Eine Einführung in die Statistik und ihre Anwendungen

262 Pages·2009·0.97 MB·German

by  Judith Eckle-Kohler

Springer-Lehrbuch
·
Judith Eckle-Kohler Michael Kohler
Eine Einfu¨hrung
in die Statistik
und ihre Anwendungen
123
Dr.JudithEckle-Kohler
Prof.Dr.MichaelKohler
TUDarmstadt
FachbereichMathematik
Schlossgartenstr.7
64289Darmstadt
Deutschland
ISBN978-3-642-00470-4 e-ISBN978-3-642-00471-1
DOI10.1007/978-3-642-00471-1
Springer-LehrbuchISSN0937-7433
BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek
DieDeutscheNationalbibliothek verzeichnet diesePublikation inderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetu¨berhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
©2009Springer-VerlagBerlinHeidelberg
DiesesWerkisturheberrechtlichgeschu¨tzt.Diedadurchbegru¨ndetenRechte,insbesonderediederU¨ber-
setzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,derFunksendung,
derMikroverfilmungoderderVervielfa¨ltigung aufanderenWegenundderSpeicherung inDatenver-
arbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinurauszugsweiserVerwertung,vorbehalten.EineVervielfa¨ltigung
diesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzendergesetzlichen
BestimmungendesUrheberrechtsgesetzes derBundesrepublikDeutschlandvom9.September1965in
derjeweils geltenden Fassungzula¨ssig. Sieistgrundsa¨tzlich vergu¨tungspflichtig. Zuwiderhandlungen
unterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes.
DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungen usw.indiesemWerkbe-
rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder
Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwa¨renunddahervonjedermann
benutztwerdendu¨rften.
Satz:DigitaleDruckvorlagederAutoren
Herstellung:le-texpublishingservicesoHG,Leipzig
Einbandgestaltung:WMXDesignGmbH,Heidelberg
Gedrucktaufsa¨urefreiemPapier
987654321
springer.de
Fu¨rIrisund Julius
Vorwort
DieStatistikbescha¨ftigtsichmitderAnalysevonPha¨nomenen,dieimmathemati-
schenSinnealszufa¨lligaufgefasstwerdenko¨nnen.DabeikanndieEinfu¨hrungdes
ZufallsinverschiedenerHinsichtnu¨tzlichsein:DerZufallkanneinerseitszurVer-
einfachungderDatenerhebungeingefu¨hrtwerden:indemzufa¨lligDatenherausge-
griffenwerden,mussnichtdieGesamtzahlderDatenuntersuchtwerden(wasz.B.
beieinerWahlumfrageausgenu¨tztwird).AndererseitskannderZufallku¨nstlichein-
gefu¨hrt werden zur Vereinfachung der Modellierung deterministischer Vorga¨nge:
DabeiwerdensehrkomplexeTeilealsunbestimmtangesehenunddurcheinenein-
fachenzufa¨lligenProzessmodelliert.
DasvorliegendeBuchgibteineumfassendeEinfu¨hrungindieGrundprinzipien
der Statistik und die zugrundeliegendemathematische Theorie des Zufalls. Dabei
wird bewusst auf allzuviele Details verzichtet. Vielmehr sollen Leser ohne Vor-
kenntnisseindiesemBereichdiegrundlegendenIdeenunddenNutzendieserTheo-
riekennenlernen.Diesekanndannspa¨terbeiBedarfdurchweiterfu¨hrendeLiteratur
wiez.B.Bauer(1992)oderWitting(1985)vertieftwerden.
