Table Of ContentProf. Dr. Dietmar Pfeifer
Institut für Mathematik
Analytische Prinzipien der Stochastik
Stand: April 2016
Inhalt
Vorbemerkung ............................................................................................................................ 3
I Grundlagen der Funktionalanalysis ........................................................................................ 3
I. 1. Metrische Räume ............................................................................................................. 3
I. 1.1. Vervollständigung metrischer Räume ...................................................................... 13
I. 1.2. Kategorien von Mengen, Kompaktheit, Separabilität ............................................... 17
I. 1.3. Lineare metrische Räume .......................................................................................... 21
I. 1.4. Banach- und Hilbert-Räume ...................................................................................... 31
I. 1.5. p- und Lp-Räume .................................................................................................. 40
I. 2. Lineare Operatoren ........................................................................................................... 46
I. 2.1. Die Norm eines Operators ......................................................................................... 48
I. 2.2. Der Raum der beschränkten linearen Operatoren ..................................................... 55
I. 2.3. Folgen von beschränkten linearen Operatoren .......................................................... 59
I. 3. Lineare Funktionale ........................................................................................................... 62
I. 3.1. Fortsetzung linearer Funktionale ............................................................................... 63
I. 3.2. Darstellungssätze für beschränkte lineare Funktionale ............................................. 70
I. 3.3. Zweite konjugierte und reflexive Räume .................................................................. 89
I. 3.4. Schwache und schwach-*-Konvergenz ……………….…………………………... 91
I. 4. Abgeschlossene Operatoren ………………..……..……….…………………………... 94
II Halbgruppen von Operatoren .................................................................................................. 101
II. 1. Der infinitesimale Erzeuger …......................................................................................... 105
II. 1.1. Abstrakte Differentiation und Integration …..…………………………………….. 105
II. 1.2. Potenzen des infinitesimalen Erzeugers ..……….………………………………… 114
II. 2. Darstellungssätze für Operatorhalbgruppen …................................................................ 121
II. 2.1. Analytische Darstellungssätze ……………………………………………………. 121
II. 2.2. Stochastische Darstellungssätze ………………………………………………….. 128
II. 3. Spezielle Halbgruppen …………………………………..……………………………. 142
II. 3.1. Die Poisson’sche Faltungshalbgruppe ……………………………………………. 142
II. 3.2. Die Brown’sche Faltungshalbgruppe ..…………………………………..………. 147
II. 3.3. Markoff’sche Halbgruppen ..………………….......……………………..………. 152
Verzeichnis der Definitionen, Beispiele, Sätze und Lemmata ……………………………….… 156
Literatur ....................................................................................................................................... 158
Danksagung ……………………………………………………………………………………. 159
2
Vorbemerkung
Moderne stochastische Methoden und Theorien kommen ohne Hilfsmittel aus der Analysis, speziell
der Funktionalanalysis, nicht aus. Hierzu zählt insbesondere der Bereich der Stochastischen Pro-
zesse, die u.a. für die Modellierung von Finanzmärkten (z.B. der geometrischen Brown’schen Be-
wegung im Black-Scholes-Modell) in stetiger Zeit das wesentliche Hilfsmittel bilden (vgl. etwa
[11], [14], [17], [19], [20] und [28]). Aber auch in der Versicherungsmathematik, insbesondere in
der Risiko- und Ruintheorie, spielen Stochastische Prozesse eine wichtige Rolle, so z.B. beim klas-
sischen Risikoprozess, der auf dem Poisson-Prozess beruht, oder bei den Phasentyp-Verteilungen,
die sich aus zeitstetigen Markoff-Prozessen mit diskretem Zustandraum ableiten. Der vorliegende
Text soll deshalb helfen, das Verständnis Stochastischer Prozesse und der Stochastischen Analysis
durch eine systematische Behandlung ihrer funktionalanalytischen Grundlagen und Prinzipien zu
erleichtern.
Der Text orientiert sich dabei stark an einer Sichtweise auf die Funktionalanalysis, die ich während
meiner 16-jährigen Zeit an der RWTH Aachen bei meinem akademischen Lehrer Paul-Leo Butzer
kennen und schätzen gelernt habe. Gut verständliche Monographien zur Vertiefung dieses Stoffs
sind die Bücher von BACHMAN / NARICI (2000) [1], ROYDEN (1988) [25], TAYLOR (1963) [29] und
WERNER [30]; vgl. aber auch die Monographien [5], [9], [18], [26], [27] und [31].
