Computing abelian varieties over finite fields

38 Pages·2017·0.25 MB·English

(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:9)(cid:12)(cid:10)(cid:1)(cid:16)(cid:12)(cid:17)(cid:9)(cid:14)(cid:8)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:1)(cid:4)(cid:16)(cid:14)(cid:17)(cid:1)(cid:19)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:8)(cid:14)(cid:1)(cid:19)(cid:9)(cid:14)(cid:15)(cid:20)(cid:18)
(cid:21)(cid:8)(cid:14)(cid:19)(cid:12)(cid:10)(cid:4)(cid:1)(cid:22)(cid:12)(cid:17)(cid:18)(cid:14)(cid:11)(cid:15)(cid:9)(cid:12)
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:4)(cid:1)(cid:6)(cid:9)(cid:10)(cid:10)(cid:7)(cid:11)(cid:12)(cid:5)(cid:12)(cid:9)(cid:13)(cid:14)(cid:1)(cid:15)(cid:13)(cid:11)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:17)(cid:7)(cid:18)(cid:11)(cid:7)(cid:7)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:17)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:13)(cid:11)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:19)(cid:16)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:10)(cid:13)(cid:21)(cid:16)(cid:22)(cid:1)(cid:9)(cid:14)(cid:1)(cid:23)(cid:5)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:12)(cid:9)(cid:4)(cid:10)(cid:1)(cid:5)(cid:12)(cid:1)(cid:24)(cid:12)(cid:13)(cid:4)(cid:25)(cid:16)(cid:13)(cid:20)(cid:8)
(cid:26)(cid:14)(cid:9)(cid:27)(cid:7)(cid:11)(cid:10)(cid:9)(cid:12)(cid:22)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:28)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:29)(cid:28)(cid:20)(cid:9)(cid:4)(cid:20)(cid:22)(cid:1)(cid:6)(cid:7)(cid:15)(cid:7)(cid:14)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:1)(cid:30)(cid:11)(cid:9)(cid:6)(cid:5)(cid:22)(cid:1)(cid:31)(cid:1)(cid:32)(cid:29)(cid:14)(cid:7)(cid:1)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:1)(cid:5)(cid:12)(cid:1)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:34)(cid:1)(cid:9)(cid:14)(cid:1)(cid:10)(cid:5)(cid:20)(cid:1)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:1)(cid:16)(cid:29)(cid:10)(cid:1)(cid:40)(cid:39)(cid:1)(cid:41)(cid:11)(cid:42)(cid:15)(cid:12)(cid:11)(cid:9)(cid:25)(cid:7)(cid:12)(cid:39)
(cid:43)(cid:13)(cid:10)(cid:20)(cid:5)(cid:18)(cid:10)(cid:27)(cid:42)(cid:18)(cid:7)(cid:14)(cid:1)(cid:35)(cid:34)(cid:35)(cid:37)
(cid:23)(cid:13)(cid:18)(cid:8)(cid:17)(cid:12)(cid:24)(cid:8)
(cid:44)(cid:14)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:10)(cid:9)(cid:10)(cid:1)(cid:45)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:11)(cid:7)(cid:10)(cid:10)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:11)(cid:13)(cid:28)(cid:20)(cid:7)(cid:8)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:6)(cid:7)(cid:27)(cid:7)(cid:20)(cid:13)(cid:21)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:1)(cid:7)(cid:15)(cid:15)(cid:7)(cid:4)(cid:12)(cid:9)(cid:27)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:20)(cid:18)(cid:13)(cid:11)(cid:9)(cid:12)(cid:16)(cid:8)(cid:10)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:4)(cid:13)(cid:8)(cid:21)(cid:29)(cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:13)(cid:8)(cid:13)(cid:11)(cid:21)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:8)(cid:1)(cid:4)(cid:20)(cid:5)(cid:10)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:21)(cid:13)(cid:20)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:46)(cid:7)(cid:6)
