Table Of ContentETUDES SUR LES
GROUPES ABELIENS
STUDIES ON
ABELIAN GROUPS
B 5 c
ETUDES SUR LES
GROUPES ABELIENS
STUDIES ON
ABELIAN GROUPS
PU BLiEES sous LA DIRECTION DE
B. CHARLES
Professeur CI 10 Faculte des sciences de Montpellier
Colloque sur la Theorie des Groupes abeliens
tenu cl l'Universite de Montpellier en juin 1967
DUNOD SPRINGER-VERLAG
PA R I S BERLIN - HEIDELBERG - NEW YORK
ISBN-13: 978-3-642-46148-4 e-ISBN-I3: 978-3-642-46146-0
DOI: 10.1007/978-3-642-46146-0
© 1968 DUNOD
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1968
Toute reproduction, mame partielle, de cel Quvroge est inter
dite. Une copie Ou reproduction por quelque procede qua ce
soU. photogrophie. microfilm, bande mognellque. disque ou
aulre, conslltue une contrefocon possible des peines prevues
par 10 loi du 11 mors 1957 sur 10 pratecHon des draits d'aulsur.
PREFACr:
Le collo'l.ue sur la theorie des groupes abeliens 'l.ui s' est tenu a ;.lontpellier
du 5 au 10 Juin 19C7, faiso.it suite au collo'l.ue de liew l!exico 1962, dont les actes
ont lOte pUblies dans le livre : Topias in AbeUcm groups (Scot, Foresman and
Company - Chicago 1963), et au collo'l.ue de Tihany 1963, dont les actes ont ete
publies dans le livre: Proaeedings of tlze CoZ'loquium on AbeUan Groups (Akade
miai Kiado - Dudapest 19C4).
On peut, un peu arbitrairement, faire remonter la theorie des croupes
abeliens a 10. demonstration par PrÜfer en 1923 du Theoreme : "Un p-groupe abel; en
denonbrable sans element de hauteur infinie est SOL1llle directe de "roupes cycli
'lues". D' abord 1 'oeuvre de pionniers, 10. theorie des croupes abeliens a con'l.uis
de nombreux adeptes parmi les jeunes chercheurs, surtout depuis la parution des
livres de I. Kaplanski : Infinite AbeUan (ll'OupS (Ann • .tu'bor, the University of
:-lichigan Press, 1954) et de L. Fuchs : AbeUan Graups (Publishine House of the
Hungarian Academy of Science, Budapest, 1958). C'est un fait positif 'lu'elle soit
actuellement une branche de l'alg~bre en plein developpement.
La theorie des groupes abeliens s'occupe essentiellement des pro~lemes de
structure, et c'etait la l'objet du Collo'l.ue de '·!ontpellier, en mettant liaccent
sur les methodes homologi'l.ues et topologi'l.ues. Les methodes homologi'l.ues sont
utilisees systeoo.ti'l.uement depuis une dizaine d'annees, et se sont revelees tres
fructueuses, meme si elles n'ont peut-etre pas repondu a tous les espoirs mis en
elles. Les methodes topologi'l.ues, bien 'l.u , assez anciennes, se sont longtemps
limitees a 10. topologie p-adi'l.ue et a la topologie finie sur les groupes d'homo
morphismes. Depuis 'luel'lues annees de nouvelles topologies ont ete introduites
avec fruit. Bien entendu les autres methodes conservent leur droit : Algcbre
generale, anneau des endomorphismes, groupe des automorphismes, dualite.
Le collo'l.ue de Hontpellier a ete un succes par le nombre et la 'l.ualite de
ses participants. Je tiens a remercier chaleureusement tous ceux 'l.ui ont contri
bue a sa realisation
Le Professeur L. Fuchs sans les encouragements duquel jen' aurai sans doute
pas ase me lancer dans une teIle entreprise.
Les participants du colloque, dont beaucoup sont venus d'Universites loin
taines.
Le :linistere de l'Education Nationale, 10. Faculte des Sciences de lIontpellier,
la Societe :Ieridionale d 'Expansion et de Recherche Scientifique 'et le Centre
Hational de 10. Recherche Scientifi'l.ue pour leur aide finnnciere.
LISTE DES PARTICIPANTS ET DES CONFERENCES
Les conf€rences faites sont indiquees entre parentheses, celles qui sont
publiees dans le present volume etant indiquees par le numero qu'elles ont dans
la table des matieres.
APNAl. R. College Scientifique Universitaire, Perpignan.
BAER R. Hathematisches Seminar der Universität, Frankfurt am l-Iain
([1] et [2]).
BALCERZYK S. Universytetu I-likoloja Kopernika, Torun.
(On some homological properties of abelian groups).
