Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff: Eine Vorlesung

323 Pages·1959·12.21 MB·German

by  Friedrich Bachmann (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHE N
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL· F. HIRZEBRUCH· E. HOPF
H. HOPF . W. MAAK . W. MAGNUS . F. K. SCHMIDT
K. STEIN· B. L. VAN DER WAERDEN
BAND XCVI
AUFBAU DER GEOMETRIE
AUS DEM SPIEGELUNGSBEGRIFF
VON
FRIEDRICH BACHMANN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
AUFBAU DER GEOMETRIE
AUS DEM SPIEGELUNGSBEGRIFF
EINE VORLESUNG
VON
FRIEDRICH BACHMANN
DR. PHIL.. O. PROFESSOR
AN DER UNIVERSITAT KIEL
MIT 160 ABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG G:MBH
ISBN 978-3-662-01235-2 ISBN 978-3-662-01234-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-01234-5
ALLE RECHTE,
INSBESONDERE DAS DER ÜBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN,
VORBEHALTEN
OHNE AUSDRÜCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES
IST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS
AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFÄLTIGEN
© BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG 1959
URSPRUNOLICH ERSCHIENEN BEI SPRINGER-VERLAG OHG. BERLIN • GöTTINGEN • HEIDELBERG 1959
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1959
KURT REIDEMEISTER
GEWIDMET
Vorwort
In dieser Vorlesung wird ein Aufbau der ebenen metrischen Geometrie
entwickelt, bei dem von den Spiegelungen und der von den Spiegelungen
erzeugten Bewegungsgruppe systematisch Gebrauch gemacht wird.
Für die gewohnte euklidische Ebene und auch für die klassischen
nichteuklidischen Ebenen kann man leicht die folgenden Tatsachen fest
stellen: Den Punkten und den Geraden entsprechen eineindeutig die
Spiegelungen an den Punkten und die Spiegelungen an den Geraden,
also involutorische Elemente der Bewegungsgruppei. Geometrische Be
ziehungen wie die Inzidenz von Punkten und Geraden und die Ortho
gonalität von Geraden lassen sich durch gruppentheoretische Relationen
zwischen den zugehörigen Spiegelungen wiedergeben. Daher kann
man geometrische Sätze in Sätze über Spiegelungen und Spiegelungs
produkte übersetzen.
Man wird so dazu geführt, die Spiegelungen zum Gegenstand geome
trischer Betrachtung zu machen, und in der Bewegungsgruppe "Geome
trie der Spiegelungen" zu betreiben. Faßt man die Spiegelungen selbst
als geometrische Gegenstände, nämlich als neue "Punkte" und "Gera
den" auf, so kann man für sie geometrische Beziehungen wie "Inzidenz"
und "Orthogonalität" durch gruppentheoretische Relationen so defi
nieren, daß der neue Bereich ein treues Abbild der ursprünglich gegebenen
Punkte und Geraden mit ihrer Inzidenz, Orthogonalität usw. ist. Durch
den gruppentheoretischen Kalkül der Spiegelungen hat man aber in dem
neuen Bereich die Möglichkeit, mit den geometrischen Gegenständen zu
rechnen, und gewinnt damit ein methodisches Hilfsmittel für das Be
weisen geometrischer Sätze2•
Von diesem Gedanken wollen wir beim Aufbau der ebenen metri
schen Geometrie Gebrauch machen. Wir werden den axiomatischen
Aufbau abstrakt gruppentheoretisch beginnen und folgendermaßen ver
fahren: Als Axiome postulieren wir einige Gesetze über involutorische
Gruppenelemente, und betrachten die aus involutorischen Elementen
erzeugten Gruppen, in denen diese Gesetze gelten. Wir führen dann
definitorisch metrische Ebenen ein, deren Punkte und Geraden die involu-
1 Ein Gruppenelement wird involutorisck genannt, wenn es seinem Inversen
gleich, aber vom Einselement verschieden ist.
8 In diesem Rechnen mit den geometrischen Gegenständen, welches vom Be
griff eines Zahlensystems und auch von Bezugssystemen unabhängig ist, mag man
einen Schritt zur Realisierung von Forderungen sehen, die LEIBNIZ gegenüber der
analytischen Geometrie von DESCARTES erhoben hat.