I Grundlagen der Funktionalanalysis
In der Funktionalanalysis vereinen sich in sehr fruchtbarer Weise Aspekte der „klassischen“ Analy-
sis für Funktionen reeller Veränderlicher mit solchen der Linearen Algebra. Insbesondere sind häu-
fig – in der Regel unendlich-dimensionale – Vektorräume geeigneter Funktionen (z.B. stetiger oder
differenzierbarer Funktionen) Gegenstand des Interesses. Durch den Begriff der Metrik oder Norm
lassen sich in solchen algebraischen Strukturen topologische Eigenschaften und damit auch interes-
sante Konvergenzbegriffe einführen. Solche Konvergenzen kommen z.B. in der Stochastischen
Finanzmathematik schon beim Übergang vom zeitdiskreten Cox-Ross-Rubinstein- zum Black-
Scholes-Modell vor (vgl. das Skript DISKRETE STOCHASTISCHE FINANZMATHEMATIK, Kapitel 8).
Weil Funktionen in der Funktionalanalysis eine so bedeutsame Rolle spielen, bezeichnen wir im
Folgenden die zu Grunde liegenden Mengen mit dem Buchstaben und ihre Elemente mit den
Buchstaben f,g,h,
I. 1. Metrische Räume
Definition 1 (metrischer Raum). Für eine nicht-leere Menge sei eine Abbildung r: ´
gegeben mit den Eigenschaften
r(f,g)³0 für alle f,gÎ
r(f,g)=0 f =g für alle f,gÎ
r(f,g)=r(g, f) für alle f,gÎ [Symmetrie]
r(f,h)£r(f,g)+r(g,h) für alle f,g,hÎ [Dreiecksungleichung]
3
Dann heißt r eine Metrik oder Abstandsfunktion auf , r(f,g) heißt Abstand zwischen f und
gÎ und das Paar (,r) heißt metrischer Raum.
Bemerkung: Aus der Dreiecksungleichung ergibt sich sofort auch noch die folgende äquivalente
Ungleichung:
|r(f,h)-r(g,h)|£r(f,g) für alle f,g,hÎ(cid:0)
sowie die sog. Vierecksungleichung
r(f ,g )-r(f ,g ) £r(f , f )+r(g ,g ) für alle f , f ,g ,g Î.
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Beispiel 1. Die folgenden Strukturen bilden metrische Räume:
a) =1 mit der Metrik r, gegeben durch
r(f,g):=| f -g|, f,gÎ
(euklidischer Abstand in 1)
b) =d mit der Metrik r, gegeben durch
d
r(f,g):= å(f -g )2, f =(f ,, f ), g =(g ,,g )Î
i i 1 d 1 d
i=1
(euklidischer Abstand ind mit d Î)
c) =d mit der Metrik r, gegeben durch
r(f,g):=max{| f -g |}, f =(f ,, f ), g=(g ,,g )Î
i i 1 d 1 d
1£i£d
ìï ¥ üï
d) =1=íïf Î å| f |<¥ïý mit der Metrik r, gegeben durch
ï i ï
ïî i=1 ïþ
¥
r(f,g):=å| f -g |, f ={f } , g={g } Î
i i i iÎ i iÎ
i=1
[dieser metrische Raum wird z.B. bei der diskreten Fourier-Transformation verwendet, vgl. das
Skript RISIKOTHEORIE, Kapitel II.3]
ìï ¥ üï
e) =2 =ïíf Î å f 2 <¥ïý mit der Metrik r, gegeben durch
ï i ï
ïî i=1 ïþ
4
¥
r(f,g):= å(f -g )2, f ={f } , g={g } Î
i i i iÎ i iÎ
i=1
f) =C[a,b]={f :[a,b]| f stetig} mit a<b, a,bÎ mit der Metrik r, gegeben durch
r(f,g):=max{| f(x)-g(x)|}, f,gÎ
a£x£b
g) =C[a,b]={f :[a,b]| f stetig} mit der Metrik r, gegeben durch
b
r(f,g):=ò | f(x)-g(x)|dx, f,gÎ
a
[im Riemann’schen oder Lebesgue’schen Sinn, vgl. das Skript STOCHASTIK, Kapitel I.7]
Beispiel 2. Es sei (W,) ein Messraum. Dann lassen sich auf verschiedene Weise Metriken auf
dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße über definieren1:
a) r(P,Q):=sup P(A)-Q(A) , P,QÎ [Totalvariation]
AÎ
( )2
b) r(P,Q):= ò f - f dm, P,QÎ [Hellinger-Distanz],
P Q
wobei m ein beliebiges s-endliches dominierendes Maß für P und Q und f bzw. f die zu-
P Q
gehörigen Dichten bezüglich m seien.2 r(P,Q) ist dabei unabhängig von der speziellen Wahl
sowohl des dominierenden Maßes als auch der zugehörigen m-Dichten.
