FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau

391 Pages·2015·13.51 MB·German

by  Bernd Klein (auth.)

Bernd Klein
FEM
Grundlagen und Anwendungen
der Finite-Element-Methode im
Maschinen- und Fahrzeugbau
10. Auflage
FEM
Bernd Klein
FEM
Grundlagen und Anwendungen der
Finite-Element-Methode im Maschinen-
und Fahrzeugbau
10., verbesserte Auflage
BerndKlein
Calden,Deutschland
ISBN978-3-658-06053-4 ISBN978-3-658-06054-1(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-06054-1
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;de-
tailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
SpringerVieweg
©SpringerFachmedienWiesbaden1990,1997,1999,2000,2003,2005,2007,2010,2012,2015
DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtaus-
drücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgilt
insbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspei-
cherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen.
DieWiedergabe vonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkbe-
rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder
Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann
benutztwerdendürften.
Lektorat:ThomasZipsner
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier.
Springer ViewegisteineMarkevonSpringerDE.Springer DEistTeilderFachverlagsgruppeSpringer
Science+BusinessMedia
www.springer-vieweg.de
„Man muss gelehrt sein, um Einfaches kompliziert
sagen zu können; und weise, um Kompliziertes
einfachsagenzukönnen.“
(nachCharlesTschopp)
Vorwort zur 1. Auflage
DasBuchgibtdenUmfangmeinerVorlesungüberdieFinite-Elemente-Methodewieder,
dieichseit1987anderUniversitätKasselfürStudentendesMaschinenbaushalte.
Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitteln, sondern auch die
Handhabung der Methode im Ablauf und die Anwendung an einigen typischen Pro-
blemstellungen in der Elastostatik, Elastodynamik und Wärmeleitung zu zeigen. Das
realisierte Konzeptdürftedamit auch fürviele Praktiker (Berechnungsingenieure, CAE-
Konstrukteure und CAD-Systembeauftragte) in der Industrie von Interesse sein, da
sowohl ein Gesamtüberblick gegeben wird als auch die für das Verständnis benötigten
mathematisch-physikalischenZusammenhängedargestelltwerden.
Umdamit auchdirekt umsetzbare Erfahrungenvermitteln zukönnen,stützt sichder
Anwendungsteil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit
1987zurVerfügungsteht.BeiderLösungdermitASKAbearbeitetenBeispielehabenmich
dieMitarbeiterdesBereichesCAEderFirmaIKOSS,Stuttgart,stetsgutberaten.
DieErstellungdesManuskripteshatFrau.M.Winterübernommen,derandieserStelle
ebenfallsherzlichgedanktsei.
Kassel,imSeptember1990 B.Klein
VII
Vorwort zur 10. Auflage
BeidererneutenÜberarbeitungdesBucheshabeichmeinKonzept„Anschaulichkeitvor
Wissenschaftlichkeit“weiterbeibehalten.ImFokushabeichsomitimmerdenLernenden
unddenAnwendergehabt,denenichdenZugangzurFEMsoeinfachwiemöglichmachen
möchte.DiesmachteeinigeVereinfachungenundGlättungenbeiderTheorienotwendig.
BisherhatdieseVorgehensweiseguteAkzeptanzbeimeinerZielgruppe,Studierendedes
Maschinen- und Kraftfahrzeugbaus sowie Industriepraktiker, gefunden, sodass sich das
BuchanFachhochschulenundUniversitätenbehauptenkonnte.Ichwünschemirauchfür
dieZukunft,dassichmeinerZielgruppemitdiesemKonzeptweiterNutzenbietenkann.
AnmeinemManuskripthatHerrDipl.-Ing.M.HochgräfundFrauDipl.-Kffr.Susann
Rostmitgearbeitet,denenhierfürgedanktsei.
CaldenbeiKassel,imOktober2014 B.Klein
IX
Inhaltsverzeichnis
Formelzeichensammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XVII
1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 HistorischerÜberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 GenerelleVorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 AussagesicherheiteinerFE-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Qualitätsstandards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 AnwendungsfelderundSoftware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Problemklassen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 KommerzielleSoftware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 GrundgleichungenderlinearenFinite-Element-Methode . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Matrizenrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 GleichungenderElastostatik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 GrundgleichungenderElastodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 FinitesGrundgleichungssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Variationsprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.2 MethodevonGalerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 DieMatrix-Steifigkeitsmethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 DasKonzeptderFinite-Element-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1 AllgemeineVorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 FE-Programmsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 MathematischeFormulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.1 EbenesStab-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.2 EbenesDrehstab-Element. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.3 EbenesBalken-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 PrinzipiellerVerfahrensablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4.1 Steifigkeitstransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4.2 ÄquivalenteKnotenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
XI
XII Inhaltsverzeichnis
