eserciziario di analisi matematica ii

236 Pages·2012·1.15 MB·Italian

Michela Eleuteri
ESERCIZIARIO DI ANALISI
MATEMATICA II
Universit(cid:224) degli Studi di Verona, Facolt(cid:224) di Scienze MM.FF.NN.
Corso di Laurea in Informatica
a.a. 2011/2012

A Giulia
con la speranza che almeno nella matematica
non assomigli al papà
(cid:44)

Indice
1 Esercizi riguardanti equazioni di(cid:27)erenziali ordinarie 5
1.1 Equazioni di(cid:27)erenziali ordinarie del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Test a risposta multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Equazioni di(cid:27)erenziali ordinarie del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Esercizi riguardanti il calcolo in(cid:28)nitesimale per le curve 17
2.1 Funzioni a valori vettoriali e curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Integrali di prima specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Calcolo di(cid:27)erenziale - Funzioni di piø variabili 29
3.1 Insiemi di livello e domini: esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Insiemi di livello e domini: esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Limiti e continuit(cid:224): esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Gradiente, derivate parziali e piano tangente: esercizi svolti . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Gradiente, derivate parziali e piano tangente: esercizi proposti . . . . . . . . . . 59
3.6 Di(cid:27)erenziabilit(cid:224), di(cid:27)erenziale e approssimazione: esercizi svolti . . . . . . . . . . 60
3.7 Di(cid:27)erenziabilit(cid:224), di(cid:27)erenziale e approssimazione: esercizi proposti . . . . . . . . 64
3.8 Derivate direzionali: esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.9 Derivate direzionali: esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.10 Teorema di Schwarz: esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.11 Esercizi di ricapitolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.11.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3
INDICE
3.11.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Teorema del Dini. Funzione implicita 81
4.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Esercizi riguardanti ottimizzazione libera e vincolata 95
5.1 Ottimizzazione libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2 Ottimizzazione vincolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.1 Test a risposta multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.2 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.3 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6 Esercizi riguardanti integrali doppi e tripli 157
6.1 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.1.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.1.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.4 Integrali super(cid:28)ciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7 Esercizi riguardanti matrice Jacobiana, rotore e divergenza 195
7.1 Matrice Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2 Rotore e divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8 Esercizi riguardanti campi vettoriali 213
9 Esercizi riguardanti serie di potenze e serie di Fourier 229
9.1 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.2 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4
CAPITOLO 1
Esercizi riguardanti equazioni
di(cid:27)erenziali ordinarie
1.1. Equazioni di(cid:27)erenziali ordinarie del primo ordine
1.1.1. Esercizi svolti
(cid:45) Esercizio 1.1.1. Si determini la soluzione y(t) del seguente problema di Cauchy
 y2
y(cid:48) = t
y2 +4
y(0) = 2
y(t)
Inoltre si determini il valore α > 0 per cui tende a un numero (cid:28)nito e non nullo per
tα
t → +∞.
Si tratta di un’equazione non lineare del primo ordine a variabili separabili. Integrando si
ottiene subito
(cid:90) (cid:18)y2 +4(cid:19) (cid:90)
dy = tdt+C
y2
da cui
4 (cid:90) (cid:18) 4 (cid:19) (cid:90) (cid:18)y2 +4(cid:19) t2
y − = 1+ dy = dy = +C
y y2 y2 2
5
1 Esercizi riguardanti equazioni differenziali ordinarie
quindi imponendo il dato di Cauchy, si ha immediatamente C = 0. Dunque si ha
y2 −4− t2y
2 = 0.
y
Il numeratore pu(cid:242) essere visto come un’equazione di secondo grado in y. Quindi risolvendo si
ha
(cid:113) √
t2/2∓ t4 +16 t2 ∓ t4 +64
4
y(t) = = .
2 4
Siccome il dato di Cauchy Ł incompatibile con la scelta del segno meno (si avrebbe y(0) = −2)
la soluzione richiesta del problema di Cauchy proposto Ł
√
t2 + t4 +64
y(t) = .
4
√
Ora, siccome t4 +64 ∼ t2 per t → +∞, si ha che y(t) ∼ x2 quindi il valore di α richiesto Ł
2
α = 2.
(cid:45) Esercizio 1.1.2. Si determini la soluzione y(t) del seguente problema di Cauchy

