Finite Elemente: Theorie, schnelle Loser und Anwendungen in der Elastizitatstheorie, 4. Auflage

373 Pages·2010·1.82 MB·German

by  Dietrich Braess

Braess
FiniteElemente
Dietrich Braess
Finite Elemente
Theorie, schnelle Löser und Anwendungen
in der Elastizitätstheorie
Vierte,überarbeiteteunderweiterteAuflage
Mit63Abbildungen
123
Prof.Dr.DietrichBraess
Ruhr-UniversitätBochum
FakultätfürMathematik
Universitätsstraße150
44780Bochum
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MathematicsSubjectClassification(2000):65N30,65F10,65N22,65N55
ISBN 978-3-540-72449-0 4.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN978-3-540-00122-5 3.Aufl.Springer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork
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Vorwort
FürdiedritteundvierteAuflagewurdedasLehrbuchüberFiniteElementekräftigüberar-
beitet.NebenvielenkleinenÄnderungenzurAbrundungundAktualisierungderTheorie
findensichgrößereÄnderungenvorallemindreiBereichen.
DiegrößtenÄnderungenhatesimKapitelüberFiniteElementeinderStrukturme-
chanik gegeben. Eine Synthese von Ergebnissen der Ingenieurwissenschaften und ma-
thematischenMethodenergabsichbeiPlattenundderBehandlungdesLocking-Effekts.
Letzterer baut in einem neuenAbschnitt auf einer mathematisch präzisen Formulierung
des Locking-Effekts auf. Obwohl seitens der Ingenieure meist nichtkonforme Elemente
implementiert werden, erfolgt dieAnalyse über Nicht-StandardAnwendungen von Sat-
telpunktmethoden,denenzudiesemZweckinKapitelIIImehrRaumgegebenwird.
WegendergestiegenenBedeutungadaptiverMethodenwerdenzweierleiaposteriori
Fehlerschätzer behandelt. Die residualen Schätzer vertreten mehrere äquivalente klassi-
sche Schätzer. Neu ist eine Klasse von Schätzern ohne unbekannte Konstanten, die auf
demVergleichprimalerunddualergemischterMethodenberuhen.Auchdiesunterstreicht
dieAnwendungvonSattelpunktmethodeninBereichen,indenenmanesnichtvonvorn
hereinerwartet.DieshatteauchAuswirkungenaufandereTeiledesBuches.
BeidenMehrgitterverfahrenistdieAnalyseüberdieTeilraumzerlegungsmethoden
schon in der vorigen Auflage hinzugekommen. Sie hat an Aktualität gewonnen, weil
wenigerRegularitäterforderlichistundlokaleVerfeinerungeneinfacheinbezogenwerden
können. Andererseits kann diese Theorie nicht die übliche ersetzen, weil die sonst so
übersichtlicheAufspaltunginGlättungs-undApproximationseigenschaftenentfällt.
DieAufgabenamEndederAbschnittesindvonunterschiedlichemSchwierigkeits-
grad. Ein großer Anteil liefert Varianten der gewonnenen Aussagen, die für den Leser
bei manchen Anwendungen nützlich sind. Aufgaben mit einer witzigen Komponente
mögen dem Leser zeigen, wie sich Aussagen bei unterschiedlichen Gesichtspunkten
verändern können. Lösungen zu den schwierigen Aufgaben findet der Leser im Inter-
net (http://hompage.rub.de/Dietrich.Braess). Dort sollen auch wieder Hinweise auf aus-
gewählteaktuelleLiteraturundeineListestörenderFehlerbereitgestelltwerden.
NatürlichsindindieserAuflagealldiekleinenFehlerbeseitigtworden,diedemAutor
vonzahlreichenLesernmitgeteiltwurden.Allen,diedazubeigetragenhaben,möchteich
andieserStelleherzlichdanken.MeinDankgiltauchdemSpringer-Verlag,derdasBuch
mitdenÄnderungenneuauflegt.
Bochum,imMärz2007 DietrichBraess
vi VorwortzurerstenAuflage
Vorwort zur erstenAuflage
Bei der numerischen Behandlung von elliptischen und parabolischen Differentialglei-
chungenwirdheutesehrvieldieMethodederFinitenElementeeingesetzt.DieMethode
erlaubt wegen ihrer Flexibilität auch die Behandlung schwieriger Probleme, weil sie —
anders als Differenzenverfahren oder Rechnungen mit Finiten Volumen — auf die Va-
riationsformulierung der Differentialgleichung zugeschnitten ist. Die Entwicklung von
Finiten Elementen verlief lange bei Mathematikern und Ingenieuren parallel, ohne daß
dieszunächstwahrgenommenwurde.Endeder60erundAnfangder70erJahreerfolgte
dieEntwicklungdesBegriffsapparatsmiteinerStandardisierung,dieesdannermöglichte,
den Stoff auch den Studenten vorzustellen.Aus einer Reihe vonVorlesungen ist dieses
Buchauchhervorgegangen.
