Table Of ContentDispense per il corso di Algebra Commutativa
Marco Vergura
10 gennaio 2017
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Indice
1 Anelli ed Ideali 5
1.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Operazioni tra ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Ideali Primi e Ideali Massimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Nilradicale ed Ideali Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Anelli Locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Moduli 25
2.1 Concetti di Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Costruzione di Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Successioni Esatte e Complessi di Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Noetherianità 37
3.1 Anelli e Moduli Noetheriani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Teorema della Base di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Anelli di Frazioni e Localizzazione 43
4.1 Definizione e proprietà universale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Ideali in A e in S−1A. Localizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Moduli di Frazioni ed Esattezza di S−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Fattorialità di A[x]. Irriducibilità in A[x] e in Frac(A)[x]. . . . . . . . . . . . . . 54
5 Algebre Intere 61
5.1 A-algebre finite ed intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Decomposizione primaria 65
7 DVR 71
8 Complementi ai capitoli 4 e 5 del Miles Reid 73
3
4 INDICE
Capitolo 1
Anelli ed Ideali
AAAAAAAAAAAAAAAAA: Nelle note per la lettura, inserire che I (cid:47)A significa I sotto-
gruppo di A, la convenzione su k per k ∈N{0} e quella A∗ per A\{0}.
1.1 Generalità
Definizione 1.1.1. Un anello commutativo con unità 1 è una 5-upla ordinata (A, +, 0, ·, 1)
dove (A, +, 0) è un gruppo abeliano, 1∈A e ·: A×A−→A è una funzione (a, b)(cid:55)→ab (detta
prodotto) tale che ∀a,b,c∈A:
A1) (associatività) (ab)c=a(bc);
A2) (distributività) a(b+c)=ab+ac e (a+b)c=ac+bc;
A3) (commutatività) ab=ba;
A4) (unità) 1a=a1=a.
Osservazione 1.1.1. Dalla distributività del prodotto in un anello commutativo con unità A
discendono subito le due proprietà seguenti:
• ∀a∈A, a0=0. Infatti a0=a(0+0)=a0+a0⇒0=a0;
• ∀a,b∈A, a(−b)=−ab. Vale infatti: 0=a(b+(−b))=ab+a(−b)⇒a(−b)=−ab.
D’orainavanti, dovenondiversamentespecificato, conlaparola“anello” siintenderàsempre
un anello commutativo con unità. Inoltre, se A è un anello e J ⊆ A conveniamo che J (cid:47)A
significhi J (cid:47)(A, +, 0).
Osservazione 1.1.2. In un anello A, 0 = 1 ⇔ A = {0}, ovvero A è, come si dice, l’anello
banale. Ciò è evidente perché se 0=1, allora ∀a∈A, a=a1=a0=0. Il viceversa è ovvio.
Definizione1.1.2. SiaAunanello. S ⊆Aèdettosottoanello diAse1∈S,S èunsottogruppo
di (A,+,0) e ∀s,t∈S, st∈S.
Definizione 1.1.3. Siano A,B anelli. Una mappa f: A−→B si dice omomorfismo (di anelli)
se ∀a,b∈A:
M1) f è un omomorfismo di gruppi abeliani, i.e f(a+b) = f(a)+f(b). (Da questa proprietà
discende subito che f(0)=0 e f(−a)=−f(a));
5
6 CAPITOLO 1. ANELLI ED IDEALI
M2) f(ab)=f(a)f(b);
M3) f(1)=1.
Se f: A−→B è un omomorfismo, l’insieme ker(f):=f−1({0}) è detto nucleo di f.
Notiamo che {0}−→A è un omomorfismo di anelli se e solo se A={0}.
Osservazione 1.1.3. Unomomorfismodianellif: A−→B èiniettivoseesoltantoseker(f)=
{0}. Infatti, ker(f) = {0} ⇔ (∀a,b ∈ A, ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ b−a = 0). Inoltre, la composizione di
due omomorfismi è ancora un omomorfismo.
