Table Of ContentConvergenze
acuradi
G.Anzellotti,L.Giacardi,B.Lazzari
FerdinandoArzarello
CristianoDane´
LauraLovera
MirandaMosca
NicolettaNolli
AntonellaRonco
Dalla geometria
di Euclide
alla geometria
dell’Universo
Geometriasusfera,cilindro,cono,pseudosfera
FerdinandoArzarello CristianoDane´ LauraLovera
DipartimentodiMatematica LiceoScientifico“A.Volta”, Liceopsicopedagogico
Universita`diTorino Torino “ReginaMargherita”,
Torino
MirandaMosca NicolettaNolli AntonellaRonco
AssociazioneSubalpina Liceoscientifico“G.Aselli”, Liceopsicopedagogico
MATHESIS, Cremona “ReginaMargherita”,
Torino Torino
Contenutiintegrativialpresentevolumepossonoessereconsultatisuhttp://extras.springer.com
isbn978-88-470-2573-8 isbn978-88-470-2574-5(cid:11)(cid:72)(cid:37)(cid:82)(cid:82)(cid:78)(cid:12)
doi10.1007/978-88-470-2574-5
SpringerMilanDordrechtHeidelbergLondonNewYork
©Springer-VerlagItalia2012
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Stampa:GECAIndustrieGrafiche,CesanoBoscone(MI)
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Prefazione
La collana “Convergenze”, curata per la parte scientifica dall’Unione Matemati-
caItalianaededitadaSpringerItalia, e`giuntaalsuononovolume,illibrodiF.
Arzarello,C.Dane´,L.Lovera,M.Mosca,N.Nolli,A.Ronco,Dallageometriadi
Euclideallageometriadell’universo.
Tuttiivolumidellacollanasonoediticonuncontributoeconomicodell’UMI,
eilpresentehaavutoancheunaiutoeconomicodalProgettoLaureeScientifiche.
Cio` inquanto,aldila`delfattochel’origineeilmeritodell’operasonopura-
mentedegliautoriesicollocanonellatradizionedellaricercadidatticaitaliana,e
torineseinparticolare,unapartesignificativadellepropostedidattichesonosta-
tesperimentatenellaboratoriochesie`realizzatonell’ambitodelProgettolocale
LaureeScientifichediTorinonel2005/06enegliannisuccessivi.
Come si puo` infatti evincere dalle schede stesse del Progetto LS gli obiettivi
principalidellapropostaelaboratanellibrosono: daunaparterecuperareleri-
levantiassenzedellageometriadellospazionellascuola“superiore”,dall’altraap-
profondirealcuniaspettilogico-teoriciancheattraversoilconfrontofralegeome-
triechesipossonoelaboraresuparticolarisuperfici(sfera,cilindro,cono,pseu-
dosfera)eilconfrontodiciascunadiesseconlageometriaeuclideadelpiano.
Iltemahaoffertooccasionidiricchisviluppidicaratterestorico-applicativo,
dallecartegeograficheedallerotteaereeaquestionitecnologiche(elichedeimo-
tori, modelli per i sarti delle maniche degli abiti). Inoltre esso invita all’utilizzo
dimaterialiconcreti,nonche´dimodellivirtualicostruibiliconisoftwareCabri
Ge´ome`tre,Cabri3D eGeoGebra.
Imaterialisonounelementoche,perquantoovvionell’apprendimentodella
geometria,stentanoaentrarenellapraticadidatticacorrente;viceversa,inquesto
progettocomedelrestoinmoltialtri,essisvolgonodiversefunzioni,tralequali:
(cid:75) incuriosirelostudenteepertantosostenernel’interesse;
(cid:75) favorirelaformulazionediproblemiecongetturedirisposta;
(cid:75) migliorarelacomprensioneeffettivadeiconcetti;
(cid:75) sostenerelamemorizzazione;
senza dimenticare che migliorare le abilita` manuali di studenti adolescenti e` di
per se´ un obiettivo rispettabile. E` stata finalita` prima degli autori fare in modo
cheglistudentisiorientinoinambientigeometricivaririconoscendoanalogiee
differenzediquesticonlageometriaeuclidea.
