Dynamic scaling in the spatial distribution of persistent sites

4 Pages·0.14 MB·English

by  G. Manoj

Dynamic scaling in the spatial distribution of persistent sites
G. Manoj† and P. Ray⋆
The Institute of Mathematical Sciences, C. I. T. Campus, Taramani, Madras 600 113, India
(February 1, 2008)
9
The spatial distribution of persistent (unvisited) sites in one dimensional A+A → ∅ model
9
is studied. The ‘empty interval distribution’ n(k,t), which is the probability that two consecutive
9
persistentsitesareseparatedbydistancekattimet,isinvestigatedindetail. Itisfoundthatatlate
1
timesthisdistributionhasthedynamicalscalingformn(k,t)∼t−θk−τf(k/tz). Thenewexponents
n
τ and z change with the initial particle density n0, and are related to the persistence exponent θ
Ja through the scaling relation z(2−τ)=θ. We show by rigorous analytic arguments that for all n0,
1<τ <2, which is confirmed by numerical results.
4
1
0.5.40.+j, 05.70.Ln, 82.20.-w

]
h
c Firstpassageproblemsinnon-equilibriumsystemsun- tribution n(k,t) — the probability that two randomly
e dergoingtimeevolutionhasbecomeanimportantfieldof chosen consecutive persistent sites are separated by dis-
m
research lately with the discovery of persistence. Persis- tance k at time t. This distribution is analogous to the
- tence probability in general is defined as follows: Given well-studiedInter-ParticleDistributionFunction(IPDF)
t
a a stochastic variable φ(t) which fluctuates about a mean in diffusion-reaction systems [13]. Our numerical results
t
s value,sayzero,whatistheprobabilityP(t1,t2)thatφ(t) show that n(k,t) has a non-trivial dynamic scaling form
. doesnotchangesignthroughoutthetimeinterval[t ,t ]. with power-law decay in k and t, characterized by expo-
t 1 2
a
For alargeclassofphysicalsystems,persistence showsa nents τ and θ respectively. The power law decay is valid
m
power-law decay P(t ,t ) ∼ (t /t )−θ for t ≫ t , with for k ≪ L(t), where L(t) ∼ tz is a new dynamic length
1 2 2 1 2 1
- a non-trivial persistence exponent θ [1–12] which is, in scale, which may be interpreted as the average separa-
d
n general, unrelated to other known static and dynamic tionbetweenpersistentregions. Thethreeexponentsare
o exponents. connectedby the scalingrelationz(2−τ)=θ. Although
c Let us consider spatially extended systems with a the persistence exponent θ is universal for this model,
[
stochastic field φ(x,t) at each lattice site x, the time we find that τ and z do change with the initial particle

1 density. We give rigorous analytical arguments on the
evolution of which is coupled to that of its neighbouring
v sites. φ(x,t) could be, for instance, an Ising spin [1,2], a bounds of τ, showing that 1<τ <2 for all values of n0.
0
Power-law decay of n(k,t) in k is a consequence of spa-
3 phase ordering field [3], a diffusing field [4] or the height
1 of a fluctuating interface [11]. In such cases, the sys- tial correlations— a random distribution of sites would
1 tem gets broken up into domains of persistent and non- correspond to exponential decay.
0
persistent sites in course of time. In d = 1, this reduces Our numerical simulation is done on a 1-d lattice of
9
to a set of disjoint persistent and non-persistent clusters size N = 104 with periodic boundary conditions. Par-
9
/ appearing alternately. As persistence decays with time, ticles are initially distributed at random on the lattice,
t
a thepersistentclustersshrinkinsizeandhence,theirsep- and their positions are sequentially updated— each par-
m arationgrows. The followingquestions arisenaturallyin ticle was made to move one step in either direction with
- thiscontext,whichweaddresshere: (i)Howaretheper- probability1/2. Whentwoparticlescameontopofeach
d sistent clusters distributed in space at a given time? (ii) other, both vanished instantaneously. The time evolu-
n
How does their average separation grow with time? tionisdoneupto12000Monte-Carlosteps(1MCstepis
o
c Inonedimension,thezeroesofthe stochasticfieldcan countedafter allthe particlesin the lattice weretouched
v: be viewed as a set of particles, moving about in the lat- once). Allsimulationsarerepeatedforthreedifferentval-
i tice, annihilating each other when two of them meet. ues of initial density, n0 = 0.2, 0.5 and 0.8. The results
X
When a particle moves across a lattice site for the first are averagedover 500 different initial configurations.