Proposizione 1.1.1. Se A,B sono anelli e S ⊆ A è un sottoanello di A, allora per ogni
omomorfismo f: A−→B, f(S)=:Im(f) è un sottoanello di B.
Dimostrazione. 1∈f(S) per M3). Se a,b∈A sono tali che f(a),f(b)∈S, allora f(a)+f(b)=
f(a+b)∈f(S) e f(a)f(b)=f(ab)∈f(S) perché S, in quanto sottoanello, è chiuso per somme
e prodotti di suoi elementi.
Definizione 1.1.4. Siano A,B anelli. Un omomorfismo f: A −→ B si dice isomorfismo (di
anelli) se esiste un omomorfismo g: B −→ A tale che g◦f = id e f ◦g = id . In tal caso, si
A b
dice che A e B sono isomorfi e si scrive A(cid:39)B.
Evidentemente,unomomorfismof: A−→B èunisomorfismoseesoltantoseèunomomorfismo
biettivo.
Definizione 1.1.5. Sia A un anello. I ⊆A è detto ideale di A se è un sottogruppo di (A,+,0)
e ∀a∈A, ∀j ∈I, aj ∈I.
OsserviamocheI :={0}èunidealediAecosìancheI :=A,ilqualeèdettoidealeimproprio.
Nella prossima proposizione raccogliamo alcuni semplici risultati iniziali sugli ideali.
Proposizione 1.1.2. Siano A,B anelli con I ⊆ A qualunque e J ⊆ B ideale. Sia inoltre
f: A−→B un omomorfismo di anelli.
a) Se 1∈I, allora I è un ideale ⇔I =A. In particolare, f è suriettiva ⇔f(A) è un ideale.
b) ker(f) è un ideale di A.
c) f−1(J) è un ideale di A.
Dimostrazione. a) Se I è un ideale, sia a ∈ A. Allora a = a1 da cui, poiché I è un ideale e
1∈I, a∈I. L’implicazione opposta è evidente.
b) 0 ∈ ker(f) perché f(0) = 0. Inoltre, ∀a,b ∈ A, a,b ∈ ker(f) ⇔ f(a) = 0 = f(b) ⇒
f(a+b)=f(a)+f(b)=0+0=0⇔a+b∈ker(f). Infine, ∀a∈A, ∀z ∈ker(f), f(za)=
f(z)f(a)=0f(a)=0⇔za∈ker(f).
c) 0 ∈ f−1(J) perché f(0) = 0. Se a,b ∈ A sono tali che f(a),f(b) ∈ J, allora f(a+b) =
f(a)+f(b) ∈ J perché J è un ideale di B. Dunque, a+b ∈ f−1(J). ∀x ∈ f−1(J), ∀a ∈
A, f(ax)=f(a)f(x)∈J ⇔ax∈f−1(J).
Il nostro prossimo obiettivo è dimostrare la seguente
1.1. GENERALITÀ 7
Proposizione 1.1.3. Sia A un anello e sia I ⊆A un ideale. Allora esistono un anello B e un
omomorfismo di anelli f: A−→B tali che f sia suriettiva e ker(f)=I.
L’idea è di costruire B come l’insieme quoziente di A rispetto ad una particolare relazione di
equivalenza, equipaggiandolo con opportune operazioni, e di considerare come f la proiezione di
A su questo quoziente.
Cominciamoosservandoche, sesuunanelloAtroviamodefinitaunarelazionediequivalenza
∼ compatibile con le operazioni, ossia tale che ∀a,b,c,d ∈ A, a ∼ b e c ∼ d =⇒ a+c ∼ b+d
e ac∼bd, allora abbiamo anche un ideale di A, dato dalla classe di equivalenza di 0 (la verifica
di ciò è immediata). Quello che ci interessa particolarmente è che vale anche il viceversa: dato
un ideale di A, è possibile definire su A una relazione di equivalenza che sia compatibile con le
operazioni di A. Vediamo come fare.