Ilpercorsoe`statosperimentatoinalcuneclassiquartedidiversiistitutisupe-
riori:ilLiceoPsicopedagogico“ReginaMargherita”,ilLiceoScientifico“Einstein”,
l’Istituto Tecnico Industriale “Bodoni” di Torino, il Liceo Scientifico “Aselli” di
Cremona,ilLiceoScientifico“Galilei”diVoghera.Ancheanomedegliorganidi-
rettividell’UMI,desideropertantoringraziaregliautoriperl’ottimocontributo
datoalladidatticadellaGeometria,peravercoinvoltoinsegnantimotivatiede-
siderosidisuggerimentichepermettanolorodistarealpassoconitempie,last
DallageometriadiEuclideallageometriadell’Universo
VI
butnotleast,ilProgettoLaureeScientifichechehapermessolarealizzazionedi
incontrisinergicifradocentidellascuolasuperioreedocentiuniversitarialfine
diportareatermineunpianodidatticodiinteressecomunepertutti: quellodi
presentareallostudentel’insegnamentodellescienzematematichenonsolo(piu`)
attraentema,soprattuttocomeuninvestimentoduraturo,siacomeunmomen-
to di crescita del cittadino consapevole, sia come prerequisito necessario ad un
futurodaprofessionistanelmondodioggi.
Bologna,aprile2012 GiuseppeAnichini
SegretarioUMI
Premessa
Il volume propone vari percorsi didattici, progettati per le scuole secondarie di
secondogrado,dovelaGeometriae`affrontatasecondounametodologialabora-
toriale,inconformita`almodellosuggeritonelcurricolodell’UMI,LaMatemati-
caperilCittadino(http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Didattica/didattica.html),
epresentenellenuoveIndicazioniperiLicei(DPR15marzo2010). Glistudenti
sono pertanto accompagnati a fare e pensare secondo l’adagio pedagogico di S.
Papert:“Impariamomegliofacendo,impariamoancoramegliosecolleghiamoil
nostrofareconilparlareedilpensaresucicheabbiamofatto”.
L’insegnantetrovanelvolumesvariatisuggerimentiperl’utilizzodiopportu-
nimaterialididatticiedimodelligeometricirealievirtuali. Pergenerarequesti
ultimisisonoutilizzatiisoftwareCabriGe´ome`tre,Cabri3D(marchiCabrilog)e
GeoGebra (open source). Le schede didattiche da utilizzare durante le attivita`
(in duplice versione, per lo studente e per il docente), corredate di indicazio-
ni ed esempi di percorsi, si trovano sulla piattaforma on-line di Springer Extra
Materials(http://extras.springer.com).
L’ideaprincipalee` dianalizzarecriticamenteleideedellageometriaeuclidea
allalucediquantoaccadeinvariambientigeometricidiversidalpiano(lasfera,
ilcilindro,ilconoelapseudosfera):adesempio,chiedersi“checosae`unaretta?”
neinuovicontesti.Sipuo`cos`ıpartiredalleradicicognitiveeculturalideiconcetti
matematicieconsiderarnesuccessivamentesialosviluppomatematicorigoroso
sia l’intreccio profondo con i concetti portanti di altre discipline, come la fisica
(quale`lageometriadell’universo?)elageografia(comerappresentarelaTerrainun
piano?).Sara`altres`ıpossibiletoccareconmanocometaleintreccioabbiaportato
aimportantiinnovazionitecnologiche(adesempioilGPS).
Gliitinerarididatticiillustratinelvolumesonostatisperimentatiinvarieclassi
nell’ambitodelProgettoLaureeScientifiche. Gliautorisentonopercio` ilbisogno
diringraziaretuttiidocentichehannoinvariomodosperimentatoquestopro-
getto nell’ambito di tali iniziative, concorrendo alla validazione della proposta.
