der Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie 1 und 2

28 Pages·2004·1.82 MB·German

Gaußsches Verfahren
(0.6) Satz (Gaußsches Verfahren). Jedes lineare Gleichungssystem (G) lässt sich durch elementare
Umformungen der Art (I) und (III) in ein System (S) von S t ufenform überführen:
Inhaltsverzeichnis der Vorlesung (S) c1r1xr1 + ……………………………………………+ c1nxn = d1
c2r2xr2 + ……………………………+ c2nxn = d2
M
Lineare Algebra und analytische Geometrie 1 und 2 ckrkxrk+ ……… + cknxn = dk
0 = dk+1
M
Gehalten von Franz Kalhoff im WS 2003/2004 und SS 2004 an der Universität Dortmund. 0 = dp,
wobei gilt 1 ! r1 < r2 < … < rk ! n, 0 ! k ! p, c1r1 " 0, …, c2rk " 0. Durch elementare Umformungen der Art
Das folgende Verzeichnis listet die in der Vorlesung gebrachten Definitionen und Sätze mit ihrer Num- (II) lässt sich außerdem erreichen, dass die sog. L e i t k o effizienten c1r1, c2r2, …, ckrk von (S) alle gleich 1
merierung nahezu wortwörtlich auf, verzichtet aber weitgehend auf die Wiedergabe von Beispielen, sind.
Bemerkungen, Motivationen und Beweisen. Es kann daher weder eine Vorlesungsmitschrift noch
Lehrbücher ersetzen, sondern ist in erster Linie als Lern- und Orientierungshilfe gedacht: (0.7) Lemma (Rekursive Auflösung) Ist in (S) eine der Zahlen dk+1, …, dp von Null verschieden, so ist das
Lernen Sie Definitionen und wichtige Sätze auswendig, finden Sie zu jedem auftretenden Begriff eigene System nicht lösbar, es enthält einen Widerspruch. Andernfalls erhält man die Lösungen von (S) durch Auf-
Beispiele und Gegenbeispiele und versuchen Sie, die angeführten Sätze möglichst eigenständig zu lösung der ersten k Gleichungen nach xrk, xrk–1, …, xr1, und zwar iterativ von unten nach oben fortschreitend.
beweisen. Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse anhand Ihrer Vorlesungsmitschrift und Ihrer Lehrbücher. Dabei hat man jeweils ein Gleichungssystem der Form
(1) x1 + a12x2 + … + a1sxs + a1,s+1xs+1 + … + a1nxx = b1
(2) a2,s+1xs+1 + … + a2nxx = b2
M M M
ap,s+1xs+1 + … + apnxx = bp
§0 Gleichungssysteme und reelle Räume mit s # 1 gegeben, und kennt schon alle Lösungen des Teilsystems (2) in den Unbekannten xs+1, …, xn.
Durchläuft (x's+1, …, x'n) die Lösungen von (2) und durchlaufen !2, … !s unabhängig voneinander beliebige
Lineare Gleichungssystem e Zahlen, so durchläuft (x1, …, xn) mit
(3) x1 := b1 – a12!2 – … – a1s!s – a1,s+1x's+1 – … – a1nx'n
Definitionen. x2 := !2
(a) Ein li neares Gleichungssyste m mit p G l eichungen und n U n bekannten x1, …, xn ist ein System von M M
Gleichungen der Form xs := !s
(G) a11x1+ a12x2+ … + a1nxn= b1 xs+1 := x's+1
a21x1+ a22x2+ … + a2nxn= b2 M M
M M M M xn := x'n
ap1x1+ ap2x2+ … + apnxn= bp. alle Lösungen von (1).
Hierbei sind aij, bi gegebene Zahlen. Die aij heißen K o effiziente n , die bi r e chte Seite n von (G). Für die gan- (0.8) Satz.
zen Zahlen i, j, p, n gilt dabei 1 ! i ! p und 1 ! j ! n. Das System (G) heißt h o moge n , wenn alle bi= 0 sind. (a) Genau dann ist (S) lösbar, wenn dk+1 = … = dp = 0 ist.
(b) Ein n - Tupel von Zahlen ist ein geordnetes System (u1, u2, …, un) von Zahlen. Wir schreiben (b) Ist (S) lösbar, so erhält man alle Lösungen von (S) wie folgt: Für die xj mit j"{r1,…, rk} setzt man
Hierbeui heißt :u=i die ( i-u t1e, Kuo2o, r…di,n uant e) . von u. Zwei n-Tupel u und v = (v1, …, vn) sind g l eich , Schreibweise u = v, buenltieenb ingaec rhe eolblee nZ"a bhelerne cehinn;e dt awnenrd seinnd. jeweils xrk, …, xr1 eindeutig bestimmt und können iterativ "von
wenn sie koordinatenweise übereinstimmen, d.h. wenn gilt
u1 = v1, u2 = v2, ……, un = vn, (c) Igset n(Sau) ldöasnbna re, isnod eisut t(igS )lö –sabuafrg, ewfaesnsnt ka l=s lnin iesat.res Gleichungssystem in den Unbekannten x1, …, xn–
sonst u n gleich , Schreibweise u " v (z.B. ist (1,0,0) " (0,1,0)).
(c) Die n-Tupel, die das lineare Gleichungssystem (G) erfüllen, heißen L ö sunge n , und die Gesamtheit Rechnen mit n - Tupeln
dieser Lösungen heißt L ö sungsmenge von (G).
Definition. Auf der Menge der n-Tupeln von Zahlen definieren wir eine Summe und ein Produkt mit Zahlen
(0.2) Bemerkung. Jedes homogene, lineare Gleichungssystem besitzt eine Lösung, nämlich das sog. Null-
koordinatenweise; d.h. genauer, sind
n-Tupel 0 := (0, 0, …, 0), auch t r iviale Lösung genannt.
u = (u1, u2, …, un) und v = (v1, …, vn) n-Tupel von Zahlen, und ist
Definition. Die folgenden Umformungen eines linearen Gleichungssystems heißen e l ementare U m f o r m u n - ! eine Zahl,
so definieren wir
ge n :
(I) Vertauschen zweier Gleichungen. u + v := (u1+v1, u2+v2, …, un+vn), genannt S u mme von u und v,
(II) Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl " 0. ! # u := (!u1, !u2, …, !un), genannt ( s k alares) Produk t von ! und u.
(III) Addition einer mit einer beliebigen Zahl multiplizierten Gleichung zu einer anderen Gleichung.
(0.10) Satz. Für die gerade definierten Operationen + und # gilt:
(0.4) Satz. Bei elementaren Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht. (A1) (u + v) + w = u + (v + w) (Assoziativgesetz bzgl. +),
(A2) Es gibt ein n-Tupel 0, so dass gilt
Definition. Zwei Gleichungssysteme mit denselben Unbekannten heißen ä q uivalent , wenn sie dieselbe 0 + u = u + 0 = u (0 heißt n e utrales Element bzgl. +),
Lösungsmenge besitzen. (A3) Zu jedem u gibt es ein n-Tupel –u, so dass gilt
u + (–u) = (–u) + u = 0 (–u heißt in verses Element von u bzgl. +),
(A4) u + v = v + u (Kommutativgesetz bzgl. +),
(M1) (! + µ) u = !u + µu (Distributivgesetz),
(M2) (!µ)u = !(µu) (Assoziativgesetz), Metrik im R n
(M3) 1 # u = u,
(M4) !(u + v) = !u + !v (Distributivgesetz). Definitionen. Die ( e uklidische) Läng e (Betrag, Norm)eines Ortsvektors u = (u1, u2, …, un) $ Rn ist
(0.12) Satz. Sind u und v Lösungen eines homogenen Systems |u| := $(u12 + u22 + … + un2).
ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = 0, mit i = 1, …, p, Ein u $ Rn heißt E i nheitsvekto r , wenn |u| = 1 gilt. Zu jedem v $ Rn mit v " 0 gibt es einen z u gehörigen
und ist ! eine beliebige Zahl, so sind auch u + v und !u Lösungen. Die Lösungsmenge eines homogenen Einheitsvekto r v / |v|.
Systems erfüllt die Gesetze aus (0.10).
(0.13) Satz. Lösungen von (G) als Summe einer festen Lösung von (G) und der Lösungen des z u gehörigen Definition. Der Ausdruck < u, v > := u1v1 + u2v2 + … + unvn heißt S k alarprodukt von u, v $ Rn.
homogene n Systems (GH).
(0.20) Bemerkung. | u | = $ < u, u > und | !u | = |!| # |u|.
Definition. Im Rn heißen die speziellen Vektoren (0.21) Satz.
e1 := (1, 0, 0, …, 0) (S1) < u, v + v' > = < u, v > + < u , v' >
e2 := (0, 1, 0, …, 0) (S1') < u + u', v > = < u, v > + < u' , v >
M (S2) < u, !v > = ! # < u, v >
en := (0, 0, …, 0, 1) (S2') < !u, v > = ! # < u, v >
die S t andardbasis von Rn. Unter einer L i nearkombinatio n von e1, …, en verstehen wir einen Ausdruck der ((SS34)) << uu,, vu >> => <0 v , u > für alle u " 0.
Art !1e1 + !2e2 + … + !nen mit !1, …, !n $ R.
(0.22) Lemma (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung).