VIII Vorwort
torischen Gruppenelemente sind und in denen wir geometrische Bezie
hungen wie Inzidenz und Orthogonalität durch gruppentheoretische Rela
tionen erklären. Die rein gruppentheoretisch formulierten Axiome, die
wir wählen, stellen einfache geometrische Aussagen für die Punkte und
Geraden der metrischen Ebenen dar. Dementsprechend kann man beim
Beweisen aus den Axiomen die Vorteile des gruppentheoretischen Kalküls
ausnutzen, ohne den Leitfaden der Anschauung aus der Hand zu geben.
Bemerkenswert ist, wie wenige Axiome nötig sind. Die metrischen
Ebenen, die mit den axiomatisch gegebenen Gruppen definiert sind,
sind daher von recht allgemeiner Natur. Eine metrische Ebene braucht
nicht anordenbar (erst recht nicht stetig) zu sein. In einer metrischen
Ebene braucht nicht freie Beweglichkeit zu bestehen. Es gibt auch
metrische Ebenen mit nur endlich vielen Punkten und Geraden. Der
Begriff der metrischen Ebene enthält keine Entscheidung über die
Parallelenfrage, d.h. über die Frage nach dem Schneiden oder Nicht
schneiden der Geraden. Die ebene metrische Geometrie, die wir ent
wickeln, enthält ebene euklidische, hyperbolische und elliptische Geo
metrie als Spezialfälle, und wird daher, mit einem Ausdruck von
J. BOL Y AI, auch ebene absolute Geometrie genannt.
Das erste, einführende Kapitel soll, von elementaren geometrischen
Kenntnissen ausgehend, an den im Hauptteil der Vorlesung eingenom
menen Standpunkt heranführen, der im Augenblick nur roh skizziert
werden konnte. § 1 dient dazu, in der vertrauten euklidischen Ebene
einige Erfahrungen im Umgang mit Spiegelungen zu sammeln. Diese
Betrachtungen haben ebenso, wie die referierenden Mitteilungen über
nichteuklidische Ebenen am Anfang von § 2, propädeutischen Charakter,
und können von unterrichteten Lesern übergangen werden. Jedoch
dürften die "elementare" Beschreibung der metrischen Ebenen im zwei
ten Teil des § 2 und der dort geführte Nachweis, daß man die Theorie
der metrischen Ebenen - indem man zu den Spiegelungen übergeht -
vollständig in den Bewegungsgruppen formulieren kann, auch syste
matisches Interesse beanspruchen.
Im zweiten Kapitel beginnt dann mit § 3, der für alles folgende
grundlegend ist, der axiomatische Aufbau. In § 4 werden Sätze der
ebenen metrischen Geometrie (Höhensatz usw.) durch Spiegelungsrech
nen bewiesen. Die Begründung der ebenen metrischen Geometrie erhält
einen Abschluß durch das in § 6 bewiesene Haupt-Theorem, welches
besagt, daß sich die metrischen Ebenen zu projektiv-metrischen Ebenen
und die Bewegungsgruppen metrischer Ebenen zu Bewegungsgruppen
projektiv-metrischer Ebenen erweitern lassen. In § 5 sind dabei ver
wendete Begriffe und Sätze der ebenen projektiven Geometrie zusam
mengestellt.
Vorwort IX
Auf Grund des Haupt-Theorems kann man die allgemeine, auf
CA YLEY und KLEIN zurückgehende Idee der projektiven Metrik aus
nutzen, um die metrischen Ebenen einzuteilen und zu studieren. Ins
besondere ergibt sich nun die Möglichkeit, die metrischen Ebenen mit
den algebraischen Methoden der analytischen Geometrie zu untersuchen.
Im dritten Kapitel werden die Bewegungsgruppen der projektiv-metri
schen Ebenen in algebraischer Darstellung, als orthogonale Gruppen
metrischer Vektorräume, behandelt. Außerdem werden diese "klassi
schen Gruppen", dem Standpunkt der Vorlesung entsprechend, als
abstrakte, aus involutorischen Elementen erzeugbare Gruppen durch Ge
setze, denen die involutorischen Erzeugenden genügen, gekennzeichnet.
