Étude et implantation de quelques algorithmes en algèbre différentielle

124 Pages·2017·1.28 MB·French

by  François Boulier

Étude et implantation de quelques algorithmes en
algèbre différentielle
François Boulier
To cite this version:
FrançoisBoulier. Étudeetimplantationdequelquesalgorithmesenalgèbredifférentielle. Modélisation
et simulation. Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 1994. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-
00137866￿
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(cid:14)
N d'ordre : 1289
L L
IF Laboratoire d’Informatique
Fondamentale de Lille
(cid:18)
THESE
pr(cid:19)esent(cid:19)ee (cid:18)a
(cid:19)
L'UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE
pour obtenir le titre de
DOCTEUR en INFORMATIQUE
par
Franc(cid:24)ois Boulier
(cid:19)
Etude et implantation de
quelques algorithmes en alg(cid:18)ebre
di(cid:11)(cid:19)erentielle
Th(cid:18)ese soutenue le 27 juin 1994 devant la commission d'examen
Membres du jury : MM. M. Latteux Pr(cid:19)esident
M. Giusti Rapporteur
D. Lazard Rapporteur
G. Carra(cid:18){Ferro Examinateur
A. Galligo Examinateur
F. Ollivier Examinateur
S. Diop Examinateur
R. Bkouche Examinateur
M. Petitot Examinateur
G. Jacob Examinateur
Remerciements
L'(cid:19)equipe de Calcul Formel forme un groupe actif au sein du LIFL. Ce dynamisme
est bien su^r du^ (cid:18)a la personnalit(cid:19)e de ses membres mais aussi, je pense, a(cid:18) ses th(cid:18)emes de
recherche qui plongent leurs racines dans trois disciplines: informatique, automatique
et math(cid:19)ematiques. Cette pluridisciplinarit(cid:19)e rend les th(cid:18)eses de calcul formel di(cid:14)ciles
aux (cid:19)etudiants en informatique qui les abordent et qui n'y sont pas toujours pr(cid:19)epar(cid:19)es
mais elle les rend du m^eme coup tr(cid:18)es int(cid:19)eressantes, parce que li(cid:19)ees (cid:18)a des probl(cid:18)emes
physiques r(cid:19)eels et (cid:18)a des th(cid:19)eories math(cid:19)ematiques qui ont une histoire. Je suis heureux
que cette th(cid:18)ese, dont la derni(cid:18)ere ann(cid:19)ee a exig(cid:19)e de moi une v(cid:19)eritable apn(cid:19)ee, ait (cid:19)et(cid:19)e
consacr(cid:19)ee a(cid:18) l'(cid:19)etude d'un tel sujet.
Mes premiers remerciements iront donc (cid:18)a G(cid:19)erard Jacob, Professeur au LIFL, pour
m'avoir propos(cid:19)e un travail d'une telle nature et m'avoir accord(cid:19)e une grande libert(cid:19)e
dans sa r(cid:19)ealisation.
Plus que tout autre, je remercie Michel Petitot. Nous avons pass(cid:19)e ensemble des
heures, que je ne compte plus, (cid:18)a faire et (cid:18)a refaire les preuves de th(cid:19)eor(cid:18)emes, d'algo-
rithmeset,bienquejenel'aiejamaismentionn(cid:19)edans lespages quisuivent,lesr(cid:19)esultats
qui y sont expos(cid:19)es lui reviennent pour une bonne part. Michel Petitot est une (cid:12)gure
marquante du LIFL, quelqu'un avec qui on parle spontan(cid:19)ement. Sa pr(cid:19)esence dans ce
jury m'a fait vraiment plaisir.
Je remercie Michel Latteux, Professeur au LIFL, d'avoir pr(cid:19)esid(cid:19)e ce jury de th(cid:18)ese.