BEAffi,IOllT R. A. University of Washington, Seattle. ([3J).
CHARLES B. Faculte des Sciences , Hontpellier. ([4]).
CORliER A.L.S. Uorcester College, Oxford.
(A class of pure subgroups of the Specker group).
CUTLER D.O. University of California, Davis. ([5]).
FALTDiGS K. 1·lathematisches Seminar der Universität, Frankfurt am Hain.
([6J ).
FUCHS L. University of Hiami, Coral Gables. ([7]).
GRÄBE P.J. 1.lathematisches Seminar der Universität, Frankfurt am Hain.
( [0]).
HADIO F. Washington University, Saint Louis. ([9]).
HAUSElI J. !.Iathematisches Seminar der Uni versit ät, Frankfurt BI!! I!ain.
([10] ).
HEAD T.J. University of Alaska, College.
HILL P. University of Houston, Houston. ([11]).
HULAlIICKI A. Universytetu Mikoloja KOpernika, Torun.
IRwnl J.H. Wayne State University, Detroit. ([12]).
JAIMER 1-1. Faculte des Sciences, Hontpellier.
KOLETTIS G. University of lIotre Dame, Uotre Dame. ([13J).
KY.JIl1KOB JI.A. MOCKOBCKloIH Ylil1ßEPCI1TET
(AJII'EEPAJ1llECHlI KOMfIAK'rHIiE rPYIlIJbI.)
LEFRAlIC 1·1. Faculte des Sciences, Hontpellier.
LIEBERT W. New 1·lexico State University, Las Cruces. ([14]).
llADER A. University of Hawaii, Honolulu. ([15]).
1-lARAIIDA J. Universite de Hontreal. ([16]).
llARTY r.. College Scientifique Universitaire, Perpignan. ([17]).
1·IEG IBBElI C. University of Houston, Houston. ([llJ).
nIlIES R. !lew:!exico State University, Las Cruces. ([18]).
NUtIKE R.J. University of Uashington, Seattle. ([19J).
OPPELT J .A. University of Virginia, Charlottesville.
lW!GASUAlIY K.!l. University of 111inois, Urbana.
(On reGular endomorphisrn rinGs).
REID J. S~'racuse University, 3yracuse.
RICID!1IlI F. Hew ilexico State UniversitJ', Las Cruces. ([21J).
DE ROD:cR';' E. Faculte des Sciences, Ilontpe11ier.
TARHATER D. liestern lIichiban University, Kalanazoo.
1'lALlCER e.p. l,ew :!exico State University, Las Cruces. ([22J).
l:ALKER E.A. ITew 'lexico State University, Las Cruces. ([20J).
\lALLER J.D. Institute for Defense Analyses, Arlington. ([23J).
llARFILLD !l.B. University of Cambridbe, Cambridce.
(llomomorphisn and dual i ty for torsion free croups ).
TABLE DES I~ATIERES
Preface
Liste des participants et des conferences
Table des matieres
[1] BAER R. Kollineationen primaerer Praemoduln 1
[2] BAER R. Dualisierbare I!oduln und Praemoduln 37
[3] BEAtJ:IOllT R.A. Abelian groups Gwhich satisty G :: G EPK for
every direct summand K of G 69
[4J CHARLES B. Sous-groupes fonctoriels et topologies 75
[5J CUTLER D.O. A topology for primary abelian groups 93
[6] FALTINGS K. Automorphismengruppen endlicher abelscher p-gruppen. 101
[7] FUCHS L. Note on purity and algebraic compactness for modules 121
[8] GP.ABE P.J. Der iterierte Ext-Funktor, seine Periodicität und
die dadurch definierten Klassen abelscher Gruppen •• 131
[9J HAIlW F. The Jacobson radieal of seme endomorphism rings 143
[1OJ HAUSEr, J. Autemorphismengesättigte Klassen abzählbarer
abelschen Gruppen •••••••••••••••••••••••••••••••• 147
[llJ HILL P. and ;mGIBBElI C. Direct sums of countable bToups and genera-
lizations •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 183
[12J ImIDI J.J.!. On topologie al methods in abclian groups 207
[13] KOLETTIS G. Homogeneous decomposable modules 223
[14J LIEBERT 11. 'Endemorphism rings of abelian p-groups 239
[15J l·lADER A. Extensions of abelian groups 259
[i6J HARlU.DA J. Sur les proprietes universelles des foncteurs
adjoints ••••••••••••••••••.••••••••••••••••••••.• 267
[17] J.lARTY R. Radieal, soele et relativisation 287
[18] llIUES R. Torsion and cotorsion campletions •••••••••••••••• 301
[19J m.ITUCE R. A note on endanorphism rings of abelian p-groups 305
[20] PARKER L. and WALKER E. An extension of the Ulm-Kolettis theorems 309
[21] RI CID·!AN F. A class of rank-2 torsion free groups 327
[22J RICID·IAI' F., WALKER C. and UALKER E. Projective classes of abelian
{;l"OtIps ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 335
I,ALLER J .D. Generalized torsion complete groups 345
KOLLINEATIOUEU PRmÄRER PRAUlODULN
Von Reinhold BAER
He Zmut HASSE Zt81! 70 Geburtstag gewidmet
Unter einem Praemodul verstehen vir eine abelsche Gruppe A zusammen mit
11.
