Table Of ContentPhilRiopbpbea
GilClhersi stol
Equatdiioefnrfse ntielles
p-adiques
Applicaautsxio omnmesex sp onentielles
訃い
HERMANN EDITEURSDES SCIENCESE T DES ARTS
Classement de l'AMS (MSC 1991): 11T23, 12H25, 14F30, et aussi 11L05, 11S80, 14G15.
Ouvrage rédigé avec le concours du Ministère de la Recherche et de la Technologie (DIST)
à partir d'un manuscrit de Philippe Robba
par les membres du Groupe d'analyse ultranumérique de Paris
sous la direction de Gilles Christol
ISBN 2 7056 6231 8
© 1994, Hermann, éditeurs des sciences et des arts, 293 rue Lecourbe, 75015 Paris
Toute reproduction ou représentation de cet ouvrage, intégrale ou partielle, serait illicite sans
l'autorisation de l'éditeur et constituerait une contrefaçon.
Les cas strictement limités à usage privé ou de citation, sont régis par la loi du 11mars1957.
Table des matières
Préface
1
Résumé
6
1S ommes de caractères sur les corps finis
8
1 Caractères sur les corps finis 8
1.1 Caractères sur les groupes abéliens finis 8
1. 2 Corps finis 10
1.3 Caractères multiplicatifs et additifs sur un corps fini 12
2 Sommes de caractères 14
2.1 Définition et exemples 14
2.2 Nombre de points d'une courbe algébrique :
cas d'un revêtement de Kummer 16
2.3 Nombre de points d'une courbe algébrique
cas d'un revêtement d'Artin-Schreier 18
2.4 Fonctions L 20
2.5 Fonctions Zêta 22
3 Présentation des méthodes utilisées 25
3.1 Cohomologies p-adiques 25
3.2 Frobenius et formule des traces 26
Il Analyse Ultramétrique 27
4 Corps ultramétriques 27
4.1 Anneaux ultramétriques 27
4.2 Lemmes de Hensel 28
4.3 Normes ultramétriques 30
4.4 Corps algébriquement clos 31
4.5 Calculs p-adiques 33
4.6 Représentants de Teichmüller 35
4. 7 Corps maximalement complets. 37
5 Éléments analytiques 38
5.1 Valeurs absolues sur Cp[x] 38
5.2 Ensembles affinoïdes connexes et fractions rationnelles 41
5.3 Théorème de Mittag-Leffier 44
5.4 Fonctions analytiques dans une couronne 48
5.5 L'anneau H(A) 54
II Table des matières
6 Espaces dague de Monsky-Washnitzer 59
6.1 Espaces dague 59
6.2 Résidus 61
6.3 Dualité 64
6.4 Intégrale de Cauchy et dualité algébrique 66
6.5 Dualité topologique 68
7 Opérateurs à indice 72
7.1 Propriétés algébriques 72
7.2 Cas des espaces de Banach 74
7.3 Indices généralisés 79
8 Opérateurs à trace 84 '
8.1 Bases orthogonales 84
8.2 Opérateurs complètement continus 86
8.3 Opérateurs nucléaires 92
Ill Formule de l'indice 101
9 Solution dans le disque générique. Principe de Transfert 101
9.1 Disque générique 101
9.2 Solution au voisinage du point générique 102
9.3 Spécialisation dans un disque ordinaire 106
10 Indice dans un disque. Cas d'un opérateur non soluble 107
10.1 Existence de l'indice 107
10.2 Calcul de l'indice 110
10.3 Formule d'additivité 114
10.4 Sens de variation de l'indice 115
10.5 Exemples de calcul d'indices 117
10.6 p-courbure 119
11 Indice dans un disque. Cas d'un opérateur soluble 122
11.1 Non existence de l'indice dans le cas soluble 122
11.2 Caractérisation des opérateurs solubles 124
11.3 Nombres de Liouville p-adique 127
11.4 disques singulier-régulier . 130
12 Indice dans un disque. Cas Général 134
12.1 Formule de l'indice 134
12.2 Estimation de l'indice 136
13 Irrégularité 137
13.1 Irrégularité d'un opérateur différentiel dans un disque. 137
13.2 Exponentielles de Artin-Hasse généralisées 140
13.3 Application à l'irrégularité 145
13.4 Irrégularité en un point 147
Table des matières III
IV Cohomologies de Monsky-Washnitzer 150
14 Modules différentiels 150
14.1 Définition 150
14.2 Formule de changement de base 151
14.3 Exposants 152
14.4 Réduction au cas des fractions rationnelles 152
15 Complexe de De Rham 154
15.1 Espaces de cohomologie 154
15.2 Module trivial 155
15.3 Le théorème de décomposition 157
15.4 Calcul de la cohomologie dans le cas de rang un 159