C'est en me rappelant la rigueur et le souci du d(cid:19)etail des d(cid:19)emonstrations expos(cid:19)ees
dans ses cours de Licence, Ma^(cid:16)trise, DEA d'Informatique que j'ai essay(cid:19)e de r(cid:19)ediger ce
m(cid:19)emoire.
Les rapporteurs de cette th(cid:18)ese sont Daniel Lazard, Professeur (cid:18)a l'Universit(cid:19)e Pa-
ris VI et Franc(cid:24)ois Ollivier, Charg(cid:19)e de Recherches CNRS (cid:18)a l'Ecole Polytechnique, co{
rapporteur avec Marc Giusti, Directeur de RecherchesCNRS et Ma^(cid:16)tre de Conf(cid:19)erences
(cid:18)a l'Ecole Polytechnique. Ce travail doit beaucoup aux remarques dont ils m'ont fait
part. En particulier, je remercie Daniel Lazard et Fran(cid:24)cois Ollivier pour les th(cid:19)eor(cid:18)emes
qu'ils m'ont communiqu(cid:19)es en (cid:12)n de th(cid:18)ese, qui (cid:19)elargissent la port(cid:19)ee de mes r(cid:19)esultats
mais qui symbolisent aussi tout le temps qu'ils m'ont consacr(cid:19)e. Je me permets (cid:19)egale-
ment de remercier Marc Giusti pour la petite phrase d'encouragement, dite peu apr(cid:18)es
un expos(cid:19)e ... de d(cid:19)ebutant et qui m'a aid(cid:19)e (cid:18)a garder le moral pendant les ann(cid:19)ees qui
2
l'ont suivie.
Je remercieGiuseppa Carr(cid:18)a{Ferro, Professeur (cid:18)a l'Universit(cid:19)e de Catania, pour avoir
accept(cid:19)e de participer (cid:18)a ce jury et avoir bien voulu faire l'e(cid:11)ort de lire cette th(cid:18)ese,
r(cid:19)edig(cid:19)ee en Fran(cid:24)cais.
Je remercie Andr(cid:19)e Galligo, Professeur (cid:18)a l'Universit(cid:19)e de Nice, de m'avoir fait l'hon-
neur de participer a(cid:18) ce jury.
Je remercieSette Diop, Charg(cid:19)e de RecherchesCNRS au LAGEP d'avoir particip(cid:19)e a(cid:18)
ce jury.Sa th(cid:18)ese,qui fut le point d(cid:19)epart de la mienne,m'apermisd'aborder en douceur
certains textes ardus.
Je remercieRudolf Bkouche, Professeur (cid:18)a l'UFR de Math(cid:19)ematiques, de m'avoirfait
l'honneur de participer (cid:18)a ce jury.
J'exprime ma profonde gratitude (cid:18)a Nour{Eddine Oussous pour le tact exceptionnel
dont il fait preuve en permanence et qui assure la coh(cid:19)esion de l'(cid:19)equipe. Il a aid(cid:19)e cette
th(cid:18)ese (cid:18)a faire ses premiers pas et me rappelle encore souvent (cid:18)a la r(cid:19)ealit(cid:19)e.
J'adresse un grand merci aux autres membres de l'(cid:19)equipe et (cid:18)a la quinzaine de tur-
bulents occupants du bureau 214. Je souhaite bon courage (cid:18)a tous ceux qui doivent
encore r(cid:19)ediger et soutenir une th(cid:18)ese. Je demande merci aux trop populaires cafeti(cid:18)ere
et imprimante du bureau. Merci au labo, merci aux copains ext(cid:19)erieurs au labo, merci
en(cid:12)n (cid:18)a tous les membres de ma famille qui ont (cid:19)et(cid:19)e pour moi, pendant pr(cid:18)es de quatre
ans, un soutien et une source d'(cid:19)energie indispensables.
Villeneuve d'Ascq, le 12 juillet 1994.
