Center and Composition conditions for Abel Equation

88 Pages·2009·0.77 MB·English

Center and Composition conditions for Abel
Equation
Thesis for the degree of Doctor of Philosophy
by
Michael Blinov
Under the Supervision of professor
Yosef Yomdin
Department of Theoretical Mathematics
The Weizmann Institute of Science
Submitted to the Feinberg Graduate School of
the Weizmann Institute of Science
Rehovot (cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:4) Israel
June (cid:2)(cid:5)(cid:4) (cid:6)(cid:3)(cid:3)(cid:6)
Acknowledgments
I would like to thank my advisor(cid:4) Professor Yosef Yomdin(cid:4) for his great
supervision(cid:4) constant support and encouragement(cid:4) for guiding and stimulat(cid:7)
ing my mathematical work(cid:8) I should also mention that my trips to scien(cid:7)
ti(cid:9)c meetings were supported from Y(cid:8) Yomdin(cid:10)s Minerva Science Foundation
grant(cid:8)
I am grateful to J(cid:8)(cid:7)P(cid:8) Francoise(cid:4) F(cid:8) Pakovich(cid:4) E(cid:8) Shulman(cid:4) S(cid:8) Yakovenko
and V(cid:8) Katsnelson for interesting discussions(cid:8)
I thank Carla Scapinello (cid:11)Uruguay(cid:12)(cid:4) Jonatan Gutman (cid:11)Israel(cid:12)(cid:4) Michael
Kiermaier(cid:11)Germany(cid:12)andOlegLavrovsky(cid:11)Canada(cid:12)fortheirresultsobtained
during summer projects that I supervised(cid:8)
I amalso gratefulto my mother forher patience(cid:4) support and love(cid:8) I wish
tothank my mathematicalteacher V(cid:8) Sapozhnikov(cid:4) who gave the initialpush
to my mathematical research(cid:8)
Finally(cid:4) I wish to thank the following for their friendship (cid:11)and in some
cases(cid:4) love(cid:12)(cid:13) Lili(cid:4) Eugene(cid:4) Bom(cid:4) Elad(cid:4) Younghee(cid:4) Ira(cid:4) Rimma(cid:4) Yulia(cid:4) Felix(cid:4)
Eduard(cid:4) Lena(cid:4) Dima(cid:4) Oksana(cid:4) Olga(cid:4) Alex and many more(cid:8)
(cid:2)
Abstract
(cid:0)
We consider the real vector (cid:9)eld (cid:11)f(cid:11)x(cid:0)y(cid:12)(cid:0)g(cid:11)x(cid:0)y(cid:12)(cid:12) on the real plane IR (cid:8)
This vector (cid:9)eld describes the dynamical system
x(cid:14) (cid:15) f(cid:11)x(cid:0)y(cid:12)
(cid:1)
y(cid:14) (cid:15) g(cid:11)x(cid:0)y(cid:12)
(cid:0)
A classicalCenter(cid:7)Focus problem(cid:4) which was stated by H(cid:8) Poincare in(cid:2)(cid:16)(cid:16)(cid:3)(cid:10)s(cid:4)
is(cid:13) (cid:9)nd conditions on f(cid:4) g(cid:4) under which all trajectories of this dynamical sys(cid:7)
tem are closed curves around some point(cid:8) This situation is called a center(cid:8)
In some cases this problem is reduced to the problem of (cid:9)nding conditions
for solutions of Abel di(cid:17)erential equation
(cid:0) (cid:0) (cid:1)
(cid:2) (cid:15) p(cid:11)(cid:3)(cid:12)(cid:2) (cid:18)q(cid:11)(cid:3)(cid:12)(cid:2)
to be periodic on the interval (cid:19)(cid:3)(cid:0)(cid:6)(cid:4)(cid:20)(cid:8)
In the thesis various special cases of the Center(cid:7)Focus problem for Abel
Equation are investigated(cid:4) through their relation to Composition algebra of
polynomialsandrationalfunctions(cid:4)toGeneralizedMomentsandtoAlgebraic
Geometry of Plane Curves(cid:8)
(cid:6)
Contents
(cid:0) Introduction (cid:1)
(cid:2) Center and Composition Conditions for vector (cid:3)elds on the