Definiamo su A la relazione:
∀a,b∈A, a∼b⇔a−b∈I,
detta anche congruenza modulo I e scritta come a ≡ b mod I. Si tratta di una relazione di
equivalenza. Infatti:
• è riflessiva: a∼a perché a−a=0∈I;
• è simmetrica: a∼b⇔b−a=−(a−b)∈I ⇔b∼a;
• ètransitiva: a∼b, b∼c⇔a−b∈I eb−c∈I. Nesegueche(a−b)+(b−c)=a−c∈I,
cioè a∼c.
La congruenza modulo I è inoltre compatibile con le operazioni di A. Infatti, se a ≡ b mod I
e c ≡ d mod I, allora a−b ∈ I e c−d ∈ I. Dunque: a+c−(b+d) = (a−b)+(c−d) ∈ I,
perché I(cid:47)A. Analogamente, ac−bc=(a−b)c∈I e bc−bd=b(c−d)∈I perché I è un ideale.
Ne segue che ac−bd=(ac−bc)+(bc−bd)∈I. Pertanto, sia a+c≡b+d mod I che ac≡bd
mod I.
A questo punto, formiamo il quoziente insiemistico di A rispetto alla congruenza modulo I, che
denotiamo con A/I. Un elemento α∈A/I è una classe di equivalenza [a] con a∈A e tale che:
[a]={b∈A: a−b∈I}={b∈A: ∃i∈I per cui b=a+i}=:a+I
ovvero gli elementi di A/I sono i laterali di A (inteso come gruppo abeliano) rispetto alla
congruenza mod I. Su A/I definiamo delle operazioni di somma e di prodotto ponendo:
(a+I)+(b+I):=(a+b)+I (a+I)(b+I):=(ab)+I
Queste operazioni sono ben definite: diamo la dimostrazione nel caso della somma, essendo
quella del prodotto del tutto analoga. Siano dunque a,b,c,d ∈ A tali che a + I = b + I
e c + I = d + I. Esistono pertanto λ,µ ∈ I tali che b = a + λ e d = c + µ. Perciò:
(a+I)+(c+I)=((b−λ)+I)+((d−µ)+I)=((b−λ)+(d−µ))+I =((b+d)+(−λ−µ))+I =
(b+d)+I =(b+I)+(d+I).
Osservando che 0 =0 +I =I e 1 =1 +I, si vede subito che (A/I, +, ·, 0 , 1 )
A/I A A/I A A/I A/I
è un anello, detto anello quoziente di A rispetto all’ideale I. Poniamo in effetti B :=A/I.
A questo punto, la mappa ϕ: A−→A/I, A(cid:51)a(cid:55)→ϕ(a):=[a]∈A/I, evidentemente suriettiva,
è anche un omomorfismo di anelli, detto omomorfismo quoziente. Si ha ovviamente ker(ϕ)=I.
Ciò conclude la dimostrazione della proposizione.
8 CAPITOLO 1. ANELLI ED IDEALI
Osservazione 1.1.4. Un semplice e ben conosciuto esempio di congruenza modulo un ideale si
ottieneconsiderandol’anellodegliinteriZ. Intalcaso,infatti,ènotochegliidealidiZsonotutti
e soli i suoi sottogruppi (considerando Z come il gruppo abeliano (Z,+,0)), ossia gli nZ⊆Z per
n∈Zqualunque. Pertanto,comunquepresoI =nZidealediZ,lacongruenzamodulonZnonè
nient’altro che la nota relazione di congruenza modulo n sugli interi: per ogni m,n∈Z, m≡n
mod nZ ⇔ a−b ∈ nZ ⇔ ∃k ∈ Z tale che a−b = nk ⇔ n | a−b (n divide a−b), ossia, per
definizione, se e soltanto se a≡b (mod n).
