Einsteins Theorien: Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie für interessierte Einsteiger und zur Wiederholung

292 Pages·2013·5.64 MB·German

by  Bernd Sonne

Bernd Sonne
Reinhard Weiß
Einsteins
Theorien
Spezielle und Allgemeine
Relativitätstheorie für interessierte
Einsteiger und zur Wiederholung
EinsteinsTheorien
Bernd Sonne
Reinhard Weiß
Einsteins Theorien
Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie
für interessierte Einsteiger und zur Wiederholung
BerndSonne ReinhardWeiß
Hamburg,Deutschland Garrel,Deutschland
ISBN978-3-642-34764-1 ISBN978-3-642-34765-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-34765-8
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PlanungundLektorat:Dr.VeraSpillner,MartinaMechler
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Vorwort des Verlages
EinsteinsgroßeTheorien,dieSpezielleRelativitätstheorie(1905)unddieAll-
gemeine Relativitätstheorie (1915), haben seit Ihrer Formulierung Denker
aller Fachrichtungen und nahezu jeden Alters fasziniert und begeistert und
auchzukontroversenDiskussionenangeregt.
Wo die Zeit langsamer geht, Räume sich krümmen und verkürzen und
Paradoxien auftreten, gelangt unser Geist in Sphären, die das Auge mögli-
cherweisenieerblickenkann.
DerEinstiegindieseGedankengebäudeistjedochaufgrundderzugrunde
liegendenMathematikundPhysiknichtimmerleicht.Unddochistesgerade
die Mathematik, die ein eigentliches Verständnis der Theorie überhaupt erst
ermöglicht.DieAutorendiesesWerkeshabendaherWertaufeineausführliche
Darstellung der Prinzipien der Theorie gelegt und die sich daraus ergebende
Mathematik, insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie, in ihrer An-
wendung zumMit-und Nachrechnen vorgeführt.Bekannte Phänomene wie
dasZwillingsparadoxonwerdenindiesemBuchallgemeinverständlichherge-
leitetundmitvielenZwischenschritten präsentiert.
Da hilft es auch, dass sich für dieses Buch zwei Autoren mit ganz unter-
schiedlichen Hintergründen – ein Physiker und ein von Physik begeisterter
Mediziner–zusammengefundenhaben.DennsoentstandeinBuch,dasden
Leser bei mathematischen und physikalischenAbiturkenntnissen abholtund
mitnimmt bis zu Rechnungen und Gedanken eines höheren Semesters der
Physik,jabishinzuSeminarenzurAllgemeinenRelativitätstheorie.
WeralsomehrüberdieRelativitätstheorienwissenwill,alswasinWorten
gesagtwerdenkann–werwirklicheinenEinblickauchindiemathematischen
Grundlagen insbesondere der SRT gewinnen möchte – der wird in diesem
BuchsichervieleAnregungenundHilfestellungenfürdenEinstiegfinden.
FolgenSiedenAutorennunindenKosmosvonEinsteinsgroßenTheorien,
die,wieSienochsehenwerden,einewichtigeBedeutungfürdiePraxishaben.
Vorwort von Bernd Sonne
Schon als Schüler und später als Student haben mich die Person Albert Ein-
steinund seine Spezielleund AllgemeineRelativitätstheorie (SRTund ART)
fasziniert,[1]und[5].AnderUniversitätHamburghatteichdasgroßeGlück,
Vorlesungen von Pascal Jordan und Wolfgang Kundt zu hören, die mein In-
teresse noch verstärkt haben. In meinem Berufsleben hatte ich kaum etwas
mit Relativitätstheorie zu tun. Nach vielen Jahren fiel mir ein weiteres Buch
indieHand,dasmicherneutzurRelativitätstheoriegeführthat,[2].Seitdem
beschäftige ich mich wieder intensiv mit der SRT und ART, wobei es mir
besondersdasZwillingsparadoxonangetanhat.
Die Relativitätstheorie scheint im Alltag kaum eine Rolle zu spielen, tat-
sächlich ist sie aber von enormer Bedeutung. Ohne die SRT würden wir bei
denbisvorwenigenJahrennocherhältlichenRöhren-Farbfernseherneinun-
scharfes und farbverschmiertes Bild sehen. Und ohne SRT und ART würde
dasAutomitdemNavigationssystemGPSnichtansZielkommen!
Esgehtmirnichtdarum,einneuesLehrbuchoderVorlesungenüberSRT
und ART zu schreiben. Um das Buch möglichst anschaulich und mathema-
tischen nicht zu schwer zu halten, habe ich bewusst auf den Formalismus
verzichtet, den man für ein tieferes Verständnis der ART benötigt: Mannig-
faltigkeiten,RiemannscheDifferentialgeometrie,RegelnderTensorrechnung.
Dennoch versuche ich auch ohne den Formalismus einen Eindruck von der
SchönheitundEleganzdieserTheoriezuvermitteln.
VIII EinsteinsTheorien
DerSchwerpunktmeinerBeiträgeliegtvielmehrdarin,dassmandieRech-
nungen und Argumente, die maninanderenFachbüchern und -artikelnnur
sehr gekürzt findet, auch selbst nachvollziehen kann. Insofern versuchen wir
auchalsAutorenteam,gemeinsammöglichstverständlicheErklärungenzuge-
ben und viele Rechenschritte aufzuzeigen. Der letzte Punkt ist der, den ich
hauptsächlichinderLiteraturvermissthabe:VieleErgebnisse„fallendortvom
Himmel“.Mankannsieglaubenoderauchnicht.
DeshalbhabeichmirdieMühegemacht,allesnachzurechnen.Ichmöchte
damitderLeserschaftzeigen,wiemanzudenwichtigstenErgebnissengelangt
und welche Interpretationsmöglichkeiten es gibt. Ich zeige, dass die Rechen-
