CUADERNOS DE´ALGEBRA No. 8 ´Algebra homológica Oswaldo Lezama Departamento de ...

146 Pages·2014·0.89 MB·Spanish

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CUADERNOS DE ALGEBRA
No. 8
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Algebra homol´ogica
Oswaldo Lezama
Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Sede de Bogot´a
30 de junio de 2014
ii
Cuaderno dedicado a Patricia, mi hermana.
Contenido
Pro´logo iv
1. Elementos b´asicos de ´algebra homolo´gica 1
1.1. Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. M´odulos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Anillo de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5. M´odulo de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6. M´odulos inyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7. M´odulos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.8. Anillos hereditarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2. Ext 61
2.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2. Propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3. Tor 81
3.1. Definici´on y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3. Tor y m´odulos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4. M´odulos planos y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5. Torsi´on de un m´odulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6. Tor y torsi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4. Dimensiones de mo´dulos y anillos 109
4.1. Dimensiones proyectiva, inyectiva y plana de un m´odulo . . . . . . . . 109
4.2. Dimensi´on global de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3. Dimensi´on global d´ebil de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
iii
iv
CONTENIDO
4.4. Dimensi´on global de anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5. Anillos con dimensio´n d´ebil ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6. Dimensi´on global y extensiones de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.7. Dimensi´on de Krull de un m´odulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.8. Dimensi´on de Krull de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Bibliograf´ıa 138
Pro´logo
La colecci´on Cuadernos de ´algebra consta de 10 publicaciones sobre los principales
temas de esta rama de las matem´aticas, y pretende servir de material para preparar
los ex´amenes de admisi´on y de candidatura de los programas colombianos de doc-
torado en matem´aticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´asico de
los cursos de estructuras algebraicas y ´algebra lineal de los programas de maestr´ıa;
los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los
ex´amenesdecandidatura,asaber:anillosym´odulos;categor´ıas;´algebrahomol´ogica;
´algebranoconmutativa;´algebraconmutativaygeometr´ıaalgebraica.Cadacuaderno
es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia
en los u´ltimos 25 an˜os, y est´an basados en las fuentes bibliogr´aficas consignadas en
cada uno de ellos, como tambi´en en el libro Anillos, M´odulos y Categor´ıas, publi-
cado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya
edici´on est´a totalmente agotada (v´ease [13]). Un material similar, pero mucho m´as
completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge
Lang, Algebra, cuya tercera edici´on revisada ha sido publicada por Springer en el
2004 (v´ease [12]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de ´algebra sea su pre-
sentaci´on ordenada y did´actica, as´ı como la inclusi´on de muchas pruebas omitidas
en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teor´ıa. Los cuadernos son:
1. Grupos 6. Anillos y m´odulos
2. Anillos 7. Categor´ıas
3. M´odulos 8. A´lgebra homolo´gica
´ ´
4. Algebra lineal 9. Algebra no conmutativa
´
5. Cuerpos 10. Algebra conmutativa y geometr´ıa algebraica
Los cuadernos est´an dividido en cap´ıtulos, los cuales a su vez se dividen en
secciones. Para cada cap´ıtulo se an˜ade al final una lista de ejercicios que deber´ıa ser
complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen las
principales monograf´ıas relacionadas con el respectivo tema.
Cuaderno de ´algebra homol´ogica. Este cuaderno consta de cuatro cap´ıtu-
los: el primero presenta los instrumentos elementales del ´algebra homol´ogica tales
como los complejos y las sucesiones exactas, los m´odulos de presentaci´on finita, los
m´odulos proyectivos e inyectivos, el producto tensorial de bim´odulos, la localizaci´on
v
vi PRO´LOGO
de anillos y m´odulos en el caso no conmutativo, los m´odulos planos sobre anillos
conmutativos, la t´ecnica particular de localizaci´on-globalizaci´on del ´algebra conmu-
tativa, la noci´on de rango de un m´odulo y el teorema de Kaplansky sobre m´odulos
proyectivos finitamente generados sobre anillos locales. Se incluye adem´as una intro-
ducci´on a los anillos hereditarios. El segundo y terecer cap´ıtulos permiten conocer
y aplicar otras dos t´ecnicas centrales del ´algebra homol´ogica, a saber: el Ext y el
Tor. En el cuarto cap´ıtulo se estudia la teor´ıa de la dimensi´on de anillos: dimensi´on
global, dimensi´on d´ebil y la dimensi´on de Krull. Los instrumentos considerados en
este cuaderno permiten emprender estudios m´as profundos en ´algebra no conmuta-
tiva, teor´ıa de representaci´on de grupos y ´algebras, ´algebra conmutativa, geometr´ıa
algebraica, an´alisis algebraico, entre muchas otras ´areas.