3
Table des mati(cid:18)eres
Introduction 5
1 Notions d'alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle 9
1.1 Polyno^mes di(cid:11)(cid:19)erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Relations d'ordre admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Initiaux | s(cid:19)eparants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Id(cid:19)eaux di(cid:11)(cid:19)erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Id(cid:19)eaux r(cid:19)esiduels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 R(cid:19)eduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 R(cid:19)eduction par un polyno^me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Ensembles auto-r(cid:19)eduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Mod(cid:18)eles d'un syst(cid:18)eme d'(cid:19)equations et d'in(cid:19)equations 25
2.1 D(cid:19)ecomposition d'un id(cid:19)eal radiciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Extensions di(cid:11)(cid:19)erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Mod(cid:18)eles di(cid:11)(cid:19)erentiels et mod(cid:18)eles alg(cid:19)ebriques . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Mod(cid:18)eles di(cid:11)(cid:19)erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Mod(cid:18)eles alg(cid:19)ebriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Relations entre les mod(cid:18)eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 Ensembles auto-r(cid:19)eduits et coh(cid:19)erents . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2 Syst(cid:18)emes r(cid:19)eguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Les algorithmes d'(cid:19)elimination de Seidenberg 37
3.1 L'algorithme en alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle ordinaire . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.1 Pr(cid:19)eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 D(cid:19)e(cid:12)nition des syst(cid:18)emes terminaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.3 G(cid:19)en(cid:19)eration des syst(cid:18)emes terminaux . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.4 Elimination dans les syst(cid:18)emes terminaux . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.5 Preuve d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.6 Preuves de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.7 Optimisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.8 Exemple d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 L'algorithme en alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle partielle . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 D(cid:19)e(cid:12)nition des syst(cid:18)emes terminaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 G(cid:19)en(cid:19)eration des syst(cid:18)emes terminaux . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4
3.2.3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.4 Elimination dans les syst(cid:18)emes terminaux | Preuves. . . . . . . 54
4 Bases de Gro(cid:127)bner | Ensembles caract(cid:19)eristiques 57
4.1 Bases de Gro(cid:127)bner alg(cid:19)ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1 Pr(cid:19)eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.2 Bases de Gr(cid:127)obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.3 Th(cid:19)eor(cid:18)emes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Bases de Gr(cid:127)obner di(cid:11)(cid:19)erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 M(cid:19)ethode de Ollivier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2 M(cid:19)ethode de Mans(cid:12)eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Ensembles caract(cid:19)eristiques d'id(cid:19)eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 Repr(cid:19)esentation des mod(cid:18)eles di(cid:11)(cid:19)erentiels d'un syst(cid:18)eme 68
5.1 G(cid:19)en(cid:19)eration des syst(cid:18)emes r(cid:19)eguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1 Preuve d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.2 Preuves de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.3 Syst(cid:18)eme principal associ(cid:19)e (cid:18)a (cid:6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Calcul des bases de Gr(cid:127)obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Ce que l'algorithme fait. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.1 D(cid:19)ecision du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.2 Test d'appartenance au radical d'un id(cid:19)eal di(cid:11)(cid:19)erentiel . . . . . . 74
5.3.3 Test d'appartenance (cid:18)a un id(cid:19)eal di(cid:11)(cid:19)erentiel premier. . . . . . . . 74
