Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Heino Henke
Elektromagnetische
Felder
Theorie und Anwendung
3.,erweiterteAuflage
Mit212Abbildungenund7Tabellen
123
ProfessorDr.-Ing.HeinoHenke
TechnischeUniversitätBerlin
FachgebietTheoretischeElektrotechnik
SekretariatEN2
Einsteinufer17
D-10587Berlin
E-mail:[email protected]
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Vorwort zur dritten, erweiterten Auflage
Die vorliegende Neuauflage hat einige wesentliche Erweiterungen erfahren.
Neben dem üblichen Ausmerzen von immer noch vorhandenen Druckfehlern
und einigen kleineren Ergänzungen sowie hoffentlich verbesserten Erklärun-
gen, habe ich vor allem versucht auf Leserwünsche einzugehen, die sich auf
eineErweiterungdesStoffsbezogen.NeuaufgenommenwurdendieFrequenz-
abhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten, die Leitungstheorie, die spezielle
RelativitätstheorieunddienumerischeFeldberechnung.Vorallemdiebeiden
letzteren haben den Umfang des Buches doch erheblich erweitert. Einfache
BeispielefürdienumerischeBehandlungvonFeldproblemenhabeichanmeh-
rerenStelleneinfließenlassenunddasletzteKapitelistalsEinführungindie
Methoden der Finiten Elemente und Finiten Differenzen gedacht.
Opfer der Erweiterung wurden die Übungsaufgaben, die verschwunden
sind. Dafür ist ein separates Übungsbuch in Vorbereitung, welches noch in
diesem Jahr erscheinen wird.
Wie schon für die vorherigen Auflagen richtet sich mein besonderer Dank
an Herrn Dr.-Ing. Manfred Filtz, der die Textverarbeitung einschließlich Bil-
dernundLayoutmitdergewohntenSorgfaltdurchgeführthatundimmerein
kritischer Leser war mit vielen Anregungen und Verbesserungsvorschlägen.
Berlin, im Frühjahr 2007 Heino Henke
Vorwort
Dieses Buch ist aus einer zweisemestrigen Vorlesung für Studenten der Elek-
trotechnik an der Technischen Universität Berlin enstanden. Es wendet sich
aber auch an Studenten anderer Fachgebiete, wie z.B. Physik oder Techni-
scheInformatik,undanIngenieureundWissenschaftler,dieinForschungund
EntwicklungtätigsindundmitFragestellungenzumElektromagnetismus zu
tun haben. Die zu lehrenden Inhalte und die Reihenfolge ihrer Darstellung
sindheutzutageweitgehendvereinheitlichtunddieverschiedenenLehrbücher
unterscheiden sich meist nur in Stil und Form und wenig in der Auswahl des
Stoffes. Dennoch gibt es unterschiedliche Gewichtungen und Präferenzen.
DiemeistenLehrbücherbenutzendeninduktivenWeg,umausgehendvon
den einzelnen experimentellen Ergebnissen und Erkenntnissen einen einheit-
lichen Rahmen in Form der Maxwellschen Gleichungen zu schaffen. Nach
meiner Erfahrung führt dieser Weg bei den Studenten oftmals zu Verwir-
rung, da der Stoff zu bruchstückhaft und nicht zusammenhängend erscheint.
Auch trat häufig eine Art mentalen Widerstands auf, wenn abstrakte Begrif-
fe wie Gradient, Divergenz und Rotation häppchenweise eingeführt werden.