plane (cid:4)
(cid:6)(cid:8)(cid:2) Introduction (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:21)
(cid:6)(cid:8)(cid:6) Cherkas transform (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:2)(cid:2)
(cid:6)(cid:8)(cid:5) General transform from a plane vector (cid:9)eld to a (cid:9)rst order
non(cid:7)autonomous di(cid:17)erential equation (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:2)(cid:6)
(cid:6)(cid:8)(cid:22) Composition conditions for Symmetric and Hamiltonian com(cid:7)
ponents in general case (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:2)(cid:5)
(cid:6)(cid:8)(cid:22)(cid:8)(cid:2) Hamiltonian system (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:2)(cid:5)
(cid:6)(cid:8)(cid:22)(cid:8)(cid:6) Symmetric component (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:2)(cid:22)
(cid:6)(cid:8)(cid:23) Composition and center conditions for quadratic planar systems (cid:2)(cid:23)
(cid:6)(cid:8)(cid:23)(cid:8)(cid:2) The composition condition for the Hamiltonian com(cid:7)
ponent (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:2)(cid:1)
(cid:6)(cid:8)(cid:23)(cid:8)(cid:6) Composition condition for the symmetric component (cid:8) (cid:2)(cid:0)
(cid:6)(cid:8)(cid:23)(cid:8)(cid:5) Non(cid:7)composition components for quadratic systems (cid:8) (cid:8) (cid:2)(cid:16)
(cid:6)(cid:8)(cid:1) Cubic polynomial vector (cid:9)elds (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:2)(cid:21)
(cid:6)(cid:8)(cid:1)(cid:8)(cid:2) Composition conditions for the Hamiltonian compo(cid:7)
H
nent (cid:11)C(cid:2) (cid:12) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:6)(cid:3)
(cid:6)(cid:8)(cid:1)(cid:8)(cid:6) Composition condition for the component (cid:11)C(cid:3)(cid:12) does
not hold (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:6)(cid:2)
(cid:6)(cid:8)(cid:1)(cid:8)(cid:5) Composition conditions for the Symmetric component
R
(cid:11)C(cid:2) (cid:12) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:6)(cid:6)
(cid:5) Poincare return map for Abel di(cid:6)erential equation and com(cid:7)
putations of center conditions (cid:2)(cid:8)
(cid:5)
(cid:5)(cid:8)(cid:2) Introduction (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:6)(cid:23)
(cid:5)(cid:8)(cid:6) Poincare return map for Abel equation and recurrence relations (cid:6)(cid:1)
(cid:5)(cid:8)(cid:5) Generators of ideals Ik (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:6)(cid:16)
(cid:9) Center and CompositionConditionsforAbeldi(cid:6)erentialequa(cid:7)
tions with p(cid:10) q (cid:11) trigonometric polynomials of small degrees (cid:5)(cid:0)
(cid:22)(cid:8)(cid:2) Introduction (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:5)(cid:2)
(cid:22)(cid:8)(cid:6) Computational approach (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:5)(cid:6)
(cid:22)(cid:8)(cid:5) Center conditions for p(cid:4) q of small degrees (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:5)(cid:22)
(cid:22)(cid:8)(cid:5)(cid:8)(cid:2) Center conditions for the case when either p or q is of
the degree zero (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:5)(cid:22)