(cid:5)(cid:28)(cid:7)(cid:20)(cid:9)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:27)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:7)(cid:12)(cid:9)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:27)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:7)(cid:20)(cid:6)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:15)(cid:11)(cid:5)(cid:4)(cid:12)(cid:9)(cid:13)(cid:14)(cid:5)(cid:20)(cid:1)(cid:9)(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:20)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:13)(cid:11)(cid:6)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:9)(cid:14)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:11)(cid:13)(cid:6)(cid:29)(cid:4)(cid:12)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:14)(cid:29)(cid:8)(cid:28)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:7)(cid:20)(cid:6)(cid:10)(cid:37)
(cid:47)(cid:16)(cid:7)(cid:11)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:11)(cid:7)(cid:1)(cid:45)(cid:7)(cid:20)(cid:20)(cid:2)(cid:25)(cid:14)(cid:13)(cid:45)(cid:14)(cid:1)(cid:8)(cid:7)(cid:12)(cid:16)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:7)(cid:15)(cid:15)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:7)(cid:14)(cid:12)(cid:20)(cid:22)(cid:1)(cid:4)(cid:13)(cid:8)(cid:21)(cid:29)(cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:4)(cid:20)(cid:5)(cid:10)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:9)(cid:14)(cid:27)(cid:7)(cid:11)(cid:12)(cid:9)(cid:28)(cid:20)(cid:7)(cid:1)(cid:9)(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:20)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:13)(cid:11)(cid:6)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:9)(cid:14)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:14)(cid:29)(cid:8)(cid:28)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:7)(cid:20)(cid:6)(cid:39)(cid:1)(cid:28)(cid:29)(cid:12)(cid:1)(cid:14)(cid:13)(cid:12)
(cid:8)(cid:29)(cid:4)(cid:16)(cid:1)(cid:16)(cid:5)(cid:10)(cid:1)(cid:21)(cid:11)(cid:7)(cid:27)(cid:9)(cid:13)(cid:29)(cid:10)(cid:20)(cid:22)(cid:1)(cid:28)(cid:7)(cid:7)(cid:14)(cid:1)(cid:25)(cid:14)(cid:13)(cid:45)(cid:14)(cid:1)(cid:5)(cid:28)(cid:13)(cid:29)(cid:12)(cid:1)(cid:14)(cid:13)(cid:14)(cid:2)(cid:9)(cid:14)(cid:27)(cid:7)(cid:11)(cid:12)(cid:9)(cid:28)(cid:20)(cid:7)(cid:1)(cid:9)(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:20)(cid:10)(cid:37)(cid:1)(cid:44)(cid:14)(cid:1)(cid:19)(cid:5)(cid:21)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:44)(cid:1)(cid:45)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:11)(cid:13)(cid:6)(cid:29)(cid:4)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:20)(cid:18)(cid:13)(cid:11)(cid:9)(cid:12)(cid:16)(cid:8)(cid:10)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:4)(cid:13)(cid:8)(cid:21)(cid:29)(cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:11)(cid:7)(cid:21)(cid:11)(cid:7)(cid:10)(cid:7)(cid:14)(cid:12)(cid:5)(cid:12)(cid:9)(cid:27)(cid:7)(cid:10)
(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:5)(cid:20)(cid:20)(cid:1)(cid:9)(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:20)(cid:1)(cid:4)(cid:20)(cid:5)(cid:10)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:13)(cid:11)(cid:6)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:9)(cid:14)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:11)(cid:13)(cid:6)(cid:29)(cid:4)(cid:12)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:14)(cid:29)(cid:8)(cid:28)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:7)(cid:20)(cid:6)(cid:10)(cid:37)(cid:1)(cid:48)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:20)(cid:10)(cid:13)(cid:1)(cid:7)(cid:49)(cid:12)(cid:7)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:13)(cid:11)(cid:7)(cid:8)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:50)(cid:5)(cid:12)(cid:9)(cid:8)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:23)(cid:5)(cid:4)(cid:17)(cid:29)(cid:15)(cid:15)(cid:7)(cid:7)
