Beiträge zur Optimalen Steuerung partiell-di erential algebraischer Gleichungen

219 Pages·2012·19.92 MB·German

by  Armin Rund

Beitr(cid:228)ge zur Optimalen Steuerung
partiell-di(cid:27)erential algebraischer Gleichungen
Von der Universit(cid:228)t Bayreuth
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat)
genehmigte Abhandlung
vorgelegt von
Armin Rund
geboren am 24. Juni 1980 in Bayreuth
1. Gutachter: Prof. Dr. Hans Josef Pesch
Universit(cid:228)t Bayreuth
2. Gutachter: Prof. Dr. Roland Herzog
Technische Universit(cid:228)t Chemnitz
3. Gutachter: Prof. Dr. Christian Meyer
Technische Universit(cid:228)t Dortmund
Tag der Einreichung: 21. Oktober 2011
Tag des Kolloquiums: 3. Februar 2012

Inhaltsverzeichnis
Kurzfassung vi
Abstract viii
Vorwort x
Einf(cid:252)hrung 1
1 OC-ODE mit Zustandsbeschr(cid:228)nkungen 3
1.1 Notwendige Bedingungen aus dem Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Notwendige Bedingungen nach dem JLS-Ansatz . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Ordnung einer Zustandsbeschr(cid:228)nkung und der BDD-Ansatz . . . . 7
1.2 Notwendige Bedingungen aus dem Lagrange-Formalismus . . . . . . . . . 10
1.2.1 Bedingung zur freien Endzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Analyse des Multiplikators µ(t) der Zustandsbeschr(cid:228)nkung . . . . . 12
1.2.3 Notwendige Bedingungen des aufgeteilten Problems analog zu BDD 13
1.3 Numerische Umsetzung (cid:252)ber ein Mehrpunkt-RWP . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Die Eliminationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Numerische Umsetzung der verschiedenen indirekten Verfahren . . 17
1.3.3 Direkte Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 BDD-Ans(cid:228)tze bei elliptischen OC-PDE 19
2.1 Problemstellung und notwendige Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Neue notwendige Bedingungen nach dem BDD-Ansatz . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Der Bryson-Denham-Dreyfus-Ansatz bei OC-PDE . . . . . . . . . 24
2.2.2 Die Lagrange-Technik am aufgeteilten System . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Vergleich der notwendigen Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Das Mengen-Optimalsteuerungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Ordnung von Zustandsbeschr(cid:228)nkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Eliminationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Ordnung von Zustandsbeschr(cid:228)nkungen bei OC-PDE . . . . . . . . 30
2.4.3 Herleitung von Ma(cid:255)-Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Das Rocketcar 35
3.1 Einf(cid:252)hrung zu parabolischen OC-PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Das Modell und seine verschiedenen Formulierungen . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Inhalt der einbezogenen Ver(cid:246)(cid:27)entlichungen . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Theoretische Behandlung der Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ii
INHALTSVERZEICHNIS iii
3.4 Theoretische Behandlung als OC-PDAE Problem . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Notwendige Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 Analyse von Randst(cid:252)cken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.3 Analyse von Ber(cid:252)hrpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.4 H(cid:246)here Regularit(cid:228)t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Direkte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.1 (cid:220)bersicht direkter Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.2 Direkte Verfahren f(cid:252)r das Rocketcar-Problem . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Indirekte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.1 Transformation auf ein Mehrpunkt-Anfangsrandwertproblem . . . 61
3.6.2 L(cid:246)sung des Mehrpunkt-Anfangsrandwertproblems . . . . . . . . . . 64
3.7 Numerische Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7.1 Veri(cid:28)kation der Ergebnisse direkter Verfahren . . . . . . . . . . . . 67
3.7.2 Das Crank-Nicolson-Verfahren und Zustandsbeschr(cid:228)nkungen. . . . 70
3.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Optimale Steuerung von Brennsto(cid:27)zellen 73
4.1 Hintergr(cid:252)nde zu Brennsto(cid:27)zellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Typen von Brennsto(cid:27)zellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Die Schmelzkarbonat-Brennsto(cid:27)zelle (MCFC) . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Das Modell und seine numerische L(cid:246)sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1 Semidiskretisierung im Ort mit Di(cid:27)erenzenverfahren . . . . . . . . 78
4.2.2 Zeitdiskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.3 Anfangswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.4 Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Das Optimalsteuerungsproblem der MCFC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.1 Auswahl der Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.2 Auswahl des Zielfunktionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.3 Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.4 Existenz von L(cid:246)sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Notwendige Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.1 Herleitung der adjungierten Gleichungen der MCFC . . . . . . . . 86
4.4.2 Herleitung der rechten Seiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4.3 Beitrag des Zielfunktionals zu den adjungierten Gleichungen . . . . 93
4.4.4 Gleichungen f(cid:252)r die Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.5 Elimination von Molenbr(cid:252)chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.6 Erweiterung auf 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.7 Zusammenfassung der notwendigen Bedingungen . . . . . . . . . . 98
4.5 Direkte Verfahren der Optimalsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6 Indirekte Verfahren der Optimalsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6.1 Auswahl m(cid:246)glicher Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6.2 Adjungierter Solver und Wahl des Zeitgitters . . . . . . . . . . . . 105
4.6.3 Konstruktion von Testaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.7 Numerische Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7.1 L(cid:246)sung von Testbeispielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.7.2 L(cid:246)sung des Anwendungsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.7.3 Vergleich und Weiterentwicklung durch AD . . . . . . . . . . . . . 118
4.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
iv INHALTSVERZEICHNIS
5 Schluss 121
A Zustandsgleichungen der MCFC 123
A.1 Gaskan(cid:228)le und Solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.2 Stromdichten und Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.3 Reaktionsraten und Ausdr(cid:252)cke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.4 Brenn- und Mischkammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.5 Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A.6 Anfangs- und Randwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B Adjungierte Gleichungen der MCFC 129
B.1 Gaskan(cid:228)le und Solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B.2 Stromdichten und Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B.3 Partielle Ableitungen der Reaktionsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B.4 Brenn- und Mischkammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.5 (cid:220)bergangs- und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Symbolverzeichnis 135
Abk(cid:252)rzungsverzeichnis 137
C Publikationen 147
C.1 New Necessary Conditions for Distributed Optimal Control Problems of
Linear Elliptic Equations with State Constraints . . . . . . . . . . . . . . 149
C.2 On a Prototype Class of ODE-PDE State-constrained Optimal Control
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
C.3 On Some New Phenomena in State-constrained Optimal Control if ODE
as well as PDE are Involved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
C.4 OnaState-ConstrainedPDEOptimalControlProblemarisingfromODE-
PDE Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
C.5 Optimal Control for a simpli(cid:28)ed 1D Fuel Cell Model . . . . . . . . . . . . 205