(cid:22)(cid:8)(cid:5)(cid:8)(cid:6) Centerconditionsforthecasedegp(cid:11)(cid:5)(cid:12) (cid:15) (cid:2)(cid:4)degq(cid:11)(cid:5)(cid:12) (cid:15)
(cid:2)(cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:5)(cid:23)
(cid:22)(cid:8)(cid:5)(cid:8)(cid:5) Centerconditionsforthecasedegp(cid:11)(cid:5)(cid:12) (cid:15) (cid:2)(cid:4)degq(cid:11)(cid:5)(cid:12) (cid:15)
(cid:6)(cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:5)(cid:23)
(cid:22)(cid:8)(cid:5)(cid:8)(cid:22) Centerconditionsforthecasedegp(cid:11)(cid:5)(cid:12) (cid:15) (cid:6)(cid:4)degq(cid:11)(cid:5)(cid:12) (cid:15)
(cid:2) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:5)(cid:16)
(cid:22)(cid:8)(cid:5)(cid:8)(cid:23) Centerconditionsforthecasedegp(cid:11)(cid:5)(cid:12) (cid:15) (cid:6)(cid:4)degq(cid:11)(cid:5)(cid:12) (cid:15)
(cid:6)(cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:22)(cid:3)
(cid:8) Center and CompositionConditionsforAbeldi(cid:6)erentialequa(cid:7)
tions with p(cid:10) q (cid:11) algebraic polynomials of small degrees (cid:9)(cid:9)
(cid:23)(cid:8)(cid:2) Introduction (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:22)(cid:22)
(cid:23)(cid:8)(cid:6) Composition conjecture for multiple zeroes and its status for
small degrees of p and q (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:22)(cid:23)
(cid:23)(cid:8)(cid:5) Description of a center set for p(cid:4) q of small degrees(cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:22)(cid:16)
(cid:23)(cid:8)(cid:22) Composition conjecture for some special families of polynomials (cid:23)(cid:5)
(cid:1) Riemann Surface approach to the Center problem for Abel
equation (cid:8)(cid:1)
(cid:1)(cid:8)(cid:2) Introduction (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:23)(cid:1)
(cid:1)(cid:8)(cid:6) Abel equation on Riemann Surfaces (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:23)(cid:1)
(cid:1)(cid:8)(cid:6)(cid:8)(cid:2) Example(cid:13) Polynomial Composition Conjecture in the
case X (cid:15) C(cid:4) P and Q (cid:24) polynomials in x (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:23)(cid:21)
(cid:1)(cid:8)(cid:6)(cid:8)(cid:6) Example(cid:13) Laurent Composition Condition in the case
(cid:4)
X (cid:24)aneighborhoodoftheunitcircleS (cid:15) x (cid:15) (cid:2)
fj j g (cid:0)
C(cid:4) P and Q (cid:24) Laurent series(cid:4) convergent on X (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:1)(cid:3)
(cid:22)
(cid:1)(cid:8)(cid:5) Poincare mapping (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:1)(cid:2)
(cid:12) Factorization (cid:13)composition(cid:14) for the case X C(cid:10) P and Q (cid:11)
(cid:0)
rational functions (cid:1)(cid:8)
(cid:0)(cid:8)(cid:2) Introduction (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:1)(cid:23)
(cid:0)(cid:8)(cid:6) Composition and rational curves (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:1)(cid:23)
(cid:0)(cid:8)(cid:5) Structure of composition in the case X (cid:15) C(cid:4) P and Q (cid:24) poly(cid:7)
nomials (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:1)(cid:21)
(cid:0)(cid:8)(cid:22) Structure of composition in the case X (cid:24) a neighborhood of
the unit circle on C(cid:4) P and Q (cid:24) Laurent polynomials (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:0)(cid:3)