ParticolariringraziamentirivolgonoaPierangelaAccomazzoeaPatriziaGiani-
noperiloropreziosiapporti.InoltreringrazianoSaraFenoileSergioMellinaper
ivalidicontributiall’elaborazionedelleimmagini.
GliAutori
Indice
1. Perche´ lageometriasullesuperfici 1
1.1Perche´ tantegeometrieinvecediunageometria? 1
1.2Allaricercadelleradicicognitiveeculturali
deiconcettimatematici 2
1.3Originedellibro 9
1.4Perche´ illibro? 10
2. Lageometriasullasfera 13
2.1Laformicaeuclidea 13
2.2Lageodeticasullasfera 14
2.3Lasferae` curva 17
2.4Circonferenzesullasfera 19
2.5Triangolisferici 20
2.6Approfondimento 22
2.7Iltrasportoparallelo:approfondiamo 24
3. Euclide,Hilbertelageometriasullasfera 27
3.1IlsistemaassiomaticodiEuclide 28
3.2Isistemiformali 29
3.3Unsistemaformalemodernoperlageometriapiana 30
3.4Modellidiunsistemaassiomatico 32
3.5Lageometriasullasferae` euclidea? 36
3.6Figuregeometrichesullasfera:triangoliequadrati 44
4. Geometriasulcilindro 49
4.1Andaredirittisulcilindro 49
4.2Sviluppopianodelcilindro 55
4.3Iricoprimentidiuncilindro 57
4.4Ilcilindrocomeesempiodigeometrialocalmenteeuclidea 59
4.5Approfondimento 65
5. Geometriasulcono 69
5.1Andaredirittisulcono 69
5.2Legeodetichesulcono 70
5.3Approfondimenti 76
DallageometriadiEuclideallageometriadell’Universo
X
5.4Iricoprimentidiuncono 79
5.5Lageometriasulcono 82
5.6Persapernedipiu` . . . 82
6. Lacurvatura 89
6.1Lacurvaturadiunalinea 90
6.2Lacurvaturadiunasuperficie 92
6.3Lacurvaturadelpiano,dellasfera,delcilindroedelcono 95
6.4Checosasonolegeodetiche 98
6.5Lacurvaturanelleformenaturalienellemimesidegliartefattiumani 99
7. Lapseudosferaelageometriasullapseudosfera 105
7.1Lacatenariaelatrattrice 105
7.2Lapseudosferaelasuacurvatura 110
7.3Lescopertedellaformicaeuclideasullapseudosfera 112
7.4llteoremadiGaussBonneteilquintopostulatosullapseudosfera 115
8. LasferaTerra:fareilpunto 117
8.1Ilsistemadiriferimentoterrestre 117
8.2Iproblemidelnavigante-dialogoconlestelle 121
8.3Calcolodellalatitudine 125
8.4Determinazionedellalongitudine 128
8.5Glistrumentidimisura 130
8.6Ladeterminazionedelpunto-nave 134
9. LasferaTerra:lecartegeografiche 139
9.1Leproiezioniconicheecilindriche 140
9.2LacartadelMercatore 143
9.3Proiezionipolari 147
9.4LaproiezionediGausseilsistemadicoordinateUTM 149
10.Lemappeconformidellapseudosferaeimodellidigeometria
iperbolica 153
10.1Lamappaconformedelnaviganteiperbolico 153
10.2Sperimentiamolamappaconforme 156
10.3IlsemipianodiPoincare´ 159
10.4L’inversionecircolare 160
10.5IldiscodiPoincare´ 164
Indice
XI
11.Ilnostrospazioe` euclideo? 167
11.1Lageometriadellospazio-tempo:ilmodellodiMinkowski 168
11.2Lospazio-tempodellarelativita` generale 172
11.3Ipotesisull’Universo 175
11.4IpossibilimodellidiUniversoinespansionechecosaprevedono
inmeritoallasuacurvatura? 177
A. ConfrontotraisistemiassiomaticidiEuclideediHilbert 181
A.1DalsistemadiEuclide 181
A.2DalsistemadiHilbert 182
A.3Uguaglianzaecongruenza 183
B. GPS:sistemadiposizionamentoglobale 185
B.1Descrizionegenerale 185
