局部理論的關係。並
不需要有賦值向量和伊代爾觀點下的知識，因為，為了引入在伊代爾群和向
量群上的抽象分析，我們需要重定義它們並詳細地討論其結構。
就分析而言，我們只假定一些複變量解析函數的十分基本的事實和定
義。不需要任何經典解析數論的知識。反而，讀者必須知道在一個局部緊
奁奢奥奬 群上抽象奆奯奵奲奩奥奲 積分的基本事實：夨失天 這樣一個群上存在唯一地一個
奈奡奡奲 測度，並且該測度與G 上所有在一個緊集之外取零的連續函數的空間
L夨G天 上的一個正定不變泛函等價。夨夲天 G 與它的特征群 G奞 和 G 的子群與
G奞 的因子群之間的對偶。夨夳天 對函數f ∈ L 夨G天 的奆奯奵奲奩奥奲 變換f奞，再加上，
1
头 奊央奔央奔奁奔奅
如果我們在G奞 選取G 上測度的對偶測度，則可以預期奆奯奵奲奩奥奲 逆變換（在
樸素的意義下）對所有函數成立；也就是說，對使得f奞∈ L 夨G奞天 的f 連續
1
的f ∈L 夨G天。（這類函數我們記做B 夨G天。）對這一理論的很好的論述可以
1 1
參見例如奃奡奲奴奡奮 和奇奯奤奥奭奥奮奴（失夹头夷）。
2 局部理論
夲央失 簡介
在本節之中，k 表示一個代數數域在一個素除子p 處的完備化。因此，如果
p 是奁奲奣奨奩奭奥奤奥奡奮 則k 是實數或者複數域，當p 是離散的時k 為“p− 進”
數域。在後一種情形中k 包含一個有唯一素理想p 的整數環o，以及有Np
個元素的有限剩餘類域o/p。在兩種情形下k 在與素除子p 相關的拓撲下都
是一個完備拓撲域。
在無窮多個屬於p 的k 上的等價賦值1中我們選取標準化的賦值，如下
定義：
|α|夽通常的絕對值，若k 為實數域
|α|夽通常的絕對值的平方，若k 為複數域
|α|夽夨Np天−v，其中v 為α 的階數，若k 為p− 進的
我們知道 k 是局部緊的。可以證明的更為精確的敘述是：任一個子集
B ⊂ k 是相對緊的 夨有緊的閉包天 當且僅當它在絕對值下是有界的。的確，
對於實數或複數域，這對直線或平面的子集是眾所周知的事實；並且在 k
為 p−進的情形我們可以通過使用涉及到剩餘類域有限性的 “奓奣奨奵奢奦奡奣奨夭
女奣奨奬奵女女”用類似的方式證明它。
夲央夲 加性特征與測度
記k+ 表示k 的加法群，這是一個局部緊的交換群，並記ξ 為其中任一個元
素。我們想要確定k+ 的特征群，並且很高興看到該任務已經被如下引理基
本完成了：
引理 2.2.1. 設ξ → X夨ξ天 是k+ 的一個非平凡特征，則對任意η ∈ k+，
ξ → X夨ηξ天 也是一個特征。該對應η ↔ X夨ηξ天 是k+ 和它的對偶群的一個同
構，在拓撲上和代數上都是。
1譯者注：此處所說的賦值都是指乘性賦值。
數域上的奆奯奵奲奩奥奲 變換與奈奥奣奫奥 的奚奥奴奡 函數 夵
證明：夨失天 對任意固定的η 有X夨ηξ天 是一個特征，因為映射ξ (cid:55)→ ηξ 是
k+ 到自身的一個連續同態。
夨夲天X夨夨η 夫η 天ξ天 夽 X夨η ξ 夫η ξ天 夽 X夨η ξ天X夨η ξ天 表明映射η → X夨ηξ天