c) r(P,Q):= inf {E( X -Y ) (X)=P,(Y)=Q}, P,QÎ [Wasserstein-Distanz],
X,YÎ
wobei die Menge aller Zufallsvariablen auf einem (prinzipiell beliebigen, aber genügend
"großen", festen) Messraum mit Werten in W und (X), (Y) die Verteilungen von X und Y
bezeichnen.3
1 Aus Gründen der Konvention schreiben wir hier für die Elemente von nicht f,g, … , sondern wie in der Stochastik
üblich P,Q, …
2 Ein Maß m heißt ein Maß n dominierend, wenn jede m -Nullmenge auch eine n -Nullmenge ist. Nach dem Satz von
Radon und Nikodym (vgl. das Skript STOCHASTIK, Satz 21) existiert dann eine Dichte f von n bezüglich m. Bei-
spielsweise kann immer m=P+Q als gemeinsam dominierendes Maß für P und Q gewählt werden.
3 Das Symbol (X) für die Verteilung der Zufallsvariablen X ist vor allem in der englischsprachigen Literatur ge-
bräuchlich ("Law of X"). Wir benutzen es hier, weil das Symbol P bereits für die Bezeichnung eines Elements von
vergeben ist.
5
Definition 2 (topologische Eigenschaften). In einem metrischen Raum (,r) heißt
K (f):={gÎ |r(f,g)<r}, f Î, r>0
r
offene Kugel mit Mittelpunkt f und Radius r. Die Menge
K (f):={gÎ |r(f,g)£r}, f Î, r>0
r
heißt abgeschlossene Kugel4 mit Mittelpunkt f und Radius r.
Ein Element f einer Teilmenge AÍ heißt innerer Punkt von A, wenn eine reelle Zahl r>0 der-
art existiert, dass K (f)Í A gilt. Die Menge aller inneren Punkte von A heißt Inneres von A und
r
wird mit dem Symbol Ao bezeichnet.
Eine Teilmenge AÍ heißt offen, falls jeder Punkt von A ein innerer Punkt von A ist.
Eine offene Umgebung U(f) eines Punktes f Î ist eine offene Menge, die f als inneren Punkt
enthält.
Ein Element f einer Teilmenge AÍ heißt Häufungspunkt von A, wenn jede offene Umgebung
U(f) mindestens einen Punkt gÎ A mit g¹ f enthält. Die Menge der Häufungspunkte von A
wird mit dem Symbol A+ bezeichnet.
Eine Teilmenge AÍ heißt abgeschlossen, falls die Menge A alle ihre Häufungspunkte enthält,
d.h. wenn A+ Í A gilt. Die Menge A:= AÈA+ heißt abgeschlossene Hülle von A, ¶A:= A\ Ao
heißt Rand von A.
Satz 1 (topologische Eigenschaften). Es sei (,r) ein metrischer Raum. Dann gilt:
a) Ist AÍ offen, so ist das Komplement Ac abgeschlossen; ist umgekehrt AÍ abgeschlos-
sen, so ist das Komplement Ac offen.
b) Ist {A |iÎI} mit einer nicht-leeren Indexmenge I eine Familie von Teilmengen von , so
i
gilt: Sind alle A offen, so auch A; sind alle A abgeschlossen, so auch A. Ist I zusätz-
i i i i
iÎI iÎI
lich endlich, so gilt auch: Sind alle A offen, so auch A; sind alle A abgeschlossen, so auch
i i i
iÎI
A.
i
iÎI
c) Jede abgeschlossene Kugel K (f) mit f Î, r>0 ist eine abgeschlossene Menge, ebenso
r
jede abgeschlossene Hülle A für jede Teilmenge AÍ(cid:0). Das Innere Ao jeder Teilmenge
AÍ(cid:0) ist eine offene Menge.
