analízis feladatgy˝ujtemény ii

334 Pages·2014·3.52 MB·Hungarian

´ ˝ ´
ANALIZIS FELADATGYUJTEMENY II
Jegyzetek ´es p´eldat´arak a matematika egyetemi oktat´as´ahoz
sorozat
Algoritmuselm´elet
Algoritmusok bonyolults´aga
Analitikus mo´dszerek a p´enzu¨gyben ´es a k¨ozgazdas´agtanban
Anal´ızis feladatgyu˝jtem´eny I
Anal´ızis feladatgyu˝jtem´eny II
Bevezet´es az anal´ızisbe
Complexity of Algorithms
Differential Geometry
Diszkr´et matematikai feladatok
Diszkr´et optimaliza´l´as
Geometria
Igazs´agos eloszta´sok
Introductory Course in Analysis
Mathematical Analysis – Exercises I
Mathematical Analysis – Problems and Exercises II
M´ert´ekelm´elet´es dinamikus programoz´as
Numerikus funkcion´alanal´ızis
Opera´ci´okutat´as
Opera´ci´okutat´asi p´eldata´r
Parcia´lis differenci´alegyenletek
P´eldata´r az anal´ızishez
P´enzu¨gyi matematika
Szimmetrikus struktu´r´ak
T¨obbv´altoz´os adatelemz´es
Vari´aci´osz´am´ıt´as ´es optim´alis ira´ny´ıt´as
Fehe´r La´szlo´, Ko´s Ge´za,
To´th A´rpa´d
´
ANALIZIS
˝ ´
FELADATGYUJTEMENY
II
E¨otv¨os Lor´and Tudom´anyegyetem
Term´eszettudom´anyi Kar
Typotex
2014
c 2014–2019, Feh´er L´aszl´o, Ko´s G´eza, T´oth A´rp´ad,
(cid:13)
E¨otv¨os Lor´and Tudom´anyegyetem, Term´eszettudom´anyi Kar
Szerkeszto˝k: Ko´s G´eza ´es Szentmikl´ossy Zolta´n
Lektor´alta: Pach P´eter P´al
Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)
A szerzo˝ nev´enek feltu¨ntet´ese mellett nem kereskedelmi c´ellal szabadon
ma´solhat´o, terjesztheto˝, megjelentethet˝o´es el˝oadhat´o, de nem mo´dos´ıthat´o.
ISBN 978 963 279 421 1
K´eszu¨lt a Typotex Kiado´ (http://www.typotex.hu) gondoza´s´aban
Felel˝os vezeto˝: Votisky Zsuzsa
Mu˝szaki szerkeszto˝: Gerner J´ozsef
K´eszu¨lt a TA´MOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 sz´amu´,
Jegyzetek ´es p´eldata´rak a matematika egyetemi oktat´as´ahoz”c´ımu˝ projekt
”
keret´eben.
KULCSSZAVAK: anal´ızis, kalkulus, deriv´alt, integr´al, t¨obb-va´ltoz´o, komp-
lex.
O¨SSZEFOGLALA´S: Ez a feladatgyu˝jtem´eny elso˝sorban azon egyetemi hall-
gato´k sz´am´ara k´eszu¨lt, akik matematik´at, ezen belu¨l kalkulust ´es anal´ızist
tanulnak. A k¨onyv f˝o feladata bevezetni az olvas´ot a a differenci´al ´es integ-
r´alsz´am´ıt´asba ´es ezek alkalmaz´asaiba.