5.4.3 ZusammenbauundRandbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.4 Sonderrandbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4.5 LösungdesGleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4.6 BerechnungderSpannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.7 SystematischeProblembehandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 WahlderAnsatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 ElementkatalogfürelastostatischeProbleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1 3-D-Balken-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2 Scheiben-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2.1 Belastungs-undBeanspruchungszustand . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2.2 Dreieck-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.2.3 Flächenkoordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2.4 ErweiterungendesDreieck-Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2.5 Rechteck-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2.6 KonvergenzBalken-Scheiben-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2.7 Timoshenko-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2.8 Viereck-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2.9 IsoparametrischeElemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2.10 NumerischeIntegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3 Platten-Elemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.3.1 Belastungs-undBeanspruchungszustand . . . . . . . . . . . . . . 140
7.3.2 ProblematikderPlatten-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.3.3 Rechteck-Platten-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.4 Dreieck-Platten-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3.5 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.3.6 SchubverformungamPlattenstreifen . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.3.7 Beulproblematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Schalen-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.5 Volumen-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.6 Kreisring-Element. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8 Kontaktprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.1 Problembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2 EinfacheLösungsmethodefürKontaktprobleme . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.3 LösungzweidimensionalerKontaktprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.3.1 IterativeLösungnichtlinearerProblemeohneKontakt . . . . . 187
8.3.2 IterativeLösungmitKontakt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9 FEM-AnsatzfürdynamischeProbleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.1 VirtuelleArbeitinderDynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.2 Elementmassenmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Inhaltsverzeichnis XIII
9.2.1 3-D-Balken-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.2.2 Endmassenwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.2.3 Dreieck-Scheiben-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.3 Dämpfungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.4 EigenschwingungenungedämpfterSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.4.1 Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.4.2 NumerischeErmittlungderEigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.4.3 StatischeReduktionnachGuyan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.5 FreieSchwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.6 ErzwungeneSchwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9.7 BeliebigeAnregungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.8 LösungderBewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.8.1 DirekteIntegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.8.2 ZentraleDifferenzenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.8.3 StabilitätdeszentralenDifferenzenverfahrens . . . . . . . . . . . 237
10 GrundgleichungendernichtlinearenFinite-Element-Methode . . . . . . . . 241
10.1 LösungsprinzipienfürnichtlineareAufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.2 NichtlinearesElastizitätsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10.3 Plastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.4 GeometrischeNichtlinearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.5 Instabilitätsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11 Wärmeübertragungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.1 PhysikalischeGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.2 DiskretisierteWärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11.3 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
11.4 Thermisch-stationärestrukturmechanischeBerechnung . . . . . . . . . . 267
11.5 Thermisch-transientestrukturmechanischeBerechnung. . . . . . . . . . 269
12 Mehrkörpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12.1 MerkmaleeinesMKS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12.2 KinematikvonMKS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
12.2.1 Drehmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.2.2 EbeneBewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
12.3 KinetikvonMKS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
12.3.1 GrundbeziehungenfürdenstarrenKörper . . . . . . . . . . . . . 279
12.3.2 Newton-Euler-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
12.4 Lagrange’scheMethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
12.5 Mechanismenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285