Elemente der Gruppentheorie

145 Pages·1984·3.25 MB·German

by  Prov.-Doz. Dr. rer. nat. Rudolf Schnabel (auth.)

ML Mathematik für die
Lehrerausbildung
Buchmann: Nichteuklidische Elementargeometrie
Einführung in ein Modell. 126 Seiten. DM 18,80
Freund: Elemente der Zahlentheorie
119 Seiten. DM 19,80
FreundlSorger: Aussagenlogik und Beweisverfahren
136 Seiten. DM 18,80
FreundlSorger: Logik, Mengen, Relationen
Praxis des mathematischen Beweisens. 191 Seiten. DM 19,80
Kinder/Spengler: Die Bewegungsgruppe einer euklidischen Ebene
Ein axiomatischer Aufbau ohne AnordnungsbegrifI
157 Seiten. DM 22,80
Kreutzkamp/Neunzig: Lineare Algebra
136 Seiten. DM 18,80
Löthe/Müller: Taschenrechner
168 Seiten. DM 18,80
Menzel: Elemente der Informatik
Algorithmen in der Sekundarstufe 1. 224 Seiten. DM 22,80
Messerle: Zahlbereichserweiterungen
119 Seiten. DM 18,80
Müller/Wölpert: Anschauliche Topologie
Eine Einfühung in die elementare Topologie und Graphentheorie
168 Seiten. DM 19,80
Schnabel: Elemente der Gruppentheorie
143 Seiten. DM 16,80
SimmlGonska: Algebraische Strukturen
208 Seiten. DM 24,80
Walser: Wahrscheinlichkeitsrechnung
164 Seiten. DM 18,80
Wippermann: Einführung in die Analysis
207 Seiten. DM 19,80
Preisänderungen vorbehalten
B. G. Teubner Stuttgart
Mathematik für die Lehrerausbildung
R. Schnabel
Elemente der Gruppentheorie
Mathematik für die
Lehrerausbildung
Herausgegeben von
Prof. Dr. G. Buchmann, Flensburg, Prof. Dr. H. Freund t
Prof. Dr. P. Sorger, Münster, Prof. Dr. U. Spengler, Kiel
Dr. W. Walser, Baden/Schweiz
Die Reihe Mathematik für die Lehrerausbildung behandelt studiumsgerecht in
Form einzelner aufeinander abgestimmter Bausteine grundlegende und weiter
führende Themen aus dem gesamten Ausbildungsbereich der Mathematik für
Lehrerstudenten. Die einzelnen Bände umfassen den Stoff, der in einer ein
semestrigen Vorlesung dargeboten wird. Die Reihe eignet sich besonders zum
Gebrauch neben Vorlesungen, zur Prüfungsvorbereitung sowie zur Fortbildung
von Lehrem.
Elemente
der Gruppentheorie
Von Dr. rer. nato Rudolf Schnabel
Priv.-Doz. an der Universität Kiel
Mit 226 Aufgaben
B. G. Teubner Stuttgart 1984
Priv.-Doz. Dr. rer. nat. Rudolf Schnabel, Kiel
Geboren 1948 in Weingarten. Von 1966 bis 1972 Studium der Mathe
matik, Informatik und der Wirtschaftswissenschaften in Tübingen und
Kiel. 1974 Promotion bei F. Bachmann. 1982 Habilitation in Mathematik.
Seit 1974 wiss. Assistent am Mathematischen Seminar der Universitität
Kiel. 1983/84 Gastprofessor an der Universität Oldenburg.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
SdmabeI, RudoH:
Elemente der Gruppentheorie / von Rudolf Schnabel. -
Stuttgart : Teubner, 1984.
(Mathematik für die Lehrerausbildung)
ISBN 978-3-519-02714-0 ISBN 978-3-322-94759-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-94759-8
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ders die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahrne, der Funksendung,
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UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist.
© B. G. Teubner, Stuttgart 1984
GesarnthersteUung: J. Beltz, HemsbachlBergstr.