Osserviamo che, fissato un ideale I di un anello A, ideali distinti di A possono dare la stessa
immagine via l’omomorfismo quoziente ϕ in A/I; ad esempio, ϕ({0}) = {0} = ϕ(I). Abbiamo
però la seguente:
Proposizione 1.1.4. Vi è una corrispondenza biunivoca tra gli ideali di A contenenti I e l’in-
sieme degli ideali di A/I. Se ϕ: A −→ A/I è l’omomorfismo quoziente, tale biezione è data
associando ad un ideale J di A l’ideale ϕ(J) di A/I.
Dimostrazione. Cominciamo osservando che, essendo ϕ suriettiva, essa manda ideali di A in
ideali di A/I. Infatti, se K ⊆A è un ideale, consideriamo ϕ(K) e siano α∈A/I e ϕ(a)∈ϕ(K).
Per suriettività di ϕ, ∃b∈A tale che ϕ(b)=α. Ne segue che αϕ(a)=ϕ(b)ϕ(a)=ϕ(ba)∈ϕ(K)
perché a ∈ K e K è un ideale per ipotesi. Poiché K (cid:47)A e ϕ(K)(cid:47)A/I abbiamo che ϕ(K) è un
ideale di A/I.
Mostriamo ora che la mappa A⊇I (cid:55)→ϕ(I )⊆A/I, con I ideale di A contenente I, è davvero
1 1 1
biettiva.
• Suriettività: sia J ⊆A/I ideale. Grazie alla proposizione 1.1.2, ϕ−1(J) è un ideale di A e
contiene I perché 0 ∈J. Inoltre ϕ(ϕ−1(J))=J per suriettività di ϕ.
A/I
• Iniettività: sianoI , I ⊆AidealiconI ⊇I ⊆I etalicheϕ(I )=ϕ(I ). Mostriamoche,
1 2 1 2 1 2
allora, I ⊆ I , essendo la verifica dell’inclusione opposta identica, a meno di scambiare
1 2
tra di loro i pedici 1 e 2. Sia a ∈ I : ϕ(a) ∈ ϕ(I ) = ϕ(I ) ⇒ ∃b ∈ I tale che
1 1 2 2
ϕ(b) = ϕ(a) ⇔ ϕ(b−a) = 0 ⇔ b−a =: γ ∈ ker(ϕ) = I. Pertanto, a = b−γ ∈ I perché
2
b∈I , γ ∈I ⊆I e I(cid:47)A.
2 2
Ilprossimorisultatofornisceunodeglistrumentipiùutilinellapraticapermostrarecheanelli
distinti sono isomorfi e costituisce l’analogo di quanto valido per i gruppi.
Teorema 1.1.1 (Teorema Fondamentale di Isomorfismo tra Anelli.). Siano A,B anelli e sia
f: A−→B un omomorfismo suriettivo. Allora A/ker(f)(cid:39)B, via f: A/ker(f)−→B tale che
f = f ◦ϕ, dove ϕ: A −→ A/ker(f) è l’omomorfismo quoziente. Tale isomorfismo f è unico ed
è detto isomorfismo indotto da f.
Dimostrazione. Osserviamoche∀a∈A, ∀c∈ker(f), f(a+c)=f(a)+f(c)=f(a). Pertanto,è
lecitodefiniref: A/ker(f)−→B ponendo: ∀a+ker(f)∈A/ker(f), f(a+ker(f)):=f(a). Tale
mappa, certamente iniettiva, è, per definizione, tale che f = f ◦ϕ e dunque è anche suriettiva,
in quanto f lo è. Evidentemente f è un omomorfismo di anelli e, quindi, è un isomorfismo
come voluto. Infine, se g: A/ker(f) −→ B è tale che f = g ◦ ϕ allora, per ogni a ∈ A,
f(a+N)=f(a)=g(a+N)⇒f =g.