4 Dies ist zu unterscheiden von der abgeschlossenen Hülle K (f); i. Allg. gilt nur K (f)ÊK (f), obwohl beide
r r r
Mengen abgeschlossen sind. Die nachfolgende Bemerkung zeigt, dass diese Mengen tatsächlich unterschiedlich sein
können.
6
Beweis:
a) Sei AÍ offen und f ein Häufungspunkt von Ac. Wir nehmen zunächst an, dass f Î A gilt.
Dann ist f innerer Punkt von A, also existiert ein r>0 mit U(f):=K (f)Í A: Widerspruch
r
zur Voraussetzung, dass f ein Häufungspunkt von Ac ist, denn U(f) enthält keinen Punkt
gÎ Ac! Damit ist notwendig f Ï A, also f Î Ac. Also ist Ac abgeschlossen.
Sei nun AÍ abgeschlossen und f Î Ac. Wir zeigen, dass f ein innerer Punkt von Ac ist.
Wegen f Î Ac ist jedenfalls f kein Häufungspunkt von A, da A abgeschlossen ist. Also gibt es
eine offene Umgebung U(f), die keinen Punkt gÎ A mit g¹ f enthält. Wegen f Î Ac ist
damit U(f)ÇA=Æ und somit U(f)Í Ac. Nach Definition der Umgebung ist also f ein inne-
rer Punkt von Ac.
b) Seien zunächst alle A offen und f ÎA; wir zeigen, dass f ein innerer Punkt von A ist.
i i i
iÎI iÎI
Nach Definition der Vereinigung existiert ein jÎI mit f Î A ÍA; also ist f ein innerer
j i
iÎI
Punkt von A , so dass ein r>0 existiert mit K (f)Í A ÍA. Also ist f auch ein innerer
j r j i
iÎI
Punkt von A.
i
iÎI
Seien nun alle A abgeschlossen. Dann sind die Ac sämtlich offen, also auch Ac. Folglich ist
i i i
iÎI
æ öc
nach Teil a) des Satzes die Menge Ai =çççèAic÷÷÷÷ø abgeschlossen.
iÎI iÎI
Im Fall einer endlichen Indexmenge I argumentiert man für den ersten Teil der Aussage folgen-
dermaßen: ist f ÎA, so existieren reelle Zahlen r >0, iÎI mit K (f)Í A für alle iÎI.
i i r i
i
iÎI
Dann ist aber r:=min{r}>0 mit K (f)ÍK (f)Í A,also auch K (f)ÍA,d.h. A ist
i r r i r i i
iÎI i
iÎI iÎI
offen. Der zweite Teil ergibt sich analog oben durch Komplementbildung.
c) Es sei g ein Häufungspunkt der abgeschlossenen Kugel K (f). Dann existiert eine Folge
r
1
{f } ÍK (f) mit f ÎU (g):=K (g), also r(f ,g)< für alle nÎ. Mit der Drei-
n nÎ r n n 1/n n n
ecksungleichung folgt nun
1
r(f,g)£r(f ,g)+r(f , f)<r+ für alle nÎ
n n n
und somit r(f,g)£r, also gÎK (f). Also ist K (f) abgeschlossen.
r r
Sei nun g ein Häufungspunkt der abgeschlossenen Hülle A= AÈA+ einer Teilmenge AÍ(cid:0).
Die Aussage ist trivial, wenn schon g Häufungspunkt von A oder gÎ A ist. Sei also gÏ A und
g Häufungspunkt von A+ \ A. Dann gibt es ähnlich dem Beweis zu Teil c) eine Folge
1
{g } Í A+ von Häufungspunkten von A mit g ¹g und r(g ,g)< für alle nÎ. Jedes
n nÎ n n n
7
g ist Häufungspunkt von A, also gibt es ein f Î A, f ¹g mit f ÎU (g ):=K (g ), d.h.
n n n n n n 1/n n
1
r(f ,g )< für alle nÎ. Mit der Dreiecksungleichung folgt nun
n n n
2
r(f ,g)£r(f ,g )+r(g ,g)< für alle nÎ.
n n n n n
Sei nun U(g) eine beliebige Umgebung von g. Dann enthält U(g) als offene Menge eine ge-
2
eignete Kugel K (g)ÍU(g) mit e>0 und f ÎK (g) für n> . Jede Umgebung von g ent-
e n e e
hält also einen von g verschiedenen Punkt aus A, womit g auch Häufungspunkt von A ist und
somit zu A+ Í A gehört. Damit ist aber A abgeschlossen.