Tartalomjegyz´ek
I. Feladatok 11
1. Alapfogalmak. A valo´s sz´amok axi´omarendszere 13
1.0.1. Logikai alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.0.2. Halmazok, fu¨ggv´enyek, kombinatorika . . . . . . . . . 18
1.0.3. Bizony´ıt´asi mo´dszerek: indirekt bizony´ıt´as . . . . . . . 21
Fibonacci sz´amok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.0.4. Egyenl˝otlens´egek ´es sz´elso˝´ert´ek-feladatok megold´asa . 26
1.1. Val´os sz´amok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.1.1. Testaxi´om´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.1.2. Rendez´esi axi´om´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.3. Arkhim´ed´eszi axi´oma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.1.4. Cantor-axi´oma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.1.5. A sz´amegyenes, intervallumok . . . . . . . . . . . . . . 32
1.1.6. Teljess´egi t´etel, ¨osszefu¨ggo˝s´eg, a sz´amegyenes topol´ogi´aja 35
1.1.7. Hatva´nyoz´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2. V´egtelen sz´amsorozatok konvergenci´aja 39
2.1. Elm´eleti feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. Sorozatok nagys´agrendje, Ku¨sz¨obindex . . . . . . . . . . . . 45
2.3. Torl´od´asi pontok, liminf, limsup. . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4. Hat´ar´ert´eksz´am´ıt´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5. Rekurz´ıvan defini´alt sorozatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6. Az e sz´am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7. A Bolzano–Weierstrass-t´etel´es a Cauchy-krit´erium . . . . . . 59
2.8. V´egtelen sorok: bevezet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.9. Megsz´aml´alhat´o ´es nem megsza´ml´alhat´o halmazok . . . . . . 63
2.9.1. Megsz´aml´alhat´o halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9.2. Kontinuum sz´amoss´agu´ halmazok . . . . . . . . . . . 64
2.9.3. Sza´moss´agok ¨osszehasonl´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . . 64
5
3. Valo´s fu¨ggv´enyek hat´ar´ert´eke, folytonoss´aga 67
3.1. Val´os fu¨ggv´enyek glob´alis tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . 67
3.2. Fu¨ggv´enyek folytonoss´aga ´es hat´ar´ert´eke . . . . . . . . . . . . 71
3.3. Fu¨ggv´eny-hata´r´ert´ekek kisz´am´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4. Az ´atviteli elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5. Korl´atos za´rt intervallumon folytonos fu¨ggv´enyek . . . . . . . 85
3.6. Egyenletes folytonoss´ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7. Monotonita´s ´es folytonoss´ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.8. Konvexit´as ´es folytonoss´ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.9. A fu¨ggv´enygrafikon´ıvhossza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.10.Exponenci´alis, logaritmus- ´es hatv´anyfu¨ggv´enyek . . . . . . . 91
3.10.1. Nevezetes egyenl˝otlens´egek . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.11.Trigonometrikus fu¨ggv´enyek ´es inverzeik . . . . . . . . . . . . 95
4. A differenci´alsz´am´ıt´as ´es alkalmaz´asai 97
4.1. A differenci´alhat´os´ag fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.1. E´rint˝o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2. Magasabb rendu˝ differenci´alh´anyadosok . . . . . . . . . . . . 106
4.3. A lok´alis tulajdons´agok ´es a deriv´alt kapcsolata . . . . . . . . 108
4.4. K¨oz´ep´ert´ekt´etelek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4.1. Gy¨ok¨ok sz´ama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5. Sz´elso˝´ert´ek-feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5.1. Egyenl˝otlens´egek, becsl´esek . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6. A differenci´alhat´o fu¨ggv´enyek vizsg´alata . . . . . . . . . . . . 115
4.6.1. Konvexit´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.7. A L’Hospital-szaba´ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.8. Polinomapproxim´aci´o, Taylor-polinom . . . . . . . . . . . . . 118
5. Az egyv´altoz´os Riemann-integr´al ´es alkalmaz´asai 123
5.0.1. A hat´arozatlan integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.0.2. A deriv´altfu¨ggv´enyek tulajdons´agai . . . . . . . . . . . 125
5.1. A hat´arozott integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.1.1. Nem elemi integr´alok, Liouville-t´etel . . . . . . . . . . 131
5.1.2. Az integr´al ´ert´ek´ere vonatkoz´o egyenl˝otlens´egek . . . . 132
5.2. Integr´alsz´am´ıt´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.1. Az integr´al´as ´es a differenci´al´as kapcsolata. . . . . . . 139
5.3. Az integr´alsz´am´ıt´as alkalmaz´asai . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.1. Teru¨let- ´es t´erfogatsza´m´ıt´as . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3.2. ´Ivhossz-sza´m´ıt´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3.3. A forg´asi felu¨letek felsz´ıne . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4. Korl´atos v´altoz´asu´ fu¨ggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5. A Stieltjes-integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.6. Az improprius integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6. Numerikus sorok 153
