Dispense del Corso di Analisi III Corso di Laurea Triennale in Matematica Universit`a di Firenze

137 Pages·2014·0.48 MB·Italian

Dispense del Corso di Analisi III
Corso di Laurea Triennale in Matematica
Universit(cid:18)a di Firenze
Prof. Rolando Magnanini
Dipartimento di Matematica U. Dini, Universita(cid:18) di Firenze,
viale Morgagni 67/A, 50134 Firenze
E-mail address: [email protected]

Indice
Capitolo 1. Complementi 1
x1.1. Limite inferiore e limite superiore 1
x1.2. Cardinalit(cid:18)a e insiemi numerabili 3
x1.3. Decomposizioni di aperti di RN 6
x1.4. Alcuni risultati sulle funzioni convesse 8
x1.5. Estensioni di funzioni continue 12
Esercizi 14
Capitolo 2. La misura di Lebesgue 17
x2.1. Misura di aperti 17
x2.2. Misura di Peano - Jordan 20
x2.3. Misure esterna ed interna di Lebesgue 20
x2.4. Insiemi limitati misurabili secondo Lebesgue 21
x2.5. Complementare, intersezione e unione 23
x2.6. Insiemi misurabili non limitati 25
x2.7. Esempi notevoli 27
Esercizi 31
Capitolo 3. Spazi e funzioni misurabili 35
x3.1. Spazi misurabili 35
x3.2. Funzioni misurabili 36
x3.3. Approssimazione mediante funzioni semplici 40
x3.4. I tre principi di Littlewood 42
x3.5. Esempi notevoli 44
iii
iv Indice
Esercizi 48
Capitolo 4. L’integrale di Lebesgue 51
x4.1. Misure positive 51
x4.2. Misure esterne 53
x4.3. Integrale di Lebesgue di funzioni non-negative 56
x4.4. Teorema di Beppo Levi e lemma di Fatou 59
x4.5. Linearit(cid:18)a dell’integrale di funzioni non-negative 61
x4.6. Integrale di Lebesgue di funzioni misurabili qualunque 65
x4.7. Il teorema della convergenza dominata 69
x4.8. Il teorema di Fubini-Tonelli 72
Esercizi 80
Capitolo 5. Spazi Lp 83
x5.1. Le disuguaglianze di Jensen, Young, H(cid:127)older e Minkowski 83
x5.2. Gli spazi Lp(X) 86
x5.3. Il teorema di Riesz-Fischer 89
x5.4. Le disuguaglianze di Hanner e di Clarkson 91
x5.5. Proiezione su insiemi convessi 96
x5.6. Funzionali lineari 98
x5.7. Il teorema di rappresentazione di Riesz 101
x5.8. Sottoinsiemi densi in Lp(E) 105
x5.9. Approssimazione con funzioni regolari 108
x5.10. Il teorema di Banach-Alaoglu 117
x5.11. Criteri di compattezza forte 119
x5.12. Convergenza in misura 123
x5.13. Spazi di Hilbert 128
Esercizi 131
Bibliogra(cid:12)a 133
Capitolo 1
Complementi
1.1. Limite inferiore e limite superiore
Sia fangn2N una successione numerica. Si de(cid:12)niscono allora limite superiore
e inferiore, rispettivamente:
liminfa = sup inf a ;
n n
n!1 k(cid:21)1n(cid:21)k
limsupa = inf supa :
n n
n!1 k(cid:21)1n(cid:21)k
′ ′′
A volte si usano i simboli lim o lim per il limite inferiore e lim o lim
per il limite superiore. Si osservi che le successioni