AusdiesenGründenwurdehierdiededuktiveVorgehensweisegewählt.Nach
einer kompakten Wiederholung der unvermeidlichen Vektoranalysis werden
der Feldbegriff, die Quellen der Felder und schließlich die Maxwellschen
Gleichungen (in Vakuum) in nahezu axiomatischer Form eingeführt. Darauf
aufbauendbehandelnnachfolgendeKapitelspezielle,vereinfachteSituationen
wie Elektrostatik, Magnetostatik, stationäre Strömungen und zeitlich lang-
sam veränderliche Felder. Dabei werden auch die nötigen Erweiterungen, die
Felder in Materie erfordern, behandelt. Einen wesentlichen Teil bilden die
letztenvierKapitel,dieWellenvorgängebeschreibenundvondenvollständi-
gen Maxwellschen Gleichungen ausgehen. Den Abschluß und zugleich die
KrönungstelltdieHerleitungderFeldereinerbeliebigbewegtenPunktladung
dar. Das Ergebnis ist grundlegend für das Verständnis elektromagnetischer
Felder, denn es zeigt wunderschön den statischen Feldanteil, Felder, die bei
gleichförmiger Bewegung auftreten und die durch Beschleunigung erzeugten
Strahlungsfelder.
EswerdenzweiverschiedeneArtenvonÜbungenunterschieden.Dieeinen,
als Beispiele gekennzeichnet, sind mehr pädagogischer Natur und dienen der
Veranschaulichung des behandelten Stoffes. Sie sind direkt in die entspre-
VIII Vorwort
chenden Paragraphen eingearbeitet. Daneben wird versucht, mit einer Viel-
zahl von Aufgaben, die zur Einübung, Vertiefung und Anwendung der im
Text vermittelten Grundkenntnisse dienen, einen neuen Weg einzuschlagen.
Die Aufgabenstellungen findet man im Kapitel Übungen. Die ausführlichen
Lösungen können auf der WWW-Seite
http://www-tet.ee.tu-berlin.de
eingesehenwerden,undindenFällen,indenensicheinenumerischeAuswer-
tung anbietet, mit dem Computeralgebrapaket MuPAD bearbeitet und vi-
sualisiert werden. Damit wird beabsichtigt, zum einen ein größeres Interesse
derStudenten zuwecken undzumanderenbestehtjederzeitdieMöglichkeit,
die Aufgaben online zu verbessern und zu erweitern. Falls erwünscht können
die Aufgaben mit Lösungen auch in Form einer CD-Rom käuflich erworben
werden. Die Bestellung erfolgt per E-Mail unter der Adresse
[email protected] .
Besonderen Dank möchte ich an dieser Stelle Herrn Dr.-Ing. Manfred Filtz
aussprechen. Ohne ihn wäre dieses Buch nicht zustandegekommen. Er hat
alle Aufgaben ausgearbeitet, die WWW-Seite erstellt und die gesamte Text-
verarbeitung einschließlich der Bilder in hervorragender Weise durchgeführt.
DanebenwarerimmereinkritischerLesermitvielenwertvollenAnregungen
und Verbesserungsvorschlägen.
DankenmöchteichauchdenHerrenDr.-Ing.WarnerBrunsundDipl.-Ing.
Rolf Wegner für Korrekturlesen und zahlreiche Änderungsvorschläge. Für
gute Kooperation sei Frau Hestermann-Beyerle vom Springerverlag gedankt.
