Die euklidische Ebene und ihre Verwandten

212 Pages·1999·5.092 MB·German

by  Heinz Lüneburg (auth.)

Heinz LUneburg
Die euklidische Ebene
und ihre Verwandten
Springer Basel AG
Autor:
Heinz Liineburg
FB Mathematik
Universitiit Kaiserslautern
D-67653 Kaiserslautern
Germany
1991 Mathematical Subject Classification 51 A05
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Luneburg, Heinz:
Die euklidische Ebene und ihre Verwandten / Heinz Liineburg.
Basel ; Boston; Berlin: Birkhăuser, 1999
ISBN 978-3-7643-5685-9 ISBN 978-3-0348-8873-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-8873-8
Das Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere
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Urheberrechts.
©1999 Springer Basel AG
Urspriinglich erschienen bei Birkhăuser Verlag 1999
Umschlaggestaltung: Markus Etterich, Basel
Gedruck auf săurefreiem Papier, hergestellt aus chlorfrei gebleichtem Zellstoff. TCF 00
ISBN 978-3-7643-5685-9
987654321
Vorwort
Your aid I want
Nine trees to plant
In rows just half a score,
And let there be
In each row three.
Solve this. I ask no more.
( J. J ackson, Rational
Amusements for Winter
Evenings. London 1821)
Beim Beweise vieler Sätze der Elementargeometrie nutzt man nur sehr unvollkom
men aus, daß es der Körper der reellen Zahlen ist, welcher der Geometrie zugrunde
liegt. Mal sind es nur die Körpereigenschaften, die man benötigt, mal daß die mul
tiplikative Gruppe abelsch ist. Manchmal braucht man auch nur, daß die Charak
teristik nicht zwei ist, ein andermal, daß R eine Anordnung besitzt. Gelegentlich
genügt es sogar zu wissen, daß die euklidische Ebene eine affine Ebene ist.
Diese wenigen Andeutungen machen schon ein wenig deutlich, worum es bei un
serem Thema gehen wird: Wir werden uns einerseits erheblich einschränken, indem
wir hier unter Elementargeometrie nur die ebene euklidische Geometrie verstehen,
also auf alles Räumliche verzichten, andererseits eine wesentliche Erweiterung des
Themas Elementargeometrie vornehmen, indem wir zumindest zu Beginn unserer
Untersuchungen auch beliebige projektive Ebenen in sie einbeziehen, da wir uns
dieses Hilfsmittels nicht werden begeben wollen. Wir werden jedoch nicht eine The
orie der projektiven Ebenen entwickeln, wie sie etwa in den im Literaturverzeichnis
aufgeführten Büchern von P. Dembowski, Hughes und Piper, Pickert oder auch von
mir dargestellt wird. Wir werden uns vielmehr im wesentlichen darauf beschränken,
solche affinen und projektiven Ebenen zu untersuchen, die sich mittels zwei- und
dreidimensionaler Vektorräume über irgendwelchen Körpern beschreiben lassen,
wobei immer die Frage im Vordergrund stehen wird, wie sich geometrische Eigen
schaften der Ebene und algebraische Eigenschaften des Koordinatenkörpers gegen
seitig bedingen. Dabei wird sich dann im Laufe unserer Untersuchungen für eine
Reihe von grundlegenden Sätzen der Elementargeometrie herausstellen, welche
Eigenschaften von R es sind, die ihre Gültigkeit nach sich ziehen. Erst ganz zum
Schluß, im siebten Kapitel, werden wir dann sehen, welche geometrischen Eigen
schaften dazu dienen können, die reelle Ebene unter allen übrigen affinen Ebenen
auszuzeichnen.
Ein Wort zu den Vorkenntnissen, die der Leser dieses Buchs mitbringen sollte,
ist sicherlich vonnöten. Geläufigkeit im Umgang mit Vektorräumen und linearen
vi Vorwort
Abbildungen ist eine conditio sine qua non und Kenntnisse in Algebra sind wün
schenswert. Zwar werden nur sehr wenige Sätze der Algebra in diesem Buch be
nutzt, sein Aufbau und sein Charakter aber sind durch und durch algebraisch, so
daß Vertrautheit mit den algebraischen Schlußweisen beim Durcharbeiten dieses
Buches von großem Nutzen ist. Was die benutzten Sätze der Algebra anbelangt,
so wird an gegebener Stelle auf sie hingewiesen werden. Es genügt, wenn der Leser
sie ad hoc zur Kenntnis nimmt.
