Table Of ContentThe Lecture Notes are intended to report quickly and informally, but on a high level, new developments
in mathematical economics and operations research. In addition reports and descriptions of interesting
methods for practical application are particularly desirable. The following items are to be published:
1. Preliminary drafts of original papers and monographs
2. Special lectures on a new field, or a classical field from a new point of view
3. Seminar reports
4. Reports from meetings
Out of print manuscripts satisfYing the above characterization may also be considered, if they continue to
be in demand.
The timeliness of a manuscript is more important than its form, which may be unfinished and prelimi
nary. In certain instances, therefore, proofs may only be outlined, or results may be presented which have
been or will also be published elsewhere.
The publication of the "Lectun Notes" Series is intended as a service, in that a commercial publisher, Springer
Verlag, makes house publications of mathematical institutes available to mathematicians on an inter
national scale. By advertising them in scientific journals, listing them in catalogs, further by copyrighting
and by sending out review copies, an adequate documentation in scientific libraries is made possible.
ManUSCripts
Since manuscripts will be reproduced photomechanically, they must be written in clean typewriting. Hand
written formulae are to be filled in with indelible black or red ink. Any corrections should be typed on a
separate sheet in the same size and spacing as the manuscript. All corresponding numerals in the text and
on the correction sheet should be marked in pencil. Springer-Verlag will then take care of inserting the
corrections in their proper places. Should a manuscript or parts thereof have to be retyped, an appro
priate indemnification will be paid to the author upon publication of his volume. The authors receive
25 free copies.
Manuscripts written in English, German, or. French will be received by Prof. Dr. M. Beckmann, Depart
ment of Mathematics, Brown University, Providence, Rhode Island 029 12/USA, or Prof. Dr. H. P.
KUnzi, Institut fUr Operations Research und elektronische Datenverarbeitung der U niversitiit ZUrich,
SumatrastraEe 30, 8006 ZUrich.
Die Lecture Notes sollen rasch und informell, aber auf hohem Niveau, Uber neue Entwicklungen der
mathematischen Okonometrie und Unternehmensforschung ~erichten, wobei insbesondere auch Berichte
und Darstellungen der fUr die praktische Anwendung interessanten Methoden erwUnscht sind. Zur
VerOffentlichung kommen:
1. VorHiufige Fassungen von Originalarbeiten und Monographien.
2. Spezielle Vorlesungen iiber ein neues Gebiet oder ein klassisches Gebiet in neuer Betrachtungsweise.
3. Seminarausarbeitungen.
4. Vortrage von Tagungen.
Ferner kommen auch altere vergriffene spezielle Vorlesungen, Seminare und Berichte in Frage, wenn nach
ihnen eine anhaltende N achfrage besteht.
Die Beitrage dUrfen im Interesse einer groBeren Aktualitiit durchaus den Charakter des Unfertigen und
Vorlaufigen haben. Sie brauchen Beweise unter. Umstiinden nur zu skizzieren und dUrfen auch Ergebnisse
enthalten, die in ahnlicher Form schon erschienen sind oder spater erscheinen sollen.
Die Herausgabe der "Lecture Notes" Serie durch den Springer-Verlag stellt eine Dienstleistung an die
mathematischen Institute dar, indem der Springer-Verlag fUr ausreichende Lagerhaltung sorgt und einen
groBen internationalen Kreis von Interessenten erfassen kann. Durch Anzeigen in Fachzeitschriften, Auf
nahme in Kataloge und durch Anmeldung zum Copyright sowie durch die Versendung von Be
sprechungsexemplaren wird eine IUckenlose Dokumentation in den wissenschaftlichen Bibliotheken
ermoglicht.
Lecture Notes in
Operations Research and
Mathematical Economics
Edited by M. Beckmann, Providence and H. P. KUnzi, ZUrich
7
Werner Popp
EinfUhrung in die
Theorie der Lagerhaltung
1968
Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· New York
Dr. Werner Popp
Privatdozent fur Operations Research
an der Universitat Zurich und
Mitarbeiter in der Operations Research Abteilung
der Fides Treuhand-Vereinigung, Zurich
All rights reserved. No part of this book may be translated or reproduced in any form without written permission from
ISBN-13: 978-3-540-04256-3 e-ISBN-13: 978-3-642-95065-0
DOl: 10.1007/978-3-642-95065-0
Springer Verlag. © by Springer-Verlag Berlin· Heidelberg 1968.