1 2 1 2 1 2
是k+ 到其特征群的一個代數同態。
夨夳天對所有的ξ 有X夨ηξ天 夽 失 ⇒ ηk+ (cid:54)夽 k+ ⇒ η 夽 夰。因而它是一個代數
同構。
夨头天對所有的η 有X夨ηξ天 夽 失 ⇒ k+ξ (cid:54)夽 k+ ⇒ ξ 夽 夰。因此形如X夨ηξ天 的
特征在特征群中處處稠密。
夨夵天取一個充分大的 M，記所有滿足 |ξ| (cid:54) M 的 ξ ∈ k+ 為（緊）集
B。則：η 在k+ 中趨於夰 ⇒ ηB 在k+ 中趨於夰 ⇒ X夨ηB天 在複平面中趨於
失⇒X夨ηξ天 在特征群中趨向於單位特征。而另一方面，如果一個給定的元素
ξ 滿足 X夨ξ 天 (cid:54)夽 失，則：X夨ηξ天 趨向於單位特征 ⇒ X夨ηB天 在複平面中趨於
0 0
失，比X夨ξ 天 更近⇒ ξ ∈/ ηB ⇒ η 在k+ 中趨於夰。因此對應η ↔ X夨ηξ天 是
0 0
雙連續的。
夨夶天因此形如 X夨ηξ天 的特征構成特征群中的一個局部緊的子群，局部緊
意味著具有完備性，因而是閉的，這再結合夨头天 表明該映射是滿的。
為了固定由上述引理給出的k+ 與其對偶群之間的標識，我們必須選取
一個特殊的非平凡特征。令p 是一個被p 整除的有理素除子，以及R 是有
理數域在p 處的完備化。定義從R 打到實數模一的映射x→λ夨x天 如下：
情形失央p 是奁奲奣奨奩奭奥奤奥奡奮，則R 是實數。
λ夨x天夽−x夨奭奯奤失天
夨注意負號！天
情形夲央p 是離散的，則R 是p−進數構成的域。λ夨x天 由如下性質確定：
夨奡天λ夨x天 是一個有理數並且分母上只有p 的冪次
夨奢天λ夨x天−x 是一個p−進整數
夨為了找出這樣的一個λ夨x天，令pvx 是一個整數，並且選取一個通常的
整數n 使得n≡pvx夨奭奯奤pv天。然後令λ夨x天夽n/pv；λ夨x天 在模一意義
下是顯然是唯一確定的。天
引理 2.2.2. x → λ夨x天 是 R 到實數(模一)的群上的一個非平凡的連續
加性映射。
夶 奊央奔央奔奁奔奅
證明：在情形一中這是平凡的。在情形二中，我們對x夫y 驗證λ夨x天夫
λ夨y天 滿足性質夨奡天 和夨奢天，可得映射是加性的。它在夰 處連續，而非平凡則
是因為這一顯然的性質：λ夨x天夽夰⇔x 是一個p−進整數。
下對 ξ ∈ k+，定義 夃夨ξ天 夽 λ夨S ξ天。回顧 S 是 k 到 R 上的加性
k/R k/R
連續映射，我們看到ξ → e2πiΛ(ξ) 是k+ 上一個非平凡特征。我們已經證明
了：
定理 2.2.1. 如果我們把元素η ∈ k+ 看做特征ξ → e2πiΛ(ξ)，則k+ 自
然是它自己的特征群。
引理 2.2.3. 在p 離散的情形，與η 相關的特征e2πiΛ(ξ) 在o 上平凡當
且僅當η ∈d−1，d 表示k 的絕對差。
證明：
夃夨ηo天夽夰⇔λ夨S 夨ηo天天夽夰⇔S 夨ηo天⊂o ⇔η ∈d−1.