(0.15) Satz. Jedes u $ Rn lässt sich auf genau eine Weise als Linearkombination von e1, …, en darstellen. (a) | < u, v > | ! |u| # |v|
(b) | < u, v > | < |u| # |v| % u,v sind linear unabhängig.
Geraden und Ebenen im R n
(0.23) Satz.
(N1) | u | > 0 für u " 0
Definition. Eine Teilmenge g von Rn heißt G e rade , wenn ihre Elemente u mit Hilfe zweier fest gewählter n- (N2) | !u | = |!| # |u|
Tupel uo,v mit v " 0 in der Form (N3) | u + v | ! | u | + | v |.
u = uo + ! v
erhalten werden können, wobei ! alle reellen Zahlen durchläuft (Parameterdarstellung). Definition. Der ( e uklidische) Abstan d (Entfernung, Distanz) zweier Punkte u,v $ Rn ist
d( u, v ) := | u –%v |.
(0.16) Satz und Definition. Zu zwei verschiedenen Punkten uo, wo des Rn existiert genau eine Gerade g,
die uound wo enthält. Eine Parameterdarstellung von g lautet (0.24) Satz. Für den euklidischen Abstand gilt:
(D1) d(u,v) = d(v,u)
u = uo + !(wo – uo). (D2) d(u,v) > 0 für u "%v
g heißt V e rbindungsgerade von uo und wo. (D3) d(u,u) = 0
(D4) d(u,w) ! d(u,v) + d(v,w).
(0.17) Satz. Sind a, b, c feste reelle Zahlen mit (a, b) " (0, 0), so ist die Menge aller Punkte (x, y) $ R2, die
der Gleichung (0.25) Satz und Definition. Zu je zwei von Null verschiedenen Ortsvektoren u, v $ Rn gibt es genau eine
ax + by = c reelle Zahl & mit
genügen, eine Gerade in R2. Umgekehrt kann jede Gerade in R2 in dieser Weise dargestellt werden. (i) cos &= < u/|u|, v/|v| > = < u, v > / (|u| # |v|)
(Implizite Geradendarstellung). (ii) 0 ! & ! &.
Wir nennen & den ( u norientierten) Winke l zwischen u und v.
Definition. Zwei Elemente v, v' $ Rn heißen li near unabhängig , wenn gilt
v " 0, v' " 0, Definition. Zwei Ortsvektoren u,v $ Rn heißen s e nkrecht oder o r thogona l, wenn gilt < u, v > = 0.
v' ist nicht von der Form µv (und v nicht von der Form µ'v').
Weitere Produkte im R 3
Definition. Eine Teilmenge E von Rn heißt E b en e , wenn ihre Elemente u mit Hilfe dreier fester Elemente
uo, v, v' $ Rn mit linear unabhängigen v, v' in der Form Definition. Das V e ktorproduk t zweier Elemente u = (u1, u2, u3) und v = (v1, v2, v3) des R3 ist definiert als
erhalteun werd=en köunno e +n, w! ovb e+i !!,' v!'' unabhängig voneinander alle reellen Zahlen durchlaufen. u ’ v := (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) $ R3.
(0.18) Satz und Definition. Zu drei Punkten uo, wo, zo $ Rn, die nicht auf einer Geraden liegen, existiert ((0a.)26) uS a ’t z .(v + v') = u ’ v + u ’ v'
genau eine Ebene E ( Rn, die uo, wo, zo enthält. Eine Parameterdarstellung von E lautet (b) (u + u') ’ v= u ’ v + u' ’ v
u = uo + !(wo – uo) + !'(zo – uo). (c) u ’ (!v) = ! # (u ’ v)
Die Ebene E heißt die V e rbindungseben e von uo, wo, zo. (d) (!u) ’ v = ! # (u ’ v)
(e) u ’ v = – (v ’ u), insbesondere u ’ u = 0.
(0.19) Satz. Sind a, b, c, d feste reelle Zahlen mit (a, b, c) " (0, 0, 0), so ist die Menge aller Punkte (x, y, z) $
R3, die der Gleichung (0.27) Satz.
ax + by + cz = d (a) < u ’ v, u > = < u ’ v, v > = 0
genügen, eine Ebene in R3. Umgekehrt kann jede Ebene in R3 in dieser Weise dargestellt werden. (Implizite (b) |u ’ v|2 = |u|2 # |v|2 – < u, v >2
Ebenendarstellung). (c) (u ’ v) ’ w = < u, w > # v – < v, w > # u.
(0.28) Geometrische Interpretation. |u ’ v| ist der F l ächeninhalt des von u und v aufgespannten Parallelo-
gramms. (Richtung aus Orientierung, rechte-Hand-Regel.)
Definition. Das Spatprodukt dreier Elemente u,v,w $ R3 ist die reelle Zahl Sp(u, v, w) := < u ’ v, w >.
(1.6) Satz. In einer (multiplikativ geschriebenen) Gruppe G gelten die Regeln
(0.29) Geometrische Interpretation. |Sp(u,v,w)| ist das V o lumen des von u,v,w aufgespannten Spates. (a) ak # am = ak+m
(Das Vorzeichen hängt wieder von der Orientierung ab.) (b) (ak)m = ak#m.
(0.30) Satz. Für das Spatprodukt gilt: Definition. Ist die Gruppe G endlich, so verstehen wir unter der O r dnun g von G die Anzahl der Elemente
(a) Es ist a d ditiv und h o moge n in allen drei Argumenten. von G, in Zeichen ord(G) := |G|.
(b) Es ändert sein Vorzeichen bei Vertauschung zweier Argumente.
Permutationsgruppen
§1 Algebraische Grundlagen
Sei M eine Menge, und sei SM die Menge der bijektiven Abbildungen von M auf sich. Als Verknüpfung
betrachte wir auf SM die Komposition von Abbildungen, also
Eine Ä q uivalenzrelation R auf einer Menge M ist eine Teilmenge R ( M ’ M mit / : SM ’ SM ) SM, (0, *) a 0/*, mit (0/*)(x) := 0(*(x)).
(i) Für alle x $ M gilt (x,x) $ R (Reflexivität),
(ii) (x,y) $ R impliziert (y,x) $ R (Symmetrie),
(iii) (x,y), (y,z) $ R impliziert (x,z) $ R (Transitivität). (1.8) Satz und Definition. (SM, /) ist eine Gruppe. Das Neutralelement ist die Abbildung idM, und das
Statt (x,y) $ R schreibt man häufig xRy. Inverse zu 0 $ SM ist die Umkehrabbildung 0–1. Wir nennen (SM, /) die ( v olle) Permutationsgrupp e von M.
Statt 0/* schreiben wir auch kurz 0*.
Eine F u nktion f: M ) N ist eine Teilmenge f ( M ’ N mit
Zu jedem x $ M gibt es genau ein y $ N mit (x,y) $ f. Notationen für endliches M, etwa M = {1, 2, …, n}. In diesem Fall heißt SM s y mmetrische Gruppe vom Grad
Statt (x,y) $ f schreibt man in der Regel f(x) = y oder auch x a y. Die Funktion f: M ) N heißt n , Bezeichnung auch Sn. Jedes Element 0 aus Sn ist also eine bijektive Abbildung (Permutation)
(i) surjektiv, wenn es zu y $ N mindestens ein x $ M mit f(x) = y gibt, 0: {1, …, n} ) {1, …, n}.
((iiii)i) ibnijjeekkttiivv,, wweennnn eess zzuu yy $$ NN hgöecnhasut eenins xe $in Mx $m Mit fm(xi)t =f( xy) g=i byt .gibt, Setzt man 1k := 0(k) für k = 1, 2, …, n, so lässt sich die Abbildung 0 wie folgt schreiben:
Der Gruppenbegrif f 0 = "#$$ !11 !22 …… !kk …… !nn%&’’ ,
d.h. unter jedem k steht das Bildelement 1k = 0(k). Eine andere Schreibweise für Permutationen ist die
Definition. Eine ( in nere) Verknüpfun g auf einer Menge G ist eine Abbildung Zykel s c hreib w e ise : Ein Zyklus ist eine Permutation, die gewisse Elemente von M zyklisch vertauscht und
(G0) *: G ’ G) G. die übrigen fest lässt. Für einen Zyklus 0 schreibt man etwa 0 = (11 12 … 1j), was bedeuten soll
Statt *(a,b) schreibt man einfach a * b. 0(1i) = 1i+1 für i = 1,2, …, j–1
Definition. Eine Menge G heißt Gruppe, wenn für sie eine innere Verknüpfung (G0) definiert ist, die den 0(1j) = 11
folgenden Gesetzen genügt: 0(1k) = 1k für alle anderen k $ M.
(G1) (a * b) * c = a * (b * c) (Assoziativgesetz),
(G2) Es gibt ein e $ G, so dass für alle a $ G gilt (1.11) Satz. Für n # 3 ist Sn nicht kommutativ.
e * a = a * e = a (Existenz eines neutralen Elements),
(G3) Zu jedem a $ G gibt es ein a* $ G, so dass gilt Untergruppen und zyklische Gruppe n
a * a* = a* * a = e (Existenz inverser Elemente).
Eine Gruppe G heißt k o mmutati v oder a b elsch , wenn sie außerdem erfüllt
Sei G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe und H ( G.
(G4) a * b = b * a (Kommutativgesetz).