Kurzfassung
Diese Arbeit liefert Beitr(cid:228)ge zur Optimalen Steuerung partiell-di(cid:27)erential algebraischer
Gleichungen. Insbesondere werden Zustandsbeschr(cid:228)nkungen bei der Optimalen Steue-
rung gew(cid:246)hnlicher und partieller Di(cid:27)erentialgleichungen sowie gekoppelter Systeme un-
tersucht. Die verschiedenen Konzepte dieser Gebiete werden verglichen, (cid:252)bertragen und
eingeordnet.
Zentrale Ergebnisse sind die (cid:220)bertragung der notwendigen Bedingungen nach Bryson,
Denham und Dreyfus auf elliptische Optimalsteuerungsprobleme mit punktweisen Zu-
standsbeschr(cid:228)nkungen, die (cid:220)bertragung von Sprungbedingungen und Ma(cid:255)darstellungen
auf ein ODE-PDE beschr(cid:228)nktes Optimalsteuerungsproblem mit Zustandsbeschr(cid:228)nkun-
gen bei niederdimensionalen aktiven Mengen, sowie die Entwicklung e(cid:30)zienter numeri-
scher Methoden f(cid:252)r komplexe Anwendungsprobleme.
Die Beitr(cid:228)ge dieser Arbeit gliedern sich in vier Kapitel, deren Aspekte jeweils zusam-
mengefasst werden:
Zun(cid:228)chstwerdendieGrundlagenausderOptimalenSteuerunggew(cid:246)hnlicherDi(cid:27)erential-
gleichungenmitZustandsbeschr(cid:228)nkungenwiederholt.Diebeidengel(cid:228)u(cid:28)gennotwendigen
Bedingungen nach Jacobson, Lele und Speyer, sowie nach Bryson, Denham und Dreyfus
(BDD-Ansatz) werden erl(cid:228)utert und in den Zusammenhang der Optimalen Steuerung
partieller Di(cid:27)erentialgleichungen gestellt. Dabei wird der Zusammenhang zwischen den
Sprungbedingungen und dem Borel-Ma(cid:255) hergestellt.
In Kapitel 2 wird der BDD-Ansatz auf ein Optimalsteuerungsproblem einer elliptischen
partiellen Di(cid:27)erentialgleichung mit punktweisen Zustandsbeschr(cid:228)nkungen und verteilten
aktiven Mengen (cid:252)bertragen. Die Idee dieses BDD-Ansatzes ist es, die Zustandsbeschr(cid:228)n-
kung auf der aktiven Menge (cid:228)quivalent in eine Steuerungs-Zustandsbeschr(cid:228)nkung oder
ggf. eine reine Steuerungsbeschr(cid:228)nkung zu transformieren. Dies erlaubt die Herleitung
neuernotwendigerBedingungen.DurchdieTransformationderZustandsbeschr(cid:228)nkungen
gewinnen die zugeh(cid:246)rigen Lagrange-Multiplikatoren an Regularit(cid:228)t. Man erh(cid:228)lt aus den
neuen notwendigen Bedingungen ein Randwertproblem auf verschiedenen Gebieten mit
(cid:220)bergangsbedingungen. Das Interface zwischen den verschiedenen Gebieten stellt eine
Optimierungsvariable dar. Eine notwendige Bedingung am Interface wird mit Techniken
der Shapeoptimierung hergeleitet.
Das Kapitel 3 behandelt Zustandsbeschr(cid:228)nkungen bei gemischten ODE-PDE Proble-
men: Anhand eines zeitabh(cid:228)ngigen Anwendungsproblems (cid:21) des sogenannten Rocketcars
(cid:21) l(cid:228)sst sich eine vollst(cid:228)ndige Darstellung des Borel-Ma(cid:255)es auf niederdimensionalen ak-
tiven Mengen angeben. In der Folge lassen sich Sprungbedingungen und weitgehende
Regularit(cid:228)tsaussagen herleiten. Die explizite Massdarstellung erm(cid:246)glicht weiterhin die
Formulierung als Mehrpunkt-Anfangsrandwertproblem und den Einsatz angepasster L(cid:246)-
sungsmethoden.
vi
vii
Kapitel4widmetsichschlie(cid:255)licheinemkomplexenAnwendungsproblemeinesOC-PDAE:
Ein Brennsto(cid:27)zellenmodell stellt uns vor ein Optimalsteuerungsproblem eines Systems
von partiell-di(cid:27)erentiell algebraischen Gleichungen. Es werden notwendige Bedingungen
