Table Of ContentComputeralgebra
Skript zur Vorlesung von Prof. Dr. B. H. Matzat
Sommersemester 2008 Heidelberg
Ausarbeitung: Felipe Garcia Lopez und Florian Mirus
Universität Heidelberg
Einleitung
Dieses Skriptum enthält die Ausarbeitung meiner Vorlesung Computeralgebra,
die ich in den vergangenen 20 Jahren mehrfach in Heidelberg gehalten habe, in der
letzten Version vom Sommersemester 2008.
Der erste Teil ist mit Schnelle Algorithmen überschrieben. Hier werden schnel-
le Algorithmen mit Einschluß von Komplexitätsanalysen für die Grundrechenarten
Addition, Multiplikation, Division und Euklidischen Algorithmus behandelt. Diese
basieren unter anderem auf diskreter Fouriertransformation, dem Algorithmus von
Schönhage und Strassen, dem Einsatz von Subresultanten und der modularen Me-
thode, d.h. Rechnen in Restklassenringen. Als Anwendung wird unter anderem das
Rechnen mit algebraischen Zahlen vorgeführt. Im letzten Paragraphen dieses Kapi-
tels wird der LLL-Algorithmus zur Gitterbasisreduktion behandelt und eingesetzt,
um einen polynomialen Algorithmus für die Berechnung des Minimalpolynoms einer
algebraischen Zahl zu erhalten.
Das zweite Kapitel über Primzerlegung beginnt mit Primzahltests für natürliche
Primzahlen, wozu insbesondere der probabilistisch polynomiale Primzahltest von
Miller-Rabin und der neue polynomiale Primzahltest von Agrawal-Kayal-Saxena
gehören. Im zweiten Teil werden Primzerlegungsalgorithmen behandelt, vor allem
Quadratdifferenzenverfahren bis hin zum Quadratischen Sieb mit subexponentieller
Laufzeit. Im dritten Teil des Kapitels werden schließlich Algorithmen zur Primzerle-
gung in Polynomringen studiert. Höhepunkt ist hier der mit dem LLL-Algorithmus
auf polynomiale Laufzeit beschleunigte Zassenhaus-Algorithmus zur Primzerlegung
ganzzahliger Polynome. Im letzten Paragraphen wird dann noch kurz auf die Prim-
zerlegung multivariater Polynome eingegangen.
Im dritten und letzten Kapitel werden Algebraische Gleichungssysteme behan-
delt. Hier ist das zentrale Thema der Buchberger-Algorithmus in diversen Varianten
überKörpern,EuklidischenRingen,etc.Diesewerdenunteranderemeingesetztzum
Lösen algebraischer Gleichungssysteme und für die rechnerische Durchführung ele-
mentarer Idealoperationen in Polynomringen über Körpern. Im letzten Paragraphen
wird schließlich eine Verallgemeinerung des Buchberger-Algorithmus dazu benutzt
zu zeigen, wie Aufgaben der linearen Algebra und der Idealtheorie in allgemeinen
Noetherschen Ringen algorithmisch gelöst werden können. Weiterführende Themen
der algorithmischen Idealtheorie wie Radikalberechnung, Primärzerlegung und Nor-
malisierung wurden üblicherweise in einer anschließenden Vorlesung oder einem an-
schließenden Seminar behandelt.
2
Zum Schluß möchte ich mich noch bei F. Garcia Lopez und F. Mirus für die sorg-
fältige Ausarbeitung des Skriptums bedanken. Trotzdem ist es nicht auszuschließen,
dass sich hier und da noch eine kleine Ungenauigkeit oder ein Fehler eingeschlichen
hat. Für entsprechende Hinweise bzw. Korrekturvorschläge wären wir sehr dankbar.