Im vierten, fünften und sechsten Kapitel werden die ebene
euklidische, hyperbolische und elliptische Geometrie, die im Rahmen der
ebenen absoluten Geometrie durch Zusatzaxiome definiert werden, noch
mals je für sich behandelt, da ihr Aufbau jeweils besondere Verein
fachungen zuläßt. Im vierten Kapitel steht das Interesse an der Be
sonderheit des Spiegelungsrechnens im euklidischen Falle im Vorder
grund. Im fünften Kapitel wird eine eigene Begründung der hyper
bolischen Geometrie gegeben, deren Hauptgedanke die Verwendung einer
Endenrechnung ist. Das sechste Kapitel ist der elliptischen Geometrie
gewidmet, die von allen Spezialfällen der ebenen metrischen Geometrie
bei dem hier eingenommenen Standpunkt der einfachste ist. Als zusätz
liches Hilfsmittel wird in diesem Kapitel der Gruppenraum eingeführt,
und damit die Geometrie der Spiegelungen zur Geometrie der Bewe
gungen vervollständigt.
Die euklidischen, hyperbolischen und elliptischen Ebenen erschöpfen
keineswegs die Mannigfaltigkeit der metrischen Ebenen. Durch das
Haupt-Theorem wird die Umkehrfrage aufgeworfen, wie man, um einen
Überblick über alle metrischen Ebenen zu gewinnen, in den (etwa al
gebraisch beschriebenen) projektiv-metrischen Ebenen die Teilebenerb
bestimmen kann, welche metrische Ebenen sind. Diese Frage kann bis
lang nicht allgemein beantwortet werden. Im Anhang werden einige
hierbei auftretende Probleme besprochen, und spezielle Resultate und
Beispiele angegeben.
Grundlegende Ideen und Methoden für einen Aufbau der ebenen
metrischen Geometrie verdankt man J. HJELMSLEV1. Er hat die Spie
gelungen systematisch verwendet.
Die Anregung zu meiner eigenen Beschäftigung mit den Problemen
verdanke ich K. REIDEMEISTER, der in den dreißiger Jahren dem Stu
dium der ebenen metrischen Geometrie einen neuen Impuls gegeben hat.
Der Grad der Allgemeinheit des axiomatischen Ansatzes sowie der im
1 Weitere historische Bemerkungen findet man in § 2,3.
x
Vorwort
sechsten Kapitel für den elliptischen Fall dargestellte Gedanke, den
Gruppenraum für den axiomatischen Aufbau der ebenen metrischen
Geometrie auszunutzen, stammen von K. REIDEMEISTER. Ich widme
ihm dieses Buch im Gedenken an viele Gespräche, in denen er mir,
nachdem ich 1935 nach Marburg gekommen war, Gedanken über die
Grundlagen der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie entwickelt
hat, und an die Fragestellungen und Anregungen, durch die er in den
gemeinsamen Marburger Jahren meine Untersuchungen gefördert hat.
Persönlich fühle ich mich ferner ARNOLD SCHMIDT verpflichtet. Er
hat zuerst Axiome für die ebene absolute Geometrie rein gruppen
theoretisch formuliert. Durch sein Axiomensystem (das ich in einer
reduzierten Fassung verwende) wurde der Begriff der Spiegelung zum
Grundbegriff der absoluten Geometrie. Hervorgehoben sei ferner, daß
er den Satz von den drei Spiegelungen unter die Axiome aufgenommen
hat, der einerseits eine unmittelbar verständliche geometrische Aussage
macht und andererseits, wie bereits durch Untersuchungen von HEssEN
BERG und HJELMSLEV deutlich geworden war, von grundlegender
Bedeutung für das Operieren mit Spiegelungen ist.
Von den Hörern meiner Vorlesung, die ich in den vergangenen Jahren
mehrfach an der Universität Kiel gehalten habe, haben eine Reihe zur
Weiterentwicklung der Gedanken beigetragen. Von ihnen haben sich
J. AHRENS, K. BEcKER-BERKE, P. BERGAu, J. BOCZECK, R. LINGEX
BERG, der eine Ausarbeitung der Vorlesung vom Winter 1952/53 ver
faßt hat, und H. WOLFF auch an der Durchsicht der Korrekturen be
teiligt. Bei der Herstellung des Buch-Manuskriptes hat mir H. WOLFF
mit zahlreichen kritischen Bemerkungen und Verbesserungsvorschlägen
geholfen.