Ein weiteres Wort noch an den künftigen Lehrer unter meinen Lesern. Ich habe
an anderer Stelle über die Grundlagen der Geometrie im Zusammenhang mit dem
Mathematikunterricht der Schule polemisiert. Ich möchte daher hier betonen, daß
dieses Buch, abgesehen von dem ästhetischen Vergnügen, das es dem ein oder an
deren bereiten mag, einzig dem Zweck dient, den Hintergrund aufzuhellen, vor
dem sich Elementargeometrie abspielt. So wie die Dinge hier aufgeschrieben ste
hen, eignen sie sich nicht für den Schulunterricht. Es bedarf also Ihrer geistigen
Anstrengung nicht nur, um das hier Vorgetragene zu verstehen, sondern vielmehr
noch, um das hier Dargestellte mit dem auf der Schule Gelehrten in Zusammen
hang zu bringen, und dann dieses Ihren Schülern zu Nutzen mit noch besserem
Verständnis unterrichten zu können. Es ist also an Ihnen, die Beziehungen her
zustellen zwischen dem, was wir hier tun, und dem Hin- und Herschieben von
Bauklötzen, dem Falten von Papier, dem Messen von Abständen, etc. Dies wird
Ihnen nur schwer gelingen, wenn das vorliegende Buch Ihr einziges Geometriebuch
bleibt. Konsultieren Sie also das Literaturverzeichnis und übersehen Sie dabei nicht
die Bücher zur Darstellenden Geometrie. Sie bieten eine Fülle von Anschauungs
material, wovon sich das ein oder andere sicherlich auch im Unterricht verwenden
läßt.
Diesem Buch liegt eine Auftragsarbeit zugrunde, nämlich ein Kurs von sieben
Studienbriefen "Grundlagen der ebenen Geometrie" (Hagen 1980), den ich für
die Fernuniversität Hagen schrieb. Dies erklärt Stil, Stoffauswahl und Umfang
dieses Werkes. Daß ich mit dem unter so ungewohnten Bedingungen entstande
nen Werk zufrieden war und bin, erkennt der Leser daran, daß ich keine größeren
Überarbeitungen vorgenommen habe. Im wesentlichen habe ich nur die Einleitun
gen der Kapitel neu geschrieben, da diese sich auf die ganz spezielle Situation
der Hagener Studenten bezogen, sowie aus vertraglichen Gründen die Aufgaben
weggelassen. Dennoch bleibt noch genug Stoff zum Üben, wenn Sie alle bewusst
stehen gelassenen Beweislücken schließen. Sie werden auf diese Lücken im Buch
hingewiesen.
Zum Schluß möchte ich mich noch bei den Verantwortlichen der Hagener Uni
versität dafür bedanken, daß sie es mir gestatteten, den oben genannten Kurs nun
in Buchform einem größeren Publikum zugänglich zu machen.
Kaiserslautern, im Juli 1998 H einz Lüneburg
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
I. Projektive und affine Ebenen 1
1. Definitionen und erste Resultate 1
2. Inzidenztreue Abbildungen 10
3. Affine Ebenen 15
4. Zentralkollineationen 18
5. Zentralkollineationen und der Satz von Desargues 22
11. Desarguessche Ebenen 29
1. Translationsebenen 29
2. Der Kern einer Translationsebene 35
3. Die Ebenen II(V, K) 39
4. Die zu II(V, K) duale Ebene 45
5. Die Struktursätze für desarguessche Ebenen 49
111. Pappossche Ebenen 57
1. Der Satz von Hessenberg 57
2. Die Gruppe der projektiven Kollineationen 68
3. Die Gruppe der Projektivitäten einer Geraden auf sich 72
4. Das Doppelverhältnis 78
5. Anhang 86
IV. Polaritäten und Kegelschnitte 89
1. Polaritäten endlicher projektiver Ebenen 90
2. Darstellung von Polaritäten 92
3. Kegelschnitte 97
4. Die Steinersche Erzeugung der Kegelschnitte 103
5. Segres Satz über Ovale 108
6. Die Kollineationsgruppe eines Kegelschnitts 116
V. Teilverhältnisse und Orthogonalität in affinen Ebenen 119
1. Teilverhältnisse 120