Berlin, im Juli 2001 Heino Henke
Inhaltsverzeichnis
Zur Bedeutung der elektromagnetischen Theorie ............. 1
1. Einige mathematische Grundlagen........................ 5
1.1 Vektoralgebra.......................................... 5
1.2 Koordinatensysteme .................................... 9
1.3 Vektoranalysis ......................................... 15
1.3.1 Differentiation ................................... 15
1.3.2 Integration ...................................... 15
1.3.3 Gradient ........................................ 16
1.3.4 Divergenz ....................................... 17
1.3.5 Rotation ........................................ 18
1.3.6 Nabla-Operator .................................. 21
1.3.7 Rechnen mit dem Nabla-Operator .................. 22
1.3.8 Zweifache Anwendungen des Nabla-Operators........ 23
1.4 Integralsätze........................................... 24
1.4.1 Hauptsatz der Integralrechnung .................... 24
1.4.2 Wegintegral eines Gradientenfeldes ................. 25
1.4.3 Gaußscher Integralsatz ............................ 25
1.4.4 Greensche Integralsätze ........................... 27
1.4.5 Stokesscher Integralsatz ........................... 28
1.5 Numerische Integration.................................. 29
1.6 Diracsche Deltafunktion................................. 34
1.7 Vektorfelder, Potentiale ................................. 36
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 37
2. Maxwellsche Gleichungen im Vakuum .................... 39
2.1 Feldbegriff............................................. 39
2.2 Ladungen. Ströme ...................................... 41
2.3 Coulombsches Gesetz. Elektrisches Feld ................... 43
2.4 Satz von Gauß ......................................... 43
2.5 Biot-Savartsches Gesetz. Durchflutungssatz ................ 45
2.6 Vierte Maxwellsche Gleichung............................ 46
2.7 Induktionsgesetz ....................................... 47
2.8 Verschiebungstrom. Maxwells Gleichung................... 48
X Inhaltsverzeichnis
2.9 Maxwellsche Gleichungen................................ 49
2.10 Einteilung elektromagnetischer Felder ..................... 51
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 53
3. Elektrostatische Felder I (Vakuum. Leitende Körper) ..... 55
3.1 Anwendung des Coulombschen Gesetzes ................... 55
3.2 Anwendung des Satzes von Gauß ......................... 58
3.3 Elektrisches Potential ................................... 59
3.4 Potentiale verschiedener Ladungsanordnungen.............. 60
3.5 Laplace-, Poisson-Gleichung.............................. 66
3.6 Leitende Körper. Randbedingungen....................... 69
3.7 Spiegelungsmethode .................................... 72
3.8 Kapazität. Teilkapazität................................. 76
Zusammenfassung........................................... 83
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 84
4. Elektrostatische Felder II (Dielektrische Materie)......... 86
4.1 Polarisation............................................ 87
4.1.1 Unpolare Dielektrika.............................. 87
4.1.2 Polare Dielektrika ................................ 88
4.1.3 Feld eines polarisierten Körpers .................... 90
4.1.4 Makroskopische Beschreibung ...................... 92
4.2 Dielektrische Verschiebung............................... 95
4.3 Einfluß auf die Maxwellschen Gleichungen. Stetigkeitsbedin-
gungen................................................ 96
4.4 Spiegelung an dielektrischen Grenzflächen ................. 99
4.5 Frequenzabhängigkeit der Polarisierung ................... 101
Zusammenfassung........................................... 104
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 105
5. Elektrostatische Felder III (Energie. Kräfte).............. 106
5.1 Energie einer Anordnung von Punktladungen .............. 106
5.2 Energie einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ........... 107
5.3 Kräfte auf Körper und Grenzflächen ...................... 109
5.4 Kraftdichte ............................................ 111
Zusammenfassung........................................... 114
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 115
6. Elektrostatische Felder IV (Spezielle Lösungsmethoden) .. 116
6.1 Eindeutigkeit der Lösung ................................ 116
6.2 Separation der Laplacegleichung.......................... 117
6.2.1 Kartesische Koordinaten .......................... 118
6.2.2 Vollständige, orthogonale Funktionensysteme ........ 121
6.2.3 Zylinderkoordinaten. Zylinderfunktionen ............ 123
6.2.4 Fourier-Bessel-Entwicklung ........................ 127
Inhaltsverzeichnis XI
6.2.5 Kugelkoordinaten. Kugelfunktionen................. 128
6.3 Konforme Abbildung.................................... 131
6.3.1 Darstellung ebener Felder durch komplexe Funktionen 131
6.3.2 Prinzip der konformen Abbildung. Beispiele.......... 135