Para una buena compresi´on del presente cuaderno se recomienda al lector con-
sultar los cuadernos 2, 3, 6 y 7 (v´eanse [14], [15], [17] y [18]) ya que usaremos los
resultados y la notaci´on consignados en ellos. En particular, A denotar´a un anillo
no ncesariamente conmutativo y con unidad 1. A∗ denota el grupo multiplicativo
de los elementos invertibles del anillo A. Si f es un homomorfismo de anillos, en-
tonces f(1) = 1. Salvo que se advierta lo contrario, los m´odulos ser´an considerados
a derecha. Si M es un A-m´odulo a derecha lo denotaremos tambi´en por M . Si N
A
es un submo´dulo de M escribiremos N ≤ M. Para n ≥ 1, M (A) es el anillo de
n
matricescuadradasdetaman˜on×nconcomponentesenA,GL (A)denotaelgrupo
n
lineal general de orden n sobre A, es decir, GL (A) = M (A)∗. La matriz id´entica
n n
de taman˜o n×n se denota por E . An denota el A-m´odulo libre derecho de vectores
n
columna de longitud n con entradas en A.
Oswaldo Lezama
Departamento de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia
Bogot´a, Colombia
[email protected]
Cap´ıtulo 1
Elementos b´asicos de ´algebra
homolo´gica
Presentamosenesteprimercap´ıtulolasconstruccionesb´asicasdel´algebrahomol´ogi-
ca como son los complejos y las sucesiones exactas, el producto tensorial de bim´odu-
los, los anillos y los m´odulos de fracciones no conmutativos. Haremos adem´as una
introducci´on a los m´odulos proyectivos, inyectivos y planos.
1.1. Sucesiones exactas
Definicio´n 1.1.1. Una sucesi´on o cadena de homomorfismos de A-m´odulos de la
forma
C : ··· −→ M −f−→1 M −f→0 M −f→1 M −→ ···
−1 0 1 2
es un complejo si Im(f ) ⊆ ker(f ) para cada i ∈ Z. La sucesi´on se dice exacta
i i+1
si Im(f ) = ker(f ) para cada i ∈ Z. El m´odulo cociente
i i+1
ker(f )/Im(f )
i+1 i
se denomina el i-´esimo m´odulo de homolog´ıa del complejo C.
Son particularmente importantes las sucesiones exactas finitas. Por ejemplo,
f g
n´otese que la sucesi´on M −→ M −→ M −→ 0 es exacta si, y s´olo si, Im(f) =
1 2 3
f g
ker(g) y g es sobreyectivo. Similarmente, la sucesi´on 0 −→ M −→ M −→ M es
1 2 3
exacta si, y s´olo si, f es inyectivo e Im(f) = ker(g).
Otros criterios para determinar la exactitud de las sucesiones anteriores est´an
dados en el siguiente teorema.
Teorema 1.1.2. Sean M ,M y M A-m´odulos. Entonces,
1 2 3
1
2 CAP´ITULO1. ELEMENTOSBA´SICOSDEA´LGEBRAHOMOLO´GICA
f g
(i) La sucesi´on M −→ M −→ M −→ 0 es exacta si, y s´olo si, para todo
1 2 3
A-m´odulo N la sucesi´on de Z-m´odulos
g∗ f∗
0 −→ Hom (M ,N) −→ Hom (M ,N) −→ Hom (M ,N)
A 3 A 2 A 1
es exacta.
f g
(ii) La sucesi´on 0 −→ M −→ M −→ M es exacta si, y s´olo si, para todo
1 2 3
A-m´odulo P la sucesi´on de Z-m´odulos
0 −→ Hom (P,M ) −f→∗ Hom (P,M ) −g→∗ Hom (P,M )
A 1 A 2 A 3
es exacta.
