Ceros y polos. Ahora supongamos que p(z)

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Ceros y polos.
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Ahora supongamos que y son
p(z) q(z)
funciones analíticas y:
, y
entonces es un polo simple y la razón
tiene como residuo
p(z)/q(z)
Teoría de los residuos
Resumen (método básico para encontrar los
polos y residuos):
Supongamos que tenemos la serie de Laurent
Notamos que es un polo de orden
k. 
Además,
Teoría de los residuos
Entonces si multiplicamos por
f(z)
tenemos que
Teoría de los residuos
Ahora, supongamos que sabemos el orden
k
del polo (por ejemplo usando el método
anterior). Entonces considerando la función
tenemos que
De aquí que derivando k-1 veces:
Teoría de los residuos
O bien, sustituyendo , tenemos
g(z)
Cuando es un polo simple, el resultado anterior se
reduce a:
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
La teoría de residuos tiene muchas
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aplicaciones en matemáticas aplicadas y física
Por ejemplo, está teoría es muy útil para
calculo de varios tipos de integrales reales. Por
mencionar dos ejemplos:
integrales de la forma:
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e integrales impropias
●
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Integrales impropias
●
En Cálculo la integral impropia de una función
continua se define como
Cuando los límites existen se dice que la integral

converge
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
O bien,
y cuando los límites existen se dice que la
integral converge.
Comentario: los límites pueden existir, pero la
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integral impropia no.
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Con este motivo se introduce el valor principal de
Cauchy o simplemente, valor principal (VP):
siempre que los límites existen.
Comentarios:
●
- La existencia del valor principal no asegura que la
integral impropia sea convergente
- Si la integral impropia existe, ésta es igual al valor

principal
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
El procedimiento utilizado en el ejemplo anterior
puede aplicarse a una clase general de
integrandos, pues éste depende de dos
condiciones:
f(z) sea analítica en el eje real y encima de él,
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excepto por un número finito de singularidades
aisladas (en la parte superior del plano complejo).
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