t2 +t
y(cid:48) =
2e2y +6ey
y(0) = 0
Si tratta di un’equazione di(cid:27)erenziale non-lineare, del primo ordine, a variabili separabili. Si
ottiene
(cid:90) (cid:90) t3 t2
e2y +6ey = (2e2y +6ey)dy = (t2 +t)dt = + +C.
3 2
Imponendo il dato di Cauchy si ottiene C = 7 da cui
t3 t2
e2y +6ey − − −7 = 0.
3 2
A questo punto dobbiamo cercare di ricavare la y. Poniamo z = ey. Allora cercando di
ricostruire un quadrato si ottiene
t3 t2
(z +3)2 = z2 +6z +9 = 9+ + +7.
3 2
da cui
(cid:114)
t3 t2
ey = z = −3∓ 16+ + .
3 2
Il segno meno della radice deve essere scartato a causa della positivit(cid:224) dell’esponenziale e anche
della incompatibilit(cid:224) del dato di Cauchy. In conclusione dunque
(cid:32) (cid:114) (cid:33)
t3 t2
y(t) = log −3+ 16+ + .
3 2
6
1.1 Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine
(cid:45) Esercizio 1.1.3. Sia y(t) la soluzione del problema di Cauchy
(cid:40)
y(cid:48) = 3ex −y2
y(0) = 1
Allora il gra(cid:28)co di y(t) vicino all’origine ha:
concavit(cid:224) verso l’alto e retta tangente con pendenza positiva;
(cid:50) concavit(cid:224) verso il basso e retta tangente con pendenza positiva;
(cid:50) concavit(cid:224) verso l’alto e retta tangente con pendenza negativa;
(cid:50) concavit(cid:224) verso il basso e retta tangente con pendenza negativa
(cid:50)
Si tratta di un problema di Cauchy in cui compare un’equazione di(cid:27)erenziale del primo or-
dine non lineare e non a variabili separabili. Quindi in linea di principio non sappiamo come
ricavare la soluzione. Ma ai (cid:28)ni dell’esercizio Ł importante soprattutto conoscere non tanto
la forma esatta dell’equazione quanto il comportamento della stessa localmente, in particolare
vicino al punto x = 1. Allora considerando l’equazione si ottiene:
0
y(cid:48)(0) = 3−0 = 3 > 0
quindi ricordando il signi(cid:28)cato geometrico della derivata prima, l’informazione y(cid:48)(0) > 0 ci dice
che vicino a x = 1 la soluzione ha retta tangente con pendenza positiva. Inoltre derivando
0
l’equazione si ottiene
y(cid:48)(cid:48) = 3ex −2yy(cid:48)
da cui
y(cid:48)(cid:48)(0) = 3−2y(0)y(cid:48)(0) = 3−2·1·3 = −3 < 0.
Per cui ricordando il signi(cid:28)cato geometrico della derivata seconda, questa informazione ci dice
che vicino al punto x = 1 la soluzione ha concavit(cid:224) verso il basso. La risposta esatta Ł dunque
0
la seconda.
1.1.2. Esercizi proposti
(cid:45) Esercizio 1.1.4. Sia y(t) la soluzione del problema di Cauchy
√

e−x y +1
y(cid:48) =
e−x +1
y(0) = 1
7
1 Esercizi riguardanti equazioni differenziali ordinarie
(cid:50)
R.
(cid:20) 1 √ 1 (cid:21)2
y = − log(e−x +1)+ 2+ log2 −1.
2 2
(cid:45) Esercizio 1.1.5. Si determini la soluzione y(t) del seguente problema di Cauchy
(cid:40)
y(cid:48) = (e−3y +1)(2x−1)
y(0) = −1
(cid:50)
R.
1 (cid:104) (cid:105)
y(t) = log (1+e−3)e3x2−3x −1 .
3
(cid:45) Esercizio 1.1.6. Si determini la soluzione y(t) del seguente problema di Cauchy
(cid:40)
y(cid:48) = (3+27y2)(xe3x −2x2)
y(0) = 0
(cid:50)
R.
1
(cid:0) (cid:1)
y(t) = tan 3te3t −e3t −6t3 +1 .
3
(cid:45) Esercizio 1.1.7. Determinate la soluzione generale dell’equazione di(cid:27)erenziale y(cid:48) =
2xe−3y.
8