(cid:5)(cid:28)(cid:13)(cid:29)(cid:12)(cid:1)(cid:1)(cid:4)(cid:13)(cid:14)(cid:51)(cid:29)(cid:18)(cid:5)(cid:4)(cid:22)(cid:1)(cid:4)(cid:20)(cid:5)(cid:10)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:9)(cid:14)(cid:12)(cid:7)(cid:18)(cid:11)(cid:5)(cid:20)(cid:1)(cid:8)(cid:5)(cid:12)(cid:11)(cid:9)(cid:4)(cid:7)(cid:10)(cid:37)
(cid:47)(cid:16)(cid:7)(cid:11)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:11)(cid:7)(cid:1)(cid:7)(cid:52)(cid:29)(cid:9)(cid:27)(cid:5)(cid:20)(cid:7)(cid:14)(cid:4)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:7)(cid:10)(cid:12)(cid:5)(cid:28)(cid:20)(cid:9)(cid:10)(cid:16)(cid:7)(cid:6)(cid:1)(cid:28)(cid:22)(cid:1)(cid:17)(cid:7)(cid:20)(cid:9)(cid:18)(cid:14)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:53)(cid:7)(cid:14)(cid:12)(cid:7)(cid:20)(cid:7)(cid:18)(cid:16)(cid:7)(cid:2)(cid:24)(cid:12)(cid:9)(cid:49)(cid:1)(cid:28)(cid:7)(cid:12)(cid:45)(cid:7)(cid:7)(cid:14)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:12)(cid:7)(cid:18)(cid:13)(cid:11)(cid:22)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:5)(cid:28)(cid:7)(cid:20)(cid:9)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:27)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:7)(cid:12)(cid:9)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:27)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:5)
(cid:15)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:7)(cid:20)(cid:6)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:12)(cid:7)(cid:18)(cid:13)(cid:11)(cid:22)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:12)(cid:7)(cid:20)(cid:22)(cid:1)(cid:18)(cid:7)(cid:14)(cid:7)(cid:11)(cid:5)(cid:12)(cid:7)(cid:6)(cid:1)(cid:15)(cid:11)(cid:7)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:28)(cid:7)(cid:20)(cid:9)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:18)(cid:11)(cid:13)(cid:29)(cid:21)(cid:10)(cid:1)(cid:45)(cid:9)(cid:12)(cid:16)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:7)(cid:14)(cid:6)(cid:13)(cid:8)(cid:13)(cid:11)(cid:21)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:8)(cid:1)(cid:10)(cid:5)(cid:12)(cid:9)(cid:10)(cid:15)(cid:22)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:1)(cid:10)(cid:13)(cid:8)(cid:7)(cid:1)(cid:7)(cid:5)(cid:10)(cid:22)(cid:2)(cid:12)(cid:13)(cid:2)(cid:10)(cid:12)(cid:5)(cid:12)(cid:7)
(cid:5)(cid:49)(cid:9)(cid:13)(cid:8)(cid:10)(cid:39)(cid:1)(cid:45)(cid:16)(cid:9)(cid:4)(cid:16)(cid:1)(cid:9)(cid:14)(cid:1)(cid:4)(cid:7)(cid:11)(cid:12)(cid:5)(cid:9)(cid:14)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:28)(cid:7)(cid:1)(cid:6)(cid:7)(cid:10)(cid:4)(cid:11)(cid:9)(cid:28)(cid:7)(cid:6)(cid:1)(cid:9)(cid:14)(cid:1)(cid:12)(cid:7)(cid:11)(cid:8)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:15)(cid:11)(cid:5)(cid:4)(cid:12)(cid:9)(cid:13)(cid:14)(cid:5)(cid:20)(cid:1)(cid:9)(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:20)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:13)(cid:11)(cid:6)(cid:7)(cid:11)(cid:10)(cid:1)(cid:9)(cid:14)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:11)(cid:13)(cid:6)(cid:29)(cid:4)(cid:12)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:14)(cid:29)(cid:8)(cid:28)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:7)(cid:20)(cid:6)(cid:10)(cid:37)