einem ausgezeichneten Verband von Untergruppen von A, der 0 und A und
Durchschnitte und Summen seiner Teilmengen enthält. Zvei Fragen verden uns hier
interessieren
1) ~lann ist der Praenodul A ,'!, ein llodul ; genauer : \rann gibt es einen
'!\.
Endomorphismenring 6 von Aderart, dass genau die lIenge der 6-zulässigen
Untergruppen von A ist
2) Wann lassen sich Kollineationen von A durch Isomorphismen von A indu
zieren ?
Beide Fragen lassen sich als Verallgemeinerungen von Fragen auffassen, die
im Bereich der Vektorräume über r.örpern als Grundprobleme auftreten und ihre Beant
vortung in den Fundamentalsätzen der projektiven Geo",etrie finden. In Trans AllS 52,
283-343, (19112) haben "ir diese Sätze vesentlich verallgemeinert siehe besonders
p. 303. In der vorliegenden Untersuchung verden diese Sätze eine veitgehende Verall-
gemeinerung finden, die man etva als den Obergang von p-Gruppen, die ja lIoduln
über p-adischen Zahlen sind, zu beliebigen Hoduln über den p-adischen Zahlen umrei
ßen kann.
Die Frage 1 findet ihre Antvort in Satz 5.1 und die Frage 2 in Satz 6.1. Diese
beiden Sätze sind im vesentlichen - und dies schein~ uns bemerkensvert - Spezial
fälle eines umfassenden Existenzsatzes (§ 4).
Im §-2 finden sich Vorbereitungen mehr technischer Natur, vährend im § 3 die
mit einer Kollineation verträglichen Homomorphismen untersucht verden. Satz 3.6
dorfte unabhängiges Interesse besitzen.
§ 1. DIE KATEGORIE DER P~~ODULN.
H,n
Wie schon in der Einleitung ervähnt, ist ein Praemodul ein Paar mit
folgenden Eigenschaften :
Es ist I-I eine abelsche Gruppe die Komposition ihrer Elemente heiße
Addition: a+b
Es ist Jlt eine :Ienge von Uiltergruppen von I-I, die 0 und H und mit
irgendeiner Teilmenge ihren Durchschnitt und ihre Summe enthält.
Den Praemodul 1I ,:JlL verden vir oft auch kurz mit l~ bezeichnen. Ist T
2 R. BAER
irgendeine Teilmenge von H, so gibt es T enthaltende Untergruppen in )It [wie
etwa M selbst] und der Durchschnitt T lIt all dieser T enthaltenden Untergrup
pen aus l'It gehört auch zu lt: Dies ist die von Taufgespannte 'JrJ,-UntergI"Uppe
T:Jt • Ist insbesondere t irgendein Element aus M, so nennen rir t1lt die von
t eraeugte aykUsahe Jt-Untergruppe von M.
DER RING DER SKALARE. Ein Skalar des Praemoduls M ist ein Endomorphismus a
der abelschen Gruppe t!" mit Xo ~ X für jedes X aus JIL. Natürlich ist der
Endomorphismus a von I! dann und nur dann ein Skalar des Praemoduls H, wenn
XO' für jedes x aus M zu xllt gehört.
!~an Überzeugt sich mÜhelos davon, daß die ~!enge der Skalare des Praemoduls 1I ein
Ring 11" 11(~I) .. 6(H,lIt) von Endomorphismen der abelschen Gruppe Mist.
Natürlich sind alle Untergruppen aus 1It auch l1-zulässige Untergruppen von
:1 • Weiter gilt das
LU!!·\A 1.1. Die foZgenden Eigensahaften des Pl'aemoduZs /.I.llt sind liquivaZent :
(a) Es gibt eine 1.lenge h von Operatoren auf M derart. daß llt die Menge der
h-auUwsigen Untergruppen von l-I ist.
:m
(b) ist die /.lenge der l1-zuZä8sigen Untergruppen von 11.
(c) xllt .. xI1 für jedes x aus 11.