Definition. H heißt U n tergrupp e von G, wenn H mit der auf G definierten Verknüpfung eine Gruppe ist.
Man beachte, dass in (G0) die Forderung der Abgeschlossenheit enthalten ist.
(1.12) Satz. Genau dann ist H Untergruppe von G, wenn H die folgenden Bedingungen erfüllt
Notation. Statt "*" schreibt man häufig auch " # ", "+" oder Ähnliches. Im Fall der multiplikativen Schreib- (U0) H " Ø
weise, die wir in der Regel verwenden werden, schreibt man ab := a # b und a–1 für a*, bei additiver Schreib- (U1) a, b $ H 2 ab $ H
weise –a für a*. (U2) a $ H 2 a–1 $ H.
Weiter gilt:
(1.2) Satz. Aus (G0) und (G1) folgt, dass mehrfache Verknüpfungsergebnisse in G unabhängig von der
(a) Jede Untergruppe von G enthält das Neutralelement von G.
Beklammerung sind, d.h. +i=1…n ai := a1 # a2 # … # an ist wohldefiniert. (b) Die Bedingungen (U1) und (U2) sind gleichwertig mit der einen Bedingung
(U3) a, b $%H 2 ab–1 $%H.
(1.3) Satz.
(a) Aus (G2) folgt, dass e eindeutig bestimmt ist. (1.14) Satz. Eine nichtleere, endliche Teilmenge H von G ist bereits eine Untergruppe, wenn sie (U1) erfüllt.
(b) Aus (G0) bis (G3) folgt, dass zu jedem a $ G auch a–1 := a* eindeutig bestimmt ist.
(1.15) Satz. Ist H eine beliebige Menge von Untergruppen einer Gruppe G, so ist auch 3H$H H eine
(1.4) Satz. Ist G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe, und seien a,b $ G. Dann sind die Gleichungen
Untergruppe von G.
ax = b und ya = b eindeutig in G lösbar; die Lösung ist x := a–1b bzw. y := ba–1.
(1.5) Satz. In einer (multiplikativ geschriebenen) Gruppe G gelten die Regeln Definition. Sei A ( G. Die Gruppe [A] := I H heißt die von A e r zeugte Untergruppe von G. Gilt [A]
((ab)) ((aab–1)–)–11= =b–1a–1a. = G, so heißt A ein E r zeugendensystem vo Hn U Gnte.rgAru!ppHevonG
Definition. Für Elemente a einer Gruppe (G, #) und Zahlen k $ Z definieren wir (1.16) Satz. Für A ( G gilt
ak := -.%%ae%#%a%#%…%# %a%%%k–mfaallls%k%f=a%l0ls%%%%k(a%>d%d0it%i%v%(:a%0dad%i:t=iv%0:%)ka%:=%a+a+…+a) . [A] = {e} 4 { +i=1…k ai | die ai $ A 4 A–1, k $ N },
,%(a–k)–1 falls%k%<%0%%%(additiv:%ka%:=%-((-k)a)) wobei A–1 := { a–1 | a $ A }.
heißt die C h arakteristi k von K, in Zeichen n = char(K). Gibt es solch ein n nicht, so setzt man char(K) = 0.
Definition. G heißt z y klisc h , wenn es ein a $ G gibt mit G = [{a}], kürzere Schreibweise hierfür G = [a].
(1.32) Satz. Ist K ein Körper mit char(K) = n " 0, so ist n eine Primzahl.
(1.18) Satz. Jede zyklische Gruppe ist abelsch.
Definition. Eine Menge R mit zwei inneren Verknüpfungen "+" und "#" heißt R i ng (genauer ein kommutativer
(1.19) Satz und Definition. Sei G zyklisch, etwa G = [a]. Dann sind entweder alle ak mit k $ Z voneinander Ring mit 1), wenn folgende Regeln gelten:
verschieden (also G unendlich), oder es gilt G = { a0, a1, …, an–1 } mit a0 = an = e und |G| = n für ein n $ (K1) (K, +) ist eine kommutative Gruppe (mit Neutralelement 0),
N. Im zweiten Fall setzen wir o r d(a ) := n = ord([a]). (R1) a(bc) = (ab)c
(R2) Es gibt ein Element 1 $ R mit 1 " 0 und a # 1 = 1 # a = a für alle a $ R.
Nebenklassen und Faktorgruppe n (R3) ab = ba
(K3) a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca.
Definition (Komplexmultiplikation). Für A ( G, B ( G, a $ G und b $ G sei (1.33) Beispiele.
AB := { xy | x $ A, y $ B }, aB := { ay | y $ B }, Ab := { xb | x $ A }. (a) Jeder Körper ist ein Ring.
(b) (Z, +, # ) ist ein Ring (aber kein Körper).
(R1H.2 u0n) dS HaRtz duenfdin iDeretf dinuirtciohn. Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Auf G seien die Relationen (c) Definie(rnt Zm +a nm a) u# f( CnZn += k(Z)/:n=Z, +) neZin +e mneku,e Multiplikation durch
x RH y :% xy–1 $ H, x HR y :% x–1y $ H. so erhält man einen Ring (Z/nZ, +, #) mit n Elementen, genannt der R e stklassen r i ng modulo n .
Dann gilt:
(a) RH ist eine Äquivalenzrelation auf G mit den Äquivalenzklassen Ha (a $ G), genannt R e cht s n e ben- (1.35) Satz. Ein endlicher, nullteilerfreier Ring ist bereits ein Körper.
klasse n (G/RH sei die Menge dieser Klassen),
(b) HR ist eine Äquivalenzrelation auf G mit den Äquivalenzklassen aH (a $ G), genannt L i nk s n e ben- (1.36) Satz und Definition. Der additive Restklassenring (Z/nZ, +, #) modulo n ist genau dann ein Körper,
klasse n (G/HR sei die Menge dieser Klassen), wenn n eine Primzahl ist. In diesem Fall nennt man Fp := (Z/pZ, +, #) den ( p r imen) Restklassenkörper der
Ordnun g p.
(c) Die Abbildung 5: {G/RH%)%%G/HR,Ha%%%a%%a–1H ist wohldefiniert und bijektiv.
Definition. Ist die Anzahl der Rechtsnebenklassen (= Anzahl der Linksnebenklassen nach 1.20c) von G
nach H endlich, so bezeichnen wir diese Anzahl als I n dex von H in G , Schreibweise indGH := |G/RH| = §2 Vektorräume
|G/HR|. Andernfalls setzen wir indGH := 6
Der Vektorraumbegriff
(1.22) Satz (von Lagrange). Ist G endlich, so gilt
indGH= ord(G) / ord(H), Definition. Eine Menge V heißt K - Vektorrau m , wenn für sie eine A d dition als innere Verknüpfung und eine
insbesondere also: Ordnung und Index von H sind Teiler der Ordnung von G. Multiplikation mit S k alaren als äußere Verknüpfung (M0) definiert sind, so dass gilt:
(A) (V, +) ist eine kommutative Gruppe,
(1.23) Korollar. Ist G endlich und a $ G, so teilt ord(a) die Ordnung von G. (M1) (! + µ) u = !u + µu, (M2) (!µ)u = !(µu),
(M3) 1 # u = u, (M4) !(u + v) = !u + !v.
(1.24) Korollar. Jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch.
(2.2) Satz. Für einen K-Vektorraum V gelten die Regeln
Notation. Im Fall einer abelschen Gruppe G sind Links- und Rechtsnebenklassen nach einer Untergruppe H (a) der Gruppentheorie (§1) für die abelsche Gruppe (V, +)
identisch (es gilt Ha = aH 7 a $ G). Man kann dann also einfach von der Nebenklasse von G nach H (b) 0 # u = 0
sprechen. Die Menge dieser Nebenklassen bezeichnen wir mit G/H, gelesen "G modulo H". (c) ! # 0 = 0
(d) Aus ! # u = 0 folgt ! = 0 oder u = 0
(1.25) Lemma. In einer abelschen Gruppe G ist das Produkt zweier Nebenklassen nach H stets wieder eine (e) (–!)u = !(–u) = –(!u) =: – !u.
Nebenklasse nach H.
Lineare Abhängigkeit
(1.27) Satz und Definition. Die Menge G/H der Nebenklassen einer a b elsche n Gruppe nach einer Unter-
gruppe H bildet mit der Komplexmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe, genannt F a ktorgruppe von G
Wir betrachten Systeme von k nicht notwendig verschiedenen Vektoren aus V, Schreibweise einfach
nach H. Es gilt ord(G/H) = indGH. a1, a2, …, ak $ V.
(1.28) Satz. Cn := (Z/nZ, +) ist eine zyklische Gruppe der Ordnung n, erzeugt von 1 . Definition. Die Vektoren a1, a2, …, ak $ V heißen
Körper und Ringe (i) li near abhängig , wenn es Skalare !1, …, !k $ K gibt, die nicht alle 0 sind und für die gilt
!1 a1 + !2 a2 + … + !k ak = 0;
(ii) li near unabhängig , falls (i) nicht zutrifft, d.h. wenn aus
Definition. Sei K eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen, einer Addition "+" und einer Multiplikation "#".
Dann heißt K K ö rper , wenn folgende Regeln gelten: !1 a1 + !2 a2 + … + !k ak = 0
(K1) (K, +) ist eine kommutative Gruppe (mit Neutralelement 0), stets folgt !1 = !2 = … = !k = 0.