5.3.4 Calcul d'un ensemble caract(cid:19)eristique . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Implantations | Applications | Comparaisons 80
6.1 Les algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.1 Algorithme Rosenfeld-Gr(cid:127)obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.2 Calcul d'ensemble caract(cid:19)eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Les logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3 Une application a(cid:18) l'automatique non lin(cid:19)eaire . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4 Calcul des conditions de compatibilit(cid:19)e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5 D(cid:19)ecision du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.6 Contradictions alg(cid:19)ebriques cach(cid:19)ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Conclusion 97
A Exemples de sessions 99
A.1 Une application a(cid:18) l'automatique non lin(cid:19)eaire . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.2 Equations d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.3 G(cid:19)en(cid:19)eration de commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Bibliographie 118
Index 121
Introduction
Le but de cette th(cid:18)ese est de rendre e(cid:11)ectifs certains th(cid:19)eor(cid:18)emes et d'implanter
e(cid:14)cacement certains algorithmes en alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle, en vue d'une applica-
tion (cid:18)a l'automatique non lin(cid:19)eaire. Nous pr(cid:19)esentons trois r(cid:19)esultats originaux. Le
premier est un algorithme qui d(cid:19)ecrit les mod(cid:18)eles d'un syst(cid:18)eme d'(cid:19)equations et
d'in(cid:19)equations polynomiales en alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle ordinaire comme en alg(cid:18)ebre
di(cid:11)(cid:19)erentielle partielle. L'algorithme d(cid:19)ecide du vide et donc de l'appartenance
au radical d'un id(cid:19)eal di(cid:11)(cid:19)erentiel de type (cid:12)ni. Notre deuxi(cid:18)eme r(cid:19)esultat est une
m(cid:19)ethode qui calcule un ensemble caract(cid:19)eristique d'un id(cid:19)eal di(cid:11)(cid:19)erentiel premier
donn(cid:19)e par une famille g(cid:19)en(cid:19)eratrice. Nous donnons en(cid:12)n de nouvelles preuves des
algorithmes d'(cid:19)elimination de Seidenberg. Les algorithmes que nous d(cid:19)ecrivons
sont e(cid:11)ectifs: ils n'utilisent que l'addition, la multiplication, les d(cid:19)erivations et le
test d'(cid:19)egalit(cid:19)e (cid:18)a z(cid:19)ero dans le corps de base des polyno^mes.
En octobre 1990, mon directeurde th(cid:18)ese m'apropos(cid:19)e | dans le cadre d'un doctorat
eninformatique|d'implantere(cid:14)cacementcertainsalgorithmesd'alg(cid:18)ebredi(cid:11)(cid:19)erentielle
en vue d'une application (cid:18)a l'automatique non lin(cid:19)eaire. L'algorithme d'(cid:19)elimination de
Seidenberg en alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle ordinaire, par lequel cette (cid:19)etude a commenc(cid:19)e,
illustre parfaitement les di(cid:14)cult(cid:19)es auxquelles nous nous sommes heurt(cid:19)es. L'explosion
combinatoire est la premi(cid:18)ere puisque des entr(cid:19)ees tr(cid:18)es simples parviennent (cid:18)a saturer la
m(cid:19)emoired'unestation de travail:cetalgorithmen'estpraticablequejusqu'a(cid:18)un certain
point. La seconde est la nature m^eme des r(cid:19)esultats produits. A la di(cid:11)(cid:19)erence des algo-
rithmes de bases de Gro(cid:127)bner par exemple,les informations fournies par l'algorithme
de Seidenberg ne sont pas standard, leur interpr(cid:19)etation n'est pas ais(cid:19)ee.
R(cid:19)ealiser le travail demand(cid:19)e exigeait d'optimiser ces algorithmes, conc(cid:24)us sans souci
d'e(cid:14)cacit(cid:19)e par des alg(cid:19)ebristes du milieu du si(cid:18)ecle, puis d'en donner des implantations
sp(cid:19)ecialis(cid:19)ees,capablesd'eninterpr(cid:19)eterlesr(cid:19)esultats,aumoinsenpartie.Nosoutils:d'une
part des ouvrages d'alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle pour la compr(cid:19)ehension des algorithmes et les
preuves de correction des optimisations que nous leur apportions; d'autre part des
travaux sur les syst(cid:18)emes de r(cid:19)e(cid:19)ecriture pour les probl(cid:18)emes de canonicit(cid:19)e et les preuves
d'arr^et. Citons les livres de Ritt [Ri] et de Kolchin [Ko]. Le premier est moins
complet, mais plus accessible aux n(cid:19)eophytes que le second. Nous avons consult(cid:19)e avec
pro(cid:12)t des articles interm(cid:19)ediaires [Ro]: leur contenu (cid:12)gure bien dans [Ko], mais sous
une forme g(cid:19)en(cid:19)eralis(cid:19)ee, plus abrupte. Les textes de Jouannaud, Dershowitz [JD] et
Comon [Co] nous ont beaucoup (cid:19)eclair(cid:19)e en mati(cid:18)ere de r(cid:19)e(cid:19)ecriture.