2. Das Mittendreieck und die Mittellinien eines Dreiecks 126
3. Orthogonalitätsrelationen papposscher Ebenen 127
4. Die Gruppe einer thaletischen Orthogonalitätsrelation 132
5. Orthogonalitätsrelationen, für die der Höhenschnittpunktsatz gilt 137
6. Das Winkelhalbieren 142
VI. Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte 149
1. Projektive Ebenen über euklidischen Körpern 149
2. Kegelschnitte in affinen Ebenen 155
3. Kreise 158
4. Die Achsen der Kegelschnitte 166
viii Inhaltsverzeichnis
5. Die Brennpunkte der Kegelschnitte 169
6. Algebraische Beschreibung von Ellipse, Parabel und Hyperbel 173
VII. Die reelle Ebene 177
1. Zwischenbeziehungen und Anordnungen 177
2. Eine Charakterisierung der Anordnung eines Körpers 182
3. Zwischenbeziehungen in desarguesschen affinen Ebenen 185
4. Eine Kennzeichnung der reellen affinen Ebene 189
Literaturverzeichnis 199
Index 203
I
Projektive und affine Ebenen
In diesem ersten Kapitel werden die Grundlagen für alles weitere gelegt, dh., es
werden die Objekte definiert, mit denen wir es in diesem Buche zu tun haben, und
die grundlegendene Sätze über sie bewiesen, die wir später immer wieder benötigen
werden. Es wird also genau das getan, was der Leser erwartet, wenn er in ein für
ihn neues Gebiet eingeführt werden möchte.
1. Definitionen und erste Resultate. Sind Mund N zwei Mengen, so bezeich
nen wir wie üblich mit Mx N das cartesische Produkt von Mund N, dh., die
Menge aller geordneten Pa~re (m, n) mit m E Mund n E N.
1.1. Definition. Es seien P und g Mengen. Ist I ~ P x Q, so heißt das Tripel
'I = (P, g, I) Inzidenzstruktur. Die Elemente von P nennen wir Punkte und die
Elemente von g Geraden von 'I. Die Punkte von 'I bezeichnen wir meist mit großen
und die Geraden von 'I mit kleinen lateinischen Buchstaben. Ist (P, g) EI, so
schreiben wir dafür in der Regel P I 9 und sagen: "P inzidiert mit g", "P liegt auf
g", "g geht durch P", "g trägt P", etc. Statt (P,g) (j. I schreiben wir meist P Jg.
Die Definition der Inzidenzstruktur ist so allgemein, daß man damit nur wenig
anfangen kann. Wir sondern daher sogleich diejenige Klasse von Inzidenzstruk
turen aus, die uns vor allem interessieren wird.
1.2. Definition. Die Inzidenzstruktur II heißt projektive Ebene, falls II den fol
genden Bedingungen genügt:
(PI) Sind P und Q zwei verschiedene Punkte von II, so gibt es genau eine Gerade
von II, die mit P und auch Q inzidiert.
(P2) Sind 9 und h zwei Geraden von II, so gibt es einen Punkt von II, der sowohl
auf 9 als auch auf h liegt.
(P3) Es gibt vier verschiedene Punkte von II, von denen keine drei auf ein und
derselben Geraden von II liegt.
Axiom (P3) ist eine Reichhaltigkeitsaussage. Es dient dazu, Entartungsfälle
auszuschließen. So erfüllt ja z. B. die Inzidenzstruktur (0,0,0) offenbar (PI) und
(P2) oder auch die Inzidenzstruktur
(P, {P}, P x {P}).
Diese und weitere Entartungsfälle, die noch vorkommen könnten, werden also
durch (P3) ausgeschlossen.
H. Lüneburg, Die euklidische Ebene und ihre Verwandten
© Birkhäuser Verlag 1999
2 1. Projektive und affine Ebenen
Sie werden bemerkt haben, daß (P2) nicht das genaue Gegenstück von (PI)
ist. Es müßte lauten: Sind g und h zwei verschiedene Geraden von II, so gibt es
genau einen Punkt von II, der mit g und auch mit h inzidiert. Man könnte auch
diese Forderung an Stelle von (P2) verwenden. Welche der beiden Forderungen
man nimmt, ist letztlich gleichgültig.