(cid:4)
(cid:15) Moments of P(cid:10) Q on S and Center Conditions for Abel equa(cid:7)
tion with rational p(cid:10) q (cid:12)(cid:2)
(cid:16)(cid:8)(cid:2) Introduction (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:0)(cid:6)
(cid:16)(cid:8)(cid:6) Su(cid:25)cient center condition for Abel equation with analytic p(cid:4) q (cid:0)(cid:6)
(cid:16)(cid:8)(cid:5) The degree of a rational mapping and an image of a circle on
a rational curve (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:0)(cid:22)
(cid:16)(cid:8)(cid:22) Center conditions for the case of P(cid:4) Q (cid:24) Laurent polynomials (cid:8) (cid:0)(cid:1)
(cid:4) Generalized Moments and Center Conditions for Abel dif(cid:7)
ferential equation with elliptic p(cid:10) q (cid:12)(cid:4)
(cid:21)(cid:8)(cid:2) Introduction (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:0)(cid:21)
(cid:21)(cid:8)(cid:6) Generalized Moments on Elliptic Curves (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:16)(cid:3)
(cid:21)(cid:8)(cid:5) Abel equation with coe(cid:25)cients(cid:24)elliptic functions (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:16)(cid:5)
(cid:23)
Chapter (cid:0)
Introduction
Let F(cid:11)x(cid:0)y(cid:12)(cid:4) G(cid:11)x(cid:0)y(cid:12) be algebraic polynomials in x(cid:4) y without free and linear
terms(cid:8) Consider the system of di(cid:17)erential equations
x(cid:14) (cid:15) y (cid:18)F(cid:11)x(cid:0)y(cid:12)
(cid:1) (cid:11)(cid:2)(cid:8)(cid:2)(cid:12)
y(cid:14) (cid:15) x(cid:18)G(cid:11)x(cid:0)y(cid:12)
(cid:0)
One can reduce the system (cid:11)(cid:2)(cid:8)(cid:2)(cid:12)with homogeneous F(cid:4) G ofdegree dto Abel
di(cid:6)erential equation
(cid:0) (cid:0) (cid:1)
(cid:2) (cid:15) p(cid:11)(cid:3)(cid:12)(cid:2) (cid:18)q(cid:11)(cid:3)(cid:12)(cid:2) (cid:11)(cid:2)(cid:8)(cid:6)(cid:12)
where p(cid:11)(cid:3)(cid:12)(cid:4) q(cid:11)(cid:3)(cid:12) are polynomials in sin(cid:3)(cid:4) cos(cid:3) of degrees depending only on
d(cid:8) Then (cid:11)(cid:2)(cid:8)(cid:2)(cid:12) has a center if and only if (cid:11)(cid:2)(cid:8)(cid:6)(cid:12) has all the solutions periodic
on (cid:19)(cid:3)(cid:0)(cid:6)(cid:4)(cid:20)(cid:4) i(cid:8)e(cid:8) solutions (cid:2) (cid:15) (cid:2)(cid:11)(cid:3)(cid:12) satisfying y(cid:11)(cid:3)(cid:12) (cid:15) y(cid:11)(cid:6)(cid:4)(cid:12)(cid:8)
The classical center problem as stated for (cid:11)(cid:2)(cid:8)(cid:6)(cid:12) is to (cid:9)nd conditions on p
and q such that (cid:11)(cid:2)(cid:8)(cid:6)(cid:12) has a center(cid:8) We shall call it Center Condition(cid:8)
The following simple su(cid:25)cient condition was introduced in (cid:19)AL(cid:20)(cid:8) Let
(cid:4)
w(cid:11)(cid:3)(cid:12) C (cid:19)(cid:3)(cid:0)(cid:6)(cid:4)(cid:20) be a function such that w(cid:11)(cid:3)(cid:12) (cid:15) w(cid:11)(cid:6)(cid:4)(cid:12)(cid:8) Let
(cid:2)
(cid:0)
p(cid:11)(cid:3)(cid:12) (cid:15) p(cid:26)(cid:11)w(cid:11)(cid:3)(cid:12)(cid:12)w(cid:11)(cid:3)(cid:12)
(cid:0) (cid:11)(cid:2)(cid:8)(cid:5)(cid:12)
q(cid:11)(cid:3)(cid:12) (cid:15) q(cid:26)(cid:11)w(cid:11)(cid:3)(cid:12)(cid:12)w(cid:11)(cid:3)(cid:12)(cid:1)
(cid:0)