ar time, the fieldthere flips sign,andthe site becomes non- We observe that at large times t and k ≫1, n(k,t)∼
persistent. If each particle is assumed to perform purely k−τ for k ≪ L(t). Here L(t) is a cut-off length scale
diffusivemotion,thisreducestothewell-knownreaction-
that grows with time. In Fig. 1, we present the data for
diffusionmodelA+A→∅,withappropriateinitialcondi-
n =0.5 and for three values of time. The same data as
0
tions. The simplest case is randominitial distribution of presented in Fig. 2 shows that for each k, n (t) ∼ t−ω
k
particles, with average density n0, for which P(t) ∼ t−θ for all k ≪ L(t). (It will be shown later that ω = θ).
with θ = 3/8 [2], independent of n [8]. We investigate
0 Similar power-law decay in k and t has been observed
spatial ordering of persistent sites in this simple model.
for other values of n also. These observations are fairly
0
Our study is centered around the Empty Interval Dis- well represented by the following dynamic scaling form
1
for n(k,t), for late times and large enough k. plotted against t on a logarithmic scale for three values
of n . We find that L(t) diverges with time as
0
n(k,t)∼t−ωk−τf(k/L(t)) (1)
L(t)∼tz (3)
where the scaling function f(x) ≃ 1 for x ≪ 1 and
decreases faster than any power of x for x≫1. where z is a new dynamic exponent.
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
Fig. 3 The average separation between persistent sites
Fig.1 Log-logplotofn(k,t)withkillustratingthepower
L(t) grows as a power of time t. The three logarithmic plots
law decay for small k, which crosses over to faster decay at
correspond to n0 = 0.8, 0.5 and 0.2 (top to bottom). The
large k. The data is presented for t = 2000,4000 and 10000
lines are visibly getting flatter with increasing n0, indicating
(top to bottom). The vertical separation between thecurves
thedecrease in the exponentz.
has been enhanced for clarity. The initial density n0 is 0.5.
All thethree straight lines have slope τ ≃1.27. The scaling relations between the exponents are ob-
tained by making use of the conditions in Eq. 2. First
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)o(cid:0)(cid:0)(cid:0)f(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)a(cid:0)(cid:0)(cid:0)l(cid:0)(cid:0)l(cid:0)(cid:0),(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)w(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)e(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)s(cid:0)(cid:0)(cid:0)h(cid:0)(cid:0)(cid:0)o(cid:0)(cid:0)(cid:0)w(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)t(cid:0)(cid:0)h(cid:0)(cid:0)(cid:0)a(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)t(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)o(cid:0)(cid:0)(cid:0)n(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)l(cid:0)(cid:0)y(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)τ(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)<(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)2(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)i(cid:0)s(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)p(cid:0)(cid:0)(cid:0)h(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)y(cid:0)(cid:0)(cid:0)s(cid:0)(cid:0)(cid:0)i(cid:0)c(cid:0)(cid:0)(cid:0)a(cid:0)(cid:0)(cid:0)l(cid:0)(cid:0)l(cid:0)(cid:0)y(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)r(cid:0)(cid:0)(cid:0)e(cid:0)(cid:0)a(cid:0)(cid:0)(cid:0)s(cid:0)(cid:0)(cid:0)o(cid:0)(cid:0)(cid:0)n(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)a(cid:0)(cid:0)(cid:0)b(cid:0)(cid:0)(cid:0)l(cid:0)(cid:0)e(cid:0)(cid:0)(cid:0).(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
For, if τ ≥ 2, I (t) ∼ t−ω, and from the second part of
1
Eq. 2 it follows that ω =0. But since ω ≥ θ for reasons
ofconvergence,wegetθ ≤0whichisabsurd. Sowecon-
clude that τ <2. In this case, I (t)∼t−ω+z(2−τ), which
1
according to Eq. 2 imply that
z(2−τ)=ω (4)
Another set of scaling relations can be derived using
the condition on I (t) in Eq. 2. Combined with Eq. 4,
0
this gives
Fig. 2 Log-log plot of n(k,t) with t for k = 1 (top) and z =θ ; ω =θ(2−τ) if τ <1 (5)
k = 10 (bottom). Initial density n0 is 0.5. The asymptotic
slope of thelines gives ω≃0.37. ω =θ ; z(2−τ)=θ if τ >1 (6)
The exponents appearing in Eq.1 are not allindepen- We presenta summary of our numericalresults in Ta-
dent. The moments of the distribution are useful in de- ble I. It is easily seen that for all values of n0, z > θ,
rivingthescalingrelationsbetweenthem. Them-thmo- τ > 1 and the scaling relations in Eq. 6 are satisfied
ment is I (t) = kmn(k,t) ≈ ∞n(s,t)smds. From within numerical errors. Moreover, the exponents z and
m k 1
the definition of nP(k,t), one can eaRsily see that τ show a consistent decrease with increasing n0— they
are non-universal, unlike θ. We now present an intuitive
I (t)=P(t)∼t−θ ; I (t)=N (2) argumentwhichaccountsfortheseobservationsfairlyrig-
0 1
orously.