Ferner haben R. BAER, U. DIETER, H. KARZEL und K. SCHÜTTE die
Korrekturen gelesen und wertvolle Verbesserungen vorgeschlagen. Ins
besondere hat R. BAER eine Fülle von Bemerkungen und Vorschlägen
gemacht.
Die Aufgaben haben U. DIETER und H. WOLFF geprüft; sie haben es
auch übernommen, den Index anzufertigen. An dem Entwerfen und
Zeichnen der Figuren haben I. DIBBERN, K. BECKER-BERKE und
H. WOLFF mitgewirkt.
Allen Genannten, den Herausgebern der Sammlung und dem
Springer-Verlag möchte ich meinen Dank aussprechen.
Ich hoffe, daß die nun als Buch vorgelegte Vorlesung dem Ziel dienen
wird, das die Untersuchungen auf diesem Gebiet in den letzten J ahrzehn
ten geleitet hat: die metrische Geometrie auszubauen und in den Zusam
menhang anderer Disziplinen der modernen Mathematik einzufügen.
Les Diablerets, Oktober 1958. F. BAcmlANN
Inhaltsverzeichnis
Seite
Kapitell. Einführung. . . . . . . . . . . .
§ 1. Spiegelungen in der euklidischen Ebene . . . . . . . . . . . . . .
1. Involutorische Bewegungen S. 2. - 2. Darstellung der Bewegungen
durch Spiegelungsprodukte S. 3. - 3. Das Bewegen von Bewegungen
(Transformieren) S. 9. - 4. Formulierung geometrischer Beziehungen in
der Bewegungsgruppe S. 11. - 5. Beweis einiger Sätze durch Rechnen
mit Spiegelungen S. 13.
§ 2. Der Begriff der metrischen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1. Modelle der stetigen elliptischen Ebene S. 19. - 2. Das KLEINsche
Modell der stetigen hyperbolischen Ebene S. 22. - 3. Metrische Ebenen
S. 24. - 4. Formulierung der ebenen metrischen Geometrie in der Be
wegungsgruppe S. 26. - 5. Beweise S. 29.
Kapitel 11. Metrische (absolute) Geometrie. . . 32
§ 3. Das Axiomensystem der metrischen (absoluten) Geometrie . . 32
1. Involutorische Elemente einer Gruppe. Grundrelationen S. 32. -
2. Axiomensystem S. 33. - 3. Gruppenebene. Bewegungen der Gruppen
ebene S. 34. - 4. Erste Folgerungen aus dem Axiomensystem S. 37. -
5. Das Im-Büschel-Liegen S. 40. - 6. Lotensatz S. 42. - 7. Darstellung
einer Bewegung S. 44. - 8. Gerade und ungerade Bewegungen. Axiom
vom Polardreiseit S. 46. - 9. Punkt-Geraden-Analogie S. 48. - 10. Fix
geraden und Fixpunkte einer Bewegung S. 51. - 11. Existenz von
Punkten und Geraden S. 55.
§ 4. Sätze der metrischen Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . .. 56
1. Mittelsenkrechtensatz S. 56. - 2. Höhensatz S. 57. - 3. Fuß
punktsatz S. 59. - 4. Transitivitätssatz S. 62. - 5. Geradenbüschel
S.64. - 6. Winkelhalbierendensatz S.67. - 7. Lemma von den neun
Geraden S.67. - 8. Gegenpaarung S.68. - 9. Satz von PAPPUS
BRIANCHON S. 71. - 10. Seitenhalbierendensatz S. 74.
§ 5. Projektive und projektiv-metrische Ebenen. . . . . . . . . . . . . 76
1. Projektive Ebenen S. 76. - 2. Projektive Geometrie der eindimen
sionalen Grundgebilde S. 82. 3. Ebene projektive Kollineationen
S. 85. - 4. Korrelationen, Polaritäten S. 88. - 5. Projektiv-metrische
Ebenen S. 89. - 6. Die Rechtwinkelinvolution S. 91.