(cid:44)(cid:14)(cid:1)(cid:19)(cid:5)(cid:21)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:44)(cid:44)(cid:1)(cid:45)(cid:7)(cid:1)(cid:29)(cid:10)(cid:7)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:1)(cid:8)(cid:7)(cid:12)(cid:16)(cid:13)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:21)(cid:11)(cid:13)(cid:6)(cid:29)(cid:4)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:5)(cid:20)(cid:18)(cid:13)(cid:11)(cid:9)(cid:12)(cid:16)(cid:8)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:5)(cid:12)(cid:1)(cid:4)(cid:13)(cid:8)(cid:21)(cid:29)(cid:12)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:13)(cid:8)(cid:13)(cid:11)(cid:21)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:8)(cid:1)(cid:4)(cid:20)(cid:5)(cid:10)(cid:10)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:5)(cid:28)(cid:7)(cid:20)(cid:9)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:27)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:7)(cid:12)(cid:9)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:9)(cid:14)
(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:13)(cid:18)(cid:7)(cid:14)(cid:22)(cid:1)(cid:4)(cid:20)(cid:5)(cid:10)(cid:10)(cid:1)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:7)(cid:11)(cid:8)(cid:9)(cid:14)(cid:7)(cid:6)(cid:1)(cid:28)(cid:22)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:13)(cid:11)(cid:6)(cid:9)(cid:14)(cid:5)(cid:11)(cid:22)(cid:1)(cid:10)(cid:52)(cid:29)(cid:5)(cid:11)(cid:7)(cid:2)(cid:15)(cid:11)(cid:7)(cid:7)(cid:1)(cid:52)(cid:2)(cid:48)(cid:7)(cid:9)(cid:20)(cid:1)(cid:21)(cid:13)(cid:20)(cid:22)(cid:14)(cid:13)(cid:8)(cid:9)(cid:5)(cid:20)(cid:1)(cid:13)(cid:11)(cid:1)(cid:28)(cid:22)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:10)(cid:52)(cid:29)(cid:5)(cid:11)(cid:7)(cid:2)(cid:15)(cid:11)(cid:7)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:2)(cid:48)(cid:7)(cid:9)(cid:20)(cid:1)(cid:21)(cid:13)(cid:20)(cid:22)(cid:14)(cid:13)(cid:8)(cid:9)(cid:5)(cid:20)(cid:1)(cid:45)(cid:9)(cid:12)(cid:16)
(cid:14)(cid:13)(cid:1)(cid:11)(cid:7)(cid:5)(cid:20)(cid:1)(cid:11)(cid:13)(cid:13)(cid:12)(cid:10)(cid:1)(cid:54)(cid:45)(cid:16)(cid:7)(cid:11)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:1)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:13)(cid:12)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:21)(cid:11)(cid:9)(cid:8)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:52)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:21)(cid:13)(cid:45)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:21)(cid:11)(cid:9)(cid:8)(cid:7)(cid:55)(cid:37)(cid:1)(cid:44)(cid:14)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:13)(cid:11)(cid:6)(cid:9)(cid:14)(cid:5)(cid:11)(cid:22)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:1)(cid:45)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:20)(cid:10)(cid:13)(cid:1)(cid:21)(cid:11)(cid:13)(cid:6)(cid:29)(cid:4)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:5)(cid:20)(cid:18)(cid:13)(cid:11)(cid:9)(cid:12)(cid:16)(cid:8)
(cid:12)(cid:16)(cid:5)(cid:12)(cid:1)(cid:4)(cid:13)(cid:8)(cid:21)(cid:29)(cid:12)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:13)(cid:20)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:46)(cid:5)(cid:12)(cid:9)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:1)(cid:29)(cid:21)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:13)(cid:8)(cid:13)(cid:11)(cid:21)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:8)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:29)(cid:12)(cid:13)(cid:8)(cid:13)(cid:11)(cid:21)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:8)(cid:1)(cid:18)(cid:11)(cid:13)(cid:29)(cid:21)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:13)(cid:20)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:46)(cid:7)(cid:6)(cid:1)(cid:5)(cid:28)(cid:7)(cid:20)(cid:9)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:27)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:7)(cid:12)(cid:9)(cid:7)(cid:10)(cid:37)(cid:1)(cid:44)(cid:15)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)
