Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger

221 Pages·2010·1.943 MB·German

by  Herbert Goering, Lutz Tobiska, Hans-Gorg Roos

HerbertGoering,Hans-GörgRoos
undLutzTobiska
DieFinite-Elemente-Methode
fürAnfänger
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Herbert Goering, Hans-Görg Roos und Lutz Tobiska
Die Finite-Elemente-Methode
für Anfänger
Vierte, überarbeitete und erweiterte Auflage
WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
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ISBN 978-3-527-40964-8
V
Inhaltsverzeichnis
Vorwort IX
1 Einführung 1
1.1 AllgemeineszurMethodederfinitenElemente 1
1.2 WieüberführtmaneinRandwertproblemineineVariationsgleichung? 4
1.2.1 Beispiel1 4
1.2.2 Beispiel2 5
2 Grundkonzept 7
2.1 StetigesunddiskretesProblem.BeispielevonfinitenElementen 7
2.1.1 DieGrundzügederMethode 7
2.1.2 EinerstesBeispielundeinetheoretischeSchwierigkeit 10
2.1.3 DieLösung:Sobolev-Räume 12
2.1.4 DasersteBeispiel(Fortsetzung) 17
2.1.5 PräzisierungderGrundzügederMethode 18
2.1.6 BeispielevonfinitenElementen 26
2.2 DerAufbaudesGleichungssystems 36
2.2.1 Elementmatrizen 36
2.2.2 DieElementmatrixfüreinespezielleBilinearformundDreieckelemente
vomTyp1 37
2.2.3 DieElementmatrixfürDreieckelementevomTyp2 43
2.2.4 DieElementmatrixfürRechteckelementevomTyp1
bzw.bilineareViereckelemente 45
2.2.5 DieElementmatrixfürdenLaplace-OperatormitTetraederelementen 47
2.2.6 ElementmatrixfürdenLaplace-Operator
mittrilinearenQuaderelementen 48
3 VerfahrenzurLösungvonlinearenGleichungssystemen 51
3.1 DirekteoderiterativeVerfahren? 51
3.2 DirekteVerfahren 53
3.2.1 DerGaußscheAlgorithmus 53
3.2.2 SymmetrischeMatrizen.DasCholesky-Verfahren 58
3.2.3 WeiteredirekteVerfahren 60
3.3 IterativeVerfahren 65
DieFinite-Elemente-MethodefürAnfänger.HerbertGoering,Hans-GörgRoosundLutzTobiska
Copyright©2010WILEY-VCHVerlagGmbH&Co.KGaA,Weinheim
ISBN:978-3-527-40964-8
VI Inhaltsverzeichnis
3.3.1 AllgemeineBemerkungen 65
3.3.2 DasJacobi-Verfahren,dasGauß-Seidel-Verfahren
unddasVerfahrendersukzessivenÜberrelaxation(SOR) 67
3.3.3 DasVerfahrenderkonjugiertenGradienten(CG) 71
3.3.4 VorkonditionierteCG-Verfahren(PCG) 75
3.3.5 Mehrgitterverfahren 80
4 Konvergenzaussagen 85
4.1 AllgemeineBemerkungenzurKonvergenzproblematik 85
4.2 EinBeweiseinerFehlerabschätzungfürDreieckselementevomTyp1 86
4.2.1 ZurückführungdesKonvergenzproblems
aufeinApproximationsproblem 86
4.2.2 DieApproximationdurchstückweiselineareFunktionen 87
4.2.3 FehlerabschätzungfürDreieckelementevomTyp1 97
4.3 ZusammenfassungderResultate 99
5 NumerischeIntegration 107
5.1 AllgemeineBemerkungen 107
5.2 DerQuadraturfehlerfürlineareElemente 108
5.3 EineÜbersicht:passendeIntegrationsformeln 112
6 Randapproximation.IsoparametrischeElemente 121
6.1 ApproximationdesGebietes Ω durcheinPolygon 121
6.2 IsoparametrischeElemente 124
6.3 Randapproximation mit Hilfe isoparametrischer quadratischer
Elemente 128
7 GemischteVerfahren 131
7.1 EinStrömungsproblem(Stokes-Problem) 131
7.2 Laplace-Gleichung 135
7.3 BiharmonischeGleichung 140
7.3.1 StetigesunddiskretesProblem 140
7.3.2 FormulierungalsgemischtesProblem 142