The average separation between persistent sites is As persistence decays,the non-persistentregionsgrow
given by I (t)/I (t) ∼ L(t). In Fig. (3) we have L(t) in time (the length scale of which is set by L(t) in Eq.
2 1
2
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
1) while the clusters ofpersistent sites shrink in size and
eventually disappear. Let p(l,t) be the number of per-
sistent clusters of size l, at time t. The total number
of persistent sites at time t is lp(l,t) = P(t), and
l
the total number of such clusterPs is Nc(t) = lp(l,t).
The latter isrelatedton(k,t)throughthe exacPtrelation
N (t) = ∞ n(k,t) = P(t)−n(1,t). The average size
c k=2
of a clustPer at time t is
−1
P(t) n(1,t)
l(t)= = 1− (7)
N (t) (cid:18) P(t) (cid:19)
c
Fig. 4 The cluster size distribution p(l,t) decays expo-
From Eq. 1, n(1,t) ∼ t−ω and since P(t) ∼ t−θ we
havel(t)= 1−γt−(ω−θ) −1 whereγ isanumericalcon- nentially with l at all times. The figure shows p(l,t) plotted
stant. Since(cid:2)ω ≥θ,l(t)is(cid:3)aconstantforlatetimes. Now, againstlfort=20,40and120(toptobottom)andn0 =0.2.
The vertical separations havebeen enhanced for clarity.
ifω >θ,l(t)=1strictly;onlyifω =θ anyothervalueis
possible. We argue for the latter case as follows. When
In summary, we have shown that the spatial distri-
clusters of persistent sites shrink in size, the depletion
bution of persistent clusters in one dimension exhibits
happens at the two ends of the cluster, independent of
richdynamicscalingcharacterisedbytwonewexponents.
its size. Let the average decrease in the size of a clus-
We have given rigorous arguments on the bounds and
ter over time t be ξ(t). Clusters of initial size l > ξ(t)
universality properties of these exponents, which is well-
shrinktosizel−ξ(t)aftertimet,whilethosewithlength
supportedbynumerics. Interestingly,thenormalizedsize
l≤ξ(t) disappear. It follows that
distribution of persistent clusters was found to be inde-
pendent of time.
p(l,t)=p(l+ξ(t),0) (8)
Our work is the first study that brings out the non-
trivial features in the spatial distribution of persistent
sites in a one dimensional model. The dynamic scaling
Here,p(l,0)=n2(1−n )l sincethe initialdistribution
0 0 form in Eq. 1 is by no means specific to the model stud-
of particles is done at random with probability n . Af-
0 ied, and we have observed similar forms in other one di-
ter substitution in Eq.8,we find that the time evolution
mensionalsystems —diffusionequationandkinetic Ising
of the cluster size distribution has the extremely simple
model, for example. Similar scaling in size distribution
form p(l,t)=e−λξ(t)p(l,0) where λ=−ln(1−n ). This
0 has been observed in entirely different contexts also—
result is also supported by simulations (Fig. 4). Con-
forinstance,diffusion-limitedclusteraggregation[15–17]
sequently, the average cluster size l(t) = l(0) = 1/n .
0 and diffusion-limited deposition [18]. The feature that is
This implies ω = θ from our arguments following Eq. 7,
common to all these processes is the irreversible coales-
and thus validates Eq. 6. Furthermore, since P(t)∼t−θ
cence of clusters (empty intervals in our case).
we find ξ(t) ≃ θln t at large t. It follows that a per-
λ WearegratefultoSatyaMajumdarfordiscussionsand
sistent cluster of initial size L has an average life-time
for pointing out the similarities to aggregation models.
τ ∼ exp(λL) for large L. The exponential dependence
L θ G. M thanks B. Derrida and P. R thanks D. Stauffer for
of the life-time of the cluster on its size reflects the slow
critical reading of the manuscript and valuable sugges-
algebraic decay of persistence.
tions.