ImGegensatzzuderSituationbeigewöhnlichenDifferentialgleichungengibtesbei
elliptischenpartiellenDifferentialgleichungennichtimmerklassischeLösungenundoft
nur sogenannte schwache Lösungen. Das hat nicht nurAuswirkungen auf die Theorie,
sondernauchaufdienumerischeBehandlung.ZwarexistierenklassischeLösungenun-
ter Regularitätsvoraussetzungen, wegen der mit numerischen Rechnungen verbundenen
Approximation können wir uns jedoch nicht auf einen Rahmen festlegen, in dem nur
klassischeLösungenvorkommen.
FürdieBehandlungelliptischerRandwertaufgabendurchFiniteElementeliefertdie
Variationsrechnung einen passenden Rahmen. Es ist das Ziel von Kapitel II, hier einen
möglichst einfachen Einstieg zu geben. In den Paragraphen 1–3 wird die Existenz von
schwachen Lösungen in Sobolev-Räumen hergeleitet und dargestellt, wie in derVaria-
tionsrechnung die Randbedingungen erfaßt werden. Um dem Leser ein Gefühl für den
UmgangmitderTheoriezuvermitteln,werdeneinigeEigenschaftenderSobolev-Räume
hergeleitet oder wenigstens illustriert. Die Paragraphen 4–8 sind dann den eigentlichen
GrundlagenderFinitenElementegewidmet.DenschwierigstenTeilmachendieAppro-
ximationssätze in §6 aus. Deshalb wird dort vorab der Spezialfall regelmäßiger Gitter
behandelt;aufdiesenFallmögesichderLeserbeimerstenLesenbeschränken.
InKapitelIIIkommenwirzudemTeilderTheoriederFinitenElemente,dertiefer-
liegendeMethodenderFunktionalanalysisbenötigt.Letzterewerdenin§3bereitgestellt.
DerLeserlerntdieberühmteLadyshenskaja-Babuška-Brezzi-Bedingungkennen,diefür
die sachgemäße Behandlung von Problemen der Strömungsmechanik und der gemisch-
tenMethodeninderStrukturmechanikwichtigist.WennmansichohnedieseKenntnisse
aufdengesundenMenschenverstandverläßt,wirdmaninderStrömungsmechanikleider
dazuverleitet,ElementemitinstabilemVerhaltenzubenutzen.
Es war unser Bestreben, möglichst wenig an Kenntnissen in der reellen Analysis
und der Funktionalanalysis vorauszusetzen. Andererseits ist ein gewisses Hintergrund-
wissen nützlich. Darum wird in Kapitel I der Unterschied zwischen den verschiedenen
TypenvonpartiellenDifferentialgleichungenkurzerläutert.WerzumerstenMalemitder
VorwortzurerstenAuflage vii
numerischenLösungelliptischerDifferentialgleichungenkonfrontiertist,empfindetden
ZugangüberdieDifferenzenverfahrenmeistensalsleichter.DieGrenzensiehtmanerst
später.EinesolcheersteBegegnungistmitKapitelIbeabsichtigt,undaufVollständigkeit
derTheoriewirdsobewußtverzichtet.
Die Finite-Element-Methode führt bei feiner werdender Diskretisierung auf große
Gleichungssysteme.BeiderLösungmitdirektenVerfahrensteigtderAufwandwien2an.
IndenletztenzweiJahrzehntenwurdennunmitderMethodederkonjugiertenGradienten
undmitdenMehrgitterverfahrensehreffizienteLöserentwickelt,dieindenKapitelnIV
undVausgiebigvorgestelltwerden.
Ein wichtiger Anwendungsbereich für Finite Elemente ist die Strukturmechanik.
Weil hier Systeme von Differentialgleichungen zu lösen sind, kommt man oft nicht mit
denelementarenMethodenausKap.IIausundmußvonderFreiheitGebrauchmachen,
die einem die tieferliegenden Ergebnisse aus Kap. III ermöglichen. Es waren die ver-
schiedensten Bausteine zusammenzubringen, um eine mathematisch tragfähige Theorie
fürdieBehandlungderProblemeinderlinearenElastizitätstheoriemitFinitenElementen
zuerhalten.