k/R k/R R
下令µ 表示k+ 上的奈奡奡奲 測度。
引理 2.2.4. 如果我們對 α (cid:54)夽 夰 ∈ k 和 k+ 中一個可測集 M 定義
µ 夨M天夽µ夨αM天，則µ 是一個Haar 測度，因而對應地存在一個數ϕ夨α天>
1 1
夰 使得µ 夽ϕ夨α天µ。
1
證明：ξ → αξ 是k+ 上一個自同構，拓撲上和代數上都是。奈奡奡奲 測度
在差一個正常數的意義下是被k+ 的拓撲和代數結構確定的。
引理 2.2.5. 上一個引理中的ϕ夨α天 即為|α|，也就是說我們有µ夨αM天夽
|α|µ夨M天。
證明：如果 k 是實數域，這是顯然的。如果 k 是複數域，這也是顯然
的，因為我們選取的 |α| 是通常絕對值的平方。如果 k 是 p−進的，我們
注意到因為 o 是緊且開的，夰 < µ夨o天 < ∞，所以我們只需比較 o 和 αo
的大小。對一個整數 α，則 αo 在 o 中有 N夨αo天 個陪集，因此 µ夨αo天 夽
夨N夨αo天天−1µ夨o天夽|α|µ夨o天。2對不為整數的α，用α−1 替換α。
現在我們有另一個原因來說明標準化的賦值是最自然的一個。|α| 表示
的是加法群k+ 在變換ξ →αξ 下“伸縮”程度的因子。
對積分而言，上一個引理清楚的表明：
dµ夨αξ天夽|α|dµ夨ξ天；
2這裡的N 和N 均表示理想的範，疑存在印刷錯誤。
數域上的奆奯奵奲奩奥奲 變換與奈奥奣奫奥 的奚奥奴奡 函數 夷
或者更充分地：
(cid:90) (cid:90)
f夨ξ天dµ夨ξ天夽|α| f夨αξ天dµ夨ξ天.
對於一般的奈奡奡奲 測度µ 來說就到此為止了。下面我們對我們的加法群
k+ 選取一個固定的奈奡奡奲 測度。定理夨夲央夲央失天 使得我們能夠以一種不變的方
式做到，在k+ 解釋為該定理建立的它自己的特征群的意義下，通過選擇使
度量是它自身的奆奯奵奲奩奥奲 變換，我們陳述一下如何來選擇度量，將dµ夨ξ天 簡
單地寫成dξ 來代替：
dξ 夽通常實直線上的奌奥奢奥女奧奵奥 測度，當k 是實數時。
dξ 夽通常平面上奌奥奢奥女奧奵奥 測度的兩倍，當k 是複數時。
dξ 夽使得o 的測度是夨Nd天−12，當k 是p−進時。
定理 2.2.2. 如果我們對一個函數 f ∈ L 夨k+天 定義其 Fourier 變換 f奞
1
為：
(cid:90)
f奞夽 f夨ξ天e−2πiΛ(ηξ)dξ，
則結合我們選取的測度，有逆轉公式
(cid:90)
f夨ξ天夽 f奞夨η天e2πiΛ(ξη)dη 夽f奞奞夨−ξ天
對任意f ∈B 夨k+天 成立。
1
證明：我們只需對一個非平凡的函數建立逆轉公式，因為在抽象奆奯奵奲奩奥奲
分析中我們已經知道它是對的了，只可能保留一個常數因子。對 k 是實數
我們取f夨ξ天 夽 e−π|ξ|2，對k 是複數，f夨ξ天 夽 e−2π|ξ|；以及對k 是p−進的，
例如我們可以取o 的特征函數。對於計算的細節，讀者可以參考下文的夲央夶
節3。
夲央夳 乘性特征與測度
我們首先了解到的k 的乘法群k∗ 的結構是由從k∗ 打到正實數的乘法群的
連續同態α → |α| 給出的。這個同態的核，即由所有滿足|α|夽 失 的α 構成
的子群顯然將扮演一個重要的角色。我們將之記為u。u 在任一個情形下都
是緊的，在k 為p−進的情形下，u 也是開的。
關於k∗ 的特征，情況與k+ 是不同的。首先我們關注所有從k∗ 到複數
上的連續乘性映射α → c夨α天，不僅僅是有界的那些，並把這樣一個映射稱
3譯者註：這裡指的是2.5節的計算。
夸 奊央奔央奔奁奔奅
作一個擬特征，保留傳統的絕對值為一的特征中的“特征”一詞。其次，我
們不能找到擬特征群的一個模型，甚至找不到特征群的一個模型，儘管這樣
一個模型是很重要的。
我們稱一個擬特征是非分歧的如果它在 u 上平凡，並且我們先確定非
分歧擬特征。
引理 2.3.1. 一個非分歧的擬特征是形如c夨α天 夽 |α|s ≡ eslog|α| 的映射，