Corollario 1.1.1. Siano A,B anelli e sia ϕ: A −→ B un omomorfismo qualsiasi. Allora
A/ker(ϕ)(cid:39)Im(ϕ).
1.2. OPERAZIONI TRA IDEALI 9
Proposizione 1.1.5. Si consideri il diagramma seguente:
h (cid:47)(cid:47)
AA BB
g
γ
(cid:31)(cid:31) (cid:15)(cid:15)
CC
dove A,B,C sono anelli, mentre γ è un omomorfismo qualunque e h è un omomorfismo suriet-
tivo, entrambi dati.
Allora esiste un omomorfismo g: B −→C che faccia commutare il diagramma se e soltanto se
∀a,a ∈A, h(a)=h(a )⇒γ(a)=γ(a ). (1.1)
1 1 1
Inoltre, tale omomorfismo g, se esiste, è unico.
Dimostrazione. L’unicità di un omomorfismo con le proprietà richieste, ammesso che esista, è
evidente. Infatti, siano f,g: B −→ C tali da far commutare il diagramma. Per ogni b ∈ B,
grazie alla suriettività di h, ∃a ∈ A tale che h(a) = b. Ne segue che g(b) = g(h(a)) = γ(a) =
f(h(a))=f(b).
Supponiamo ora che esista un omomorfismo g: B −→C che faccia commutare il diagramma. Se
a,a ∈A sono tali che h(a)=h(a ), allora γ(a)=g(h(a))=g(h(a ))=γ(a ).
1 1 1 1
Viceversa, se ∀a,a ∈ A, h(a) = h(a ) ⇒ γ(a) = γ(a ), possiamo definire g: B −→ C come
1 1 1
segue: ∀b∈B siaa∈Atalecheh(a)=beponiamog(b):=γ(a). Graziealleipotesicompiute,g
è ben definita. Inoltre, per la sua stessa definizione, g rende commutativo il diagramma. Infine,
essa è chiaramente un omomorfismo di anelli, essenzialmente perché γ e h lo sono.
Osservazione 1.1.5. Rifacendosiallasituazionedescrittadallaproposizioneprecedenteeusan-
do le stesse notazioni, la condizione (1.1) è equivalente al fatto che ker(h)⊆ker(γ).
Infatti, sevale(1.1), siac∈Atalecheh(c)=0=h(0). Alloraγ(c)=γ(0)=0, ossiac∈ker(γ).
Viceversa, se ker(h) ⊆ ker(γ), siano a,a ∈ A tali che h(a) = h(a ) ⇔ h(a)−h(a ) = 0 =
1 1 1
h(a−a )⇔a−a ∈ker(h)⊆ker(γ). Dunque, 0=γ(a−a )=γ(a)−γ(a )⇒γ(a)=γ(a ).
1 1 1 1 1
1.2 Operazioni tra ideali
Proposizione 1.2.1. Sia {I } una famiglia arbitraria di ideali di un anello A indiciata su
k k∈K
(cid:84)
∅=(cid:54) K. Allora I è un ideale.
k
k∈K
Dimostrazione. Si tratta di pura insiemistica. Ad ogni modo:
(cid:84)
M1) ∀k ∈K, 0∈I ⇒0∈ I ;
k k
k∈K
(cid:84)
M2) ∀a,b∈A, a,b∈ I ⇔a,b∈I per ogni k ∈K ⇒a+b∈I per ogni k ∈K ⇔a+b∈
k k k
k∈K
(cid:84)
I ;
k
k∈K
(cid:84) (cid:84)
M3) ∀γ ∈A e ∀a∈ I , γa∈I per ogni k ∈K ⇔γa∈ I .
k k k
k∈K k∈K
10 CAPITOLO 1. ANELLI ED IDEALI
Definizione 1.2.1. Sia A un anello e sia S ⊆ A qualunque. L’intersezione di tutti gli ideali
di A contenenti S (che è un ideale grazie alla proposizione precedente) è detto ideale generato
da S e indicato con (S). Osserviamo che ∀S ⊆ A, esiste sempre l’ideale generato da S perché
A∈{I ⊆A: tali che I è un ideale con S ⊆I}.