7. Fu¨ggv´enysorozatok ´es sorok 159
7.1. Fu¨ggv´enysorozatok konvergenci´aja . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2. Fu¨ggv´enysorok konvergenci´aja. . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.3. Taylor-sorok ´es hatv´anysorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8. T¨obbv´altoz´os fu¨ggv´enyek differenci´al´asa 167
8.1. Rp R fu¨ggv´enyek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
→
8.1.1. A ponthalmazelm´elet alapjai . . . . . . . . . . . . . . 167
8.1.2. Hat´ar´ert´ek ´es folytonoss´ag Rn-ben . . . . . . . . . . . 170
8.1.3. Differencia´l´as Rn-ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.2. Rp Rq fu¨ggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
→
8.2.1. Hat´ar´ert´ek ´es folytonoss´ag . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.2.2. Differencia´lhat´os´ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9. T¨obbdimenzio´s Jordan-m´ert´ek ´es Riemann-integr´al 185
10.Integr´alt´etelek 193
10.1.A vonalintegr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.2.Newton-Leibniz formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.3.A primit´ıv fu¨ggv´eny l´etez´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.4.Integr´alt´etelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
11.M´ert´ekelm´elet 201
11.1.Halmazalgebra´k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.2.M´ert´ekek´es ku¨ls˝o m´ert´ekek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.3.M´erhet˝o fu¨ggv´enyek. Integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.4.Fu¨ggv´enysorozatok ´es -sorok integr´al´asa . . . . . . . . . . . . 207
11.5.Fubini-t´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.6.Differencia´l´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
12.Komplex differenci´alhato´s´ag 211
12.0.1. Komplex sz´amok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.0.2. A Riemann-g¨omb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
12.1.Regula´ris fu¨ggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
12.1.1. Komplex differenci´alhat´os´ag . . . . . . . . . . . . . . . 215
12.1.2. Cauchy–Riemann parcia´lis egyenletek . . . . . . . . . 216
12.2.Hatva´nysorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
12.2.1. A hatv´anysor konvergenciatartom´anya . . . . . . . . . 216
12.2.2. Az ¨osszegfu¨ggv´eny regularit´asa . . . . . . . . . . . . . 217
12.2.3. Taylor-sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.3.Elemi fu¨ggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.3.1. Az exponenci´alis´es trigonometrikus fu¨ggv´enyek . . . . 218
12.3.2. Komplex logaritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
13.A komplex vonalintegr´al ´es alkalmaz´asai 223
13.0.3. A komplex vonalintegr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.0.4. A Cauchy-t´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
13.1.A Cauchy formul´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.2.Hatva´ny- ´es Laurent-sorba fejt´es . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.2.1. Hatva´nysorba fejt´es, Liouville-t´etel . . . . . . . . . . . 228
13.2.2. Laurent-sorba fejt´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13.3.Regula´ris fu¨ggv´enyek lok´alis tulajdons´agai . . . . . . . . . . . 232
13.3.1. Unicita´s-t´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
13.3.2. Maximum-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.4.Izol´alt szingularit´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
13.4.1. Szingularit´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
13.4.2. A reziduumt´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
13.4.3. A reziduum kisz´am´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13.4.4. A reziduumt´etel alkalmaz´asai . . . . . . . . . . . . . . 239
V´egtelen sorok ¨osszeg´enek kisz´am´ıt´asa . . . . . . . . . 240
Val´os integr´alok kisz´am´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . . . 241
13.4.5. Argumentum elv ´es Rouch´e t´etele . . . . . . . . . . . 245
14.Konform lek´epez´esek 247
14.1.T¨ortline´aris fu¨ggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.2.Riemann alapt´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
14.3.Schwarz-lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
14.4.Kiterjeszt´es a hat´arra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
14.5.Tu¨kr¨oz´esi elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
II. Megold´asok 257
15.Megold´asi ¨otletek ´es v´egeredm´enyek 259
16.Megold´asok 287
El˝osz´o
Ebben a gyu˝jtem´enyben azokb´ol a gyakorlatokb´ol ´es feladatokb´ol v´alogat-
tunk, amelyeket az ut´obbi n´eha´ny´evben az ELTE TTK Anal´ızis Tansz´ek´en,
aMatematikaBsc. ´esakor´abbiosztatlank´epz´esekAnal´ızisI-IV.´esKomplex
Fu¨ggv´enytangyakorlatainadtunkfel. Ezeketafeladatokatf˝olegamatemati-
kus vagy alkalmazott matematikus szakir´anyokat, tov´abb´a a felk´eszu¨ltebb, a
matematikatan´arszakir´anyokatv´alaszt´odi´akoknak´esoktat´oiknakaj´anljuk.