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
VORWORT
Das vorliegende Buch ist aus der Intention entstanden, einen Kursus der Gruppen
theorie zu entwerfen, der als Grundlage für alle Kurse aus dem Bereich der
Algebra dienen kann. Insofern werden hier einerseits keine algebraischen Kenntnisse
vorausgesetzt und andererseits bewußt weitergehende algebraische Begriffsbildungen
(wie etwa "Ring", "Körper", "Vektorraum", etc.) vermieden. Vom Leser wird ledig
lich eine gewisse Vertrautheit mit dem Zahlenrechnen und den grundlegenden Techniken
der Mengenlehre und Logik erwartet. Die Gruppentheorie eignet sich für eine
solche "pure" Behandlung besonders gut, da der Begriff der Gruppe im Gesamt-
feld algebraischer Strukturbegriffe vergleichsweise einfach ist - gemeint ist
seine Definition, nicht seine Theorie -. Zugleich stellen die an Gruppen ent
wickelten Methoden einen guten Zugang zur algebraischen Denkweise dar.
Die Einteilung des Buches in sechs Hauptabschnitte stellt eine didaktische
Stufung dar, die es möglich macht, nach jedem Hauptabschnitt den Kursus sinn
voll zu beenden, d.h. es wird in diesem Sinne keine "Theorie auf Vorrat" be
trieben. Auch im Ablauf der Theorie, bei der Einführung neuer Begriffe etwa,
habe ich versucht, dieses Prinzip der internen Motivation einzuhalten. Die
Oberschriften der Hauptabschnitte 1,2,4 und 6 zeigen, daß ich auch ein gewisses
Prinzip der externen Motivation bei der Gliederung des Stoffes verwendet habe.
Die Aufgaben, die jeweils am Ende eines Unterabschnittes gesammelt sind, sind
teilweise Obungen und teilweise Ergänzungen zum Stoff; sie sind für ein Ein
arbeiten in die Theorie unerläßlich.
Innerhalb jedes Hauptabschnittes sind die Definitionen und Sätze gemeinsam
durchnumeriert und die Aufgaben für sich; die zusätzliche Einteilung in Unter
abschnitte dient nur dazu, die Gesamtgliederung zu verdeutlichen.
Im Literaturverzeichnis am Ende des Buches habe ich zu den einzelnen Kapiteln
nur einige Standardlehrbücher aufgeführt, die zum Vergleich oder zur Ver
tiefung herangezogen werden können. Da es sich hier ohnehin um grundlegenden
Standardstoff der Algebra handelt, habe ich im Text auf Literaturhinweise ver
zichtet.
Dieses Buch ist das erste aus der Reihe "Mathematik für die Lehrerausbildung"
des Teubner-Verlages, das die bisherige Gepflogenheit der Einteilung des Textes
in A, Bund C - Teile aufgibt. Hierdurch wurde eine stärkere Verschränkung
verschiedener Texttypen (motivierende Erklärungen, mathematische Texte, An
wendungen, Ausblicke) und damit eine Bewältigung des sehr umfangreichen
6 Vorwort
Stoffes auf relativ engem Raum ermöglicht.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof.Dr.U.Spengler für seine Anregung zu
diesem Buch und seine wertvollen Ratschläge zur Konzeption, Herrn Dr.H.Laue
für viele Hinweise zur Theorie und einige Aufgabenvorschläge, Herrn
Dipl.-Math.J.Gomoletz für die sehr sorgfältige Herstellung des Manuskriptes,
und schließlich dem Verlag für seine Geduld.
