Aplicações de Álgebra Linear aos Códigos Corretores de Erros e ao Ensino Médio

73 Pages·2015·0.77 MB·Portuguese

Universidade Estadual Paulista (cid:16)Jœlio de Mesquita Filho(cid:17)
Instituto de GeociŒncias e CiŒncias Exatas
Campus de Rio Claro
Aplica(cid:231)ıes de `lgebra Linear aos C(cid:243)digos
Corretores de Erros e ao Ensino MØdio
Everton Rodrigo Nicoletti
Disserta(cid:231)ªoapresentadaaoProgramadeP(cid:243)s-
Gradua(cid:231)ªo (cid:21) Mestrado Pro(cid:28)ssional em Mate-
mÆtica em Rede Nacional-PROFMAT como
requisito parcial para a obten(cid:231)ªo do grau de
Mestre
Orientadora
Profa. Dra. Carina Alves
2015
512.5 Nicoletti, Everton Rodrigo
N643a Aplica(cid:231)ıes de `lgebra Linear aos C(cid:243)digos Corretores de Erros
e ao Ensino MØdio/ Everton Rodrigo Nicoletti- Rio Claro: [s.n.],
2015.
71 f., il., (cid:28)gs., tabs.
Disserta(cid:231)ªo (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti-
tuto de GeociŒncias e CiŒncias Exatas.
Orientadora: Carina Alves
1. `lgebra Linear. 2. Matrizes. 3. C(cid:243)digos lineares. 4. C(cid:243)digos
de Hamming. I. T(cid:237)tulo
FichaCatalogrÆ(cid:28)caelaboradapelaSTATI-BibliotecadaUNESP
CampusdeRioClaro/SP
TERMO DE APROVA˙ˆO
Everton Rodrigo Nicoletti
Aplica(cid:231)ıes de `lgebra Linear aos C(cid:243)digos Corretores de
Erros e ao Ensino MØdio
Disserta(cid:231)ªo aprovada como requisito parcial para a obten(cid:231)ªo do grau
de Mestre no Curso de P(cid:243)s-Gradua(cid:231)ªo Mestrado Pro(cid:28)ssional em MatemÆ-
tica em Rede Nacional-PROFMAT do Instituto de GeociŒncias e CiŒncias
Exatas da Universidade Estadual Paulista (cid:16)Jœlio de Mesquita Filho(cid:17), pela
seguinte banca examinadora:
Profa. Dra. Carina Alves
Orientadora
Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti
IGCE - Unesp
Profa. Dra. Cintya Wink de Oliveira Benedito
IMECC - Unicamp
Rio Claro, 24 de Fevereiro de 2015
(cid:192) minha mªe.
Agradecimentos
A Deus que permitiu a conclusªo deste trabalho.
Aos meus pais, em especial (cid:224) minha mªe, que apesar de pouca instru(cid:231)ªo sempre
me incentivou.
A Sociedade Brasileira de MatemÆtica que proporcionou, atravØs do PROFMAT -
Mestrado Pro(cid:28)ssional em MatemÆtica em Rede Nacional, a oportunidade de aprimorar
minha forma(cid:231)ªo pro(cid:28)ssional.
A CAPES pelo apoio (cid:28)nanceiro.
AosprofessoresdoDepartamentodeMatemÆticadaUniversidadeEstadualPaulista
- Unesp/Rio Claro que de alguma forma contribu(cid:237)ram com minha forma(cid:231)ªo acadŒmica.
A minha orientadora Profa. Dra. Carina Alves que dedicou seu tempo, comparti-
lhando seus conhecimentos e toda sua experiŒncia acadŒmica, para o enriquecimento
da minha disserta(cid:231)ªo.
Aos professores FlÆvio R. Gazola e Taciana Belluci, que colaboraram com a revisªo
ortogrÆ(cid:28)ca da L(cid:237)ngua Portuguesa e Inglesa.
"O impulso para descobrir segredos estÆ profundamente enraizado na natureza
humana; mesmo a mente menos curiosa Ø estimulada pela perspectiva de
compartilhar o conhecimento oculto aos outros. [...]
Hist(cid:243)rias de detetive e palavras cruzadas divertem a maioria. JÆ a quebra de c(cid:243)digos
secretos pode ser uma tarefa para poucos".
John Chadwick
Resumo
Este trabalho aborda conceitos bÆsicos de `lgebra Linear e suas aplica(cid:231)ıes no
desenvolvimento da Teoria de C(cid:243)digos Corretores de Erros. O uso desta ferramenta
matemÆtica simpli(cid:28)ca a gera(cid:231)ªo e a decodi(cid:28)ca(cid:231)ªo dos c(cid:243)digos lineares. Destacamos
tambØm a import(cid:226)ncia de se trabalhar com este tema na educa(cid:231)ªo bÆsica.
Palavras-chave: `lgebra Linear, Matrizes, C(cid:243)digos lineares, C(cid:243)digos de Hamming.
Abstract
The present work addresses basic concepts of Linear Algebra and its applications in
thedevelopmentoftheTheoryofErrorCorrectingCodes. Theuseofthismathematical
tool simpli(cid:28)es the generation and decoding of linear codes. This dissertation also
highlights the importance of working with this subject in high school.
Keywords: Linear Algebra, Matrices, Linear codes, Hamming codes.
Lista de Figuras
3.1 Diagrama - Sistema de Comunica(cid:231)ªo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 D(cid:237)gitos de paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Divisªo binÆria entre p(X) e G(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1 Canal ruidoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1 Representa(cid:231)ªo dos c(cid:243)digos binÆrios lineares como um subespa(cid:231)o vetorial 44
6.1 Alfabeto fonte e alfabeto c(cid:243)digo para c(cid:243)digos com matrizes . . . . . . . 59
6.2 Avalia(cid:231)ªo: multiplica(cid:231)ªo de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3 Avalia(cid:231)ªo: matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Lista de Tabelas
Z
2.1 Soma e multiplica(cid:231)ªo em . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2
3.1 Alfabeto fonte e alfabeto c(cid:243)digo para o c(cid:243)digo de CØsar . . . . . . . . . 30
4.1 C(cid:243)digo de Hamming (7,4) - Bits de dados . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 C(cid:243)digo de Hamming (7,4) - Bits de paridade . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Rela(cid:231)ªo entre dist(cid:226)ncia m(cid:237)nima e nœmero de erros . . . . . . . . . . . . 41
5.1 C(cid:243)digo C(4,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 C(cid:243)digo C(5,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1 Alfabeto fonte e alfabeto c(cid:243)digo para c(cid:243)digos com matrizes . . . . . . . 64