b = inf a e c = sup a
k n k n
n(cid:21)k n(cid:21)k
sono una crescente e l’altra decrescente, per cui si pu(cid:18)o scrivere:
liminfa = lim inf a e limsupa = lim supa :
n n n n
n!1 k!1n(cid:21)k n!1 k!1n(cid:21)k
Esempio 1.1.1. (i) Se a = ((cid:0)1)n; allora b = (cid:0)1 e c = 1 per ogni k 2 N
n k k
e quindi liminfa = (cid:0)1 e limsupa = 1:
n n
(ii)Sea = ((cid:0)1)n=n;osserviamocheb = (cid:0)1=(2k+1)ec = 1=(2k)
n 2k+1 2k
e quindi liminfa = limb = limb = 0 e limsupa = limc = limc =
n k 2k+1 n k 2k
0:
Proposizione 1.1.2. (Caratterizzazione nel caso (cid:12)nito) Sia L 2 R; allora
limsupa = L
n
n!1
se e solo se si veri(cid:12)ca che
1
2 1. Complementi
(i) per ogni " > 0 esiste N tale che a (cid:20) L+" per ogni n (cid:21) N;
n
(ii) per ogni k 2 N esiste n > k tale che a (cid:21) L(cid:0)":
k nk
Analogamente
liminfa = L
n
n!1
se e solo se si veri(cid:12)ca che
(i) per ogni " > 0 esiste N tale che a (cid:21) L(cid:0)" per ogni n (cid:21) N;
n
(ii) per ogni k 2 N esiste n > k tale che a (cid:20) L+":
k nk
Dimostrazione. ()) Per ogni " > 0 esiste N tale che c < L+" e quindi
N
a < L+" per ogni n (cid:21) N: Inoltre L(cid:0)" < L (cid:20) c per ogni k 2 N e quindi,
n k
per ogni k 2 N esiste n > k tale che a (cid:21) L(cid:0)":
k nk
(() Se per ogni " > 0 esiste N tale che a (cid:20) L+" per ogni n (cid:21) N
n
risulta che c (cid:20) L+": Inoltre, se per ogni k 2 N esiste n > k tale che
N k
a (cid:21) L (cid:0) "; si avr(cid:18)a che c (cid:21) a (cid:21) L (cid:0) " e quindi, se k (cid:21) N; avremo
nk k nk
L(cid:0)" (cid:20) c (cid:20) c (cid:20) L+"; cio(cid:18)e la tesi. (cid:3)
k N
Proposizione 1.1.3. Risulta che liminfa (cid:20) limsupa :
n n
Inoltre, liminfa = limsupa = L se e solo se lima = L.
n n n
Dimostrazione. La prima a(cid:11)ermazione (cid:18)e ovvia. Dimostriamo la seconda.
()) Se liminfa = +1; allora b ! +1 se k ! +1 e quindi, per ogni
n k
M; esiste N tale che a (cid:21) b > M per ogni k > N e perci(cid:18)o lima = +1: Si
k k n
procede analogamente se limsupa = (cid:0)1:
n
Se invece liminfa = limsupa = L; dalla proposizione precedente,
n n
per ogni " > 0 esistono N ed N tali che a (cid:20) L+" per ogni n (cid:21) N e
1 2 n 1
a (cid:21) L(cid:0)" per ogni n (cid:21) N : Posto N = max(N ;N ); se n (cid:21) N; avremo
n 2 1 2
L(cid:0)" (cid:20) a (cid:20) L+":
n
(() Per ogni " > 0 esiste N tale che L(cid:0)" (cid:20) a (cid:20) L+" se n (cid:21) N;
n
dunque L(cid:0)" (cid:20) liminfa (cid:20) limsupa (cid:20) L+": Per l’arbitrariet(cid:18)a di " si
n n
conclude. (cid:3)
Proposizione 1.1.4. Ogni successione ha una sottosuccessione che conver-
ge al limite superiore (o inferiore).