16 L'exemple fondamental 161
16.1 Le module différentiel M 161
16.2 Première réduction 162
16.3 Deuxième réduction 162
16.4 Calcul de la cohomologie 164
V Frobenius 166
17 Les opérateurs </> et 1/; 166
1 7 .1 Propriétés formelles 166
17.2 Action sur les polynômes 167
17.3 Actions sur les fractions rationnelles 171
17.4 Action sur les fonctions et éléments analytiques 171
17.5 Action sur les espaces dague 173
18 Foncteurs de Frobenius et de Dwork 175
18.l Foncteur de Frobenius 175
18.2 Successeur : unicité 177
18.3 Successeur : existence 184
18.4 Structure de Frobenius forte 188
18.5 Exemples de successeurs 189
18.6 Foncteur de Dwork 193
VI Sommes de caractères et fonctions L 199
19 La formule de trace 199
19.1 Trace de l'opérateur 1/; oH 199
7
19.2 Trace de l'application de Dwork 202
20 Relèvement des caractères 204
20.1 Relèvement des caractères multiplicatifs 204
20.2 Caractères multiplicatifs sur les extensions 206
20.3 La fonction B 207
20.4 Relèvement des caractères additifs . 210
20.5 Caractères additifs sur les extensions 211
IV Table des matières
21 Sommes de caractères et fonction L 212
21. l Expression des sommes de caractères 212
21.2 Cohomologie associée aux sommes de caractères et fonctions L 213
21.3 Degré des fonctions L 215
21.4 Sommes de Gauss . 217
21.5 Formule de Gross-Koblitz (p -:/2) 218
21.6 Sommes de Jacobi 221
21. 7 Sommes de Kloosterman 222
VII Théorie duale 223
22 Complexe dual . 223
22.l Module différentiel dual 223
22.2 Application symplectique 227
22.3 Action de Frobenius 228
22A Transposées des applications de Dwork et de Frobenius 228
23 Autodualité 230
23.l Cup-produit 230
23.2 Equation fonctionnelle des fonctions L 232
23.3 Exemples 235
Index
Affinoïde connexe 42
Affinoïde standard 43, 161
Anneau p-adique 33
Anneau des entiers 27
Anneau ultramétrique 27
Anneau ultramétrique complet 27
Application complètement continue 87
Application horizontale 176
Application symplectique 225
Autodualité 230, 235
Automorphisme de Frobenius 11, 189
Base duale 223
Base orthogonale 84
Base orthonormale 84
Bidual 9
Calcul de l'indice 134
Calcul de l'indice d'un opérateur non soluble 111
Calcul de la cohomologie dans le cas de rang un 159 (
Calculs p-adiques 33
Caractère sur un groupe 8
Caractère trivial 8
Caractère additif 12
Caractère de Teichmüller 12
Caractère multiplicatif 12
Caractère quadratique 14
Caractérisation des opérateurs solubles 125
Caractéristique d'Euler-Poincaré 155
Caractéristique résiduelle 28
Centre d'un disque 41
Centre de disque 42
Cohomologie p-adique 25
Cohomologie associée aux sommes de caractères 214
Cohomologie de Monsky-Washnitzer 150
Complexe de De Rham 154
Complexe dual 223
Corps algébriquement clos 31
Corps des restes 28
Corps finis 10
Corps maximalement complet 37
Corps sphériquement complet 37
Corps ultramétrique complet 30
Corps ultramétriques 27
VI Index
Courbe de Fermat 1 7
Cup-produit 230
Degré des fonctions L 215
Disque centré à l'infini 41
Disque fermé 27
Disque générique 101
Disque ordinaire 106
Disque ouvert 27
Disque singulier-régulier 131
Division euclidienne 49
Dualité 64
Dualité algébrique 66
Dualité topologique 68
Elément analytique 38, 44
Elément analytique surconvergent 59
Equation fonctionnelle des fonctions L 22, 232
Espace analytique 102
Espace dague de Monsky-Washnitzer 59
Espace vectoriel de type dénombrable 84
Espaces de cohomologie 154
Estimation de l'indice 136
Exemple fondamental: calcul de la cohomologie 164
Exemple fondamental: dÇfinition 161
Exemples de calcul d'indices 117
Existence de l'indice d'un opérateur non soluble 107
Existence de l'indice d'un opérateur soluble 122
Existence de l'indice dans un disque 134
Existence du successeur (forme faible) 185
Existence du successeur (forme forte) 187
Exponentielle d' Artin-Hasse 122