DasBuchistin6Kapitelunterteilt.Kapitel1machtdeutlich,dassdieStatistik
ein Gebiet mit vielfa¨ltigen Anwendungsmo¨glichkeiten ist, und dass Statistikwis-
sen auch im allta¨glichen Leben immer wieder beno¨tigtwird. Die dafu¨r notwendi-
ge Theorie wird in den folgenden Kapiteln beschrieben. Kapitel 2 stellt zuna¨chst
die Erhebung von Daten im Rahmen von Studien und Umfragen vor. Kenntnisse
daru¨bersinddeshalbwichtig,weilsichoftbeobachtenla¨sst,dassdieErhebungvon
Daten zu Qualita¨tseinbußenbeidenDaten unddamitzu starken Einschra¨nkungen
in Bezug auf die Analyse der Daten fu¨hrt. In Kapitel 3 werden Verfahren der be-
schreibenden Statistik beschrieben. Diese legen kein mathematisches Modell der
EntstehungderDatenzugrunde,lassen aberandererseitsauchkeineRu¨ckschlu¨sse
zu,dieu¨berdenbeobachtetenDatensatzhinausgu¨ltigsind.Umdieszuerreichen,
muss man Modellannahmen an die Entstehung der Daten machen. Dazu wird in
den Kapiteln 4 und 5 das mathematischeModelldes Zufallseingefu¨hrt.Wa¨hrend
sichKapitel4mitdemmathematischenBegriffderWahrscheinlichkeitbescha¨ftigt
und einfache Schlussfolgerungen daraus vorstellt, werden in Kapitel 5 Zufallsva-
riableneingefu¨hrt,dieeinebesonderseleganteBeschreibungzufa¨lligerPha¨nomene
vii
viii Vorwort
ermo¨glichen. Neben Kennzahlen dieser Zufallsvariablen wie Erwartungswert und
VarianzwerdendortauchdieGesetzedergroßenZahlensowiederzentraleGrenz-
wertsatzvorgestellt,letztereraberohneBeweis.DiedaraufaufbauendenVerfahren
der sogenanntenschließendenStatistik sind dannInhaltvon Kapitel6. Mitdiesen
Verfahren und mit Hilfe von Annahmen an die Entstehung der Daten lassen sich
Schlussfolgerungenziehen,dieu¨berdenvorliegendenDatensatzhinausgu¨ltigsind.
Im Anhangsinddie wichtigstenzumVersta¨ndnisdesBuchesbeno¨tigtenGrundla-
genausderMathematikkurzdargestellt.
DasBuchistgedachtfu¨rStudenten,dieohneVorwissenausderWahrscheinlich-
keitstheorie undder Statistik einenU¨berblicku¨berdieses dochsehr umfangreiche
Gebiet bekommen wollen. Es entstand aus einer Reihe von Vorlesungen, die der
zweite Autor innerhalb der letzten 10 Jahre an den Universita¨ten Stuttgart, Jena,
Saarbru¨cken und Darmstadt abgehalten hat. Diese Veranstaltungen richteten sich
zum einen an Studierende des Faches Mathematik, und fanden in Diplom- bzw.
Bachelor- bzw. Lehramtsstudienga¨ngen innerhalb des Grundstudiums statt. Zum
anderen wurde Material dieses Buches in Vorlesungen des ersten Semesters fu¨r
Studierende der Fa¨cher Biologie, Pa¨dagogik, Psychologie, Soziologie, Volkswirt-
schaftslehreundWirtschaftswissenschafteneingesetzt.
Den Studierendenin diesen Vorlesungengebu¨hrtunser Dank fu¨r Kommentare,
dieimmerwiederzurVerbesserungdiesesBuchesbeigetragenhaben.
Darmstadt, JudithEckle-Kohler
Dezember2008 MichaelKohler
Inhaltsverzeichnis
1 Einfu¨hrung.................................................... 1
1.1 U¨bungsteilnahmeundStatistik-Note........................... 1
1.2 SexundHerzinfarkt ........................................ 2
1.3 DieChallenger-Katastrophe.................................. 3
1.4 Pra¨sidentschaftswahlindenUSA,Herbst2000.................. 5
1.5 PositionsbestimmungmittelsGPS............................. 6
1.6 AnalysevonDNA-Microarray-Daten.......................... 7
1.7 BerechnungvonPra¨mieninderSchadensversicherung ........... 7
1.8 BewertungdesRisikosvonKapitalanlagenbeiBanken ........... 8
1.9 VorhersagedesVerschleißesvonKfz-Bauteilen ................. 8
1.10 NutzenderStatistikinverschiedenenStudienga¨ngen............. 9
1.11 WeitererAufbaudiesesBuches............................... 10
2 ErhebungvonDaten............................................ 11
2.1 KontrollierteStudien........................................ 11
2.2 Beobachtungsstudien ....................................... 15
2.3 ProblemebeiderDurchfu¨hrungvonStudien.................... 19
2.4 Umfragen................................................. 22
Aufgaben...................................................... 24
3 DeskriptiveundexplorativeStatistik ............................. 27
3.1 TypenvonMessgro¨ßen...................................... 27
3.2 Histogramme .............................................. 28
3.3 Dichtescha¨tzung ........................................... 32
3.4 StatistischeMaßzahlen...................................... 37
3.5 Regressionsrechnung ....................................... 42
3.6 NichtparametrischeRegressionsscha¨tzung...................... 51