Für das letzte Resultat benutzen wird das Hilfsergebnis, dass jeder Punkt gÎK (f) für ein
r
1
f Î und r>0 innerer Punkt von K (f) ist. Sei dazu s:= {r-r(f,g)}>0. Dann ist
r 2
nämlich K (g)ÍK (f) wegen
s r
1 1
r(h, f)£r(h,g)+r(g, f)< {r-r(f,g)}+r(f,g)< {r+r(f,g)}<r.
2 2
Sei nun f Î Ao. Dann gibt es ein r>0 mit K (f)Í A. Nach vorigem existiert aber zu jedem
r
gÎK (f) ein s>0 mit K (g)ÍK (f)Í A, d.h. jedes gÎK (f) ist auch innerer Punkt von
r s r r
A, so dass damit K (f)ÍAo gilt, was den Beweis abschließt.
r
Bemerkung: Auf die Endlichkeit der Indexmenge I in Teil b) von Satz 1 kann nicht verzichtet wer-
den, weil ansonsten inf{r}=0 sein kann. Beispiel: im metrischen Raum aus Beispiel 1 a) sind
i
iÎI
æ 1 1ö
etwa die Mengen Ai :=çççè-i,1+i÷÷÷ø, iÎI := sämtlich offen, aber das abgeschlossene Intervall
A =[0,1] ist nicht offen.
i
iÎI
Wenn wir in Beispiel 1, Teil a) den metrischen Raum (,r)=(,r) mit der euklidischen Metrik
wählen, so gilt offenbar
K (f)=K (f)={f} für alle f Î und 0<r£1, aber K (f)={f -1, f, f +1}.
r r 1
Dies zeigt, dass hier K (f)ÌK (f) mit K (f)¹K (f) ist für alle f Î, was die Aussage in der
1 1 1 1
Fußnote zu Definition 2 bestätigt.
8
Definition 3 (Grenzwert und Cauchy-Folge). Es sei (,r) ein metrischer Raum. Eine Folge
{f } von Elementen aus heißt konvergent in gegen einen Grenzpunkt f Î, wenn zu
n nÎ
jedem e>0 ein N Î derart existiert, dass gilt:
r(f , f)<e für alle n³N.
n
Man schreibt dann auch: f =r-lim f oder kurz nur f = lim f .
n n
n¥ n¥
Eine Folge {f } in heißt Cauchy-Folge (oder Fundamentalfolge) in , wenn zu jedem
n nÎ
e>0 ein N Î existiert mit:
r(f , f )<e für alle n,m³N.
n m
Satz 2 (Eigenschaften von Folgen). Es sei (,r) ein metrischer Raum, AÍ und {f } eine
n nÎ
Folge von Elementen aus . Dann gilt:
a) Die Konvergenz von {f } gegen f Î ist äquivalent zu der Aussage: zu jeder offenen
n nÎ
Umgebung U(f) existiert ein N Î derart, dass gilt:
f ÎU(f) für alle n³N.
n
b) Der Grenzwert f = lim f ist im Falle der Existenz eindeutig bestimmt.
n
n¥
c) Ein Punkt f Î ist genau dann Häufungspunkt von A, wenn gilt: es existiert eine Folge
{f } von paarweise verschiedenen Punkten aus A mit f = lim f .
n nÎ n¥ n
d) A ist genau dann abgeschlossen, wenn jeder Grenzpunkt f Î einer Folge {f } Í A zu A
n nÎ
gehört.
e) Jede in konvergente Folge {f } ist eine Cauchy-Folge.
n nÎ
f) Ist {f } in konvergent gegen f Î und {g } eine weitere Folge von Punkten in
n nÎ n nÎ
mit Grenzwert gÎ, so gilt:
limr(f ,g )=r(f,g).
n n
n¥
g) Sind{f } und {g } Cauchy-Folgen in , so ist {r(f ,g )} Cauchy-Folge in 1.