(cid:21)(cid:13)(cid:20)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:46)(cid:5)(cid:12)(cid:9)(cid:13)(cid:14)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:1)(cid:21)(cid:11)(cid:9)(cid:14)(cid:4)(cid:9)(cid:21)(cid:5)(cid:20)(cid:39)(cid:1)(cid:45)(cid:7)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:4)(cid:13)(cid:8)(cid:21)(cid:29)(cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:21)(cid:7)(cid:11)(cid:9)(cid:13)(cid:6)(cid:1)(cid:8)(cid:5)(cid:12)(cid:11)(cid:9)(cid:49)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:14)(cid:13)(cid:14)(cid:9)(cid:4)(cid:5)(cid:20)(cid:1)(cid:20)(cid:9)(cid:15)(cid:12)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:28)(cid:7)(cid:20)(cid:9)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:27)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:7)(cid:12)(cid:22)(cid:37)
(cid:44)(cid:14)(cid:1)(cid:19)(cid:5)(cid:21)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:44)(cid:44)(cid:44)(cid:1)(cid:45)(cid:7)(cid:1)(cid:7)(cid:49)(cid:12)(cid:7)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:6)(cid:7)(cid:10)(cid:4)(cid:11)(cid:9)(cid:21)(cid:12)(cid:9)(cid:13)(cid:14)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:10)(cid:7)(cid:4)(cid:13)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:21)(cid:5)(cid:21)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:1)(cid:45)(cid:16)(cid:7)(cid:14)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:48)(cid:7)(cid:9)(cid:20)(cid:1)(cid:21)(cid:13)(cid:20)(cid:22)(cid:14)(cid:13)(cid:8)(cid:9)(cid:5)(cid:20)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:21)(cid:13)(cid:45)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:5)(cid:1)(cid:10)(cid:52)(cid:29)(cid:5)(cid:11)(cid:7)(cid:2)
(cid:15)(cid:11)(cid:7)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:13)(cid:20)(cid:22)(cid:14)(cid:13)(cid:8)(cid:9)(cid:5)(cid:20)(cid:1)(cid:45)(cid:16)(cid:9)(cid:4)(cid:16)(cid:1)(cid:15)(cid:29)(cid:20)(cid:15)(cid:9)(cid:20)(cid:20)(cid:10)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:10)(cid:5)(cid:8)(cid:7)(cid:1)(cid:11)(cid:7)(cid:52)(cid:29)(cid:9)(cid:11)(cid:7)(cid:8)(cid:7)(cid:14)(cid:12)(cid:10)(cid:1)(cid:5)(cid:10)(cid:1)(cid:9)(cid:14)(cid:1)(cid:19)(cid:5)(cid:21)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:44)(cid:44)(cid:37)
(cid:44)(cid:14)(cid:1)(cid:19)(cid:5)(cid:21)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:44)(cid:56)(cid:1)(cid:45)(cid:7)(cid:1)(cid:29)(cid:10)(cid:7)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:11)(cid:7)(cid:10)(cid:29)(cid:20)(cid:12)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:1)(cid:10)(cid:7)(cid:4)(cid:13)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:5)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:9)(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:21)(cid:5)(cid:21)(cid:7)(cid:11)(cid:10)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:10)(cid:12)(cid:29)(cid:6)(cid:22)(cid:1)(cid:52)(cid:29)(cid:7)(cid:10)(cid:12)(cid:9)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:1)(cid:11)(cid:7)(cid:20)(cid:5)(cid:12)(cid:7)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:28)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:2)(cid:15)(cid:9)(cid:7)(cid:20)(cid:6)(cid:1)(cid:7)(cid:49)(cid:12)(cid:7)(cid:14)(cid:10)(cid:9)(cid:13)(cid:14)(cid:1)(cid:13)(cid:15)(cid:1)(cid:12)(cid:16)(cid:7)