(K2) (K \ {0}, # ) ist eine kommutative Gruppe (mit Neutralelement 1),
(K3) a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca. (2.4) Satz. Gegeben seien m (nicht notwendig verschiedene) Vektoren a1, …, ak, …, am aus V (mit 1 ! k !
m). Dann gilt:
(1.30) Satz. In einem Körper K gelten (neben 1.2 bis 1.6 für die Gruppen (K,+) und (K\{0},#)) die Regeln (a) a1 ist linear unabhängig % a1 " 0,
(a) a " 0, b " 0 2 ab " 0 (Nullteilerfreiheit) (b) a1, …, ak linear abhängig 2 a1, …, ak, …, am linear abhängig,
((bc)) aa (#– 0b ) = = 0 ( –# aa) b = =0 –(ab) =: –ab. (c) a1, …, ak, …, am linear unabhängig 2 a1, …, ak linear unabhängig.
Definition. Sei K ein Körper. Die kleinste natürliche Zahl n mit Definition. Ein Vektor b $ V heißt L i nearkombinatio n der Vektoren a1, …, ak aus V, wenn es Skalare
n # 1 := 1 + … + 1 = 0 (1,0 $ K, n $ N) 81, …, 8k $ K gibt, so dass gilt
b = 81a1 + 82a2 + … + 8kak. Ist dieses der Fall, so schreibt man U' + U" =: U' 9 U".
Dabei heißen die 8i K o effiziente n von b bezüglich a1, …, ak.
(2.22) Satz. Seien U', U" Untervektorräume von V. Die Summenbildung U' + U" ist genau dann direkt, wenn
(2.5) Satz. Die Vektoren a1, …, ak aus V sind genau dann linear unabhängig, wenn jede Linearkombination U' 3 U" = 0 gilt.
von a1, …, ak eindeutig bestimmte Koeffizienten hat. Notationen. Es seien U', U" Untervektorräume von V. Ist
V = U' 9 U",
(2.6) Lemma. Sind a1, a2, …, ak, ak+1 linear abhängig, aber a1, …, ak linear unabhängig, so ist ak+1 so spricht man von einer d i rekten Zerlegung von V. U' heißt d i rekter Summan d von V und U" der
Linearkombination von a1, …, ak. Komplementär - (oder Ergänzungs-) R a u m von U'.
(2.7) Lemma. k+1 Linearkombinationen von k Vektoren sind linear abhängig (2.23) Ergänzungssatz. Sei dim V = n < 6. Dann gilt:
(a) Sind a1, …, ak $%V linear unabhängig, so existieren ak+1, …, an $%V, so dass a1, …, an eine Basis
(2.8) Korollar. Mehr als k Linearkombinationen von k Vektoren sind linear abhängig. von V ist.
(b) Ist U' ein Untervektorraum von V, so existiert ein Untervektorraum U" von V, so dass V = U' 9 U".
(2.9) Austauschsatz. Seien a1, …, ak $ V und b1, …, bk+m $ V jeweils linear unabhängig (m # 1). Dann
lassen sich m Vektoren bj1, …, bjm $ {b1, …, bk+m} so auswählen, dass gilt Dimension und Erzeugung von Untervektorräumen
a1, …, ak, bj1, …, bjm sind linear unabhängig.
(2.24) Satz. Sei U ein Untervektorraum von V. Ist V endlichdimensional, so auch U, und es gilt
(2.10) Satz. Genau dann sind a1, …, ak $ V (k # 2) linear abhängig, wenn es einen Index m $ {1, …, k} gibt, Dabei dgiimlt GUl e ic!hheidt igme nVa.u dann, wenn U = V ist.
so dass am Linearkombination von a1, …, âm, …, ak ist.
(2.25) Satz. dim(U' 9 U") = dim U' + dim U".
Dimension und Basi s
(2.26) Bemerkungen.
Definition. Der Vektorraum V hat die (endliche) D i mension n (n $ No), wenn gilt (a) Analog zu (2.21) nennt man V direkte Summe der Untervektorräume U1, …, Up und schreibt
(i) V enthält n linear unabhängige Vektoren V = U1 9 U2 9 … 9 Up,
(ii) Je n+1 Vektoren aus V sind linear abhängig, wenn sich jedes u $ V eindeutig darstellen lässt als
Schreibweise: dim V = n. Gibt es so ein n nicht, so nennt man V u n endlichdimensional , dim V = 6. u = u1 + u2 + … + up
mit ui $ Ui für i = 1, …, p. Äquivalent zur Eindeutigkeit der Darstellung ist wieder, dass aus
(2.13) Satz. Ist dim V = n, und sind a1, …, an $ V linear unabhängig, dann kann jeder Vektor u $ V als Line- 0 = u1 + u2 + … + up mit ui $ Ui
arkombination u = x1a1 + x2a2 + … + xnan mit eindeutig bestimmten Koeffizienten x1, …, xn $ K dargestellt folgt u1 = u2 = … = up = 0. Analog zu (2.25) erhält man eine Basis von V, wenn man p einzelne
werden.
Basen von U1, …, Up zusammenfügt, d.h. es gilt
(2.14) Satz. Es seien a1, …, an $ V so gewählt, dass jedes u $ V als Linearkombination von a1, …, an mit dim( U1 9 U2 9 … 9 Up ) = dim(U1) + … + dim(Up)..
eindeutig bestimmten Koeffizienten geschrieben werden kann. Dann sind a1, …, an linear unabhängig, und ((bc)) BBeeia ncihcthet,- ddiareskst e(2r .S22u)m nmure fiüsrt z(2w.e2i5 S) uinm dmera nRdeegne lg fialtl.sch.
V hat die endliche Dimension n.
(2.27) Dimensionssatz. Sind U', U" endlichdimensionale Untervektorräume von V, so sind auch U' 3 U" und
Definition. Die Vektoren a1, a2, …, an bilden eine B a si s ( d e r Länge n ) von V, wenn jeder Vektor u $ V als U' + U" endlichdimensional, und es gilt
Linearkombination u = x1a1 + x2a2 + … + xnan von a1, …, an mit eindeutig bestimmten Koeffizienten x1, …, dim(U' + U")= dim(U') + dim(U") – dim(U' 3 U").
xn $ K dargestellt werden kann. Man nennt dann xj die j- te Koordinat e von u bezüglich der Basis a1, …, an.
(2.28) Satz. Ist U eine beliebige Menge von Untervektorräumen von V, so ist auch 3U$U U ein Untervektor-
(2.15) Satz. Ein Vektorraum V hat genau dann die endliche Dimension n, wenn in V eine Basis der Länge n
raum von V.
existiert. In diesem Fall hat jede Basis von V die Länge n.
Untervektorräume Definition. Sei A ( V. Der Untervektorraum sp(A) := IU heißt der von A e r zeugte Unter -
A!U
Definition. U ( V heißt U n tervektorrau m von V, wenn U mit den Verknüpfungen von V wieder ein vektorraum von V oder kurz der S p an n von A. Ist V = Us Upn(teArv)e,k tosrorau hmevoinßVt A ein E r zeuge n d e n s y ste m von V. Für
Vektorraum über K ist.
sp({a1, …, ak}) schreibt man kurz sp(a1, …, ak).
(2.17) Satz. Genau dann ist U $%V Untervektorraum von V, wenn U die folgenden Bedingungen erfüllt
(UV0)U " Ø (2.29) Satz. Für A ( V gilt sp(A) = {0} 4 { :i=1…k !iai | !1,…,!k $ K, a1, …, ak $ A, k $ N }.
(UV1)u,v $ U 2 u + v $ U
(UV2)u $ U, ! $ K2 !u $ U. (2.30) Satz.
(a) Sind a1, …, ak linear unabhängig, so bilden sie eine Basis von sp(a1, …, ak).
Die beiden letzten Bedingungen sind gleichbedeutend mit der einen Bedingung (b) Jeder k-dimensionale Untervektorraum U von V ist Spann einer beliebigen Basis von U.
(UV3)u,v $ U, !,µ $ K 2 !u + µv $ U. (c) Die Basen eines endlich dimensionalen Vektorraumes sind genau seine linear unabhängigen
Erzeugendensysteme.
(2.19) Satz. Sind U', U" Untervektorräume von V, so sind (d) dim sp(a1, …, ak) ! k.
(a) U' 3 U"
(b) U' + U"
ebenfalls Untervektorräume von V. Definition. Rang(a1, …, ak) := dim sp(a1, …, ak).
(2.21) Satz und Definition. Die Summenbildung U' + U" heißt d i rekt , wenn eine der beiden folgenden Definition. Elementare Umformungen des Vektorsystems a1, …, ak $ V sind
äquivalenten Forderungen erfüllt ist: (I) Vertauschen zweier Vektoren des Systems,
(i) Jeder Vektor u $ U' + U" hat eine eindeutige Darstellung u = u' + u" mit u' $ U', u" $ U", (II) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar " 0,
(ii) Aus u' + u" = 0 mit u' $ U' und u" $ U" folgt stets u' = u" = 0. (III) Addition eines mit einem beliebigen Skalar multiplizierten Vektors zu einem anderen.