n nÎ n nÎ n n nÎ
Beweis:
a) Es ist klar, dass die angegebene Bedingung die Konvergenz von {f } gegen f Î impli-
n nÎ
ziert, weil man U(f):=K (f) wählen kann. Sei nun umgekehrt {f } gegen f Î kon-
e n nÎ
vergent und U(f) eine beliebige offene Umgebung von f. Dann ist f innerer Punkt von
U(f),d.h. es existiert ein e>0 mit f ÎK (f)ÍU(f). Wegen der Konvergenz von {f }
e n nÎ
gegen f existiert also ein N Î derart, dass f ÎK (f)ÍU(f) für alle n³N gilt, was zu
n e
zeigen war.
9
b) Seien f,gÎ mit der Eigenschaft: zu jedem e>0 existiert ein N Î derart, dass
r(f , f)<e und r(f ,g)<e für alle n³N.
n n
Mit der Dreiecksungleichung ergibt sich dann:
r(f,g)£r(f ,g)+r(f , f)<2e für alle e>0, also r(f,g)=0 und damit f =g.
n n
c) Sei zunächst f Î ein Häufungspunkt von A. Wir definieren eine streng monoton fallende
Folge {e } und die gewünschte Folge {f } in A rekursiv wie folgt: für e wählen wir ei-
n nÎ n nÎ 1
ne beliebige positive reelle Zahl. Dann existiert nach Definition des Häufungspunkts in der of-
fenen Umgebung K (f) ein von f verschiedenes Element f Î A. Sind nun e ,,e und
e 1 1 n
1
1
f ,, f Î A für nÎ bereits konstruiert, so wähle e := min{e ,r(f , f)}. Nach Defini-
1 n n+1 21£k£n k k
tion des Häufungspunkts existiert dann in der offenen Umgebung K (f) ein von f verschie-
e
n+1
denes Element f Î A. Dieses ist nach Wahl von e auch von allen früheren f ,, f Î A
n+1 n+1 1 n
verschieden. Die Folge {f } konvergiert nun in A gegen f, wie gewünscht.
n nÎ
Ist umgekehrt {f } eine derartige Folge in A mit Grenzwert f ÎA, so ist f Häufungspunkt
n nÎ
von A, weil nach Definition der Konvergenz in jeder Umgebung K (f) mit beliebigem e>0
e
unendlich viele, paarweise (und damit auch von f ) verschiedene Folgenglieder liegen.
d) Sei zunächst A abgeschlossen und f Grenzpunkt von {f } . Falls {f } eine Teilfolge
n nÎ n nÎ
{ }
f aus paarweise verschiedenen Elementen enthält, so ist f auch Häufungspunkt von A
k
n nÎ
und gehört daher wegen der Abgeschlossenheit von A zu A. Falls keine solche Teilfolge exi-
stiert, folgt f = f für genügend große n³N Î, so dass auch hier f Î A folgt. Für die
n
Umkehrung nehmen wir an, dass g ein Häufungspunkt von A ist. Nach Teil c) dieses Satzes exi-
stiert damit eine Folge {f } von (paarweise verschiedenen) Punkten aus A mit Grenzwert g.
n nÎ
Nach Voraussetzung gehört aber g zu A, also ist A abgeschlossen.
e) Dies folgt mit der Dreiecksungleichung aus
r(f , f )£r(f , f)+r(f , f)<2e für alle n,m³N.
n m n m
f) Nach zweimaliger Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man:
r(f ,g )£r(f ,g)+r(g ,g)£r(f,g)+r(f , f)+r(g ,g) und
n n n n n n
r(f,g)£r(f ,g)+r(f , f)£r(f ,g )+r(g ,g)+r(f , f),
n n n n n n
woraus
r(f,g)£limr(f ,g )+limr(g ,g)+limr(f , f)
n n n n
n¥ n¥ n¥
= limr(f ,g )£r(f,g)+limr(f , f)+limr(g ,g)=r(f,g)
n n n n
n¥ n¥ n¥
und damit Gleichheit folgt.
g) Dies folgt aus den für alle n,mÎ gültigen Ungleichung
10
Description:Finanzmathematik schon beim Übergang vom zeitdiskreten Bab gegen f, wenn die Zerlegungen feiner werden, so dass dann auch. ( ). [ ]. (. ) , lim.