Then all the solutions of (cid:11)(cid:2)(cid:8)(cid:6)(cid:12) have the form (cid:2)(cid:11)(cid:3)(cid:12) (cid:15) (cid:2)(cid:26)(cid:11)w(cid:11)(cid:3)(cid:12)(cid:12)(cid:4) hence they
satisfy the condition (cid:2)(cid:11)(cid:3)(cid:12) (cid:15) (cid:2)(cid:11)(cid:6)(cid:4)(cid:12)(cid:8)
We shall call the representation (cid:11)(cid:2)(cid:8)(cid:5)(cid:12) Composition Condition on p(cid:4) q(cid:8)
The composition condition is su(cid:16)cient(cid:4) but not necessary for the center(cid:8)
(cid:1)
The main subject of this research is the investigationof relations between
center and composition conditions(cid:8)
In the next chapter I introduce statement of center problem for vector
(cid:9)elds on the plane(cid:8) Reduction of the problem to the problem for Abel dif(cid:7)
ferential equation (cid:11)Cherkas transform(cid:12) is demonstrated and an attempt is
done to generalize it(cid:8) Center and composition conditions are investigated for
dynamical systems on the plane with F(cid:4) G (cid:24) homogeneous polynomials of
degrees (cid:6) and (cid:5)(cid:8) We show which center components can be represented as a
composition and which can not(cid:8)
In the third chapter I introduce Poincare return map for Abel di(cid:17)erential
equation(cid:8) Recurrence relations and corresponding ideals are studied and
generators for these ideals are found(cid:8)
In the fourth chapter of the thesis Abel di(cid:17)erential equation is studied
with p(cid:4) q (cid:24) trigonometric polynomials of small degrees (cid:11)up to (cid:6)(cid:12)(cid:8) It is shown
that in these cases center and composition conditions coincide(cid:4) although it is
known that for greater degrees of p(cid:4) q some center conditions are not given
by composition(cid:8)
In the (cid:9)fth chapter of the thesis center and composition conditions are
studied for Abel di(cid:17)erential equation with p(cid:4) q (cid:24) algebraic polynomials of
smalldegrees(cid:8) It was shown that these conditions coincide(cid:8) Some generaliza(cid:7)
tion of center problem are introduced(cid:8) We show also some special families of
polynomials(cid:4) for which equivalence of the center and the composition condi(cid:7)
tions can be easily shown(cid:8)
In the sixth chapter Riemann Surface approach to the Center problemfor
Abel equation is discussed(cid:8) This is a convenient general setting(cid:4) where Abel
Equation is considered on a given Riemann Surface(cid:8) The notions of center
and composition are generalized accordingly(cid:8)
In the seventh chapter we study composition for rational functions(cid:8) We
establishsome facts aboutstructure ofcompositionforalgebraicpolynomials
and Laurent polynomials(cid:8)
In the eighth chapter center problem is studied for Abel di(cid:17)erentialequa(cid:7)
tion with rational functions p(cid:4) q(cid:8) One can rewrite the di(cid:17)erential equation
i(cid:0)
(cid:11)(cid:2)(cid:8)(cid:6)(cid:12) in a complex form(cid:4) expressing sin(cid:3) and cos(cid:3) through z (cid:15) e (cid:4) i(cid:8)e(cid:8)
(cid:0)(cid:0)
z(cid:5)z
cos(cid:3) (cid:15) (cid:0)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)
z(cid:1)z
(cid:1)sin(cid:3) (cid:15) (cid:0)i (cid:0)
(cid:2)(cid:2) (cid:15) y(cid:0)