Dimostrazione. Per ogni sottosuccessione fa g di fa g, si ha
nj n
limsupa (cid:20) limsupa :
nj n
D’altra parte, scelto " = 1; esiste n > 1 tale che a > limsupa (cid:0) 1;
1 n1 n
scelto " = 1=2; esiste n > n tale che a > limsupa (cid:0)1=2; e cos(cid:18)(cid:16) via;
2 1 n2 n
esiste quindi una successione di indici n < n < (cid:1) < n < (cid:1)(cid:1)(cid:1) tali che
1 2 k
a > limsupa (cid:0)1=k per ogni k 2 N: Perci(cid:18)o liminfa (cid:21) limsupa : (cid:3)
n n n n
k k
1.2. Cardinalit(cid:18)a e insiemi numerabili 3
Concludiamo questo paragrafo con alcune de(cid:12)nizioni. Siano A (cid:18) RN;
f : A ! R e sia x un punto di accumulazione di A.
0
liminff(x) = lim inf f(x);
x!x0 (cid:14)!0+ x2A
0<jx(cid:0)x0j<(cid:14)
limsupf(x) = lim sup f(x):
x!x0 (cid:14)!0+ x2A
0<jx(cid:0)x0j<(cid:14)
Sia fEngn2N una successione di insiemi in RN: Si de(cid:12)niscono
∪1 ∩1
′
E = liminfE = E ;
n k
n!1
n=1k=n
∩1 ∪1
′′
E = limsupI = E :
n n
n!1
n=1k=n
Se E′ = E′′ si dice che la successione fEngn2N converge.
1.2. Cardinalit(cid:18)a e insiemi numerabili
Il concetto fondamentale per introdurre la cardinalit(cid:18)a (cid:18)e quello di corrispon-
denza biunivoca, cio(cid:18)e di applicazione f : A ! B iniettiva e suriettiva.
Due insiemi A e B sono equipotenti (oppure si dice che hanno la stessa
cardinalit(cid:18)a) se esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B. In tal caso si
scrive
C(A) = C(B):
La relazione di equipotenza (cid:18)e una relazione di equivalenza (ri(cid:13)essiva,
simmetrica e transitiva) e la cardinalit(cid:18)a di un insieme pu(cid:18)o essere pensata
come la classe di equivalenza alla quale esso appartiene.
Un caso particolarmente semplice (cid:18)e costituito dagli insiemi (cid:12)niti per i
quali la cardinalit(cid:18)a coincide con il numero di elementi dell’insieme.
Un insieme (cid:18)e (cid:12)nito se (cid:18)e equipotente a I = f1;2;:::;ng per qualche
n
n 2 N: L’intero n (cid:18)e allora la cardinalit(cid:18)a dell’insieme.
Osservazione 1.2.1. (i) Gli insiemi (cid:12)niti non sono equipotenti a nessun
loro sottoinsieme proprio, cio(cid:18)e se A (cid:18)e (cid:12)nito e B (cid:26) A allora C(B) < C(A):
(ii) L’insieme delle parti di un insieme di cardinalit(cid:18)a n ha cardinalit(cid:18)a 2n.
Un insieme A si dice in(cid:12)nito se non esiste alcun n tale che A sia equi-
potente a I .
n
L’esempio piu(cid:18) semplice di insieme in(cid:12)nito (cid:18)e N. Infatti, se esso fosse
(cid:12)nito e B (cid:26) N; allora C(B) < C(N); cio(cid:18)e non esisterebbe alcuna f : B ! N
biunivoca. Invece l’insieme 2N dei numeri pari (cid:18)e un sottoinsieme proprio di
N e f : N ! 2N tale che f(n) = 2n (cid:18)e biunivoca.
4 1. Complementi
Un insieme si dice numerabile se pu(cid:18)o essere messo in corrispondenza
biunivoca con N. Si dice che un insieme (cid:18)e al piu(cid:18) numerabile se (cid:18)e numerabile
o (cid:12)nito.
Osservazione 1.2.2. (i) Ogni sottoinsieme B di un insieme numerabile A
(cid:18)e al piu(cid:18) numerabile (B non (cid:18)e altro che una successione estratta da A).
(ii) L’unione numerabile di insiemi (cid:12)niti (cid:18)e numerabile.