(2.32) Satz. Entsteht b1, …, bk aus a1, …, ak durch elementare Umformungen, so gilt: (2.35) Satz. Es seien uo $ V, U ein Untervektorraum von V und T = uo + U. Dann gilt
sp(a1, …, ak) = sp(b1, …, bk). U = { u $ V | es gibt v', v" $ T mit u = v' – v" }.
Definition. Der nach (2.35) zu dem affinen Unterraum T eindeutig bestimmte Untervektorraum U heißt die
Matrizen Richtung von T. Seine Dimension heißt die D i mension von T, in Zeichen dim T := dim U.
Ist T = uo + U und a1, …, ak eine Basis von U, so heißt
Definition. Eine (n’p)- M a tri x A über K ist ein np-Tupel von Elementen aus K in der Anordnung u = uo + !1a1 + !2a2 + … + !kak
A = !"###### aaa12Mp111 aaa12pM222 ……… aaa2p1Mnnn$%&&&&&& . Dauies VKenk htoerießnen die ZaaMa e 12pi l e:::===n ( v ((( eaaa k12pt111o,,, raaae12pn222 ) ,,, v………on,,, aaaA12p, nnnu)))nd e(((2abin.))3e6 P) EeEaB iriinennaei msenmpiuen iltedleediilrnmiemdz.aeiegrnnsesstnieoio lEnlnualanelel gme r r ve aaonffnftfi ni unTeoe .rmr MUUitna n Atn te ne rnfrrareaannuugnmmst p Tvvuo obnnnzk VwtV u . h houe aouißt n ddtda i Ge h R e e G i rrca ehedstiuen t a.ne lEgnt s Tr P v h u=e an kutkt ooet .ri +nee n{ 0 Pa }a 1 r,= a… m{u,e oat}ek.r .Edar rbsetesltleuhntg n duerr a Aurst
!# a11$& !# a12$& !# a1n$& (mit a $ V \ {0})
# a & # a & # a & u = uo + !a.
die Vektorenb1 := ## 2M1&& , b2 := ## 2M2&& , …, bn := ## 2Mn&& (c) Ein zweidimensionaler affiner Unterraum von V heißt E b en e . Er hat eine Parameterdarstellung der Art
"## ap1%&& "## ap2%&& "## apn%&& (mit linuear un=abhänugoigen a+,b $ V!)a + µb.
aus Kp heißen S p alten( v e ktoren ) von A . Die aij heißen auch die E l emente oder E i nträge (entries) von A, (d) Ist dim V = n, so heißt ein (n–1)-dimensionaler affiner Teilraum von V eine H y perebene .
Schreibweise A =: (aij)1!i!p,1!j!n.
(2.37) Satz. Ist u1 $ V und U ein Untervektorraum von V, so gibt es genau einen affinen Unterraum T von V
Definition. Der Rang des Systems der Zeilenvektoren einer Matrix A heißt Z e ilenrang von A, und der Rang der Richtung U und mit u1 $ T, nämlich T = u1 + U.
ihrer Spaltenvektoren S p altenran g von A.
Definition. Seien T', T" affine Unterräume von V mit den Richtungsräumen U', U". Dann heißen T', T"
(2.33) Satz und Definition. Jede (n’p)-Matrix A kann durch e l ementare Zeile n u m f o r m u n g e n (d.h. (a) p a ralle l, wenn U' ( U" oder U" ( U' gilt,
elementare Umformungen ihrer Zeilen) in eine (n’p)-Matrix in Z e ilen s t ufen f o rm (b) e c h t p a ralle l, wenn U' = U" gilt.
"$ 0 … 0 c1,r1 ! … … … … … !%’
$$ 0 … … … 0 c2,r2 ! … … … !’’
$$ M ’’ §3 Lineare Abbildungen
B = $ 0 … … … … … 0 c ! … !’
$ k,rk ’
$ 0 … … … … … … … … … 0’ In diesem Paragraphen seien V und W Vektorräume über einem beliebigen aber festen Körper K. Wir
$$ M M’’ betrachten "strukturerhaltende" Abbildungen zwischen V und W.
#$ 0 … … … … … … … … … 0&’ Der Begriff der linearen Abbildung
mit 1 ! r1 < r2 < … < rk ! n, 0 ! k ! p, c1r1 " 0, …, c2rk " 0 überführt werden. Dabei gilt:
(a) Die ersten k Zeilen von B bilden eine Basis des Untervektorraumes Z von Kn, der von den Zeilen von Definition. Eine Abbildung L: V ) W heißt li nea r , wenn für alle u,v $ V und ! $ K gilt
A (bzw. den von B) aufgespannt wird. Insbesondere ist der Zeilenrang von A und B gleich k. (i) L(u + v) = L(u) + L(v) (L ist a d ditiv ) ,
(b) Gilt {1, …, n} = {r1, …, rk} 4 {s1, …, sn–k}, so ist ein Ergänzungszraum von Z in Kn gleichE := (ii) L(! u)= ! L(u) (L ist h o moge n ) .
sp( es1, …, esn–k ).
(3.1) Bemerkung.
(2.34) Bemerkung. Eine (2.33) entsprechende Aussage gilt natürlich auch für die Spalten von A (anstelle (a) Aus (i) folgt L(0) = 0 und L(–u) = –L(u).
der Zeilen und mit elementaren Spaltenumformungen). (b) Die Bedingungen (i) und (ii) sind gleichwertig mit der einen Bedingung
L(!u + µv) = ! L(u) + µ L(v).
Notationen. Eine (n’n)-Matrix A = (aij)1!i,j!n heißt q u adratisc h . Sie heißt weiter Definition. Sei L: V ) W eine Abbildung. Wir definieren:
!# a11 … a1n$& Kern L := { v $ V | L(v) = 0 }
(a) o b ere Dreiecksmatri x , wenn gilt aij = 0 für alle i > j, d.h. A = # O M & , Bild L := { w $ W | es gibt v $ V mit L(v) = w}.
(b) u n ter Dreiecksmatrix , wenn gilt aij = 0 für alle i < j, d.h. A = !"### "# a a1Mn011OL aa0nnnn$%&&&%& , (((3ab.))3) SKBaeitlzdrn. L ILs et eiLnin: U UVn nt)eter vrWveek lktiontorerraararu,um smo v voisontn W V.
!# a11 0$& (3.4) Satz. Sei L: V ) W eine lineare Abbildung. Dann gilt:
(c) D i agonalmatrix , wenn gilt aij = 0 für alle i " j, d.h. A = "## 0 O ann%&& =: diag(a11, …, ann). ((ab)) LL iisstt isnüjerjketkivtiv %% KBeildrn L L = = W {0.}
(3.5) Beispiel. Ist V = U' 9 U" eine direkte Zerlegung in Untervektorräume, so kann man eine Abbildung
Affine Geometrie eines Vektorraumes
;': V ) V definieren, indem man für jedes
u = u' + u" $ V mit u' $ U', u" $ U"
Definition. Eine nichtleere Teilmenge T ( V heißt a f finer Unterrau m von V, wenn es ein uo $ V und einen setzt ;'(u) := u'. &' ist linear, heißt die P r ojektion von V auf U ' ( l ängst U") und erfüllt
Untervektorraum U von V gibt mit Bild ;'= U', Kern ;' = U".
T = uo + U = { uo + u | u $ U }.
(3.6) Satz. Sei L: V ) W eine lineare Abbildung. Dann gilt:
(a) Ist Z ein Untervektorraum von W, so ist L–1(Z) ein Untervektorraum von V. (3.16) Lemma. Für den Zeilenrang z(A) von A gilt: n ! dim L + z(A).
(b) Ist U ein Untervektorraum von V, so ist L(U) ein Untervektorraum von W.
Definition. Die zu A t r ansponierte Matri x AT entsteht aus A durch Vertauschen ihrer Zeilen und Spalten, also
Lineare Abbildungen und Base n !# a11 a12 … a1n$& !# a11 a21 … an1$&
(3.7) Lemma. Sei L: V ) W eine lineare Abbildung. Ist a1, …, ak ein Erzeugendensystem von V, so ist L(a1), A = ## a21 a22 … a2n&& , AT = ## a12 a22 … an2&& .
…, L(ak) ein Erzeugendensystem von Bild L. "### aMp1 apM2 … apMn%&&& "### aM1p a2Mp … apMn%&&&
(3.8) Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Abbildungen. Es seien a1,…, an eine Basis von V und
c1, …, cn ein beliebiges Vektorsystem in W. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung L: V ) W mit L(ai) = (3.17) Satz und Definition. Für jede Matrix A über K stimmen Spalten- und Zeilenrang überein. Man nennt
ci für i = 1, …, n. Hierbei gilt weiter diese Zahlt den R a n g von A, Schreibweise Rang A := z(A) = s(A).
(a) L ist injektiv % c1, …, cn sind linear unabhängig, (3.18) Korollar. Der Rang einer linearen Abbildung L ist gleich dem Rang ihrer Koeffizientenmatrix, also
(b) L ist sürjektiv % c1, …, cn bilden ein Erzeugendensystem von W. Rang A = Rang L.
(3.9) Korollar. Sei L: V ) W eine lineare Abbildung. Ist L injektiv und V endlichdimensional, so gilt: (3.19) Korollar. Die Dimension des Lösungsraumes L eines homogenen, linearen Gleichungssystems (H)
dim V = dim (Bild L). berechnet sich aus seiner Koeffizientenmatrix A zudim L = n – Rang A.