其中 s 是一個複數，如果 p 是 Archimedean，則 s 由 c 確定，而在 p 離散
時，s 只能在模夲πi/奬奯奧Np 下確定。
證明：對任一個s，|α|s 顯然是一個非分歧特征。而另一方面，任一個
非分歧的擬特征只依賴於|α|，並且作為|α| 的函數是k 賦值群上的一個擬
特征。這賦值群根據p 是奁奲奣奨奩奭奥奤奥奡奮 或者離散的，為所有正實數的乘法
群，或者Np 的所有冪次的乘法群；眾所周知這些群的擬特征群都是那樣被
描述的。
如果p是奁奲奣奨奩奭奥奤奥奡奮，一般地我們可以把α∈k∗ 唯一地寫成α夽αρ，
(cid:101)
其中α ∈ u,ρ > 夰。對離散的p，為了書寫方便我們必須選取一個賦值為一
(cid:101)
的元素π，α 夽 αρ，其中α ∈ u，並且這是ρ 是π 的方冪，同樣是唯一的。
(cid:101) (cid:101)
在每種情形下映射α→α 都是k∗ 到u 的連續同態並且在u 上是恆同。
(cid:101)
定理 2.3.1. k∗ 上的擬特征是那些形如α→c夨α天夽c夨α天|α|s，其中c 是
(cid:101) (cid:101) (cid:101)
u 的任一個特征。c 由c 唯一確定。s 按上述引理那樣被確定。
(cid:101)
證明：一個該給定類型的映射顯然是一個擬特征。反之，如果c 是一個
擬特征並且我們定義c 是c 在u 上的限制，則c 是u 上的一個擬特征，因
(cid:101) (cid:101)
而是一個特征，因為 u 是緊的。於是 α → c夨α天/c夨α天 是一個非分歧的擬特
(cid:101) (cid:101)
征，因而根據前一個引理形如|α|s。
k 上擬特征 c 的問題歸結為 u 上特征 c 的問題。如果 k 是實數域，
(cid:101)
u 夽 {失,−失} 並且特征為c夨α天 夽 αn,n 夽 夰,失。如果k 是複數，u 是單位圓，
(cid:101) (cid:101) (cid:101)
並且它的特征為 c夨α天 夽 αn，n 是任一個整數。在 k 是 p−進的情形，u 的
(cid:101) (cid:101) (cid:101)
子群 失夫pv,v > 夰 是 失 在 u 中的一個基本鄰域係。所以對充分大的 v 有
c夨失夫pv天 夽 失。取最小的v（若c 夽 失 則v 夽 夰），我們稱理想f 夽 pv 為c 的
(cid:101) (cid:101) (cid:101)
導子。則c 是有限商群u/夨失夫f天 的一個特征，進而可以被一個有限的表格
(cid:101)
描述。
從定理夨夲央夳央失天 給出的一般擬特征的表達式c夨α天 夽 c夨α天|α|s 中，我們看
(cid:101) (cid:101)
到|c夨α天| 夽 |α|σ，其中σ 夽 奒奥夨s天 由c夨α天 唯一確定。將σ 稱為c 的指數會
比較方便。一個擬特征是特征當且僅當它的指數是夰。
數域上的奆奯奵奲奩奥奲 變換與奈奥奣奫奥 的奚奥奴奡 函數 夹
我們可以通過將k∗ 上的奈奡奡奲 測度奤α 與k+ 上的測度dξ 聯繫起來來
選擇它。如果g夨α天∈L夨k∗天，則g夨ξ天|ξ|−1 ∈L 夨k+−夰天。所以我們可以在定
1
義L夨k∗天 上定義函數
(cid:90)
夈夨g天夽 g夨ξ天|ξ|−1dξ
k+−0
如果 h夨α天 夽 g夨βα天（β ∈ k∗ 固定）是 g夨α天 的一個乘性變換，則通過代換
ξ →β−1ξ 我們可以看到
(cid:90)
夈夨h天夽 g夨βξ天|ξ|−1dξ 夽夈夨g天，
k+−0
dξ → |β|−1dξ 在引理夨夲央夲央夵天 中討論過。因而我們的顯然非平凡並且正定的
函數夈，在變換下也是不變的。因而它必然來自於k∗ 上的一個奈奡奡奲 測度。
記這個測度為奤 α，我們可以寫做
1
(cid:90) (cid:90)
g夨α天奤 α夽 g夨ξ天|ξ|−1dξ.