Reesdorf in Holstein,im Sommer 1984 Rudolf Schnabel
INHALT
1 Das Rechnen in Gruppen (Gruppen und Arithmetik) •.•.••••••••••••.•••••••••• 9
1.1 Einführung des Gruppenbegriffs •••.•••.•.•.•••••••••••.•••.••••••••.•••.. 9
1.1.1 Verknüpfungsgebilde, Halbgruppen und Gruppen •.••.••.•••••••...•••• 9
1.1.2 Gruppenkriterien 16
1.1.3 Die Restegruppen 18
1 .2 Isomorphie .•....•..•....••••..••.••......••.•.•••...••••••..•.•..•.•••.. 20
1.2.1 Isomorphismen und Homomorphismen ••.•.•..•••••.••.•...•...•..•..... 20
1.2.2 Die Bestimmung von Gruppen bis auf Isomorphie .••.•••..••..••..••.• 23
1.3 Konstruktion von Gruppen aus Gruppen •.•..•...••..••.••...•••.....•..••.• 25
1 .3. 1 Untergruppen ..•...••••..••..•.•....••••.•••...••.••..•••••.•.•..•• 25
1.3.2 Direkte Produkte .•..•.•...•......••.....••••••.•.•...•...•....•... 27
1.3.3 Boolesche Gruppen ••.••...•..••......•••...•...•...••.•••..••..••.• 29
1.4 Produkte mit mehreren Faktoren .....•..•••..••....•.•.•...••..•...•..•.•• 33
1.4.1 Die allgemeinen Rechengesetze für Produkte mit mehreren Faktoren .. 33
1.4.2 Die Vervielfachung ..•••...•......•.....•••.•••.•.•.•••...••...•... 37
1.4.3 Erzeugnisbildung und zyklische Gruppen 39
2 Permutationsgruppen (Gruppen und Kombinatorik) .•.•••••.•.••.••••••••.•.•.. 44
2.1 Die symmetrischen Gruppen •.•..••.......••...•..•••.••...••...•.•.•..••.• 44
2.1.1 Der Satz von Cayley 44
2.1.2 Symmetrische Gruppen .•••••...••..•...••.•••..••..•••••••.•••••••.• 47
2. 1 .3 Alternierende Gruppen .•..•••..••••......••.....••.•••..•.•.••..... 50
2.2 Automorphismengruppen •.•...•....••...•••.•..•....•..•••..•...•••..••.... 53
2.2.1 Automorphismengruppen von Gruppen 53
2.2.2 Automorphismengruppen von Graphen 56
3 Untergruppen und Faktorgruppen (Struktursätze I) •••••••••••••••••••.•••••• 62
3. 1 Untergruppen und Normalteiler ••••••..•••.•..•.•••••••••••••••..••.••••.• 62
3.1.1 Nebenklassen .••••.•.•.•••.••.•......•••••...•..•••••..••.••••.•.•• 62
3.1.2 Der Satz von Lagrange •••••.•...•.••••••••••••••••••••••.••••••.••. 64
3.1.3 Normalteiler ••••.••.•••.•••..••.••....•••••.•••••••••••.••••..•.•. 67
3.1.4 Direkte und halbdirekte Produkte ••••..•.•••.•••••••••••••••••..•.• 70
3.2 Die Bestimmung aller Gruppen einer Ordnung ~15 ••••••••••.••••••••••••••. 74
3.2.1 Vorbemerkungen 74
3.2.2 Die Bestimmung aller Gruppen der Ordnung 8 ..••.••.••••..•••.•.•••. 75
3.2.3 Die Bestimmung aller Gruppen der Ordnung 12 76
3.2.4 Die Bestimmung aller Gruppen der Ordnung 15 77
3.2.5 Zusammenfassung ..•..••••••.....•.•••..••.•••.•••.••.•..••...•.•.•. 77
3.3 Faktorgruppen und Homomorphiesatz ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 79
3.3.1 Fakto~gruppen ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 79
3.3.2 Der Homomorphiesatz ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 82
4 Zyklische und abelsche Gruppen (Gruppen und Zahlentheorie) •••••••••••••••• 88
4.1 Zyklische Gruppen....................................................... 88
4.1.1 Die Untergruppen zyklischer Gruppen und die Teilerbeziehung ••••••• 88
4.1.2 Die Ordnung eines Elementes und die Struktur zyklischer Gruppen ••• 92
4.2 Die Automorphismen einer zyklischen Gruppe •••••••••••••••••••••••••••••• 95
4.2.1 Vervielfachungsautomorphismen ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 95
4.2.2 Die Eulersche cj>-Funktion •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 98
4.3 Abelsche Gruppen ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.••••••• 102
5 Konjugation (Struktursätze 11) ••••••••••.••••••••••••••••••••••••••••••••• 108