Demostraci´on. Presentamos la prueba de la parte (i). La demostraci´on de (ii) es
similar.
f
⇒): en primer lugar n´otese que si M −→ M es un A-homomorfismo y N es un
1 2
A-m´odulo, entonces se tiene el homomorfismo de grupos abelianos
f∗
Hom (M ,N) −→ Hom (M ,N)
A 2 A 1
definido por
f∗(h) := hf, (1.1.1)
donde h ∈ Hom (M ,N). Obs´ervese que f∗ invirti´o el sentido de la flecha f (en la
A 2
prueba de (ii) el homomorfismo f se define por
∗
f∗(h) := fh, (1.1.2)
donde h ∈ Hom (N,M ). Notemos que en este caso f no invirti´o el sentido de la
A 1 ∗
flecha f).
Veamos que g∗ es inyectivo: si g∗(h) = hg = 0, debemos probar que h = 0. Sea
x ∈ M entonces como g es sobreyectiva existe z ∈ M tal que g(z) = x, luego
3 2
h(g(z)) = h(x) = 0. Esto prueba que h se anula en cada punto de su dominio, es
decir, h es nula.
Ahora probemos que Im(g∗) = ker(f∗): sea u ∈ Im(g∗) entonces u = g∗(h) =
hg, aplicamos f∗ y obtenemos f∗(u) = uf = h(gf), pero como Im(f) = ker(g),
entonces gf = 0 y f∗(u) = 0, de modo que u ∈ ker(f∗). Resta ver que ker(f∗) ⊆
Im(g∗): sea t ∈ ker(f∗) entonces f∗(t) = 0 = tf. Buscamos un homomorfismo
h : M → N de tal forma g∗(h) = t = hg. Sea x ∈ M , como g es sobre existe z ∈ M
3 3 2
tal que g(z) = x luego h(g(z)) = h(x); podemos entonces definir h(x) := t(z). h
es un A-homomorfismo bien definido: si z ,z son tales que g(z ) = x = g(z )
1 2 1 2
entonces deber´ıamos tener que t(z ) = t(z ). En efecto, g(z −z ) = 0, es decir,
1 2 1 2
z − z ∈ ker(g) = Im(f), por tanto existe r ∈ M tal que z − z = f (r), y
1 2 1 1 2
3
1.1. SUCESIONESEXACTAS
as´ı t(f (r)) = t(z −z ) = 0, de donde t(z ) = t(z ). Es f´acil ver que h es un
1 2 1 2
A-homomorfismo y es por supuesto el homomorfismo deseado.
⇐): supongamos que la sucesi´on
g∗ f∗
0 → Hom (M ,N) −→ Hom (M ,N) −→ Hom (M ,N)
A 3 A 2 A 1
es exacta para cada A-m´odulo N. Veamos entonces que g es sobreyectivo: en calidad
de N escogemos a M /Im(g) y sea j : M → M /Im(g) el homomorfismo can´onico.
3 3 3
Entonces, g∗(j) = jg = 0 (en efecto, jg(x) = g(x) = 0); pero como g∗ es inyectiva
entonces j = 0, es decir, para cada x ∈ M se tiene que x = 0, es decir, x ∈ Im(g),
3
y de esta forma M = Im(g).
3
VeamosahoraqueIm(f) = ker(g):n´oteseenprimerlugarqueIm(g∗) ⊆ ker(f∗),
luego para cada h ∈ Hom (M ,N) se tiene que f∗g∗(h) = 0, es decir, hgf = 0,
A 3
hagamos entonces N = M y h = i la id´entica de M , entonces gf = 0, con lo
3 M3 3
cual Im(f) ⊆ ker(g). Ahora tomemos N = M /Im(f) y sea j : M → M /Im(f)
2 2 2
la can´onica. Entonces, f∗(j) = jf = 0, es decir, j ∈ ker(f∗) ⊆ Im(g∗), luego
existe un homomorfismo t ∈ Hom (M ,N) tal que j = g∗(t) = tg. Por tanto,
A 3
Im(f) = ker(j) ⊇ ker(g).