Für die in (P3) verneinte Aussage, daß drei Punkte auf einer Geraden liegen,
wollen wir noch einen Terminus technicus einführen durch die
1.3. Definition. Ist (P, g, I) eine Inzidenzstruktur und ist M ~ P, so heißen
die Punkte aus M kollinear, falls es ein g E 9 gibt mit PI g für alle P E M.
Entsprechend heißen die Geraden der Teilmenge H von 9 konftuent, falls es ein
PEP gibt mit PIg für alle gEH.
Nach diesen vielen Definitionen ist es an der Zeit zu fragen, ob es überhaupt
projektive Ebenen gibt. Diese Frage ist natürlich nur eine rhetorische, da die Ex
istenz dieses Buches schon die Existenz von projektiven Ebenen beweist. Dennoch
erwartet auch eine rhetorische Frage eine Antwort.
Das erste Beispiel bietet gleich eine Überraschung. Es zeigt nicht nur, daß es
projektive Ebenen gibt, es zeigt darüberhinaus auch noch die Existenz von pro
jektiven Ebenen mit nur endlich vielen Punkten und Geraden.
1.4. Beispiel. Es sei P = {I, 2, 3, 4, 5, 6, 7} und
9 = {{I,2,4},{2,3,5},{3,4,6},{4,5, 7},{5,6,I},{6,7,2},{7,I,3}}.
Schließlich sei PI g genau dann, wenn P E g ist.
Bevor wir uns überlegen, wie man nachweist, daß (P, g, I) eine projektive
Ebene ist, möchte ich Sie auffordern, die Geraden schön säuberlich untereinan
der aufzuschreiben. Dann wird nämlich ihr Bildungsgesetz deutlich.
Und nun zum Nachweis, daß (P, g, I) eine projektive Ebene ist. Am raschesten
liest man dies an Fig. I ab, welche sich wohl von selbst versteht.
6
Fig.l
Wenn eine projektive Ebene mehr Punkte und Geraden hat, läßt sie sich nicht
mehr so schön graphisch darstellen. Daher sei hier noch ein zweiter Nachweis
erbracht, der sich zu einer Methode ausbauen läßt, wie wir später sehen werden.
Dazu numerieren wir die Geraden aus 9 mit gl, ... , g7 in der Reihenfolge, wie
1. Definitionen und erste Resultate 3
sie oben aufgelistet sind, und definieren eine (7 x 7)-Matrix a durch aij = 1, falls
i E gj, und aij = 0 in allen übrigen Fällen. Dann ist
1 0 0 0 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1
a= 1 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0
0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1
Bezeichnet man mit at die zu a transponierte Matrix und berechnet aat und ata,
wobei Sie eingeladen sind, dies wirklich zu tun, so erhält man
3 1 1 1 1 1 1
1 3 1 1 1 1 1
1 1 3 1 1 1 1
ata = aat = 1 1 1 3 1 1 1
1 1 1 1 3 1 1
1 1 1 1 1 3 1
1 1 1 1 1 1 3
Diese Gleichungen muß man nun interpretieren. Es ist
7
3 = La~k
k=1
für alle i. Nun ist a~k = aik, da ja aik E {O, I} ist. Also ist 3 = 2:r=1 aik und dies
besagt auf Grund der Definition der aik, daß der Punkt i mit genau drei Geraden
inzidiert. Ist i =I- j, so ist
7
1 = Laikajk.
k=1
Nun ist aikajk E {O, I}, so daß es genau ein k gibt mit aikajk = 1. Dies heißt, daß
es genau eine Gerade gibt, nämlich gk, die mit i und j inzidiert. Somit gilt (PI).
Dies sind Folgerungen, die wir aus der zweiten der obigen Gleichungen ziehen.
Nun ist 3 = E~=1 a~i = E~=1 aki, so daß jede Gerade 3 Punkte trägt. Also
trägt jede Gerade gewiß einen Punkt, so daß (P2) im Falle 9 = h gilt. Ferner ist
1 = E~=1 akiakj, falls nur i =I- j ist. Dies besagt, daß zwei verschiedene Geraden
mit genau einem Punkt inzidieren. Also gilt (P2) generell. Es bleibt nur noch die
Gültigkeit von (P3) zu beweisen. Dazu betrachten wir die Punkte 2, 4, 5, 6. Die
Punkte 2, 4 liegen auf g1 und 5, 6 liegen auf g5. Weil zwei verschiedene Punkte
gleichzeitig nur mit genau einer Geraden inzidieren und zwei verschiedene Geraden