B.H.Matzat Heidelberg,den30.11.2010
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
Inhaltverzeichnis 3
I Schnelle Algorithmen 7
1 Elementare Grundoperationen 9
1.1 Gewöhnliche Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Die gewöhnliche Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Die Karatsuba-Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Diskrete Fouriertransformation 19
2.1 Diskrete Fourier-Transformierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Die inverse diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Schnelle Polynommultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Schnelle Polynomdivision mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Schnelle Multiplikation und Division mit Rest ganzer Zahlen 29
3.1 Modulare diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Schnelle Multiplikation ganzer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Schnelle Division mit Rest ganzer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Schnelles Potenzieren natürlicher Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Der Euklidische Algorithmus 37
4.1 Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Komplexität des Euklidischen Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Der schnelle Euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Rechnen mit rationalen Zahlen und Funktionen . . . . . . . . . . . . 44
5 Resultanten 45
5.1 Sylvestermatrix und Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Produktformel für die Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 INHALTSVERZEICHNIS
5.3 Die Diskriminante eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Eliminationsverfahren für nichtlineare
Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 Subresultanten 55
6.1 Polynomrestfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2 Subresultanten und Bézoutkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3 Koeffizientenwachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4 Der Euklidische Algorithmus in Z[T] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7 Die modulare Methode 65
7.1 Der Hauptsatz über simultane Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Polynomwertberechnung und Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3 Modulares Rechnen mit ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8 Der modulare Euklidische Algorithmus 73
8.1 Geeignete Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.2 Koeffizientenschranken für Teilerpolynome . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.3 Der modulare ggT-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9 Rechnen mit algebraischen Zahlen 81
9.1 Zahlkörper und endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.2 Rechnen im Körper aller algebraischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . 83
9.3 Wurzeltrennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.4 Sturmsche Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10 Gitterbasisreduktion 91
10.1 Reduzierte Gitterbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.2 Konstruktion einer reduzierten Gitterbasis . . . . . . . . . . . . . . . 94
10.3 Konstruktion des Minimalpolynoms einer algebraischen Zahl . . . . . 96
II Primzerlegung 103
11 Primzahlen 105
11.1 Erzeugung von Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.2 Pollard’s ρ-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.3 Der Algorithmus von Pollard und Strassen . . . . . . . . . . . . . . . 112
12 Die Sätze von Fermat und Euler 115
12.1 Restklassenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.2 Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
12.3 Das Eulersche Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
INHALTSVERZEICHNIS 5
13 Der Primzahltest von Miller-Rabin 125
13.1 Strenge Pseudoprimzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.2 Der Satz von Rabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13.3 Bemerkungen zur Erweiterten Riemannschen Vermutung . . . . . . . 131
14 Der AKS-Primzahltest 135
14.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
14.2 p-ähnliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14.3 Der AKS-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
15 Quadratdifferenzenverfahren 145
15.1 Die Quadratdifferenzenmethode von Fermat . . . . . . . . . . . . . . 145
15.2 Exkurs über Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
15.3 Das Primzerlegungsverfahren von Lehman . . . . . . . . . . . . . . . 149
15.4 Das Kettenbruch-Faktorisierungsverfahren von Lehmer . . . . . . . . 151
16 Der Algorithmus von Dixon 153
16.1 Faktorenbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
16.2 Einige relative Häufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
16.3 Der Satz von Dixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
17 Das Quadratische Sieb 161
17.1 Das einfache Quadratische Sieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
17.2 Laufzeitabschätzung für das Quadratische Sieb . . . . . . . . . . . . . 162
17.3 Das verteilte Quadratische Sieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
17.4 Schnelles Lösen quadratischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 165
18 Primpolynomzerlegung über endlichen Körpern 169
18.1 Teilfaktorisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
18.2 Der Berlekamp-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
18.3 Eine Variante für große q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
18.4 Nullstellenberechung über endlichen Körpern . . . . . . . . . . . . . . 178
19 Die Hensel’sche Methode 181
19.1 Das Hensel’sche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
19.2 Primzerlegung in Z [T] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
p
19.3 Primzerlegung in Z[T] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
20 Faktorisierung multivariater Polynome 191
20.1 Das Homomorphieprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
20.2 Das mehrdimensionale Hensel’sche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . 192
20.3 Die rekursive Methode von Wang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6 Inhalt
III Algebraische Gleichungssysteme 197
21 Gröbner-Basen 199
21.1 Monomordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
21.2 Charakterisierung von Gröbner-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
21.3 Existenz von Gröbner-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
21.4 Reduzierte Gröbner-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
22 Der Buchberger-Algorithmus 209
22.1 Differenzenpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
22.2 Konstruktion einer Gröbner-Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
22.3 Syzygien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
22.4 Der erweiterte Buchberger-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
23 Eliminationstheorie 219
23.1 Eliminationsideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
23.2 Der Ergänzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
23.3 Ideale der Dimension Null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
24 Elementare Idealoperationen 225
24.1 Durchschnitt von Idealen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
24.2 Quotient von Idealen und Radikalzugehörigkeit . . . . . . . . . . . . 226
24.3 Teilringzugehörigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
24.4 Simultane Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
25 Gröbner-Basen und Lineare Algebra in Noetherschen Ringen 233
25.1 Allgemeine Gröbner-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
25.2 Der allgemeine Buchberger-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 235
25.3 Ringe mit konstruktiver linearer Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Literaturverzeichnis 240
Teil I
Schnelle Algorithmen