Infatti, se A ;:::;A ;::: sono(cid:12)niti, possiamode(cid:12)nire tra laloro unione
1 n
e N la corrispondenza biunivoca A $ f1;(cid:1)(cid:1)(cid:1) ;n g; A $ fn +1;(cid:1)(cid:1)(cid:1) ;n +
1 1 2 1 1
n g;(cid:1)(cid:1)(cid:1) :
2
Esempio 1.2.3. Q (cid:18)e un insieme numerabile.
E(cid:18) chiaro che basta dimostrare che l’insieme dei razionali positivi (cid:18)e nu-
merabile.
(i) Ogni numero razionale positivo r si pu(cid:18)o scrivere nella forma r = m
n
con m e n interi primi tra loro. De(cid:12)niamo l’altezza di r, con h(r) = m+n.
Per ogni k naturale esistono al piu(cid:18) k (cid:0) 1 razionali con altezza k, quindi
l’insieme dei numeri razionali positivi (cid:18)e unione numerabile di insiemi (cid:12)niti.
(ii) Un’altra dimostrazione (cid:18)e quella illustrata in (cid:12)gura.
1 2 3 4 5 . . . denominatore = 1
denominatore = 2
1/2 3/2 5/2 7/2 9/2 . . .
denominatore = 3
1/3 2/3 4/3 5/3 7/3 . . .
denominatore = 4
1/4 3/4 5/4 7/4 9/4 . . .
. . . . . . . . . .
Figura 1. Processo di diagonalizzazione.
Proposizione 1.2.4. Se A (cid:18)e un insieme numerabile, l’insieme S delle
A
successioni (cid:12)nite di elementi di A (cid:18)e numerabile.
Dimostrazione. Sia A = fajgj2N; allora SA = f(aj1;:::;ajk); k 2 N; aji 2
Ag:
Siafp ;p ;:::;p ;:::glasuccessionedeinumeriprimi. Associamol’inte-
1 2 n
ropj1pj2(cid:1)(cid:1)(cid:1)pjk adogni(a ;:::;a ) 2 S :Talecorrispondenza(cid:18)ebiunivoca.
1 2 k j1 jk A
(cid:3)
1.2. Cardinalit(cid:18)a e insiemi numerabili 5
Corollario 1.2.5. Le coppie ordinate di numeri naturali sono un insieme
numerabile. Quindi Q (cid:18)e numerabile.
Proposizione 1.2.6. L’unione di una in(cid:12)nit(cid:18)a numerabile di insiemi nume-
rabili (cid:18)e numerabile.
Dimostrazione. Si usa il processo di diagonalizzazione sulla lista:
A = fa ;a ;a ;:::;a ;:::g;
1 11 12 13 1n
A = fa ;a ;a ;:::;a ;:::g;
2 21 22 23 2n
A = fa ;a ;a ;:::;a ;:::g;
3 31 32 33 3n
(si contano prima gli elementi a con i+j=2, poi quelli con i + j = 3 e
ij
cos(cid:18)(cid:16)via). (cid:3)
Esempio 1.2.7. (Cantor) Gli insiemi in(cid:12)niti non sono tutti numerabili:
per esempio l’intervallo (0;1) non (cid:18)e numerabile.
Infatti, se fosse numerabile si potrebbero elencare i suoi elementi, scri-
vendoli in forma decimale:
x = 0;a a a :::
1 11 12 13
x = 0;a a a :::
2 21 22 23
x = 0;a a a :::
3 31 32 33
doveglia sononumeriintericompresitra0e9. Ilnumerox = 0;a a a :::
ij 1 2 3
con a = 1 se a (cid:18)e pari e a = 2 se a (cid:18)e dispari, non (cid:18)e compreso nella
j jj j jj
successione perch(cid:19)e (cid:18)e diverso da tutti quelli elencati.
Si dice che (0;1) ha la potenza del continuo.
Osservazione 1.2.8. Anche R e (0;1)N hanno la potenza del continuo.