(cid:3)
(cid:0)
so one obtains p and q in the form of Laurent polynomials in z(cid:4) and Abel
di(cid:17)erential equation is
dy (cid:0) (cid:1)
(cid:15) p(cid:11)z(cid:12)y (cid:18)q(cid:11)z(cid:12)y
dz
(cid:4)
considered on the circle z(cid:11)(cid:19)(cid:3)(cid:0)(cid:6)(cid:4)(cid:20)(cid:12) (cid:15) S (cid:8) It is shown that certain integral con(cid:7)
ditionon P (cid:15) p and Q (cid:15) q (cid:11)namely vanishing of generalized moments
i j
jzj(cid:6)(cid:4)P Q dP (cid:15) (cid:3)(cid:12) implies center(cid:8)
R R
Finally(cid:4) in the last chapter of the thesis Riemann(cid:7)surface approach is
R
extended for the case of elliptic functions(cid:8) Speci(cid:9)cally(cid:4) for elliptic functions
i j
P(cid:4) Q it is shown that in general the condition jzj(cid:6)(cid:4)P Q dP (cid:15) (cid:3) does not
imply center(cid:8) The di(cid:17)erence between the Laurent polynomials and elliptic
R
functions P(cid:4) Q is shown to be in the topology of the complex curve Y (cid:15)
(cid:11)P(cid:11)z(cid:12)(cid:0)Q(cid:11)z(cid:12)(cid:12) (cid:13) z C C(cid:0)(cid:12)(cid:8) In the (cid:9)rst case this curve is rational(cid:4) and in
f (cid:2) g (cid:0)
the second case it is topologically a torus(cid:8) The one(cid:7)dimensional homology of
the torus is responsible for rami(cid:9)cation of the solutions of the Abel equation(cid:4)
i j
in spite of vanishing of all the moments jzj(cid:6)(cid:4)P Q dP(cid:8)
R
(cid:16)
Chapter (cid:1)
Center and Composition
Conditions for vector (cid:2)elds on
the plane
(cid:0)(cid:1)(cid:2) Introduction
The following formulation of the center problem (cid:11)see e(cid:8)g(cid:8) (cid:19)Sch(cid:20) for a general
discussion of the classical center problem(cid:12) is considered(cid:13) Let F(cid:11)x(cid:0)y(cid:12)(cid:4) G(cid:11)x(cid:0)y(cid:12)
be algebraic homogeneous polynomials in x(cid:4) y of degree d(cid:8) Consider the
system of di(cid:17)erential equations
x(cid:14) (cid:15) y (cid:18)F(cid:11)x(cid:0)y(cid:12)
(cid:1) (cid:11)(cid:6)(cid:8)(cid:2)(cid:12)
y(cid:14) (cid:15) x(cid:18)G(cid:11)x(cid:0)y(cid:12)
(cid:0)
A solution x(cid:11)t(cid:12)(cid:4) y(cid:11)t(cid:12) of (cid:11)(cid:6)(cid:8)(cid:2)(cid:12) is said to be closed if it is de(cid:9)ned in the
interval (cid:19)(cid:3)(cid:0)t(cid:7)(cid:20) and x(cid:11)(cid:3)(cid:12) (cid:15) x(cid:11)t(cid:7)(cid:12)(cid:4) y(cid:11)(cid:3)(cid:12) (cid:15) y(cid:11)t(cid:7)(cid:12)(cid:8) The system (cid:11)(cid:6)(cid:8)(cid:2)(cid:12) is said to
have a center at (cid:3) if all the solutions around zero are closed(cid:8) Then the
general problem is(cid:13) under what conditions on F(cid:0)G the system (cid:11)(cid:6)(cid:8)(cid:2)(cid:12) has a
center at zero(cid:27)
It was shown in (cid:19)Ch(cid:20) that one can reduce the system (cid:11)(cid:6)(cid:8)(cid:2)(cid:12) with homoge(cid:7)
neous F(cid:4) G of degree d to Abel equation
(cid:0) (cid:0) (cid:1)
(cid:2) (cid:15) p(cid:11)(cid:5)(cid:12)(cid:2) (cid:18)q(cid:11)(cid:5)(cid:12)(cid:2) (cid:11)(cid:6)(cid:8)(cid:6)(cid:12)
where p(cid:11)(cid:5)(cid:12)(cid:4) q(cid:11)(cid:5)(cid:12) are polynomials in sin(cid:5)(cid:4) cos(cid:5) of degrees d(cid:18)(cid:2) and (cid:6)d(cid:18)(cid:6)
(cid:21)