Reprint of the original edition 1986
Library of Congress Catalog Card Number 68-56949. Title No. 3757
v 0 r w 0 r t
Die vorliegende Schrift solI eine Einftihrung in die
Theorie der Lagerhaltung geben und dem Leser den Zu
gang zu fortgeschrittener Literatur erleichtern. 1m
Gedankengut findet auch eine Reihe von in der Praxis
interessierenden Gesichtspunkten Berticksichtigung.
Herr Professor Dr. H.P. Ktinzi gab die Anregung zu dieser
Schrift und wusste immer guten Rat wahrend der Ausarbei
tung. Kritik und wertvolle Hinweise leisteten die Herren
Professoren Dr. M. Beckmann, Bonn, D. Blackwell Ph.D.,
Berkeley/USA, Dr~ P. Kall, Mannheim, Dr. H. Kellerer,
Mtinchen, und Dr. D. Onigkeit, Ztirich, sowie Herr Dipl.
Math. K. Wenke von der Fides Treuhand-Vereinigung, Zti
rich.
Fraulein Heidi Thurnherr erledigte die Schreibarbeiten
mit grosser Prazision und Geduld.
Ftir die vielseitige und hilfreiche Untersttitzung mochte
der Verfasser besonderen Dank sagen.
Ztirich, im Juli 1968
w.
Popp
G lie d e run g
o ABGRENZUNG 1
1 ELEMENTE DER LAGERMODELLE 2
1.1 Stufenstruktur 2
1 .2 Planungszeitraum 4
1.3 Bedarf 5
1.4 Erneuerung 10
1.5 Lagergrosse 11
1.6 Entscheidungsraum 14
1.7 Zielfunktion 15
2 DETERMINISTISCHE MODELLE 20
2. 1 Abgrenzung 20
2.2 Harris-Wilson-Modell und Varianten 22
2.2. 1 Modellablaufe 22
2.2.2 Optimale Entscheidungsregeln 23
2.2.3 Optimale Operationscharakteristiken 39
2.2.3.1 Vollstandige Erflillung bei nichtnegativer
Lagergrosse 39
2.2.3.2 Erflillungsverzug 44
2.2.3.3 Bedarfsverlust 48
2.2.4 Weitere Betrachtungsweisen 49
2.2.4.1 Bedarf als Entscheidungsvariable 49
2.2.4.2 Mengendiskont 52
2.2.4.3 Erneuerungsfrist grosser Null 55
2.3 Wagner-Whitin-Modell 59
2.3.1 Modellbedingungen 59
2.3.2 Bemerkungen zum Modell 61
2.3.3 Zielfunktion 61
2.3.4 Satze 66
2.3.5 Algorithmen und Beispiele 69
2.3.5.1 Algorithmus der dynamischen Programmierung 69
v
2.3.5.2 Wagner-Whitin-Algorithmus 75
2.3.6 Erweiterungen 81
2.4 Deterministisch-dynamisches Modell ohne los
fixe Erneuerungskosten 84
3 STOCHASTISCHE MODELLE 92
3. 1 Beispiel zur Einfuhrung 92
3. 1 • 1 Angaben 92
3. 1 .2 Bemerkungen 93
3. 1 .3 Gewinnfunktion 95
3.1 .4 Berechnung des optimalen Gewinnes und der
optimalen Operationscharakteristiken 100
3.2 Arrow-Harris-Marschak-Modell 106
3.2. 1 Modellbedingungen 106
3.2.2 Kostenfunktion 107
3.2.3 Scarfs Theorem un~ (s,S) Politik als optimale
Entscheidungsregel 110
3.2.3.1 ck-konvexe Funktionen 111
3.2.3.2 Theorem 112
3.2.4 Beispiel zur Berechnung optimaler Operations
charakteristiken 118
3.3 Zweistufiges Modell mit Direktlieferung und
Lieferung ab Lager 122
3.3.1 Modellbedingungen 122
3.3.2 Bemerkungen zum Modell 124
3.3.3 Symbole 125
3.3.4 Kostenfunktion 126
3.3.5 Lemma 134
3.3.6 Optimalitatsbeweis zur (s,S,U) Politik 136
3.3.6.1 Theorem 136
3.3.6.2 Bemerkungen zum Beweis 138
3.3.6.3 Beweis fur ein Teilzeitintervall 141
3.3.6.4 Beweis fur eine endliche Anzahl von Teilzeit
intervallen 146
VI
3.3.7 Optimale Operationscharakteristiken 150
3.3.8 Vergleich optimaler Operationscharakteristiken 157
Literaturverzeichnis 161
- 1 -
o ABGRENZUNG
Das Ziel dieser Schrift ist eine methodisch einfache
Einflihrung in einige wesentliche Grundgedanken und
Modelle in der Theorie der Lagerhaltung. Besondere
Berlicksichtigung finden die Wahl der Optimierungs
kriterien, die Ableitung optimaler Entscheidungsregeln
und die Berechnung optimaler Operationscharakteristiken.