(3.10) Dimensionssatz für lineare Abbildungen. Sei L: V ) W eine lineare Abbildung. Ist V endlich- Notationen. (i) Analog zu §0 betrachten wir nun ein nicht notwendig homogenes, lineares Gleichungssystem
dimensional, so sind auch Kern L und Bild L endlichdimensional, und es gilt über K
dim V= dim (Kern L)+ dim (Bild L). (G) a11x1+ a12x2+ … + a1nxn= b1
M M M M
Definition. Eine lineare Abbildung L: V ) W hat e n dlichen Rang , wenn dim(Bild L) endlich ist. In diesem Fall
setzt man ap1x1+ ap2x2+ … + apnxn= bp
Rang L := dim (Bild L). mit Koeffizienten in K. L = L(G) bezeichne den Lösungsraum von (G).
(ii) Als K o effizientenmatri x ordnen wir (G) die (n’p)-Koeffizientenmatrix des zugehörigen homogenen
(3.12) Satz. Seien L: V ) W eine lineare Abbildung, und dim V = n, dim W = p. Dann gilt: Systems (HG) zu, also
((ac)) dRiamn gV L == n d%im (KLe rinn jLe)k t i+v , Rang L, ((bd)) 0R a !n g R La n=g p L ! n,p,% L sürjektiv. !## aa11 aa12 …… aa1n$&&
A := A(G) := A(HG):= # 21 22 2n& .
(3.13) Korollar. Ist L: V ) W linear und ist dim V = dim W = n, so gilt # M M M &
L injektiv % L sürjektiv % Rang L = n % L bijektiv. "## ap1 ap2 … apn%&&
(iii) Weiter ordnen wir (G) seine e r weiterte Matrix zu, nämlich
Anwendung auf lineare Gleichungssystem e !# a11 … a1n b1$&
# a … a b &
Notationen. (i) Wir übernehmen die Notationen aus §0, d.h. ein h o mogenes, lineares Gleichungssystem in n  := Â(G) := ## 2M1 2Mn M2&& .
U(Hn)bekaa1n1nxte1n+ über ade12mx 2K+örper K… ist ei+n Systeam1nxn = 0 "## ap1 … apn bp%&&
a p 1 Mx1 + ap2x2 + M … + a p n Mxn = 0 M, (iv) ScLhließlic:h= ordnLe(nG )wir: =(G) diLe (zHuG ():H GKn) g )eh ö Kripg.e lineare Abbildung zu
Man beachte, dass (G) äquivalent ist zu der Gleichung
wobei Ld ie = K Lo(eHff)izine(te n K anij aus K sind. Mit !## bb1$&&
bezeichnen wir die Lösungsmenge von (H). L(x) = # 2& .
(ii) Dem System (H) ordnen wir eine (n’p)- K o effizinetenmatri x zu # M&
!# a11 a12 … a1n$& "## bp%&&
# a a … a & (3.20) Lösungskriterium für lineare Gleichungssysteme. Das System (G) ist genau dann lösbar, wenn
A := A(H) := # 21 22 2n& . der Rang seiner Koeffizinetenmatrix mit dem Rang seiner erweiterten Matrix übereinstimmt, d.h. wenn gilt
"### aMp1 apM2 … apMn%&&& Rang A = Rang Â. (Diese Zahl heißt dann auch R a ng von (G) . )
(iii) Weiter ordnen wir (H), bzw. der Koeffizientenmatrix A, wie in (3.2d) eine lineare Abbildung (3.21) Satz. Seien L: V ) W eine lineare Abbildung und b ein Element von W (dim V, dim W beliebig, auch
L = L(H) = LA: Kn ) Kp, (x1, …, xn) a (y1, …, yp), 6). Seien L die Lösungsmenge der Gleichung L(x) = b und LH die Lösungsmenge der zugehörigen
zu, wobei die yi gegeben sind durch homogenen Gleichung L(x) = 0. Gibt es wenigstens eine Lösung uo $ L, so gilt
y1 := a11x1 + a12x2 + … + a1nxn L = uo + LH = uo + Kern L.
: : :
yp := ap1x1 + ap2x2 + … + apnxn. (le3e.2r 2is) tB– eemine arfkfiunnegr .U (n3t.e2r1ra) usmag vt oanu sV, ,d bazsws .d veorn L Kösnu, nisgt,s draeusmse Ln vRoicnh Ltu(xn)g =sr ba,u bmz wgl.e vicohn d(Gem), –Lsöosfuenrgns erar unmich dter
(3.14) Bemerkung. Mit den obigen Notationen gilt: zugehörigen homogenen Gleichung, bzw. des zugehörigen homogenen Systems (HG), ist.
(a) L(H) = Kern L(H), (3.23) Kriterium für die eindeutige Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme. Das System (G) ist genau
(b) L(H) ist Untervektorraum von Kn (nach a und 3.3a), und aus (3.10) folgt dann eindeutig lösbar, wenn giltRang A = Rang  = n.
n = dim L + dim (Bild L) = dim L + Rang L.
(3.15) Lemma. Für den Spaltenrang s(A) von A gilt: dim( Bild L) = s(A)
Operationen für lineare Abbildunge n !# x1$&
(3.24) Lemma. Es seien L', L": V ) W zwei lineare Abbildungen und & $ K. Dann sind auch die folgenden x := ## M && = (x1, …, xn)T,
A(ab)bilduLn' +g eLn" :l iVn e)ar :W mit (L' + L")(v) := L'(v) + L"(v), wobei wir nun zwisc "# h xenn%& Spalten-und Zeilenvektoren unterscheiden wollen.
(b) &L': V ) W mit (&L')(v) := & # L'(v).
(4.1) Satz und Definition. Gegeben sei eine Basis a1, …, an von U.
(3.26) Satz und Definition. Sind V, W zwei K-Vektorräume, so ist die Menge L (V, W) der linearen (a) Die Abbildung <: U ) Kn, die jedem u $ U sein Koordinaten-n-Tupel x $ Kn bezüglich der Basis
Abbildungen von V nach W mit den Verknüpfungen aus (3.24) ein K-Vektorraum.
(a) Im Fall W = K1 = K heißt a1, …, an zuordnet, ist ein Isomorphismus, genannt li neares Koordinatensyste m zur Basis a1, ..,an.
V* := L (V, K) (b) < ist die eindeutig bestimmte lineare Abbildung von U nach Kn, für die gilt
der D u alrau m zu V; seine Elemente heißen L i nearforme n . <(ai) = ei für i = 1, …, n.
(b) Im Fall W = V schreibt man (c) Die Abbildung <i: U ) K, die jedem u $ U seine i-te Koordinate bezüglich der Basis a1, …, an
L (V) := L (V, V), zuordnet, also <i(u) = xi, ist eine Linearform.
und nennt seine Elemente E n domorphismen von V.
(4.2) Korollar. Ein K-Vektorraum U ist genau dann n-dimensional, wenn er zu Kn isomorph ist.
(3.27) Satz und Definition. Ist L: V ) W linear und bijektiv, so ist auch L–1: W ) V linear und bijektiv. In
diesem Fall nennt man L einen ( V e ktorrau m - ) I s omorphismus von V auf W. Darstellung linearer Abbildungen
(a) Im Fall dim V = dim W = n < 6 nennt man einen Isomorphismus L: V ) W auch r e gulär e lineare
Abbildung. Ist L nicht regulär, so heißt L s i ngulär . L ist genau dann regulär, wenn gilt Rang L = n. Seien nun zusätzlich L: U ) V eine lineare Abbildung, b1, …, bp eine Basis von V und
(b) Im Fall W = V nennt man einen Isomorphismus auch A u tomorphismu s . =: V ) Kp
Zwei Vektorräume V und W heißen is omorph , wenn es einen Isomorphismus von V auf W gibt, in Zeichen V das lineare Koordinatensystem, welches jedem
> W. v = :i=1…p yibi $ V
(3.28) Lemma. Sind L1: V1 ) V2 und L2: V2 ) V3 linear, so ist auch L2 o L1: V1 ) V3 linear. die Sp=al(tve) se=iner Ko(yo1r,d …ina, tyepn) Tbe=z:üglicyh. b1, …, bp zuordnet, also
(3.29) Korollar. Die Isomorphie von Vektorräumen hat die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation, d.h. es
gilt V > V,V > W 2 W > V und V > W, W > Z 2 V > W. Die Bildvektoren L(ai) der Basis a1, …, an von U stellen wir in der Basis b1, …, bp von V dar:
L(a1) = a11b1 + a21b2 + … + ap1bp = :i=1…p ai1bi
(3.30) Lemma. Sind alle Abbildungen des Diagramms : : : : :
L1 L2 L3 L(an) = a1nb1 + a2nb2 + … + apnbp = :i=1…p ainbi.