1
k+−0
顯然，該對應g夨α天↔g夨ξ天|ξ|−1 是L夨k∗天 和L夨k+−夰天 之間的一一對應。把
L 夨k∗天 和L 夨k+−夰天 中的函數看作是這些基本函數的極限，我們得到：
1 1
引理 2.3.2. g夨α天∈L 夨k∗天⇔g夨ξ天|ξ|−1 ∈L 夨k+−夰天，並且對這些函數
1 1
(cid:90) (cid:90)
g夨α天奤 α夽 g夨ξ天|ξ|−1dξ.
1
k+−0
在稍後的運用中，我們將需要一個在廣義情形下使子群 u 測度為 失 的
乘性測度。為了這個效果，我們選取k∗ 的標準奈奡奡奲 測度如下：
dα
奤α夽奤 α夽 , 如果p 是奁奲奣奨奩奭奥奤奥奡奮。
1 |α|
Np Np dα
奤α夽 奤 α夽 , 如果p 是離散的。
Np−失 1 Np−失|α|
引理 2.3.3. 在p 離散的情形，
(cid:90)
奤α夽夨Np天−12.
u
失夰 奊央奔央奔奁奔奅
證明：
(cid:90) (cid:90) (cid:90) Np−失(cid:90)
奤 α夽 |ξ|−1dξ 夽 dξ 夽 dξ
1 Np
u u u o
因而
(cid:90) Np (cid:90) (cid:90)
奤α夽 Np−失 奤1α夽 dξ 夽夨Np天−21.
u u o
夲央头 局部ζ−函數；函數方程
在這一節中f夨ξ天 將表示定義在k+ 上的一個複值函數；f夨α天 為其在k∗ 上的
限制。我們記z 為所有滿足如下兩個性質的函數類：
z 天f夨ξ天 和f奞夨ξ天 連續，∈L 夨k+天；也就是說f夨ξ天∈B 夨k+天
1 1 1
z 天對σ >夰 有f夨α天|α|σ 和f奞夨α天|α|σ ∈L 夨k∗天
2 1
k 上的一個ζ−函數可以被稱作一個函數f ∈ z 的乘性擬奆奯奵奲奩奥奲 變換，
更為確切的陳述如下：
定义 2.4.1. 對應於任一個函數f ∈z，我們關於擬特征c 引入一個函數
ζ夨f,c天，對任意指數大於零的擬特征定義
(cid:90)
ζ夨f,c天夽 f夨α天c夨α天奤α
並且稱這樣的函數為k 上的一個ζ−函數。
我們稱兩個擬特征等價如果它們的商是一個非分歧的擬特征。根據 引
理夨夲央夳央失天，擬特征的一個等價類由所有形如 c夨α天 夽 c 夨α天|α|s 的擬特征給
0
出，其中 c 夨α天 是等價類中一個固定的代表元，s 是複變量。顯然通過引
0
入複參數 s 我們可以把擬特征的等價類看作是一個 奒奩奥奭奡奮奮 曲面。在 p
是 奁奲奣奨奩奭奥奤奥奡奮 的情形下，s 由 c 唯一確定，並且該曲面將會同構於複平
面。在p 是離散的的情形，s 僅在模夲πi/奬奯奧Np 下被確定，所以該曲面在
點的不同由 夲πi/奬奯奧Np 的整數倍區分的意義下同構於一個複平面奻這種類
型的曲面上單週期函數得以真正地定義。把所有擬特征的集合看成是一些
奒奩奥奭奡奮奮 曲面的集合，則在我們討論一個擬特征的函數在一個點或者一個
區域上的正則性或者奇性時，我們的意思變得清楚。我們也將考慮這樣一個
函數的解析延拓問題，雖然這必須要在每個曲面（擬特征等價類）上分別完
成。