7.4 LösungderentstehendenGleichungssysteme 146
8 NichtkonformeFEM 151
8.1 Laplace-Gleichung 151
8.1.1 DiskretesProblem 151
8.1.2 Konvergenzproblem 156
8.1.3 BeispielenichtkonformerfiniterDreieck-undRechteckelemente 158
8.2 BiharmonischeGleichung 164
8.2.1 StetigesunddiskretesProblem 164
8.2.2 BeispielenichtkonformerfiniterDreieck-undRechteckelemente 166
8.3 Stokes-Problem 172
9 Nichtstationäre(parabolische)Aufgaben 177
9.1 Dasstetige,dassemidiskreteunddasdiskreteProblem 177
9.2 NumerischeIntegrationvonAnfangswertaufgaben:eineÜbersicht 179
Inhaltsverzeichnis VII
9.3 DieDiskretisierungdessemidiskretenProblemsmitdemθ-Schema 187
9.4 EineGesamtfehlerabschätzungfürdasθ-Schema 189
10 GittergenerierungundGittersteuerung 193
10.1 ErzeugungundVerfeinerungvonDreiecksgittern 193
10.2 FehlerschätzungundGittersteuerung 197
10.2.1 ResidualeundzielorientierteFehlerschätzer 198
10.2.2 Schätzer,basierendaufSuperkonvergenzundMittelung 201
AnhangA HinweiseaufSoftwareundeinBeispiel 205
A.1 NotwendigeFilesfürdasMATLAB-Programmfem2d 206
A.2 EinigenumerischeErgebnisse 209
Literaturnachweis 213
Index 217
IX
Vorwort
DasvorliegendeBuchstellteineEinführungindieMethodederfinitenElemente
dar.Dabei wirdversucht,diefür diepraktischeRealisierung desVerfahrens not-
wendigen Kenntnisse und theoretischen Grundlagen gleichermaßen zu berück-
sichtigen;eszeigt sichsogar,dass füreineeffektiveRealisierungdes Verfahrens
gewisseKenntnisseüberdessentheoretischeEigenschaftenunumgänglichsind.
DasBuchwendet sichinerster LinieanIngenieure,Naturwissenschaftlerund
Studierende entsprechender Fachrichtungen.Demgemäß wird zum Verständnis
derStoffderüblichenMathematikausbildungvonIngenieurenvorausgesetzt.Für
Fehlerabschätzungen,Konvergenzuntersuchungenu.a.m.werdeneinigeBegriffe
der Funktionalanalysisso dargestellt,dass siefürden Anfängertransparent wer-
den.Diedabeiz.T.verlorengegangenemathematischePräzision,z.B.beiderEin-
führungdesRaumesderquadratischintegrierbarenFunktionenodervonSobolev-
Räumen,mögenMathematikstudentenundMathematikerverzeihen.
Nur einige grundlegende Tatsachen werden als Satz formuliert, Beweise von
grundlegenden Aussagen zur Methode der finiten Elemente werden ausgeführt,
z.T.abernurexemplarisch.DermehranderpraktischenRealisierungdesVerfah-
rensinteressierteLeserstösstandenentsprechendenStellenaufHinweise,welche
AbschnitteerüberspringenkannundwoerzusammenfassendeSchlussfolgerun-
genausdentheoretischenUntersuchungenfindet.
Es wurde eineden Zielstellungen dieses Buches entsprechende einfache,aber
mathematisch fundierteDarstellunggewählt.Natürlicherhebt diegewählteDar-
stellungkeinenAnspruchaufVollständigkeit.
ImMittelpunktdesBuchesstehenzweidimensionale,elliptischeAufgabenzwei-
ter Ordnung, wobei Erweiterungsmöglichkeiten auf dreidimensionale Probleme
aufgezeigtwerden.AufdieseAufgabenzugeschnittenwirdimKapitel2erläutert,
wiemandiediskretenProblemegewinnt,imKapitel3,wiemandiediskretenPro-
blemelöst,imKapitel4,wiemanFehlerabschätzungenherleitetundindenKapi-
teln5,6,wiemankrummlinigeRänderberücksichtigtundIntegralezweckmäßig
numerischberechnet.