Esistonoinsiemiconcardinalit(cid:18)aancoramaggiore(C(A) (cid:20) C(B)seesiste
una applicazione f : A ! B iniettiva).
Proposizione 1.2.9. Sia P(X) l’insieme delle parti di X. Allora
C(X) < C(P(X)):
Dimostrazione. Bisogna dimostrare che esiste una applicazione f : X !
P(X) iniettiva, ma non ne esiste una g : P(X) ! X biunivoca.
La costruzione di f (cid:18)e banale basta prendere f : x 7! fxg.
Supponiamo che esista g. Sia A = fx 2 X : x 2= g(cid:0)1(x)g. Siccome
A 2 P(X), sia a = g(A). Se a 2 A, allora a 2= g(cid:0)1(a) = A, che (cid:18)e assurdo.
Lo stesso, se a 2= A = g(cid:0)1(a), allora a 2 A che (cid:18)e ancora assurdo. (cid:3)
6 1. Complementi
1.3. Decomposizioni di aperti di RN
Useremo le seguenti notazioni: per x 2 RN ed r > 0 poniamo
B(x;r) = fy 2 RN : jy(cid:0)xj < rg;
Q(x;r) = fy 2 RN : jy (cid:0)x j < r; i = 1;:::;Ng:
i i
Sia E (cid:18) RN; un punto x 2 E si dice interno se esiste r > 0 tale che
B(x;r) (cid:18) E (oppure Q(x;r) (cid:18) E). Si dice che A (cid:18) RN (cid:18)e aperto se ogni
suo punto (cid:18)e interno. Un insieme si dice chiuso se (cid:18)e il complementare di un
(cid:14)
aperto. Indichiamo con E l’interno di E e cio(cid:18)e l’insieme dei punti interni di
(cid:14)
E; (cid:18)e chiaro che E (cid:18)e aperto se e solo se E = E
Un insieme K (cid:18) RN si dice compatto se da ogni ricoprimento di K si
pu(cid:18)o estrarre un sotto-ricoprimento (cid:12)nito di K:
Teorema 1.3.1. (Cantor) Ogni aperto di R (cid:18)e unione al piu(cid:18) numerabile di
intervalli aperti a due a due disgiunti.
Dimostrazione. Sia A un aperto di R: Preso x 2 A; sia A l’unione di tutti
x
gli intervalli aperti contenenti x e contenuti in A: Per costruzione A (cid:18)e un
x
intervallo.
Se x e y sono due punti distinti di A allora o A = A o A \A = ∅
x y x y
Infatti se A \ A ̸= ∅ allora A [ A (cid:18)e un intervallo contenuto in A e
x y x y
contenente sia x che y:
Poich(cid:19)e A (cid:18)e un intervallo, allora contiene almeno un razionale e quindi
x
gli intervalli A che sono distinti (e quindi disgiunti) sono al piu(cid:18) un’in(cid:12)nit(cid:18)a
x
numerabile e la loro unione (cid:18)e uguale A: (cid:3)
UninsiemeapertodiRN;N (cid:21) 2;ingenerale,nonpu(cid:18)oesseredecomposto
inun’unionenumerabiledicubiapertiadueaduedisgiunti;ilTeorema1.3.2
dimostra che esso pu(cid:18)o essere per(cid:18)o decomposto in un’unione numerabile di
cubi chiusi con interni a due a due disgiunti.
Premettiamo alcune notazioni. Fissati n 2 N ed m = (m ;:::;m ) 2
1 N
ZN, poniamo:
Q = fx 2 RN : (m (cid:0)1)2(cid:0)n (cid:20) x;(cid:20) m 2(cid:0)n;i = 1;:::;Ng
m;n i i
Q = fQ : m 2 ZNg;
n m;n
E(cid:18) chiaro che
∪
(i) per ogni n 2 N; RN = Q ;
m;n
m2ZN
(cid:14) (cid:14)
(ii) Qm;n\Qm′;n = ∅ se m ̸= m′;n 2 N;