Die zu behandelnden Modelle erlauben die Berechnung
mathematisch exakter Losungen.
Mehrproduktmodelle werden nicht speziell berlicksichtigt,
jedoch sind einige Modelle, wie z.B. das Modell im Ab
schnitt 2.4, zu Mehrproduktmodellen zu erweitern und es
sind jeweils die entsprechenden Literaturhinweise flir
die Erweiterungen angegeben.
Wir gehen im folgenden zunachst auf die Elemente der
Lagermodelle ein, urn dann deterministische und stocha
stische Modelle zu behandeln.
- 2 -
1 ELEMENTE DER LAGERMODELLE
Als Elemente der Lagermodelle betrachten wir Stufen
struktur, Planungszeitraum, Bedarf, Erneuerung, Lager
grosse, Entscheidungsraum und Zielfunktion.
1.1 Stufenstruktur
Eine Stufe eines Lagermodelles kann sich aus einer Pro
duktionsstelle und einer Lagerstelle zusammensetzen und
besteht in den Grenzfallen nur aus einer Produktions
stelle bzw. einer Lagerstelle. Vgl. Abb. 1.1.
Produktionsstelle
Lagerstelle
Produktions- und Lagerstelle
Abb. 1.1
Auf einer Stufe ist einerseits ein Bedarf zu erftillen,
andererseits hat ein Erneuerungsprozess zu erfolgen. Be
steht die Stufe aus einer Produktionsstelle bzw. aus Pro
duktions- und Lagerstelle, so kann der Erneuerungsprozess
sowohl Zulieferung als auch Produktion umfassen, wobei
die Zulieferung auch in Form mehrerer Produktionsfaktoren
- oder kurz Faktoren - moglich ist. Stellt eine Stufe da
gegen nur eine Lagerstelle dar, so besteht der Erneuerungs
prozess nur in der Zulieferung und zwar in der Zulieferung
nur eines Produktes. Vgl. Abb. 1.2.
- 3 -
0--4
Zulieferung Produktionsstelle ~ ~O Bedarf
I
I
ZulieferungO ~ILagerstelle ~>O Bedarf
I
I
0
ZulieferungO und I Lagerstelle Bedarf
Erneuerungsprozess Bedarfserftillungs
prozess 1)
Abb. 1.2
Die Stufenstruktur bestimmt Anzahl und Anordnung der
Stufen eines Modelles, wobei die Anordnungen serial,
parallel bzw. serial und parallel sein kHnnen und durch
Netzwerke bestimmt werden. Vgl. Abb. 1.3 bis 1.5.
I I
0~----7) Stufe 1 ~ Stufe 2 ~I Stufe 3 1----+)0
Abb. 1.3
0 >/ Stufe 1 >0
)1
0 Stufe 2 )0
Abb. 1.4
K
Stufe 4 1----+)0
1 Stufe 2
~I
Stufe
I
o )
Stufe 3 Stufe 5 I---~)O
Abb. 1.5
1) Der Bedarfserftillungsprozess kann gegebenenfalls
Transportsysteme erweitert werden.