Fast jeder Paragraph endet mit einigen Aufgaben, die nun nicht nur Übungen im
strengen Sinne sind. MancheAufgabe besteht darin, eine Formel oder ein Resultat aus
einemanderenBlickwinkelzubetrachtenoderlieferteinenHinweis,derimTextselber
den Fluß gestört hätte. Bekanntlich kann man bei der Behandlung partieller Differenti-
algleichungen über manche Fallen stolpern, wenn man — sei es auch nur unbewußt —
klassischeLösungenvorAugenhat.DenBlickfürsolcheFallenzuschärfen,istdasZiel
mancherAufgabe.
Das Buch baut auf Vorlesungen auf, die den Studenten im 5.–8. Semester an der
Ruhr-UniversitätinregelmäßigenAbständenangebotenwerden.DieVorlesungenbehan-
delten die Kapitel I und II sowieTeile der Kapitel III undV, während die Methode der
konjugiertenGradienteninandereVorlesungeneingegliedertist.DasKapitelVIentstand
aufgrund vonVerbindungen, die an der Ruhr-Universität zwischen Mathematikern und
Ingenieurenbestehen.
Ein solcher Text kann nur dank der Mithilfe vieler zustande kommen, und an die-
ser Stelle möchte ich insbesondere F.-J. Barthold, C. Blömer, H. Blum, H. Cramer, W.
Hackbusch, A. Kirmse, U. Langer, P. Peisker, E. Stein, R. Verfürt, G. Wittum und B.
Worat für ihre Korrekturen undVerbesserungsvorschläge danken. Frau L. Mischke, die
denTextinTeXgesetzthat,dankeichfürihreunermüdlicheArbeitundHerrnSchwarz
fürseineHilfebeiderBewältigungvonTeX-Problemen.SchließlichgiltmeinDankdem
Springer-VerlagfürdiePublikationdesBuchesunddiestetsangenehmeZusammenarbeit.
Bochum,imHerbst1991 DietrichBraess
Inhaltsverzeichnis
VorwortzurviertenAuflage v
VorwortzurerstenAuflage vi
Bezeichnungen xv
KapitelI
Einführung 1
§1. BeispieleundTypeneinteilung 2
Beispiele 2 — Typeneinteilung 7 — Sachgemäß gestellte Probleme 8 —
Aufgaben10
§2. Maximumprinzip 11
Beispiele12—Folgerungen13—Aufgaben14
§3. Differenzenverfahren 15
Diskretisierung15—DiskretesMaximumprinzip18
§4. EineKonvergenztheoriefürDifferenzenverfahren 21
Konsistenz21—LokalerundglobalerFehler21—GrenzenderKonver-
genztheorie24—Aufgaben25
KapitelII
KonformeFiniteElemente 26
§1. Sobolev-Räume 27
EinführungderSobolev-Räume27—DieFriedrichsscheUngleichung29
—SingularitätenvonH1-Funktionen30—KompakteEinbettungen31—
Aufgaben31
§2. VariationsformulierungelliptischerRandwertaufgaben 33
Variationsformulierung 34 — Reduktion auf homogene Randbedingungen
35—ExistenzvonLösungen37—InhomogeneRandbedingungen40—
Aufgaben41
§3. DieNeumannscheRandwertaufgabe.EinSpursatz 42
ElliptizitätinH142—RandwertAufgabenmitnatürlichenRandbedingun-
gen 43 — Neumannsche Randbedingungen 44 — Gemischte Randbedin-
gungen 45 — Beweis des Spursatzes 45 — Praktische Konsequenzen aus
demSpursatz48—Aufgaben49
§4. Ritz–Galerkin–VerfahrenundeinfacheFiniteElemente 51
Modellproblem54—Aufgaben56
x Inhaltsverzeichnis
§5. EinigegebräuchlicheFiniteElemente 57
Forderungen an die Triangulierung 58 — Bedeutung der Differenzierbar-
keitseigenschaften59—DreieckelementemitvollständigenPolynomen61
— Bemerkung zu C1-Elementen 62 — Bilineare Elemente 64 — Qua-
dratischeViereckelemente 66 —Affine Familien 67 — ZurAuswahl von
Elementen70—Aufgaben70
§6. Approximationssätze 72
DerFragenkreisumdasBramble–Hilbert–Lemma73—Dreieckelemente
mitvollständigenPolynomen74—BilineareViereckelemente78—Inverse