Definicio´n 1.1.3. Una sucesi´on exacta finita de la forma
f g
0 −→ M −→ M −→ M −→ 0
1 2 3
se dice que es una sucesi´on exacta corta. Dos sucesiones exactas cortas
f g
0 −→ M −→ M −→ M −→ 0
1 2 3
y
a b
0 −→ N −→ N −→ N −→ 0
1 2 3
se dicen equivalentes si existen A-isomorfismos h,k,l tales que el siguiente dia-
grama conmuta:
f g
0 → M −→ M −→ M → 0
1 2 3
↓ h ↓ k ↓ l
a b
0 → N −→ N −→ N → 0
1 2 3
f g
Proposicio´n 1.1.4. Sea 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 una sucesi´on exacta
1 2 3
corta. Entonces, esta sucesi´on es equivalente a la sucesi´on
ι j
0 −→ ker(g) −→ M −→ M /ker(g) −→ 0
2 2
donde ι es la inclusi´on y j es el homomorfismo can´onico.
4 CAP´ITULO1. ELEMENTOSBA´SICOSDEA´LGEBRAHOMOLO´GICA
Demostraci´on. Debemos definir A-homomorfismos h : M → ker(g), k : M → M
1 2 2
y l : M → M /ker(g). En calidad de k tomamos la id´entica i ; para l sea z ∈
3 2 M2
M y sea x ∈ M tal que g(x) = z, definimos l(z) := j(x) = x. N´otese que l
3 2
est´a correctamente definida y es adem´as un A-isomorfismo que satisface l(g(x)) =
x = j(i (x)), es decir, lg = ji . Definamos ahora el A-homomorfismo h; sea
M2 M2
v ∈ M , entonces f(v) ∈ Im(f) = ker(g), de donde g(f(v)) = 0. Definimos entonces
1
h(v) := f(v), n´otese que h es claramente un A-isomorfismo que satisface ιh =
i f.
M2
Definicio´n 1.1.5. Sea M un A-m´odulo; se dice que M es de presentaci´on finita
(o tambi´en, finitamente presentado) si existe una sucesi´on exacta en la forma
An −→f Am −→g M → 0, (1.1.3)
donde An y Am son A-m´odulos libres de bases finitas con n y m elementos, respec-
tivamente.
Not´ese que el m´odulo nulo es de presentaci´on finita con n = m ≥ 1 cualquiera,
g = 0 y f = i . Otras formas de expresar que un m´odulo tiene una presentaci´on
Am
finita son las siguientes.
Proposicio´n 1.1.6. Sea M un A-m´odulo. Entonces las siguientes condiciones son
equivalentes:
(i) M es de presentaci´on finita.
(ii) Existe una sucesi´on excacta en la forma
0 → K −→ι Am −→g M → 0,
donde K es un A-m´odulo finitamente generado.
(iii) Existen un entero m ≥ 1 y un A-subm´odulo finitamente generado K de Am
tales que M ∼= Am/K.
Demostraci´on. (i) ⇒ (ii): tomando K := ker(g) = Im(f) en (1.1.3) se obtiene la
sucesi´on exacta corta deseada, con K generado por n elementos.
(ii) ⇒ (i): sea K generado por n elementos, entonces se tiene el homomorfismo
natural sobreyectivo An −→f0 K que envia la base can´onica de An en los generadores
de K; tomando f := ιf0 resulta la exactitud de (1.1.3).
(ii) ⇒ (iii): tenemos que M ∼= Am/ker(g) = Am/Im(ι) ∼= Am/K.
(iii) ⇒ (ii): sea α : M → Am/K un isomorfismo, entonces esta implicaci´on
resulta evidente tomamdo como ι a la inclusi´on de K en Am y g := αj, donde
j : Am → Am/K es el homomorfismo can´onico.