6
Introduisons maintenant plus techniquement notre sujet.
G(cid:19)en(cid:19)eralisant un th(cid:19)eor(cid:18)emede 1956, du^ a(cid:18) Seidenberg [Se1], un math(cid:19)ematicienam(cid:19)e-
ricain, Rosenfeld, donne en 1959 une condition su(cid:14)sante [Ro] [Ko], pour qu'un
syst(cid:18)eme d'(cid:19)equations polynomiales di(cid:11)(cid:19)erentiellesadmette un mod(cid:18)ele (une solution) dif-
f(cid:19)erentielles'il admet un mod(cid:18)ele purementalg(cid:19)ebrique. Ce th(cid:19)eor(cid:18)emeest le (cid:12)l conducteur
de cette th(cid:18)ese.
Pour l'illustrer, consid(cid:19)erons le syst(cid:18)eme di(cid:11)(cid:19)erentiel suivant, en deux ind(cid:19)etermin(cid:19)eesu
et v, ou(cid:18) les deux d(cid:19)erivations (cid:14)x et (cid:14)y sont not(cid:19)ees en indice:
8
>< ux = 0
(cid:6) uy (cid:0)v = 0
>
:
vx = 1
Le syst(cid:18)eme (cid:6) ne v(cid:19)eri(cid:12)e pas la condition de Rosenfeld puisqu'il admet un mod(cid:18)ele
alg(cid:19)ebrique mais pas de mod(cid:18)eles di(cid:11)(cid:19)erentiels.En e(cid:11)et, si on d(cid:19)erivela premi(cid:18)ere(cid:19)equation
par rapport (cid:18)a x, la deuxi(cid:18)eme par rapport (cid:18)a y et si on soustrait les polyno^mes obtenus,
uxy (cid:0)(uxy (cid:0)vx) = vx
on obtient une relation qui contredit la troisi(cid:18)eme(cid:19)equation du syst(cid:18)eme: (cid:6) n'admet pas
de mod(cid:18)eles di(cid:11)(cid:19)erentiels.Par contre, si on oublie que les(cid:19)equations sont di(cid:11)(cid:19)erentielleset
sion lesinterpr(cid:18)etecommedes(cid:19)equationspurementalg(cid:19)ebriques,enquatreind(cid:19)etermin(cid:19)ees
ux, uy, v et vx, le syst(cid:18)eme admet un mod(cid:18)ele alg(cid:19)ebrique trivial.
Fond(cid:19)e sur le lemme de Rosenfeld, notre premier r(cid:19)esultat est un algorithme qui
d(cid:19)ecritlesmod(cid:18)elesd'unsyst(cid:18)emed'(cid:19)equations polynomialesdi(cid:11)(cid:19)erentiellesen n'employant
que l'addition, la multiplication, les d(cid:19)erivations et le test d'(cid:19)egalit(cid:19)e (cid:18)a z(cid:19)ero dans le corps
de base des (cid:19)equations. Partant d'un syst(cid:18)eme (cid:6), l'algorithme construit une famille ((cid:10)i)
de syst(cid:18)emes ayant m^emes mod(cid:18)eles que (cid:6), dont les (cid:19)el(cid:19)ements v(cid:19)eri(cid:12)ent la condition de
Rosenfeld.Un calcul de bases de Gro(cid:127)bner alg(cid:19)ebrique classique permet alors, et de
d(cid:19)etecter les contradictions alg(cid:19)ebriques cach(cid:19)ees, et de d(cid:19)ecrire les mod(cid:18)eles de chaque (cid:10)i.
