Equações Diferenciais Parciais: uma Introdução

380 Pages·1988·45.432 MB·Portuguese

by  Rafael Iório Júnior e Valéria de Magalhães Iório

FICHA CATALOGRÁFICA

Iório Jr., Rafael José & Iório, Valéria
I64e
Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução.
Rio de Janeiro, Instituto de Matemática: Pura e Apli-
cada, CNPq, 1988.
372 p. (Projeto Euclides)
1. Equações Diferenciais Parciais.
I. Título. II. Série.
CDD-515.353
rafael tório júnior
valéria de
magalhães iório
equações
diferenciais
parciais:
uma introdução
Es) Instituto de Matemática Pura e Aplicada
Copyright O 1988 by Rafael José Iório Jr. e Valéria lório.
Direitos reservados, 1988 por Conselho Nacional
de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, CNPq.
Av. W-3 Norte, Brasília, DF :
Impresso no Brasil/Printed in Brazil
Capa: Carlos Alberto Areal
Layout: Atelier 78
Projeto Euclides: Coordenado por Elon Lages Lima
Comissão Editorial: César Camacho, Chaim Samuel Honig, Djairo Guedes de
Figueiredo, Elon Lages Lima, Imre Simon, Jacob Palis Júnior, Lindolpho de
Carvalho Dias, Manfredo Perdigão do Carmo, Maurício Matos Peixoto, Pedro
Jesus Fernandez.
Títulos já publicados:
« Curso de Análviol.s 1,e E,lo n Lages Lima
Medida e Integração, Pedro Jesus Fernandez
A Aplicações da Topologia à Análise, Chaim Samuel Honig
N Espaços Métricos, Elon Lages Lima
Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Djairo Guedes de Figueiredo
A Introdução aos Sistemas Dinâmicos, Jacob Palis Júnior e Welington C. de Melo
P« Introdução à Álgebra, Adilson Gonçalves
Aspectos Teóricos da Computação, Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon, Istvan
Simon, Jano Simon e Tomasz Kowaltowski
9. Teoria Geométrica das Folheções, Alcides Lins Neto e César Camacho
10. Geometria Riemanniana, Manfredo P. do Carmo
11. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Jorge Sotomayor
12. Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário, Barry R. James
13. Curso de Análise, vol. 2, Elon Lages Lima
14. Introdução à Teoria Ergodica, Ricardo Mané
15. Teoria dos Números Algébricos, Otto Endler .
16. Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais, Javier Thayer
17. Equações-Diferenciais Parciais: Uma Introdução, Rafael Iório Jr. e Valéria Iório
Composição:
Setor de Informática do IMPA
Impresso por:
Gráfica Portinho Cavalcanti Ltda.
Rua Santana, 136/138 — Tel.: [phone] (PABX)
Rio de Janeiro — RJ.
Distribuído por:
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
Rua Vieira Bueno, 21 A
20.920 — São CristóvãoR,J — Brasil
ISBN 85-244-0035-8
CONTEÚDO
Prefácio ......ccccccc v
CAPÍTULO I-PRELIMINARES ......... cecaccrcre sal
81. Definições Básicas .......cccccccc 1
$2. Classificação em Tipos ....cccccc 6
83. Condições de Contorno e de Valores Iniciais ............ 13
CAPÍTULO IO MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS . . 2
81. O Problema de Condução de Calor em uma Barra. ....... .”
$2. Outros Exemplos e Comentários ...........ccccc.. 33
CAPÍTULO III-SÉRIES DE FOURIER: TEORIA BÁSICA ..... 46
81. Espaços Vetoriais Normados Crer rare 46
82. Sériesde Fourier .......cccci err 54
$3. Interpretação Geométrica ............. Cerca 58
84. Propriedades de Decaimento de f Cera 63
85. Convergência Pontual ............... ds 66
86. Os Núcleos de Féjer, Poisson e Dirichlet .............. 72
87. Aplicações ....ccccccccl 85
88. O Problema de Dirichlet no Disco Unitário. ............ 93
CAPÍTULO IV-SÉRIES DE FOURIER: DISTRIBUIÇÕES
PERIÓDICAS E APLICAÇÕES ......... 104
81. Funções Periódicas de Classe CP. ......cclc 104
$2. Distribuições Periódicas .......ccccccci 113