5.1 Die Relation der Konjugiertheit .•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 108
5.1.1 Konjugierte Teilmengen •.••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••• 108
5.1.2 Konjugierte Elemente ••••••••••••••••••••••••••••.••••••••••••••••• 112
5.1.3 Zyklische Zahlen.................................................. 115
5.2 Kons truktion von p-Untergruppen ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 117
5.3 Ein Ausblick............................................................ 121
6 SYlIIlletrien (Gruppen und Geometrie) ........................................ 129
6.1 Transitive Abbildungsgruppen ••••••••••••.•••••••••••••.••••••.•••••••••• 129
6.1.1 Das Ubertragungsprinzip ••••••.••••••••••••••••••••••••••••••••.••• 129
6.1 .2 Gruppengraphen •••••.••••.•••..••••••••••••••••••••••••••.••••••••• 130
6.2 Klassische Abbildungsgruppen ••••••••••••••••.•••.•••••.••••.•••••.••••.• 132
6.2.1 Streckensysteme .••.•.••.••••••••••..•••..••••••••••••••••••••••••• 132
6.2.2 Kollineationen und Dilatationen .•••••••••••••••.•.••••..•••.••••.• 134
6.2.3 Ähnlichkeiten und Bewegungen •••••.•••••••••••.•••••••••.••••.••••• 137
Literaturverzeichnis •.•••.•••..••.••••.••••.••••••.••••.••.•••••••••••.••••. 139
Sachverzeichnis •.....•••••••.•••••...••.•.•••..••••••••.•••••••••.••••.••••• 141
1.1 Einführung des Gruppenbegriffs 9
1 DAS RECHNEN IN GRUPPEN (GRUPPEN UND ARITHMETIK)
1.1 Einführung des Gruppenbegriffs
In der Gruppentheorie, und allgemeiner in der Algebra, untersucht man Struk
turen, in denen eine oder mehrere Verknüpfungen gegeben sind, die gewissen
(naheliegenden) Rechengesetzen genügen. Die Theorie des betreffenden Struk
turtyps (hier: die Gruppentheorie) erwächst aus dem Versuch, einen möglichst
vollständigen Oberblick über alle Modelle des Strukturtyps (hier: Gruppen)
zu gewinnen - ein Ziel, das oft in unerreichbarer Ferne liegt.
Der Ausgangspunkt einer algebraischen Theorie ist allemal ein Axiomensystem,
durch welches ein Strukturtyp festgelegt wird, und das meist durch Reduktion
von Rechengesetzen eines gewissen Bereichs auf wenige Grundgesetze entsteht.
Auch die Gruppentheorie ist so entstanden, nämlich aus dem Rechnen mit Per
mutationen (siehe Abschnitt 2), d.h., eine Gruppe ist eine Struktur, in der
solche Gesetze gelten, die man als grundlegend und allgemeingültig für das
Rechnen mit Permutationen erkannt hat.
A.Cauchy hat 1815 den Begriff der Gruppe konzipiert, und E.GaLois (1812-
-1832), der als einer der Hauptbegründer der Gruppentheorie gilt, hat Per
mutationsgruppen als Hilfsmittel zur Analyse von Gleichungen höheren Grades
eingesetzt. Erst später erwies sich dann die umfassende, weit über die
Algebra hinausgehende Bedeutung des Gruppenbegriffs, und er wurde auch erst
später abstrakt gefaßt, also abgelöst von dem konkreten Konzept der Per
mutationen. Heute trägt der Gruppenbegriff in vielen mathematischen Gebieten
zur methodischen und inhaltlichen Klärung bei.
1.1.1 Verknüpfungsgebilde. Halbgruppen und Gruppen
Die Struktur einer Gruppe ist durch ihre Verknüpfung gegeben. Beispiele für
Verknüpfungen lernt man in der Arithmetik schon früh kennen: Addition, Sub
traktion, Multiplikation und Division. Der Verknüpfungsbegriff wird auf den
allgemeinen Abbildungsbegriff zurückgeführt.
1.1 DEFINITION Für eine Menge G heißt eine Abbildung· von GxG in G eine
Verknüpfung auf G, und ~:=(G,·) heißt ein VerknüpfungsgebiLde. G heißt dann
die Trdgermenge Von G und· die Verknüpfung von G. Ist G endlich, so heißt
G endLich und IGI die Ordnung von G.
Verknüpfungsgebilde, die in der Literatur auch RechengebiLde oder Grup-