Cet algorithme, que nous nommons Rosenfeld{Gro(cid:127)bner, a trois applications.
Ild(cid:19)ecideduvideetdonc,d'apr(cid:18)esunth(cid:19)eor(cid:18)emec(cid:19)el(cid:18)ebredeHilbert,del'appartenance
au radical d'un id(cid:19)eal di(cid:11)(cid:19)erentiel de type (cid:12)ni.
Lorsquel'id(cid:19)ealdi(cid:11)(cid:19)erentiel[(cid:6)]engendr(cid:19)epar(cid:6)estpremier,lapremi(cid:18)erebasedeGro(cid:127)b-
ner non contradictoire produite par notre algorithme permet d'extraire un ensemble
caract(cid:19)eristique (au sens de Ritt) de I. Nous am(cid:19)eliorons ainsi un r(cid:19)esultat de Olli-
vier [Ol1].
En(cid:12)n, l'algorithmeRosenfeld{Gro(cid:127)bnerrende(cid:11)ectivesdenombreusespropri(cid:19)et(cid:19)es
structurellesdes syst(cid:18)emesdynamiquesen automatiquenon lin(cid:19)eaire(observabilit(cid:19)e,rang
de sortie, etc ...).Sous l'impulsionde Fliess [F] notamment,de nombreuxchercheurs
ont montr(cid:19)e comment ces propri(cid:19)et(cid:19)es pouvaient ^etre lues dans les ensembles caract(cid:19)eris-
tiques des id(cid:19)eaux di(cid:11)(cid:19)erentielspremiers engendr(cid:19)es par les (cid:19)equations des syst(cid:18)emes. Nous
am(cid:19)eliorons un peu ces techniquespuisque nous montrons que ces informations peuvent
^etres lues directementdans la base de Gro(cid:127)bner de laquelle l'ensemblecaract(cid:19)eristique
est extrait.
L'originalit(cid:19)e de notre travail, c'est de r(cid:19)epondre aux questions ci-dessus par un algo-
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rithmequiproduit unr(cid:19)esultat(cid:12)ni,enun nombre(cid:12)nid'(cid:19)etapesdecalculetquin'emploie
que l'addition, la multiplication,les d(cid:19)erivations et le test d'(cid:19)egalit(cid:19)e a(cid:18) z(cid:19)ero dans le corps
de base des (cid:19)equations. Pour mieux situer notre apport, d(cid:19)ecrivons en quelques mots les
principales m(cid:19)ethodes existantes.
Ritt a donn(cid:19)e [Ri] une m(cid:19)ethode pour d(cid:19)ecomposer le radical d'un id(cid:19)eal di(cid:11)(cid:19)eren-
tiel en une intersection d'id(cid:19)eaux di(cid:11)(cid:19)erentiels premiers Pi, en fournissant un ensemble
caract(cid:19)eristique pour chacun des Pi. Cet algorithme, qui en \fait plus" que le n^otre,
pr(cid:19)esente l'inconv(cid:19)enient de n'^etre que partiellement e(cid:11)ectif puisqu'il proc(cid:18)ede (cid:18)a des fac-
torisations suivant des tours d'extensions alg(cid:19)ebriques du corps des coe(cid:14)cients. A notre
connaissance, il n'a jamais (cid:19)et(cid:19)e implant(cid:19)e.