$3. Sériesde Fourierem P' .......ccc 136
84. AConvoluçãõoem P' ...... 0. 143
85. O Espaço L([-7, n)) Ceras asa raca. 152
86. O Operador D? em L([-7, n)) Cerca rear 157.
87. Aplicações ....cccccccc . 168
CAPÍTULO V-A TRANSFORMADA DE FOURIER NA RETA .. 180
81. A Equação do Calor Ataca Outra Vez ...........c... 180
$2. A Transformada de Fourier na Reta ......... ara 189
$3. A transformada de Fourier no Espaço de Schwartz. ....... 193
84. Aproximação por Convolução ...........ccccccc.. 201
85. Distribuições Temperadas .........cccccicccc. 204
86. 0 Espaço LHR) ......ccc 215
87. O Operador (-B2 a)......ciciccica 217
CAPÍTULO VI-ELEMENTOS DE ANÁLISE FUNCIONAL .... 225
$1. Operadores Limitados e Operadores Compactos ......... 225
82. Os Espaços LP(X,M,H) ......cccclc cc. 231
$3. A Alternativa de Fredholm .........ccccccc. 243
84. O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-Adjuntos 245
CAPÍTULO VII-UM PROBLEMA DE AUTO-VALORES PARA
O LAPLACIANO ........ccccccc.. 254
81. Preliminares .......ccccclccl 254
82. As Identidades de Green. .........ccccccc 255
83. O Princípio do Máximo para Funções Harmônicas ........ 260
84. A FunçãodeGreen.........ccccccccccc 262
85. Propriedades da Função de Green. ............. .. 264
86. O Problema de Auto-Valores ..........ccccccc.. 272
CAPÍTULO VIII-O PROBLEMA DE DIRICHLET CLÁSSICO .. 284
$1. Potenciais de Camada Simplese Dupla. ......... 284
82. A Solução do Problema de Dirichlet Clássico. ........ .. 294
CAPÍTULO IX-A TRANSFORMADA DE FOURIER EM R” ... 302
$1. A Transformada de Fourierem LM(R”) ............. 302
82. A Transformada de Fourier no Espaço de Schwartz ....... 311
83. A Transformada de Fourier em L(R") Cerca “o. 314
“84. O Laplacianoem LH(R")..........cc. 316
85. Distribuições Temperadadas .........ccccccc. 323
$6. Um Parêntese Topológico .... EEE 328
87. A Derivada e a Transformada de Fourier em $ (R')...... 331
$8. Os Espaços de Sobolevem Rº ............. Ve 336
89. Convoluções, Soluções Fundamentais e Outras Coisas da Vida . 342
Referências
PREFÁCIO
“A única coisa perfeita é o conjunto vazio.” Com estas sábias pala-
vras nosso amigo Elon nos convenceu a fazer duas coisas: a primeira
delas foi escrever o presente texto e a segunda, como não poderia
deixar de ser, foi parar o processo desencadeado pela primeira! E
o resultado é este volume. Ele é baseado em vários conjuntos de
notas de aula de cursos ministrados na PUC/RJ, no IMPA, na UnB
e também no 13º Colóquio Brasileiro de Matemática, nos últimos
nove anos.
O livro tem duas partes distintas. O objetivo dos cinco primeiros
capítulos é introduzir, com um mínimo de pré-requisitos, os tópicos
de Análise de Fourier clássicos e modernos necessários ao estudo das
Equações Diferenciais Parciais. O material aí apresentado é desen-
volvido a partir do honorável método de separação de variáveis e
expansão em auto-funções, que permite resolver problemas de con-
torno e/ou valor inicial em certos domínios com simetria apropriada.
Partindo então de problemas clássicos, como, por exemplo, a trans-
missão de calor em uma barra finita, introduzimos a noção de série
de Fourier e, em seguida, desenvolvemos a teoria de tais objetos em
vários contextos, inclusive no das distribuições periódicas. As idéias
correspondentes no caso da reta também são apresentadas, com o
estudo da transformada de Fourier no espaço de Schwartz S(R.) e no
seu dual S(R), o espaço das distribuições temperadas. Introduzi-
mos também o espaço L?(R) como um subespaço de S'(R.), evitando
dessa forma o pré-requisito de medida e integração normalmente ne-