Exponentielles de Artin-Hasse généralisées 140
Exposants 152
Expression des sommes de caractères 213
Extension immédiate 37
Extension non ramifiée 185
Foncteur de Dwork 193
Foncteur de Frobenius 175
Foncteur de Frobenius : action sur le dual 227
Fonction L 20, 199
Fonction () 207
Fonction analytique dans une couronne 48
Fonction caractéristique 89
Fonction r-extrémale 49
Fonction (no, r)-extrémale 49
Fonction Zêta 22
Fonctions méromorphes 130
Formule d'additivité 114
Formule de changement de base 151
Formule de Gross-Koblitz 221
Formule de l'indice 134
Index VII
Formule de trace 26, 199
Frobenius 166
Groupe des valeurs absolues 27
Groupe dual 8
Hypothèse de Riemann 22
Identité de Barsotti 119
Indice d'une application linéaire 72
Indice dans un disque d'un opérateur non soluble 107
Indice généralisé 79, 157
Intégrale de Cauchy 66
Inverse à gauche 107
Inégalité de Schwarz 40, 53
Irrégularité dans un disque 137
Irrégularité en un point 147
Lemme de Hensel général 28
Lemme de Hensel pour les fonctions analytiques 51
Lemme de Hensel pour les polynômes 29
Lemme du serpent 72
Logarithmiquement 38
Matrice de dérivation dans une base 150
Module différentiel 150
Module différentiel dual 223
Module différentiel soluble 177
Module différentiel trivial 150, 155
Modules différentiels A-équivalents 130
Modules différentiels 7-i-équivalents 130
Nombre de Liouville p-adique 127, 129
Nombre de points sur un revêtement d' Artin-Schreier 18
Nombre de points sur un revêtement de Kummer 16
Non existence de l'indice d'un opérateur soluble 122
Norme de Gauss 29, 43, 49, 57
Norme ultramétrique 30
Opérateur adjoint 105
Opérateur soluble pour un disque 105
Opérateurs 7/J et </> 166
Opérateurs 7/J et </> : action sur les espaces dague 173
Opérateurs 7/J et </> : action sur les fonctions et éléments analytiques 171
Opérateurs 7/J et</>: action sur les polynômes 167
Opérateurs 7/J et </J : actions sur les fractions rationnelles 180
Opérateurs 7/J et </J: propriétés formelles 166
Opérateurs complètement continus 86
Opérateurs nucléaires 92
Opérateurs à indice 72
Opérateurs à trace 84
Partie principale 61
Partition d'un disque en ses classes résiduelles 114
Point générique 101
Principe de Transfert 106
Prolongement analytique 56
Prolongement des caractères additifs sur les extensions 211
VIII Index
Prolongement des caractères multiplicatifs sur les extensions 206
Pôle d'un disque 41
Rayon de convergence au bord d'un disque 103
Relations d'orthogonalité 9
Relèvement des caractères additifs 210
Relèvement des caractères multiplicatifs 204
Représentant de Teichmüller 35
Résidus 61
Restriction 9
Revêtement d' Artin-Schreier 18, 19, 24
Revêtement de Kummer 16, 19, 24
Sens de variation de l'indice 115
Solution dans le disque générique 102
Somme de caractères 14, 199
Somme de caractères et fonction L 213
Somme de Gauss 14, 218, 235
Somme de Jacobi 15, 221, 235
Somme de Kloosterman 222
Sommes exponentielles 14
Spécialisation dans un disque ordinaire 106
Structure de Frobenius forte 188, 203
Successeur : exemples 189
Successeur : existence 184
Successeur : unicité 177
Théorie duale 223
Théorème de décomposition 157
Théorème de Krasner 32
Théorème de l'indice pour un opérateur non soluble 111
Théorème de Mittag-Leffier 44, 59
Théorème de Mittag-Leffter (Deuxième forme) 48
Théorème de Mittag-Leffler (Première forme) 46
Théorème de préparation de Weierstrass 51
Théorème de spécialisation 106
Théorème de transfert 106
Trace 89, 93
Trace de l'applicatim~de Dwork 203
Trace de l'opérateur 1/hoH 199
Transposées des applications de Dwork et de Frobenius 228
Unicité du successeur 177
Uniformisante 191
Uniformisante locale 42
Valeur absolue p-adique 33
Valeur absolue normalisée 33
Valeur absolue sur ICp[x] 38
Valeur absolue ultramétrique 27
Voisinage tubulaire fermé 59