Ollivier [Ol1] et Carra(cid:18){Ferro [Ca] ont ind(cid:19)ependemment tent(cid:19)e de g(cid:19)en(cid:19)eraliser
(cid:18)a l'alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle les bases de Gro(cid:127)bner invent(cid:19)ees par Buchberger [Bu] pour
l'(cid:19)etude des id(cid:19)eaux de polyno^mes en alg(cid:18)ebre commutative.Ces bases de Gro(cid:127)bner dif-
f(cid:19)erentielles sont d'agr(cid:19)eables repr(cid:19)esentants des id(cid:19)eaux di(cid:11)(cid:19)erentiels qu'elles engendrent,
trop agr(cid:19)eables peut-^etre, car l'appartenance (cid:18)a un id(cid:19)eal di(cid:11)(cid:19)erentiel quelconque est un
probl(cid:18)eme ind(cid:19)ecidable [GMO], l'appartenance (cid:18)a un id(cid:19)eal de type (cid:12)ni est un probl(cid:18)eme
ouvert, et les bases de Gro(cid:127)bner di(cid:11)(cid:19)erentielles ainsi d(cid:19)e(cid:12)nies sont en g(cid:19)en(cid:19)eral in(cid:12)nies.
Plus r(cid:19)ecemment,Mansfield[M1] a donn(cid:19)e une d(cid:19)e(cid:12)nition de bases de Gro(cid:127)bner di(cid:11)(cid:19)e-
rentielles, moins proche de celles de Buchberger et moins satisfaisante que celles de
Ollivier et Carra(cid:18){Ferro. L'algorithme propos(cid:19)e par Mansfield calcule une base
(cid:12)nie en un nombre (cid:12)ni d'(cid:19)etapes de calculs mais impose des restrictions sur la famille
g(cid:19)en(cid:19)eratrice de l'id(cid:19)eal consid(cid:19)er(cid:19)e.
Plus g(cid:19)en(cid:19)eraux sont les algorithmes d'(cid:19)elimination de Seidenberg [Se1]. Ils d(cid:19)ecident
si un syst(cid:18)eme d'(cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles admet des mod(cid:18)eles di(cid:11)(cid:19)erentiels en n'utilisant,
commeRosenfeld{Gro(cid:127)bner,que les op(cid:19)erations du corps de base des (cid:19)equations. Ils
pr(cid:19)esentent deux inconv(cid:19)enients: d'une part, ils permettent di(cid:14)cilement de trouver les
relations quiliententr'ellesles grandeurs d(cid:19)ecritespar un syst(cid:18)emedynamiqueet d'autre
part, leur comportementest explosif parce qu'ils calculent des projections ensemblistes
successives de la vari(cid:19)et(cid:19)e alg(cid:19)ebrique di(cid:11)(cid:19)erentielle associ(cid:19)ee au syst(cid:18)eme. Diop [Di1] [Di2]
a (cid:19)etudi(cid:19)e l'algorithme d'(cid:19)eliminationen alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielleordinaire et en a donn(cid:19)e une
application (cid:18)a l'automatique.
Dans cette th(cid:18)ese, nous donnons aussi de nouvelles preuves des algorithmes d'(cid:19)elimi-
nation de Seidenberg. En alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle partielle, nous reformulons la preuve
gra^ce au lemme de Rosenfeld, ce qui int(cid:18)egre l'algorithme dans le giron des th(cid:19)eo-
r(cid:18)emes classiques: le th(cid:19)eor(cid:18)eme original de Seidenberg, tr(cid:18)es technique,(cid:19)etait marginal.
En alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle ordinaire, suite aux travaux de Diop, nous fournissons une
preuve tr(cid:18)es simple du m(cid:19)ecanisme d'(cid:19)elimination, fond(cid:19)ee sur un lemme de Ritt qui est
une version faible du lemme de Rosenfeld.
Nous ne sommes encore parvenus (cid:18)a d(cid:19)eterminer, ni la complexit(cid:19)e de l'algorithme
Rosenfeld{Gro(cid:127)bner, ni celle des versions que nous donnons des algorithmes d'(cid:19)eli-
mination.En alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielleordinaire, Grigor'ev [G] a donn(cid:19)e une optimisation
de l'algorithme d'(cid:19)elimination qui fait appel (cid:18)a une m(cid:19)ethode de Lazard [L1], qui est
d'une complexit(cid:19)e presqu'optimale [L3]; l'algorithme de Grigor'ev, qui a une com-
plexit(cid:19)e triplement exponentielle (en temps), fournit la meilleure borne connue pour le
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probl(cid:18)eme de la d(cid:19)ecision du vide en alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielle ordinaire. Nous pensons qu'il
doit ^etre possible de l'am(cid:19)eliorer.