Abschätzungen 79 — Cléments Operator 80 —Anhang: Zur Optimalität
derAbschätzungen82—Aufgaben83
§7. FehlerabschätzungenfürelliptischeProblemezweiterOrdnung 85
BemerkungenzuRegularitätssätzen85—FehlerabschätzungeninderEner-
gienorm 86 — L2-Abschätzungen 87 — Eine einfache L∞-Abschätzung
89—DerL -Projektor90—Aufgaben91
2
§8. RechentechnischeBetrachtungen 92
Das Aufstellen der Steifigkeitsmatrix 92 — Innere Kondensation 94 —
Aufwand für dasAufstellen der Matrix 95 — Rückwirkung auf die Wahl
des Netzes 95 — Teilweise Netzverfeinerungen 95 — Zur Lösung des
Neumann-Problems97—Aufgaben97
KapitelIII
NichtkonformeundandereMethoden 99
§1. AbstrakteHilfssätzeundeineeinfacheRandapproximation 100
Die Lemmas von Strang 100 — Dualitätstechnik 102 — Das Crouzeix–
Raviart–Element103—EineeinfacheApproximationkrummlinigerRänder
106—ModifikationenbeimDualitätsargument108—Aufgaben110
§2. IsoparametrischeElemente 111
Isoparametrische Dreieckelemente 111 — Isoparametrische Viereckele-
mente113—Aufgaben115
§3. WeiterefunktionalanalytischeHilfsmittel 116
Negative Normen 116 — Adjungierte Operatoren 118 — Ein abstrakter
Existenzsatz118—EinabstrakterKonvergenzsatz120—BeweisvonSatz
3.4121—Aufgaben122
§4. Sattelpunktprobleme 123
SattelpunkteundMinima123—Dieinf-sup-Bedingung124—Gemischte
Finite-Element-Methoden 128 — Fortin-Interpolation 129 — Sattelpunkt-
probleme mit Strafterm 131 — TypischeAnwendungen 135 —Aufgaben
136
Inhaltsverzeichnis xi
§5. GemischteMethodenfürdiePoisson-Gleichung 138
Die Poisson-Gleichung als gemischtes Problem 138 — Das Raviart–
Thomas–Element141—InterpolationmitRaviart–Thomas–Elementen142
—ImplementierungundnachträglicheVerbesserung145—Gitterabhängige
NormenfürdasRaviart–Thomas–Element146—DerAufweichungs-Effekt
gemischterMethoden147—Aufgaben149
§6. DieStokesscheGleichung 151
Variationsformulierung152—Dieinf-sup-Bedingung153—Fastinkom-
pressibleStrömungen155—Aufgaben155
§7. FiniteElementefürdasStokes-Problem 156
EininstabilesElement156—DasTaylor–Hood–Element161—DasMINI-
Element162—DasdivergenzfreienichtkonformeP -Element164—Auf-
1
gaben165
§8. AposterioriAbschätzungen 166
Residuale Schätzer 168 — Untere Abschätzungen 170 — Bemerkungen
zuanderenSchätzern173—LokaleGitterverfeinerungenundKonvergenz
173
§9. APosterioriSchätzerüberdualeVariationsprobleme 175
Aufgaben180
KapitelIV
DieMethodederkonjugiertenGradienten 181
§1. KlassischeIterationsverfahrenzurLösunglinearerStationärelineareProzesse 182
—Gesamt-undEinzelschrittverfahren184—DasModellproblem187—
Overrelaxation187—Aufgaben190
§2. Gradientenverfahren 191
DasallgemeineGradientenverfahren191—Gradientenverfahrenundqua-
dratischeFunktionen192—KonvergenzverhaltenbeiMatrizenmitgroßer
Kondition194—Aufgaben195
§3. VerfahrenmitkonjugiertenGradientenundkonjugiertenResiduen 196
DerAlgorithmus198—Analysedescg-VerfahrensalsoptimalesVerfahren
200—VerfahrenderkonjugiertenResiduen202—Indefiniteundunsym-
metrischeMatrizen203—Aufgaben204
§4. Vorkonditionierung 205
VorkonditionierungdurchSSOR208—VorkonditionierungdurchILU209
—BemerkungenzurParallelisierung211—NichtlineareProbleme212—
Aufgaben213
§5. Sattelpunktprobleme 216
Der Uzawa-Algorithmus und seineVarianten 216 — EineAlternative 218
—Aufgaben219