Mindenfeladathozmegadtunkegy1´es10k¨oz¨otti,´altalunkbecsu¨ltneh´ez-
s´egi ´ert´eket. Ez az ´ert´ek l´enyeg´eben annak felel meg, hogy az illet˝o feladat
h´anyadik lehetne az egyetemi za´rthelyi dolgozatokban. A tan´arszakosokn´al
ez 1-7, alkalmazott matematikus szakon 2-8, m´ıg matematikus szak eset´eben
3-9 ez az ´ert´ek. (Tudni kell, hogy a jeles jegy megszerz´es´ehez ¨ot feladatot
kell megoldani; a hatodik ´es hetedik feladat c´elja az, hogy a legjobbak se
unatkozzanak.) A 10-es neh´ezs´egu˝ feladatok ma´r mindenk´eppen tu´l nehezek
egy za´rthelyire, de kutat´o p´aly´ara k´eszu¨l˝odi´akok sz´am´ara ezeket is aj´anljuk.
A feladatok egy r´esz´enek nem ismerju¨k a pontos eredet´et. A feladatok
sz´ajhagyom´any u´tj´an is terjednek oktat´ok´es oktat´ok, vagy´eppen oktat´ok´es
az ˝o egykori oktat´oik k¨oz¨ott. Val´osz´ınu˝leg sok olyan feladat van, amit t¨obb
genera´ci´oval ezel˝ott tal´alt ki valaki.
Sokunk sz´am´ara a stencil”volt a feladatok forr´asa, az ebben szerepl˝o fel-
”
adatok t¨obbs´ege Laczkovich Mikl´os, Lempert L´aszl´o ´es P´osa Lajos gyu˝jt´ese,
illetve alkot´asa.
Ez´ert hadd ´alljon itt azoknak a t´arsszerzo˝inknek a (bizony´ara nem tel-
jes)felsorola´sa,akiktansz´eku¨nk¨onel˝oado´k´entvagygyakorlatvezeto˝k´entr´eszt
vesznekvagyr´esztvettekaval´os´esazegyv´altoz´oskomplexanal´ızistan´ıt´as´a-
ban: Bogn´arM´aty´as,BuczolichZolta´n,Csa´sz´arA´kos,ElekesM´arton,G´emes
Margit, Hal´asz G´abor, Keleti Tam´as, Laczkovich Mikl´os, Petruska Gy¨orgy,
R´ev´esz Szila´rd, Rim´anyi Rich´ard, Sigray Istva´n, Simonovics Mikl´os, Szent-
mikl´ossy Zolta´n, Szo˝ke R´obert, Szu˝cs Andr´as, T. S´os Vera.
N´eha´ny feladatot Laczkovich Mikl´os ´es T. S´os Vera Anal´ızis I. k¨onyv´ebo˝l
vettu¨nk ´at sz´ıves enged´elyu¨kkel.
9
10 Elo˝szo´