IndenKapiteln7,8werdengemischteundnichtkonformeMethodenvorgestellt,
insbesondereauchzurBehandlungdesStokes-ProblemsundvonelliptischenAuf-
gaben vierter Ordnung.Kapitel 9 ist instationären Aufgaben zweiter Ordung ge-
widmet,wobeiverschiedeneKlassenvonZeitdiskretisierungsverfahrenvorgestellt
DieFinite-Elemente-MethodefürAnfänger.HerbertGoering,Hans-GörgRoosundLutzTobiska
Copyright©2010WILEY-VCHVerlagGmbH&Co.KGaA,Weinheim
ISBN:978-3-527-40964-8
X Vorwort
werden.ImKapitel10werdenAspektederErzeugungvonGitternundderenVer-
feinerung diskutiert, wobei auch adaptive Methoden, basierend auf a posteriori
Fehlerabschätzungen,eineRollespielen.
In einem kurzen Anhangwird erklärt,wie man auf der Basis eines allgemein
verfügbarenMATLAB-Programmessehr schnellselbst erste Testrechnungen zur
numerischenLösungelliptischerAufgabenmitderMethodederfinitenElemente
realisierenkann.
Die erste Version dieses Buches entstand 1983, der Inhaltwurde dann für die
dritteAuflage1993einwenigaktualisiert.FürdievorliegendevierteAuflagewur-
den alle Abschnitte noch einmal gründlich überarbeitet, insbesondere die Kapi-
tel7–10.
Für zahlreiche Hinweise und interessante Diskussionen danken wir unseren
KollegenA.Felgenhauer,Ch.Großmann,V.John,G.Matthies,U.Risch,F.Schie-
weck;fernerS.Rajasekaran,M.SchopfundR.VanselowfürdieTestrechnungen,
dasTitelbildunddenVorschlagzurGestaltungdesAnhangs.
Magdeburg/Dresden,November2009 HerbertGoering
Hans-GörgRoos
LutzTobiska
1
Kapitel1
Einführung
1.1
AllgemeineszurMethodederfinitenElemente
Die Methode der finiten Elemente (FEM) ist eines der praktisch wichtigsten Nä-
herungsverfahren zur Lösung von Variationsproblemen,Differentialgleichungen
und Variationsungleichungen in den Ingenieurwissenschaften und der mathe-
matischenPhysik.DieErfolgederFEM,insbesondereinderFestkörpermechanik,
führtenzueinerverstärktenNutzunginderThermodynamik,inderStrömungs-
mechanik und in anderen Gebieten. Die Leistungsfähigkeit der Methode liegt
darin begründet, dass die FEMdie Vorteilebesitzt, systematische Regeln für die
Erzeugungstabiler numerischerSchematabereitzustellen,undesrelativeinfach
ist,komplizierterezwei-unddreidimensionaleGeometrienzuberücksichtigen.
UrsprünglichwurdedieMethodeindenfünfzigerJahrenvonIngenieurenent-
wickelt, um große Systeme von Flugzeugbauteilenuntersuchen zu können.Erst
späterentdecktemandieengeVerbindungderFEMmitdembekanntenRitzschen
VerfahrenundeineArbeitvonCouranthierzuausdemJahre1943.Dieerstenma-
thematischfundiertenUntersuchungenstammenvonK.O.Friedrichs(1962)und
L.A.Oganesjan(1966),indendarauffolgendenJahrenschufmaneinebreitema-
thematischeTheoriederMethode.ZurraschenVerbreitungderFEMtrugwesent-
lichdieMonographievonZienkiewicz(1967)bei.HeuteexistierteineVielzahlvon
Büchern,diesichdenunterschiedlichenAspektenderFEM–Theorie,Anwendung
undImplementierung–widmen,erwähntseiennur[11,13,19,33,57].
Wirnehmenan,dasseingegebenesstationärestechnischesProblemdurchein
Variationsprinzip oder ein Randwertproblem für eine Differentialgleichung be-
schriebenwerde.BeiderMethodederfinitenElementewirddasz.B.zweidimen-
sionalezugrundeliegendeGebietineinfacheTeilgebietezerlegt,etwainDreiecke,
Viereckeusw.DieFEMerzeugtdanneinGleichungssystemfürNäherungswerte
derunbekanntenFunktioninausgezeichnetenPunktenderTeilgebiete.Nachdem
LösendesGleichungssystemssinddieWertederUnbekanntenindenausgezeich-
netenPunktennäherungsweisebekannt.
EsgibtnunverschiedeneMöglichkeitenderErzeugungdesGleichungssystems
(desdiskretenProblems),ausgehendvoneinemVariationsprinzipodereinemRand-
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