cessário para a teoria L?.
A primeira parte pode ser usada, como já o foi algumas vezes,
como referências básicas para um curso de um semestre a nível de
final de graduação ou início de mestrado. Dependendo da dispo-
nibilidade de tempo, o professor poderá apresentar alguns tópicos
básicos que porventura lhe agradem e que não são discutidos (ou
vi
o são muito rapidamente) no presente texto, como, por exemplo,
equações de primeira ordem e curvas características, ou usar mate-
rial mais avançado contido nos capítulos subsequentes.
À segunda parte é definitivamente mais avançada e pressupõe um
conhecimento básico de medida e integração pelo leitor. Ela trata
da generalização e extensão das idéias introduzidas anteriormente
para domínios em R”. Apresentamos aí um tratamento relativa-
mente extenso do problema de auto:valores para o laplaciano em
domínios limitados do R” através do método de equações integrais.
Os pré-requisitos necessários, como, por exemplo, a alternativa de
Fredholm e o teorema espectral para operadores compactos auto-
adjuntos, são descritos no Capítulo VI. O último capítulo trata a
teoria das integrais de Fourier em R”.
O livro conta também com um bom número de problemas que
devem ser encarados como parte integrante do texto. Acreditamos
que a única maneira de aprender Matemática é fazendo Matemática.
Por isso uma grande quantidade de informação adicional pode ser
encontrada nos Exercícios. Além disso, gostaríamos de encorajar o
leitor a consultar seriamente as referências bibliográficas citadas no
texto, assim como a procurar outros livros e artigos nas bibliotecas
ao seu alcance.
Em contraposição ao conjunto vazio, este volume apresenta defei-
tos e, esperamos, qualidades. Sobre estas não faremos comentários.
Quanto aos defeitos, o, maior deles nos parece a omissão total ou
parcial de certos tópicos e pontos de vista importantes na pesquisa
atual. Isso se deve, é claro, ao nosso gosto pessoal e às necessida-
' des locais dos cursos que deram origem a este livro. Por exemplo,
a equação de onda figura em segundo plano na exposição, a teoria
das equações de primeira ordem não é discutida (exceto em alguns
comentários curtos e exercícios) e o espaço de distribuições usual,
D', não é sequer mencionado (exceto no prefácio). Além disso, o
livro é “linear”: as equações não lineares foram deixadas de lado.
Nossa intenção inicial era escrever pelo menos uma seção sobre re-
Prefácio vii
gularização parabólica, assunto de interesse atual para o primeiro
autor, mas infelizmente não houve tempo hábil. Caso o livro seja
bem aceito, quem sabe numa edição futura...
Gostaríamos de registrar a nossa gratidão a algumas pessoas que
participaram, direta ou indiretamente, desta obra. A primeira de-
las é o professor Elon Lages Lima: não fosse sua insistência, esse
texto provavelmente jamais seria escrito. Somos gratos ao profes-
sor Carlos Isnard por suas inúmeras sugestões e críticas construtivas
ao longo dos últimos seis anos. Agradecemos também ao professor
Lucio Rodríguez, responsável pela composição do texto no compu-
tador do IMPA, pelo apoio recebido, à Sra. Maria Celano Maia por
“sua cobrança incansável e ao Sr. Rogério Dias Trindade pela sua
paciência e boa vontade. Finalmente, nossos agradecimentos a dois
amigos muito queridos, Carlos Alberto e Lulu Areal: ela é a figuri-
nista que escolheu as roupas e nos preparou para as fotos e ele é o
autor do desenho e da foto da capa.
Rio de Janeiro, 8 de dezembro de 1987.
Rafael José lório Jr.
Valéria Iório

PARTE I
Elementary may be deep.
Tosio Kato [48]