§ 6. Begründung der metrischen Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . 93
1. Halbdrehungen der Geraden S. 94. - 2. Die durch Halbdrehungen
bewirkten Büschelabbildungen S.97. - 3. Zur Definition der Halb
drehung S. 99. - 4. Erweiterung der Gruppenebene zur Idealebene
S. 101. - 5. Die Idealebene einer Bewegungsgruppe S. 103. - 6. Die von
den Halbdrehungen um einen Idealpunkt erzeugte Gruppe S. 107. -
7. Die Axiome der euklidischen und der nichteuklidischen Metrik S. 109.
XII Inhaltsverzeichnis
Seite
8. Metrisch-euklidische Ebenen S. 110. - 9. Die absolute Polar-Involu
tion in der Idealebene einer metrisch-euklidischen Bewegungsgruppe
S. 114. - 10. Die absolute Polarität in der Idealebene einer metrisch
nichteuklidischen Bewegungsgruppe S. 115. - 11. Haupt -Theorem
S. 120. - 12. Euklidische und elliptische Bewegungsgruppen S. 121.
:Note über freie Beweglichkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
§ 7. Über das Transitivitätsgesetz für beliebige involutorische Elemente .. 127
1. Gesetze über beliebige involutorische Elemente, welche in den me
trisch-nichteuklidischen Bewegungsgruppen gelten S. 127. - 2. Über
die axiomatische Kennzeichnung der elliptischen Bewegungsgruppen
S. 130. - 3. Büschel von involutorischen Elementen S. 132. - 4. Zwei
spiegelige Gruppen, in denen das Transitivitätsgesetz gilt S.133. -
5. Die THoMsEN-Relation S. 135.
Note über die Aigebraisierung der affinen und projektiven Ebenen 137
Kapitel IH. Projektiv-metrische Geometrie. . . .. 140
§ 8. Projektiv-metrische Koordinatenebenen und metrische Vektorräume . 141
1. Projektive und projektiv-metrische Koordinatenebenen S. 141. -
2. Vektorräume S. 144. - 3. Metrische Vektorräume und orthogonale
Gruppen S. 146. - 4. Projektiv-metrische Ebenen und metrische Vektor
räume S. 151. - 5. Über den Satz von den drei Spiegelungen S. 154.
§ 9. Orthogonale Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
1. überblick S.157. - 2. Ein Lemma S.159. - 3. Die Gruppen
O~(K, F) mit binärer nullteiliger Form S.160. - 4. Die Gruppen
ot
(K,F) mit binärer nullteiliger Form als euklidische Bewegungsgruppen
ot
S. 163. - 5. Die Gruppen (K,F) mit ternärer nullteiliger Form
ot
S. 164. - 6. Die Gruppen (K,F) mit ternärer nullteiligerForm als ellip
ot
tische Bewegungsgruppen S.165. - 7. Die Gruppen (K,F) mit be
liebiger ternärer Form S. 166. - 8. Gesetze über die involutorischen
ot
Elemente der Gruppe (K, F) mit ternärer, nicht nullteiliger Form S. 168.
§ 10. Darstellung metrischer Vektorräume und ihrer orthogonalen Gruppen
mit Hilfe hyperkomplexer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 170
1. Normierte ternäre Formen S. 170. - 2. Quaternionen S. 174.
3. Die Norm einer eigentlich-orthogonalen Transformation S. 178. -
4. Zweireihige Matrizen über K. Die lineare Gruppe L2(K) S.180. -
5. Konstruktion metrisch-nichteuklidischer Bewegungsgruppen S.183.
§ 11. Die Bewegungsgruppen der hyperbolischen projektiv-metrischen Ebenen
als abstrakte, aus ihren involutorischen Elementen erzeugte Gruppen
(H-Gruppen) .......................... 186
1. Das Axiomensystem der H-Gruppen S. 187. - 2. Büschel von
involutorischen Elementen. Folgerungen aus der Grundannahme und
Axiom T S. 188. - 3. Enden. Folgerungen aus den Axiomen ~ V,
UV1, UV2 S. 189. - 4. Endenrechnung S. 191. - 5. Darstellung durch
gebrochen-lineare Transformationen S.195. - 6. Zusammenfassung
S.198. - 7. Eine spezielle Klasse von involutorischen Elementen der
H-Gruppen S. 198.
Kapitel IV. Euklidische Geometrie . 200
§ 12. Der Satz von PAPPUS-PASCAL in der euklidischen Geometrie 201
1. Axiome und erste Folgerungen S. 201. - 2. Hilfssätze über par
allele Geraden S. 202. - 3. Sechs Beweise des Satzes von PAPPUS
PASCAL S. 205.