3.7 ProblemebeiderInterpretationderbishereingefu¨hrtenVerfahren.. 52
Aufgaben...................................................... 54
ix
x Inhaltsverzeichnis
4 DasmathematischeModelldesZufalls ........................... 57
4.1 DerBegriffderWahrscheinlichkeit............................ 57
4.2 GrundaufgabenderKombinatorik............................. 64
4.3 DerBegriffdesWahrscheinlichkeitsraumes..................... 72
4.4 DerBegriffderσ-Algebra ................................... 80
4.5 DerLaplacescheWahrscheinlichkeitsraum ..................... 84
4.6 Wahrscheinlichkeitsra¨umemitZa¨hldichten ..................... 87
4.7 Wahrscheinlichkeitsra¨umemitDichten......................... 92
4.8 BedingteWahrscheinlichkeit ................................. 98
Aufgaben......................................................103
5 ZufallsvariablenundihreEigenschaften..........................107
5.1 DerBegriffderZufallsvariablen ..............................107
5.2 DerBegriffderVerteilungsfunktion ...........................115
5.3 DerBegriffderUnabha¨ngigkeit ..............................120
5.4 DerErwartungswerteinerZufallsvariable ......................125
5.5 DieVarianzeinerZufallsvariable .............................144
5.6 GesetzedergroßenZahlen...................................151
5.7 DerBeweisdesstarkenGesetzesdergroßenZahlen..............156
5.8 DerzentraleGrenzwertsatz ..................................161
Aufgaben......................................................168
6 InduktiveStatistik .............................................171
6.1 Fragestellungen ............................................171
6.2 Punktscha¨tzverfahren .......................................175
6.3 Bereichsscha¨tzungen........................................184
6.4 StatistischeTestverfahren....................................193
6.5 TestszurU¨berpru¨fungvonVerteilungsmodellen.................206
6.6 DieeinfaktorielleVarianzanalyse .............................217
Aufgaben......................................................221
A MathematischeGrundlagen.....................................225
A.1 MengenundMengenoperationen .............................225
A.2 DasSummenzeichen........................................228
A.3 FolgenundReihen .........................................229
A.4 Differentialrechnung........................................234
A.5 Integralrechnung ...........................................237
Anmerkungen .....................................................241
Literaturverzeichnis ................................................251
Sachverzeichnis ....................................................253
Kapitel 1
Einfu¨hrung
ImvorliegendenBuchwirdeineEinfu¨hrungindieWahrscheinlichkeitstheorieund
die Statistik gegeben. Wa¨hrend man sich in ein neues – und wie im vorliegenden
Fall keineswegs triviales – Stoffgebiet einarbeitet, fragt man sich ha¨ufig, ob man
dasneuerworbeneWissenu¨berhauptjemalsbrauchenwird.Fu¨rdieStatistik,deren
gru¨ndliches Versta¨ndnis Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie voraussetzt, ist
dieseFrageganzklarmitJazubeantworten,daStatistikwisseninvielenBereichen
des ta¨glichen Lebens eingesetzt werden kann. In diesem Kapitel pra¨sentieren wir
einigewenigedervielenAnwendungsmo¨glichkeitenvonStatistikwissen.
1.1 U¨bungsteilnahme und Statistik-Note
Im Wintersemester 2002/03wurde an der Universita¨t Stuttgartdie Vorlesung Sta-
tistik II fu¨r Wirtschaftswissenschaftler abgehalten. Diese geho¨rte zum Pflichtpro-
grammfu¨rdasVordiplomimStudienfachWirtschaftswissenschaftenundwurdeam
31.07.2002imRahmeneinerzweistu¨ndigenKlausurabgepru¨ft.NachKorrekturder
295abgegebenenKlausurenstelltesichdieFrage,wiedennnundiePru¨fungausge-
fallenist.Dazukannmannatu¨rlichdieNotenaller295Klausureneinzelnbetrach-
ten,verliertaberdabeischnelldenU¨berblick.
Hilfreichisthierdiedeskriptive(oderbeschreibende)Statistik,dieVerfahrenbe-
reitstellt, mit denen man – natu¨rlich nur unter Verlust von Information – die 295
EinzelnoteninwenigeZahlenzusammenfassenkann,wiez.B.
AnzahlNoten :295
Notendurchschnitt:2,68
Durchfallquote :5,4%
Dies kann man auch fu¨r Teilmengen der abgegebenen Klausuren tun. Betrachtet
manz.B.dieMengeallerTeilnehmer,diedenimu¨brigenfreiwilligzuerwerbenden
U¨bungsscheinzurVorlesungerworbenhaben,soerha¨ltman:
J.Eckle-Kohler,M.Kohler,EineEinfu¨hrungindieStatistikundihreAnwendungen 1
©Springer2009