Vale, banalmente, I ⊆A è un ideale ⇔I =(I).
Osservazione 1.2.1. (S) è il più piccolo ideale di A contenente S. Infatti, (S) è un ideale e,
d’altra parte, se S ⊆J con J ideale di A allora (S)⊆J per definizione di (S).
Se S è un insieme finito di elementi di A con cardinalità k ∈ N, cioè S = {a ,...,a } ⊆ A,
1 k
si scrive anche (a ,...,a ) al posto di ({a ,...,a }). Inoltre, in questo caso,
1 n 1 n
(cid:40) k (cid:41)
(cid:88)
(S)= c a ∈A: c ∈A ∀i∈k (1.2)
i i i
i=1
(cid:110) (cid:111)
Infatti, sia J := (cid:80)k c a ∈A: c ∈A ∀i∈A . Certamente a ∈ J per ogni i ∈ k. Inoltre,
i=1 i i i i
J è un ideale, in quanto, se (cid:80)k c a ∈ J, (cid:80)k d a ∈ J, λ ∈ A, grazie alle proprietà di
i=1 i i i=1 i i
associatività e di distributività di somma e di prodotto in A, si ha immediatamente che:
(cid:32) k (cid:33) (cid:32) k (cid:33) k (cid:32) k (cid:33) k
(cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88)
c a + d a = (c +d )a ∈J e λ c a = (λc )a ∈J.
i i i i i i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
D’altra parte, J è il più piccolo ideale contenente gli a perché ogni altro ideale di A con questa
i
proprietàdevecontenerealmenoanchelecombinazionilineariacoefficientiinAdeglia . Dunque
i
J =(S).
Più in generale, sia S ⊆ A un sottoinsieme qualunque di A e consideriamo la famiglia F :=
{Q⊆S : ∃k ∈N\{0} tale che |Q|=k}, ossia la famiglia dei sottoinsiemi finiti non vuoti di S.
Allora:
|Q|
(cid:91) (cid:88)
(S)= (Q)= c q : Q∈F, c ∈A, q ∈Q per ogni i=1,...,|Q| . (1.3)
i i i i
Q∈F i=1
(cid:83)
Infatti,siaI := (Q). I èunidealediA: mostriamocheèchiusorispettoallasomma,essen-
Q∈F
do la verifica per il prodotto per elementi arbitrari di A del tutto analoga. Siano quindi a,b∈I:
esistono S ⊆S e S ⊆S, entrambi non vuoti e finiti, tali che a∈(S ) e b∈(S ). Ne segue che
a b a b
a+b∈(S ∪S )perchéa,b∈(S ∪S )e(S ∪S )èunideale. Dunque, a+b∈I. Dalmomento
a b a b a b
cheogniidealediAcontenenteS devenecessariamentecontenereancheI,otteniamocheI =(S).
Definizione 1.2.2. Sia A un anello. Diciamo che un ideale I ⊆ A è finitamente generato se
∃n ∈ N∗ ed esistono g , ..., g ∈ I tali che I = (g , ..., g ). Più in generale, se Λ (cid:54)= ∅ e
1 n 1 n
(g ) ⊆ I è una famiglia di elementi di I tali che I = ((g ) ) (ossia I coincide con l’ideale
λ λ∈Λ λ λ∈Λ
di A generato dai g ), si dice che i g generano I o che sono un sistema di generatori di I.
λ λ
Osservazione 1.2.2. Ogni ideale I ⊆A possiede un sistema di generatori, dato da I stesso.
Definizione 1.2.3. Sia A un anello. Se per ogni ideale I ⊆ A esiste m ∈ I tale che I = (m),
diciamo che A è a ideali principali.