B.2Acosaserve? 185
B.3Comee` costituito? 185
B.4Comefunziona? 186
B.5AnalisidellaCostellazioneSatellitare 188
B.6Sistemidicoordinate 190
Bibliografia 193
Capitolo 1
Perche´ la geometria sulle superfici
1.1 Perche´ tantegeometrieinvecediunageometria?
NelcurricoloUMIunodeinucleiessenzialiindividuatiperpotercostruiresolide
competenzematematichee`SpazioeFigure;nell’indicarelelineeessenzialidique-
stonucleotematicosifaesplicitoriferimentoauncurricolodimatematicache
presentaunosvolgimentointegratodegliargomentichesonopropridellageome-
tria:geometriadellospazioegeometriadelpiano,geometriasintetica,geometria
analiticaetrigonometria.
In questa proposta sono anche esplicitamente indicate alcune idee di
base:
(cid:75) rafforzareerivalutarelageometriadellospazio;
(cid:75) favorireattivita`diesplorazioneediscopertadiproprieta`geometriche;
(cid:75) porreattenzioneaicollegamentitralostudiodellageometriaeilmondoreale;
(cid:75) ricercarespuntistoricicomeoccasionediriflessionefilosofica.
Lageometriacuisifariferimentonelcurricoloe`quellaeuclidea,dapiu` diventi
secoli modello di riferimento per la cultura occidentale, anche se tra gli spun-
tistoriciconsigliatiapparel’indicazioneDallageometriaallegeometrie(unapa-
noramica sugli sviluppi che dall’Ottocento portano al nostro secolo)come a voler
sottolinearel’importanzadiallargaregliorizzonticulturalipermegliocompren-
dereilruolocentralegiocatodallageometriainunpercorsoformativochevuole
consideraresialafunzionestrumentalesiaquellaculturaledellamatematica.
Lo svolgimento di un coerente percorso di geometria, nella scuola italiana,
sembraesseresemprepiu` difficile,inparticolaresembradiventatoquasiimpos-
sibileunrigorosoapproccioassiomaticocheproducaunapprendimentosignifi-
cativoesensatodegliassiomiedeiteoremieuclidei.
Inparteglistudentisoffronol’eccessivorigoreel’astrattezzadellageometria,in
partenoncapisconolanecessita`diinterrogarsisunozioniintuitiveodimostrare
proprieta` evidenti; ne risulta spesso uno studio mnemonico di definizioni e di
dimostrazioniditeoremidellequalispessononsicapiscenemmenol’utilita`.
Unpercorsocomequellopresentato,checostringeainterrogarsisucosavo-
glia dire “andare diritto” o a sperimentare concretamente cosa significhi “tirare
unalineadirittatraduepunti”,inuncontestodiversodall’ordinariopianoeucli-
deo,puo` mettereincrisi“verita`”ritenutescontate,costringea“fareiconti”con
spazichehannoproprieta`definitedadiversisistemidiassiomieperiqualinon
valgononemmenoiteoremipiu` “famosi”equindi,percontro,costringearida-
reimportanzaproprioaqueiteoremieassiomivalidisullasuperficiepianache
servonoadefinirelageometriaeuclideatraletantegeometrie.
Nonsipuo`nemmenodimenticarelanecessita`didelineareunitinerariodidat-
ticochesiaingradodicollegarelostudiodellageometriaalmondofisicoreale,ec-
ArzarelloF.,Dane´C.,LoveraL.,MoscaM.,NolliN.,RoncoA.:DallageometriadiEuclidealla
geometriadell’Universo.Geometriasusfera,cilindro,cono,pseudosfera
DOI10.1007/978-88-470-2574-5 1,©Springer-VerlagItalia2012