6.3.3 Schwarz-Christoffel-Abbildung ..................... 141
6.4 Beispiele für numerische Simulation....................... 144
6.4.1 Einfache Integral-Methode......................... 145
6.4.2 Einfache Differentiations-Methode (Finite Differenzen
Methode) ....................................... 149
Zusammenfassung........................................... 153
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 155
7. Stationäres Strömungsfeld ................................ 157
7.1 Stromdichte. Kontinuitätsgleichung ....................... 157
7.2 Leitfähigkeit. Ohmsches Gesetz. Verlustleistung ............ 159
7.3 Elektromotorische Kraft (EMK).......................... 161
7.4 Kirchhoffsche Sätze ..................................... 163
7.5 Grundlegende Gleichungen............................... 164
7.6 Relaxationszeit......................................... 167
Zusammenfassung........................................... 169
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 170
8. Magnetostatische Felder I (Vakuum) ..................... 171
8.1 Anwendung des Durchflutungssatzes ...................... 171
8.2 Anwendung des ersten Ampèreschen Gesetzes .............. 173
8.3 Anwendung des Biot-Savartschen Gesetzes................. 176
8.4 Magnetisches Skalarpotential ............................ 179
8.5 Stromdurchflossene Leiterschleife. Magnetischer Dipol....... 180
8.6 Magnetisches Vektorpotential ............................ 184
8.7 Vektorpotential im Zweidimensionalen (Komplexes Potential) 188
Zusammenfassung........................................... 190
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 191
9. Magnetostatische Felder II (Magnetisierbare Materie) .... 193
9.1 Magnetisierung......................................... 194
9.1.1 Diamagnetismus.................................. 195
9.1.2 Paramagnetismus................................. 196
9.1.3 Feld eines magnetisierten Körpers .................. 197
9.1.4 Makroskopische Beschreibung ...................... 199
9.1.5 Ferromagnetismus ................................ 201
9.2 Magnetische Feldstärke.................................. 204
9.3 Einfluß auf die Maxwellschen Gleichungen ................. 205
9.4 Spiegelung an permeablen Grenzflächen ................... 207
Zusammenfassung........................................... 208
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 209
XII Inhaltsverzeichnis
10. Magnetostatische Felder III (Induktivität. Energie. Magne-
tische Kreise)............................................. 210
10.1 Induktivität ........................................... 210
10.2 Magnetische Energie .................................... 213
10.3 Kräfte auf Körper und Grenzflächen ...................... 217
10.4 Magnetische Kreise ..................................... 219
Zusammenfassung........................................... 222
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 223
11. Bewegung geladener Teilchen in statischen Feldern ....... 224
11.1 Homogenes elektrisches Feld ............................. 224
11.2 Elektrostatische Linsen.................................. 228
11.3 Homogenes magnetisches Feld............................ 230
11.4 Inhomogenes Magnetfeld (Magnetischer Spiegel)............ 234
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 237
12. Zeitlich langsam veränderliche Felder ..................... 238
12.1 Induktionsgesetz ....................................... 239
12.1.1 Transformator-EMK .............................. 242
12.1.2 Bewegungs-EMK ................................. 244
12.1.3 Lokale Formulierung (differentielle Form)............ 245
12.1.4 Bemerkungen .................................... 246
12.2 Grundlegende Gleichungen............................... 248
12.3 Herleitung der magnetischen Energie (Hystereseverluste) .... 250
12.4 Diffusion magnetischer Felder durch dünnwandige Leiter..... 253
12.4.1 Zylinder parallel zum Magnetfeld................... 254
12.4.2 Zylinder senkrecht zum Magnetfeld ................. 256
12.5 Separation der Diffusionsgleichung........................ 258
12.5.1 Kartesische Koordinaten .......................... 258
12.5.2 Zylinderkoordinaten .............................. 262
12.6 Komplexe Zeiger (Phasoren) ............................. 265
12.7 Skineffekt ............................................. 265
12.8 Numerische Lösung des Skineffektes im Rechteckleiter....... 269
12.9 Abschirmung .......................................... 272
12.9.1 Dünnwandiger Kreiszylinder ....................... 272
12.9.2 Dickes Blech..................................... 273
12.10 Wirbelströme (Induktives Heizen. Levitation. Linearmotor) . 275
12.11 Induktivität (Ergänzung) ............................... 280
Zusammenfassung........................................... 282
Fragen zur Prüfung des Verständnisses......................... 283