(cid:5)(cid:28)(cid:7)(cid:20)(cid:9)(cid:5)(cid:14)(cid:1)(cid:27)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:7)(cid:12)(cid:9)(cid:7)(cid:10)(cid:1)(cid:13)(cid:27)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:7)(cid:20)(cid:6)(cid:10)(cid:37)
(cid:25)(cid:14)(cid:26)(cid:27)(cid:4)(cid:17)(cid:20)(cid:18)(cid:28)(cid:1)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:3)(cid:8)(cid:1)(cid:9)(cid:3)(cid:10)(cid:7)(cid:5)(cid:11)(cid:7)(cid:5)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:14)(cid:7)(cid:8)(cid:7)(cid:11)(cid:5)(cid:1)(cid:14)(cid:7)(cid:5)(cid:6)(cid:15)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:16)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:3)(cid:11)(cid:10)(cid:7)(cid:19)(cid:5)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:7)(cid:15)(cid:5)(cid:3)(cid:6)(cid:1)(cid:19)(cid:6)(cid:3)(cid:12)(cid:12)(cid:5)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:17)(cid:10)(cid:15)(cid:5)(cid:10)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:8)(cid:20)(cid:18)(cid:4)(cid:5)(cid:10)(cid:1)(cid:14)(cid:7)(cid:5)(cid:6)(cid:15)(cid:12)(cid:13)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:11)(cid:5)(cid:21)(cid:10)(cid:3)(cid:6)(cid:1)(cid:18)(cid:3)(cid:11)(cid:10)(cid:7)(cid:19)(cid:5)(cid:12)(cid:22)
(cid:24)(cid:12)(cid:13)(cid:4)(cid:25)(cid:16)(cid:13)(cid:20)(cid:8)(cid:1)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31)
(cid:16)(cid:12)(cid:12)(cid:21)(cid:57)(cid:58)(cid:58)(cid:29)(cid:11)(cid:14)(cid:37)(cid:25)(cid:28)(cid:37)(cid:10)(cid:7)(cid:58)(cid:11)(cid:7)(cid:10)(cid:13)(cid:20)(cid:27)(cid:7)(cid:59)(cid:29)(cid:11)(cid:14)(cid:60)(cid:29)(cid:11)(cid:14)(cid:57)(cid:14)(cid:28)(cid:14)(cid:57)(cid:10)(cid:7)(cid:57)(cid:10)(cid:29)(cid:57)(cid:6)(cid:9)(cid:27)(cid:5)(cid:2)(cid:35)(cid:40)(cid:38)(cid:31)(cid:61)(cid:38)
(cid:44)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:1)(cid:64)(cid:61)(cid:31)(cid:2)(cid:64)(cid:35)(cid:2)(cid:61)(cid:61)(cid:64)(cid:61)(cid:2)(cid:33)(cid:61)(cid:38)(cid:2)(cid:61)
(cid:44)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:1)(cid:64)(cid:61)(cid:31)(cid:2)(cid:64)(cid:35)(cid:2)(cid:61)(cid:61)(cid:64)(cid:61)(cid:2)(cid:33)(cid:61)(cid:40)(cid:2)(cid:38)
(cid:29)(cid:14)(cid:6)(cid:12)(cid:17)(cid:8)(cid:5)(cid:14)(cid:10)(cid:8)(cid:1)(cid:4)(cid:19)(cid:1)(cid:22)(cid:12)(cid:8)(cid:30)(cid:14)(cid:5)(cid:12)(cid:8)(cid:9)(cid:24)(cid:18)
(cid:24)(cid:12)(cid:13)(cid:4)(cid:25)(cid:16)(cid:13)(cid:20)(cid:8)(cid:1)(cid:26)(cid:14)(cid:9)(cid:27)(cid:7)(cid:11)(cid:10)(cid:9)(cid:12)(cid:22)(cid:39)(cid:1)(cid:35)(cid:34)(cid:65)(cid:1)(cid:64)(cid:35)(cid:1)(cid:24)(cid:12)(cid:13)(cid:4)(cid:25)(cid:16)(cid:13)(cid:20)(cid:8)

COMPUTING ABELIAN VARIETIES
OVER FINITE FIELDS

Stefano Marseglia

Computing abelian varieties
over finite fields

Stefano Marseglia
©Stefano Marseglia, Stockholm University 2018

ISBN print 978-91-7797-274-7
ISBN PDF 978-91-7797-275-4

Printed in Sweden by Universitetsservice US-AB, Stockholm 2018
Distributor: Department of Mathematics, Stockholm University
Abstract
In this thesis we address the problem of developing effective algorithms to
compute isomorphism classes of polarized abelian varieties over a finite field
andoffractionalidealsofanorderinafiniteproductofnumberfields.