Our argument can be extended to show why τ and
z are possibly non-universal. First of all, the exponent
n0 0.2 0.5 0.8
relation ω = θ makes it possible to write the formal re-
θ 0.3718 ± 0.0001 0.3769 ± 0.0000 0.3729 ± 0.0001
lation n(1,t) = g(τ,n0)P(t) [14]. Combined with Eq. 7 ω 0.3763 ± 0.0001 0.3767 ± 0.0000 0.3710 ± 0.0002
and using the result l(t) = 1/n0, we obtain the relation z 0.5766 ± 0.0005 0.5107 ± 0.0003 0.4392 ± 0.0005
g(τ,n0)+n0 = 1, which expresses implicitly the depen- τ 1.3502 ± 0.0262 1.2596 ± 0.0357 1.1277 ± 0.0383
dence of τ on n . For instance, if Eq. 1 were exact for
all values of k, t0hen P(t)≈ ∞n(s,t)ds= n(1,t) so that TABLEI. Exponents θ, ω, z and τ as measured from the
1 τ−1 simulations, for three values of initial density n0. The exact
g(τ,n0) ≈ τ −1, from whichRit follows that τ ≃ 2−n0. valueofθis0.375,independentofn0. Theωvaluespresented
This result, although not exact, is consistent with the correspondtok=1andtheτ valuestot=12000. Theerrors
bounds 1 < τ < 2, and appears to be valid in the high given are only statistical.
density limit n → 1, as indicated by the numerical val-
0
ues in Table I.
3
4844(1996);E.Ben-Naim,Phys.Rev.E53,1566(1996);
M. Howard, J. Phys. A 29, 3437 (1996).
[10] B.P.LeeandA.D.Rutenberg,Phys.Rev.Lett79,4842
† email: [email protected] (1997).
⋆
email: [email protected] [11] J. Krug, H. Kallabis, S. N. Majumdar, S. J. Cornell, A.
[1] B. Derrida, A. J. Bray and C. Godr`eche, J. Phys. A 27, J. Bray and C. Sire, Phys. Rev. E 56, 2702 (1997); H.
L357 (1994); D.Stauffer, J. Phys. A 27, 5029 (1994). Kallabis and J. Krug, preprint: cond-mat/9809241
[2] B.Derrida, V.Hakimand V.Pasquier, Phys.Rev.Lett. [12] S.N.MajumdarandS.J.Cornell,Phys.Rev.E57,3757
75, 751 (1995), and J. Stat.Phys. 85, 763 (1996). (1998).
[3] A.J.Bray,B.DerridaandC.Godr`eche,Europhys.Lett. [13] D. ben-Avraham in: Nonequilibrium Statistical Mechan-
27, 175 (1994). ics in One Dimension, ed.V.Privman (Cambridge Uni-
[4] S. N. Majumdar, C. Sire, A. J. Bray and S. J. Cornell, versity Press, 1997).
Phys. Rev. Lett 77, 2867 (1996); B. Derrida, V. Hakim [14] This follows from putting n(1,t) = g1(n0)t−θ, P(t) =
and R.Zeitak, Phys.Rev.Lett 77, 2971 (1996). kn(k,t)=g2(τ,n0)t−θ and then definingg=g1/g2.
[5] S. N. Majumdar, A. J. Bray, S. J. Cornell and C. Sire, [15] TP. Vicsek and F. Family, Phys. Rev. Lett. 52, 1669
Phys.Rev.Lett 77, 3704 (1996). (1984); P. Meakin, T. Vicsek and F. Family, Phys. Rev.
[6] E.Ben-Naim,L.FrachebourgandP.L.Krapivsky,Phys. B 31, 564 (1985).
Rev.E 53, 3078 (1996). [16] P. G. J. van Dongen and M. H. Ernst, Phys. Rev. Lett.
[7] H. Hinrichsen and H. M. Koduvely, Eur. Phys. J. B 5, 54, 1396 (1985).
257 (1998); K. Oerding and F. van Wijland, J. Phys. A [17] H.Takayasu,M.Takayasu,A.ProvataandG.Huber,J.
31, 7011 (1998). Stat.Phys.65,725(1991); S.N.MajumdarandC.Sire,
[8] J. Cardy, J. Phys. A 28, L19 (1995). Phys. Rev.Lett. 71, 3729 (1993).
[9] P.L.Krapivsky,E.Ben-NaimandS.Redner,Phys.Rev. [18] Z.R`aczandT.Vicsek,Phys.Rev.Lett.51,2382(1983).
E 50, 2474 (1994); C`ecile Monthus, Phys. Rev. E 54,
4