V1 V2 V3 V4
L'1 L'2 Definition. Mit obiger Notation nennt man die (n’p)-Matrix
l(ian)ear, Lu3n do (isLt2 & o $L 1K) , =s o ( gLe3 ltoe Ln1:) o L1; (b) L2 o (L1 + L'1) = L2 o L1 + L2 o L'1; !## aa11 aa12 …… aa1n$&&
(c) (L2 + L'2) o L1 = L2 o L1 + L'2 o L1; (d) (&L2) o L1 = L2 o (&L1) = &(L2 o L1). A = ## 2M1 2M2 2Mn&&
(3.31) Satz und Definition. (L (V), +, o ) erfüllt von den Ringaxiomen (K1), (K3), (R1) und (R2), und heißt "## ap1 ap2 … apn%&&
deshalb nicht-kommutativer E n domorphismen r i n g von V. Sein Nullelement ist die Nullabbildung die ( D arstellungs-)Matrix von L ( b e züglich der Basen a 1 , …, a n v on U und b 1 , …, b p v on V ) ; und die lineare
0 := Lo: V ) V, Lo(v) := 0, und seine Eins die Identität 1 := idv. Abbildung x a y von Kn in Kp, die jeweils das Koordinaten-n-Tupel x von u $ U auf das Koordinaten-p-Tupel
y von L(u) abbildet, heißt die K o ordinatendarstellun g von L (bzgl. der angegebenen Basen).
(3.32) Satz und Definition. Die Menge aller Automorphismen von V bildet mit der Komposition als Ver-
knüpfung eine Gruppe, genannt die ( a l lgemeine ) li neare Gruppe von V, Schreibweise GL(V). (4.5) Satz (Darstellung linearer Abbildungen). Seien L: U ) V eine lineare Abbildung und A die Matrix von L
bezüglich der Basen a1, …, an von U und b1, …, bp von V. Dann gilt:
(3.33) Bemerkungen. (a) In der i-ten Spalte von A steht das Bild L(ai) als Koordinaten-p-Tupel bezüglich der Basis b1, …, bp
(a) GL(V) ist in der Regel nicht abelsch, da lineare Abbildungen i.a. n i cht ve r t a usch b a r sind. von V,
(b) Die Summe zweier Elemente von GL(V) liegt in der Regel nicht in GL(V). (b) Die Matrix A von L ist gleich der Koeffizientenmatrix der Koordinatendarstellung von L bezüglich der
angegebenen Basen,
(c) Rang L = Rang A.
§4 Koordinaten und Matrizen
Definition. Die Menge aller (n ’ p)-Matrizen über K bezeichnen wir mit K(n,p). Insbesondere sind K(n,1) die
In diesem Paragraphen zeigen wir, wie man in beliebigen, endlich-dimensionalen Vektorräumen rechnen Menge aller n-Tupel, aufgefaßt als Zeilen, und K(1,p) die Menge aller p-Tupel, aufgefaßt als Spalten. Auf
kann. Dazu seien U, V, W Vektorräume von endlicher Dimension über dem Körper K. K(n,p) definieren wir eine Summe und eine skalare Multiplikation elementweise durch
Koordinateneinführun g !### a1M1 … a1Mn$&&& + !### b1M1 … bM1n$&&& := !### a11+Mb11 … a1n+Mb1n$&&& ,
Notationen. Ist a1, …, an eine Basis von U, so lässt sich jedes u $ U in eindeutiger Weise als "# ap1 … apn%& "# bp1 … bpn%& "# ap1+bp1 … apn+bpn%&
LsTciunhpereeal ir bzkueuonsm.a bWmin=miar etfiaonsn, suexn1nda d 1si ec+h Kr…eoio b+re dxninnaanten =xi $ K: vio=n1 …U nb xeizaüiglich der Basis a1, …, an zu einem K o ordinaten-n- ! # !"#### aa1Mp11 …… aap1Mnn$%&&&& := "#$$$$ !!aaM1p11 …… !!aaM1pnn%&’’’’ .
(4.7) Satz.
(a) Mit den obigen Verknüpfungen ist K(n,p) ein K- Vektorraum der Dimension np.
(b) Bei fester Basiswahl in U und V (dim U = n, dim V = p) ist die Abbildung (4.14) Satz. Sei A = (aij)1!i,j!n $ K(n,n) regulär. Dann gilt für A–1 = (ãij)1!i,j!n:
?: L (U, V) ) K(n,p), (a) A–1 ist die Koeffizientenmatrix der Auflösung von yi = :j=1…n aijxji = 1, …, n
dVieek jteodrrearu limneisaormeno rApbhbisilmduunsg. L $ L (U,V) ihre Matrix A in bezug auf die gewählten Basen zuordnet, ein nach x1, …, xn, d.h. es ist xj = :i=1…n ãjiyij = 1, …, n.
(c) dim L (U, V) = (dim U) # (dim V) = np. (b) Mit dem K r onecker-Symbo l @kj := { 10ffüürrjj=!kk haben wir
Wir betrachten nun die Situation :i=1…n ãkiaij = @kj
und wählen BUasen )a1L, )…, an vonV U, b1), …M), bp von VW u,nd c1, …, cq von W. Weiter sei: :i=1…n akiãij = @kj .
L(aj) = :i=1,…,p aijbi, M(bi) = :k=1,…,q bkick.
Die Matrizen von L und M bezüglich der angegebenen Basen lauten dann (4.15) Bemerkung. Ist A =: (aij)1!i!p,1!j!n die Koeffizientenmatrix einer linearen Abbildung x a y von Kn in
!# a11 … a1n$& !# b11 … b1p$& den Kp, so gilt
A = "### aMp1 … apMn%&&& , B = "### bMq1 … bqMp%&&& . !### a1M1 … a1Mn$&&& # !## xM1$&& = !## a11x1+LM+a1nxn$&& = !## yM1$&& .
(4.8) Definition und Satz. Für je zwei Matrizen A $ K(n,p) und B $ K(p,k) definieren wir das "# ap1 … apn%& " xn% " ap1x1+L+apnxn% " yp%
( M a trizen ) p r odukt B # A = BA $ K(n,q) durch MVeaknt okraränunm aelsno idni ed eKro Aorrtdinatendarstellung jeder linearen Abbildung zwischen endlich dimensionalen
!# c11 … c1n$& x a Ax
BA = ## M M && mit ckj := :i=1,…,p bkiaij mit geeigneter Matrix A schreiben. Insbesondere lässt sich jedes lineare Gleichungssystem schreiben als
"# cq1 … cqn%& (mit x und b aAls x Spa=lten). bIst dabei A regulär, so erhält man die eindeutige Lösung x aus
für 1 ! j ! n und 1 ! k ! q. Diese Definition ist so eingerichtet, dass in obiger Situation gilt: x = Ix = (A–1A)x = A–1(Ax) = A–1b.
Ist A die Matrix von L und ist B die Matrix von M, so ist BA die Matrix von MoL.
Basis- und Koordinatentransformationen
(4.9) Bemerkungen.
(a) Nach (4.8) erhält man das Element ckj in der k-ten Zeile und j-ten Spalte von BA als "Skalarprodukt"
der k-ten Zeile von B mit der j-ten Spalte von A (vgl. §0) Neben der Basis a1, …, an von U betrachten wir nun eine weitere Basis ã1, …, ãn von U.
j Definition. Die nach (3.8) eindeutig bestimmte lineare Abbildung
q k B ! p A = k BA j q heißt B 8A a :: sUKisn t )r)a n UsKfon,rmx a atio n ~m zxui,tm B8a(saiis) w =e c ãhis,eli v=o n1 ,a …1,, …n,, an zu ã1, …, ãn. Diejenige Abbildung
p n die die Koordinaten x von u $ U bezüglich der Basis a1, …, an auf die Koordinaten ~x von u bezüglich der
n . Basis ã1, …, ãn abbildet, heißt die zugehörige K o ordinatentransformatio n .
(b) Die in (4.8) formulierte Beziehung zwischen BA und MoL funktioniert nur, wenn in V als Zielraum von L
dieselbe Basis gewählt wird wie in V als Definitionsraum von M. (4.16) Satz. Mit den obigen Bezeichnungen gilt:
(a) Die Koordinatentransformation A: Kn ) Kn ist eine bijektive, lineare Abbildung. Ihre
(s4in.1n1v)o Sll asitnzd. )F:ür das Matrizenprodukt gelten die folgenden Regeln (sobald die auftretenden Verknüpfungen Darstellungsmatrix (bezüglich der Standardbasis in Kn) S = (sik)1!i,k!n, d.h.
(a) C(BA)= (CB)A, ~xi = :k=1…n sikxk, i = 1, …, n,
(b) B(A + A') = BA + BA', ist regulär.
(c) (B + B')A = BA + B'A, (b) Die Basistransformation 8: U ) U ist eine bijektive, lineare Abbildung. Ihre Matrix bezüglich der
((de)) (B! B#%)0A== B0,(!A)=0 # A !=(BA),0, Basis a1, …, an von U ist gleich S–1. Insbesondere gilt
(f) B # I = I, I # A = A. ak = :i=1…n sikãi, k = 1, …, n
(d.h. in der k-ten Spalte von S steht das Koordinaten n-Tupel von ak bzgl. ã1, …, ãn).
Definition. Es seien dim U = dim V = n, a1, …, an eine Basis von U und b1, …, bn eine Basis von V. Eine
lineare Abbildung L: U ) V ist offenbar genau dann bijektiv, wenn ihre Koordinatendarstellung Kn ) Kn, Wir betrachten jetzt zusätzlich auch in V neben der alten Basis b1, …, bp eine neue Basis ~b1, …, ~bp,
x a y, mit sowie eine lineare Abbildung L: U ) V. Weiter seien
yi = :j=1…n aijxj i = 1, …, n RA ddiiee DMaartsritxe ldluenr gKsomoardtriinxa vtoenn tLra bnesfzoürgmliacthio dne irn a Vlt,en Basen und
bijektiv ist. In diesem Fall nennen wir ihre (quadratische) Darstellungsmatrix A = (aij)1!i,j!n r e gulär , und die à ihre Matrix bezüglich der neuen Basen.