Therearewell-knownmethodstoefficientlycomputetheclassesofinvert-
ible ideals of an order in a number field, but not much has previously been
known about non-invertible ideals. In Paper I we produce algorithms to com-
puterepresentativesofallidealclassesofanorderinafiniteproductofnumber
fields. We also extend a theorem of Latimer and MacDuffee about conjugacy
classesofintegralmatrices.
There are equivalences established by Deligne and Centeleghe-Stix be-
tween the category of abelian varieties over a finite field and the category of
finitely generated free abelian groups with an endomorphism satisfying some
easy-to-stateaxioms,whichincertaincasescanbedescribedintermsoffrac-
tional ideals of orders in finite products of number fields. In Paper II we use
this method to produce an algorithm that computes the isomorphism classes
ofabelianvarietiesinanisogenyclassdeterminedbyanordinarysquare-free
q-Weil polynomial or by a square-free p-Weil polynomial with no real roots
(where pdenotesaprimeandqisapowerofaprime). Intheordinarycasewe
also produce an algorithm that computes the polarizations up to isomorphism
and the automorphism groups of the polarized abelian varieties. If the polar-
izationisprincipal,wecancomputeaperiodmatrixofthecanonicalliftofthe
abelianvariety.
InPaperIIIweextendthedescriptionofthesecondpapertothecasewhen
the Weil polynomial is a power of a square-free polynomial which fulfills the
samerequirementsasinPaperII.
InPaperIVweusetheresultsofthesecondandthirdpaperstostudyques-
tionsrelatedtobase-fieldextensionoftheabelianvarietiesoverfinitefields.

Sammanfattning
I denna avhandling försöker vi utveckla en effektiv algoritm för att beräkna
isomorfiklasseravpolariseradeabelskavarieteteröverenändligkroppochav
fraktionsidealtillentalringienändligproduktavtalkroppar.
Det finns väletablerade metoder för att effektivt beräkna klasserna av in-
verterbara ideal till en talring i en talkropp, men inte så mycket har tidigare
varit känt när det gäller fallet med icke-inverterbara ideal. I Artikel I skapar
vialgoritmerförattberäknarepresentantertillallaidealklassertillentalringi
enändligproduktavtalkroppar.VigeneraliserarocksåensatsavLatimeroch
MacDuffeeomkonjugatklasseravmatrisermedheltalskoefficienter.
DetfinnsekvivalensersomskapatsavDeligneochCenteleghe-Stixmellan
kategorinavabelskavarieteteröverettändligkroppochkategorinavändligt-
genereradefriaabelskagruppermedenendomorfisomuppfyllerettantallätt-
formuleradeaxiomsomivissafallkanbeskrivasitermeravfraktionsidealtill
talringariändligaprodukteravtalkroppar.IArtikelIIanvändervidennametod
förattskapaenalgoritmsomberäknarisomorfiklassernaavabelskavarieteter
i en isogeniklass bestämd av ett ordinärt kvadratfritt q-Weilpolynom eller be-
stämdavettkvadratfritt p-Weilpolynomutanreellarötter(där pärettprimtal
ochqärenprimtalspotens).Idetordinärafalletsåskaparviocksåenalgoritm
somberäknarpolariseringarupptillisomorfiochävenautomorfigruppentillde
polariseradeabelskavarieteterna.Omdetärfrågaomenhuvudpolariseringså
beräknarviocksåenperiodmatristilldenkanoniskalyftningenavdenabelska
varieteten.
I Artikel III utvidgar vi beskrivningen från Artikel II till fallet när Weil-
polynomet är en potens av ett kvadratfritt polynom (och där det kvadratfria
polynometharsammarestriktionersomiArtikelII).
I Artikel IV använder vi resultaten från Artikel II och III för att studera
frågorombaskroppsutvidningaravabelskavarieteteröverändligakroppar.