schritteeigentlichgarnichtsoschwierigsind,wennsieauchmanchmaletwas
langwierigerscheinen.
Das Buch kann Studentinnen und Studenten der Physik und anderer Fä-
cher dabei hilfreich sein, etwas Erfahrung im Umgang mit „physikalischer“
Mathematik zu bekommen. Viele Kapitel zur SRT sind auch für die gym-
nasiale Oberstufe geeignet und können den Unterricht in Mathematik und
Physik bereichern. Man benötigt zwar in späteren Abschnitten etwas Übung
beiderLösungvonDifferentialgleichungen.DiesgiltauchfüreinigeKapitel
zurART.DerenPrinzipiensindinKap.13aberallgemeinverständlichformu-
liert. Für das Kap. 20 sind Kenntnisse inVektoranalysis notwendig. Obwohl
die tensoriellen Ausgangsgleichungen erwähnt werden, sind für das weitere
Verstehen keine Kenntnisse dazu notwendig, es sei denn für den Anhang zu
Kap.20,denmanaberauslassenkann.
Vorwort von Reinhard Weiß
Ich bin mathematisch-naturwissenschaftlich interessierter Mediziner. Als
Quereinsteiger in den Bereich der Physik habe ich die gelegentlich aufkom-
mendeFrustrationnichtvergessen,diesichbeidemVersucheinstellt,dievon
ihren Ideen her so faszinierend, aber im Grunde nur auf mathematischem
Wege nachvollziehbare Relativitätstheorie anschaulich verstehen zu wollen.
Deshalb sah ich als Koautor für das „Leichte“ meine Aufgabe darin, durch
mathematische Einfachheit und AusführlichkeitdenEinstieg indie Spezielle
Relativitätstheoriezuerleichtern.
MeineBeiträgezumvorliegendenBuchrichtensichanalle,dieSpaßander
Lösung mathematisch-physikalischer Probleme haben, an physikinteressierte
Gymnasiasten und an Physikstudenten in den Anfangssemestern. Besonders
wichtigwarmir,dasKonzeptdesMichelson-Morley-Experimentsausführlich
darzustellensowiedenZusammenhang zwischen denMessbedingungenund
dengemessenenZeitintervallenundLängenmöglichstanschaulichzuzeigen.
Weiterhinlagmirvieldaran,denoptischenDoppler-EffektunddieAberrati-
onnichtnurallgemeinundkonsistent,sondernauchvoneinanderunabhängig
undelementarherzuleiten.FallsdengeübtenunderfahrenenLeserinnenund
LeserneinigeAbschnittezuausführlichodergartrivialerscheinen,mögensie
darüber hinwegsehen und sich daran erinnern, dass auch sie einmal „leicht“
begonnenhaben.
X EinsteinsTheorien
Danksagung
Herr Klaus Kassner hat uns freundlicherweise die Abb. 4.4 und 4.5 sowie
4.12bis4.15zurVerfügunggestellt,HerrWolfgangBrummetdieAbb.13.5.
DieAbb. 3.1, 3.2, 5.3, 9.1 und 13.1 bis13.4 sowie20.2 und 20.3 enthalten
Cliparts. Für die Erlaubnis zu deren Verwendung bedanken wir uns bei der
FirmaMicrosoft.
Die Zitate von Einstein sind dem Internet entnommen. Vielen Dank an
diePersonen,diesiezusammengestellthaben.
Unser besonderer Dank gilt Herrn Matthias Bartelmann für sein Geleit-
wort.ErhatdasManuskriptsehrkritischgelesenundunswichtigeKorrektu-
renmitgeteilt.
Und nicht zuletzt danken wir den Lektorinnen des Springer-Spektrum-
Verlages, FrauVera Spillnerund FrauMartina Mechler, die uns mit Rat und
TatbeidenvielfältigenEditieraufgabenunterstützt haben.
ImApril2013 BerndSonne,ReinhardWeiß
Inhaltsverzeichnis
Teil 1
DieSpezielle Relativitätstheorie
1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2
Lichtistfürallegleichschnell–DerWegzurRelativitätstheorie. . . . . . . 5
2.1 DasMichelson-Morley-Experiment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 AnnahmenzumMichelson-Morley-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 ErgebnisdesMichelson-Morley-ExperimentsundKonsequenzen . . . 12
3
RaumundZeitsindmiteinanderverbunden–
EineTheorieverändertunsereSichtaufdiephysikalischeWelt. . . . . . . . 17
3.1 PrinzipienderSpeziellenRelativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Raum,ZeitundBewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Raum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.3 Raum-Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.4 GleichförmigeBewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.5 Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.6 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.7 Koordinatenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.8 Gleichzeitigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Raum-Zeit-Diagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4
AbständeundZeitdauernsindrelativ–DiemathematischenGrundlagen 29
4.1 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.1 ElementareHerleitung(nachMelcher) . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 LängenbestimmungmitEreigniskoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 LängenzwischengleichzeitigenEreignissen . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 LängenzwischennichtgleichzeitigenEreignissen . . . . . . . 42
4.3 ZeitbestimmungmitEreigniskoordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1 ZeitintervallezwischengleichortigenEreignissen. . . . . . . . 44
4.3.2 ZeitintervallezwischennichtgleichortigenEreignissen. . . . 46