Der einfache Beweis dieses Lemma sei dem Leser überlassen. Dieses Lemma
liefert eine triviale Charakterisierung der l-Ioduln unter den Praemoduln. - Daß es
Praemoduln gibt, die keine Hoduln sind, sich nicht als Hoduln auffassen lassen,
zeigt die folgende Bemerkung : Ist H, JIt ein Praemodul, der sich als Hodul
auffassen lässt, so enth!lt J[ sicherlich alle vollinvarianten Untergruppen von
M • Es ist aber sehr einfach, Beispiele von Praemoduln zu bilden, die dieser ein
fachsten Bedingung nicht genügen.
SUB - UND FAKTOR-PRAlllODUL1'l. Ist H.1l't ein. Praemodul, ist weiter Seine
Untergruppe aus lIL , so sei JIt S die I~enge der in S enthaltenen Untergruppen
aus 1It • Das Paar S, lIts ist ebenfalls ein Praemodul : der Subpraemodul S
von H. - Entsprechend sei llt HIS die Henge der Untergruppen von HIs , die die
Form xIS mit S ~ X und X aus 1It haben. Wieder ist HIs, 1II.M/S ein
l'raemodul : der Faktorpraemodul HIs von 11.
Wenn keine Gefabr einer Verwechslung besteht, werden wir statt .'JItS und
1lt lIt
M/S kurz sagen. - Weiter vollen wir die Faktorpraemoduln der Unter
praemoduln des Praemoduls I1 auch kurz als die Faktoren des Praemoduls H
bezeichnen.
DIE ~!ORPIIISlOOI DER PRAl!llODUIJI. Sind H,:rrt und N,~ zwei Praemoduln, so
Ro U inerrtiolien primärer praemodu ln 3
sei unter einem HOr.1omorphismus 0 des Prael'lOduls 11 in den Praemodul N folgendes
verstanden :
a) 0 ist eine eindeutige und additive Abbildung der abelschen Gruppe I1 in
die abcIsche Gruppe 11 •
b) Xa gehört zu ~ für jedes X aus JR.
c) Die !~enge yo-l aller s aus !! mit so in y gehört zu Jlt für jedes
y aus.:Jlt •
Insbesondere gehört also das Bild !1a zu ~ und der Kern 00-1 zu 1lt •
Ist l!o = II , so heißt 0 ein Epimorphismus ; ist 00-1 = 0 , so heißt 0 ein
!!onomorpbismus. Schließlich ist 0 ein Isomorphismus, wenn 0 gleichzeitig ein Epi
und ein llonomorphismus ist. Vorsilben vie Auto - und Endo - werden in üblicher
Heise benutzt.
Ist !!, 1It ein Praemodul, so ist lt ein modularer Verband, der durch das
Vorhandensein der zyklischen Subpraemoduln eine etwas spezielle lTatur hat. Die in
den sog. Isor.1orphiesätzen auftretenden kanonischen Isomorphismen erweisen sich als
Praemodulisomorphismen, so daß diese Isomorphiesätze auch in der Praemodultheorie
angewandt werden können.
:m.
lJNABHMIGIGKEIT. Die Teilmenge '\J' von ist unabhängig, wenn
X n Y~XY = 0 für jedes X aus ~
llt
gilt, und die Teilmenge von ~I heißt unabhängig, wenn die Menge der um mit
u in $1.. unabhängig ist. natürlich ist eine Teilmenge .i} von llt [bzw. von MJ
dann und nur dann unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge von ~ unabhängig ist.
§ 2. PRmÄP.E PRAE!!ODULN.
Von den mögliche~, verschieden scharfen Definitionen eines primären Praemoduls
scheint die folgende unseren Zwecken angemessen zu sein, die auf dem Begriff des
W -Praemoduls beruht, der durch die folgende Eigenschaft:w definiert wird :
w: Jede nicht leere Teilmenge von 1It _enthält eine und nur eine maximale
Untergruppe.
In diesem Falle ist also ']R durch Enthaltensein invers wohlgeordnet. Der
invertierte Ordnungst~1? der von 0 ve~schiedenen Untergruppen in Jt ist eine
endliche oder unendliche Ordinalzahl, die wir mit e(H) bezeichnen. Dann ist also
e(O) = 0 ; ist weiter I-I die Additionsgruppe der ganzen p-adischen Zahlen und 1It
=
die 'lenge der Ideale, so ist e(M) w ; ist schließlich 11 eine zyklische Gruppe
von Primzahlpotenzordnung pn und 1It die !Ienge aller Untergruppen von Il, so ist
e(!!) = n • Dieses letzte Beispiel möge als Begründung dafür angesehen werden, daß
wir e(r!) als Exponenten des'Jl1-I'raemoduls I-I bezeichnen. - l-lir bemerken noch,