hergeleitet und direkte sowie indirekte (adjungierten-basierte) Methoden der Optimalen
Steuerung entwickelt und verglichen. Numerische Experimente best(cid:228)tigen die E(cid:30)zienz
dervorgestelltenMethoden.InsbesonderedasindirekteQuasi-Newton-Verfahrenerlaubt
eine zeitadaptive optimale Steuerung der Brennsto(cid:27)zellenanlage mit hoher Genauigkeit
und unter geringer Rechenzeit.
Abstract
The thesis is concerned with optimal control problems of coupled systems of partial
di(cid:27)erential algebraic equations. In order to investigate (pointwise) state constraints, a
bridge is built from optimal control problems of ordinary di(cid:27)erential equations (ODE)
to optimal control problems of partial di(cid:27)erential equations (PDE). Di(cid:27)erent concepts of
both (cid:28)elds are discussed and applied to optimal control problems with coupled systems
of equations.
Major contributions are the derivation of new necessary conditions for elliptic control
problems with pointwise state constraints, the transfer of jump conditions to state-
constrained ODE-PDE control problems via a structural analysis of the measures as-
sociated with state constraints with active sets of measure zero, and (cid:28)nally the deve-
lopment of e(cid:30)cient numerical methods for the solution of complicated optimal control
problems from real-life applications.
The (cid:28)rst chapter outlines the background of optimal control of ODE with state cons-
traints. The two major sets of necessary conditions are discussed, the one of Jacobson,
Lele and Speyer, as well as the one of Bryson, Denham and Dreyfus (BDD ansatz). In
building the bridge from ODE to PDE control theory, connections between the jump
conditions and the Borel measure are shown.
The second chapter transfers the BDD ansatz to an elliptic control problem with point-
wise state constraints. The idea is to transform the state constraints on the active set
equivalently into a mixed control-state constraint or even a pure control constraint. This
yields new necessary conditions with more regular multipliers. The optimality system
is treated as a boundary value problem on di(cid:27)erent domains with junction conditions.
Therefore, the interface in between the di(cid:27)erent domains is an additional optimization
variable. A necessary condition at the interface is derived by technics from shape opti-
mization.
Chapter three is devoted to state constraints in mixed instationary ODE-PDE control
problems. For the so-called rocketcar problem, an explicit formula for the Borel measure
is given on active sets of measure zero. This allows the derivation of jump conditions and
enhanced regularity theorems. Numerical results con(cid:28)rm the derived conditions.
Finally, an involved fuel cell model gives rise to an optimal control problem with partial
di(cid:27)erential algebraic equations and control constraints. The aim is to develop e(cid:30)cient
methodsforsolvingsuchproblems.Therefore,necessaryconditionsarederivedanddirect
aswellasindirect(adjoint-based)methodsofoptimalcontrolaredesignedandcompared.
Numericalstudiescon(cid:28)rmthee(cid:30)ciencyofthemethods.Inparticular,theindirectquasi-
Newton method allows for a time adaptive optimal control of the fuel cell system with
high accuracy and low computational e(cid:27)ort.
viii