Nous avons implant(cid:19)een langage C plusieurs versions exp(cid:19)erimentalesde l'algorithme
Rosenfeld{Gro(cid:127)bneret plusieurs versions de l'algorithmed'(cid:19)eliminationde Seiden-
berg en alg(cid:18)ebre di(cid:11)(cid:19)erentielleordinaire. Nous employonsla librairiede grands nombres
PARI et le logiciel de calcul de bases de Gro(cid:127)bner GB de Faugere [FGLM]. Pour
g(cid:19)en(cid:19)erer le code C, nous avons employ(cid:19)e un petit langage, nomm(cid:19)e CL, dont nous avons
r(cid:19)ealis(cid:19)e un compilateur, et qui s'apparente en fait (cid:18)a un pr(cid:19)eprocesseur de C, agr(cid:19)eable
d'emploi. Le but original de cette th(cid:18)ese (cid:19)etait l'implantation e(cid:14)cace de l'algorithme
d'(cid:19)elimination dont Diop [Di1] [Di2] avait (cid:19)etabli l'utilit(cid:19)e peu auparavant. CL (cid:19)etait un
outildans cettet^ache.Ilappara^(cid:16)t aujourd'huiquedetelsprojets d'implantation(cid:19)etaient
pr(cid:19)ematur(cid:19)es.
Les deux premiers chapitres de cette th(cid:18)ese sont des chapitres d'introduction. Le
premier pr(cid:19)esente quelques notions fondamentales (cid:19)el(cid:19)ementaires, ainsi qu'une sorte de
divisioneuclidiennedepolyno^mes,(cid:19)etendue(cid:18)al'alg(cid:18)ebredi(cid:11)(cid:19)erentielleetquelquesr(cid:19)esultats
apparent(cid:19)es. Nous avons voulu que le chapitre soit d'un abord simple.
Le deuxi(cid:18)eme chapitre pr(cid:19)esente deux versions du Nullstellensatz de Hilbert, l'une
dans le cas di(cid:11)(cid:19)erentiel, l'autre dans le cas alg(cid:19)ebrique. Nous y donnons (cid:19)egalement le
lemme de Rosenfeld qui les relie.
Le troisi(cid:18)eme chapitre est consacr(cid:19)e aux algorithmes d'(cid:19)elimination de Seidenberg.
Notre algorithme utilise les bases de Gro(cid:127)bner alg(cid:19)ebriques. Nous les pr(cid:19)esentons
dans le quatri(cid:18)emechapitre et nous (cid:19)etablissons un parall(cid:18)ele succinct entre ces derni(cid:18)eres,
les bases de Gro(cid:127)bner di(cid:11)(cid:19)erentielles de Carra(cid:18)-Ferro [Ca], Ollivier [Ol1], celles
de Mansfield [M1], et les ensembles caract(cid:19)eristiques d'id(cid:19)eaux di(cid:11)(cid:19)erentiels premiers.
Le cinqui(cid:18)eme chapitre d(cid:19)ecrit notre algorithme et ses applications: d(cid:19)ecision du vide,
test d'appartenance au radical d'un id(cid:19)eal di(cid:11)(cid:19)erentiel de type (cid:12)ni, (cid:18)a un id(cid:19)eal di(cid:11)(cid:19)eren-
tiel premier de type (cid:12)ni et calcul d'un ensemble caract(cid:19)eristique d'un id(cid:19)eal di(cid:11)(cid:19)erentiel
premier donn(cid:19)e par une famille g(cid:19)en(cid:19)eratrice (cid:12)nie.
Ledernierchapitreestconsacr(cid:19)eauximplantationsetauxapplications.Nousdonnons
des traces d'ex(cid:19)ecutions de nos programmes en annexe.