Darstellungsmatrix von L–1 (bezüglich der angegebenen Basen) nennen wir die zu A in verse Matri x , Dann gilt:
Schreibweise A–1. Ist A nicht regulär, so heißt A s i ngulär .
(4.17) Satz. Ã = R A S–1.
(4.12) Satz und Definition. Die Menge der regulären Matrizen aus K(n,n) bildet bezüglich der Matrizen-
multiplikation eine Gruppe, genannt ( a llgemeine) lineare Grupp e GL(n,K). Neutralelement in GL(n,K) ist die Definition. Zwei Matrizen A, Ã $ K(n,p) heißen ä q uivalent , wenn es Matrizen S $ GL(n,K) und R $ GL(p,K)
(n’n)-Einheitsmatrix I, inverses Element zu A $ GL(n,K) ist A–1. gibt, so dass à = RAS–1 gilt.
(4.13) Satz. Für A $ K(n,n) gilt: Definition. Zwei Matrizen A, à $ K(n,n) heißen ä h nlic h , wenn es eine Matrix S $ GL(n,K) gibt, so dass à =
A regulär % Rang A = n. SAS–1 gilt.
(4.28) Satz. Sei T ein beliebiger affiner Unterraum von Kn mit dim T = s. Dann gilt
(4.18) Satz. Zu jeder linearen Abbildung L: U ) V existieren Basen von U und V, bezüglich derer die Matrix (a) Es gibt ein lineares Gleichungssystem (G) mit n Unbekannten und n – s Gleichungen, das T als
von L die Normgestalt hat: Lösungsraum besitzt.
!# 1 0 … 0 0 … 0$& (b) Jedes homogene, lineare Gleichungssystem (G') mit n Unbekannten, das T als Lösungsraum besitzt,
# 0 O O M M M& besteht aus mindestens n–s Gleichungen.
# &
Ao = #### 00M O…… O…0 010 00M …… 00M&&&& =: !"## 0Ik 00$%&& , §5 Algebraische Grundlagen II
# &
# M M M M&
"# 0 … … 0 0 … 0%& Die alternierende Grupp e
wobei die Anzahl der Einsen gleich dem Rang k von L ist.
(5.1) Lemma. Das Produkt einer ungeraden Anzahl von Zweierzykeln in der Sn ist stets " id.
(4.19) Korollar.
(a) Jede Matrix A $ K(n,p) vom Rang k ist zu der Matrix Ao aus (4.18) äquivalent. (a5u.c2h) Laelsm Pmroad.u Lkät sesint esirc uhn 0g e$r aSdne anl sA Pnzroadhul.kt einer geraden Anzahl von Zweierzykeln schreiben, dann nicht
(b) Zwei Matrizen A,A' $ K(n,p) sind genau dann äquivalent, wenn sie denselben Rang haben.
Definition. 0 $ Snheißt g e rade oder u n gerade je nachdem, ob sich 0 als Produkt einer geraden oder
Darstellung von Unterräumen
ungeraden Anzahl von Zweierzykeln schreiben lässt. Die S i gnatur (das S i gnum ) von 0 ist
sign 0 := 1 falls 0 gerade ist
(4.20) Satz. Sei U1 ein beliebiger Untervektorraum von U mit dim U1 = s. Dann gilt –1 falls 0 ungerade ist.
(a) Es gibt es eine lineare Abbildung L : U ) Kn–s mit U1 = Kern L, Die Menge aller geraden Permutationen von Sn bezeichnen wir mit An = { 0 $ Sn | sign 0 = +1 }.
(b) Für jede lineare Abbildung L': U ) Kp mit U1 = Kern L' gilt Rang L' = n – s ! p.
(5.3) Satz. Für n ! 2 ist An eine Untergruppe von Sn vom Index 2, die a l ternierende Gruppe vom Grad n .
(4.21) Satz.
(a) Ein Untervektorraum H von U ist genau dann eine Hyperebene (durch 0), wenn H mittels einer (5.4) Satz. Ein Zyklus ist genau dann eine gerade Permutation, wenn seine Länge ungerade ist.
Linearform h " 0 dargestellt werden kann in der Art:
H = Kern h = { u $ U | h(u) = 0 }. Homomorphismen und Normalteiler von Gruppe n
(b) Zwei Linearformen h " 0 und h' " 0 von U stellen genau dann dieselbe Hyperebene H von U dar, wenn
es ein µ $ K \ {0} gibt mit h' = µh. Definition. Seien (G, #), (G', #') Gruppen. Eine Abbildung f: G ) G' heißt H o momorphismu s , wenn für alle
a,b $ G gilt:
(4.22) Korollar. Im Fall U = Kn gibt es zu jeder Hyperebene H durch 0 von Kn Skalare &1, …, &n $ K, so f(a # b) = f(a) #' f(b).
dass H der Lösungsraum von &1x1 + … + &nxn = 0 ist. Unter dem K e rn von f verstehen wir die Menge
Kern f:= f–1(e')= { a $ G | f(a) = e' }
(4.23) Satz. Sei U1 ein beliebiger Untervektorraum von Kn mit dim U1 = s . Dann gilt: (e' das Neutralelement von G'). Im folgenden schreiben wir a # b =: ab und a' #' b' =: a'b'.
(a) Es gibt ein homogenes, lineares Gleichungssystem (H) mit n Unbekannten und n – s Gleichungen,
(5.5) Satz. Für jeden Homomorphismus f: G ) G' gilt:
das U1 als Lösungsraum besitzt. (0 Gleichungen heißt L = Kn) (a) f(e) = e',
(b) Jedes homogene, lineare Gleichungssystem (H') mit n Unbekannten, das U1 als Lösungsraum besitzt, (b) f(a–1)= f(a)–1,
besteht aus mindestens n–s Gleichungen. (c) f(G) ist eine Untergruppe von G',
(4.24) Bemerkung. (4.23) sagt insbesondere aus, dass jeder lineare Code C der Länge n über K = Fp (5.7) Satz und Definition. Ist f: G ) G' ein Homomorphismus, so ist N := Kern f eine Untergruppe von G, für
Lösungsraum eines homogenen, linearen Systems ist, also die zusätzlich gilt:
C = { x $ Kn | AxT = 0 }, (N) aN = Na für alle a $ G.
wobei A die zugehörige Koeffizientenmatrix ist (x als Zeilenvektor). Nach (3.14) und (3.18) gilt dabei Eine Untergruppe N von G , die (N) erfüllt, nennt man einen N o rmalteiler von G.
dim C = n – Rang A, |C| = pn–RangA.
Nach (4.23) kann man A so wählen, dass A genau Rang A Zeilen besitzt. A heißt dann eine K o ntroll m a tri x (5.9) Satz. Ist N ein Normalteiler der Gruppe G, so bildet die Menge G/N der Nebenklassen von G nach N
mit der Komplexmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe, genannt F a kto r g r uppe von G nach N. Offenbar
von C. An ihr lässt sich auch der Minimalabstand von C ablesen:
gilt ord(G/N) = indGN.
(4.25) Satz. dmin(C) # d % j e d – 1 Spalten von A sind linear unabhängig.
(5.10) Satz und Definition. Ist N ein Normalteiler der Gruppe G, so ist
(4.26) Satz. Sei T ein beliebiger affiner Unterraum von U mit dim T = s. Dann gilt: ;: G ) G/N mit ;(a) := Na
(a) Es gibt es eine lineare Abbildung L : U ) Kn–s und einen Vektor b $ Kn–s mit ein Homomorphismus mit Kern N. Er heißt k a nonische Projektio n von G auf G/N.
T = L–1(b)= { u $ U | L(u) = b }, Isomorphie von Gruppen und der Homomorphiesatz
(b) Für jede lineare Abbildung L': U ) Kp und jedes b' $ Kp mit T = L'–1(b') gilt
Rang L' = n – s! p.
Definition. Zwei Gruppen G, G' heißen is omorph , in Zeichen G > G', wenn es einen I s omo r p h ismu s (:=
bijektiver Homomorphismus) von G auf G' gibt.
(4.27) Satz.
(a) Ein affiner Unterraum T von U ist genau dann eine Hyperebene, wenn T mittels einer Linearform h " 0
(5.11) Satz. Die Isomorphie von Gruppen hat die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation, d.h. es gilt
und eines Skalars 8 $ K dargestellt werden kann in der Art:
T = h–1(8)= { u $ U | h(u) = 8 }. G > G, G > G' 2 G' > G und G > H, H > G' 2 G > G'.
(b) Dabei liefern h–1(8) und h'–1(8') genau dann dieselbe Hyperebene T, wenn es ein µ $ K \ {0} gibt mit (5.12) Satz und Definition. Die Menge aller Automorphismen von G bildet mit der Komposition als
h' = µh und 8' = µ8. Verknüpfung eine Gruppe, genannt die ( v o lle) A u tomorphismengrupp e von G, Schreibweise Aut(G).