Analitik Geometri I

23 Pages·2017·0.97 MB·Turkish

Ders Sorumlusu: Dr. Ümran KÖYLÜ
[email protected]
Ders Kapsamında Neler Var?
 Parabol
 Elips
 Hiperbol
 Koordinat sistemi öteleme dönüşümü
 Koordinat sistemi rotasyon dönüşümü
 Parametrik eşitlikler
 Koni kesitlerinin parametrik ifadesi
 Katı analitik geometri
 Uzayda vektörler
Uzayda Doğru
 Uzayda bir doğru konumunu belirten bazı özellikleri
yardımıyla analitik olarak ifade edilebilir buna vektörel
denklem denir.
 1. Bir noktadan geçen ve verilen bir doğrultuya paralel
olan doğrunun denklemi
 Verilen nokta M(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) ve doğrunun paralel olduğu
0 0 0
verilen bir 𝑉 = 𝑝, 𝑞, 𝑟 vektörü olsun. Doğrunun hareketli
noktasına (herhangi noktasına) X(x,y,z) diyelim. X noktası
yer değiştirdikçe d doğrusu 𝑉 ne paralel kalacağından
𝜆 ∈ ℝ olmak üzere daima 𝑀𝑋 = 𝜆𝑉… 1 yazılabilir. Bu
doğrunun vektörel denklemidir.
1.Bir Noktadan Geçen Ve Verilen
Bir Doğrultuya Paralel Olan
Doğrunun Denklemi
 𝑥 − 𝑥 , 𝑦 − 𝑦 , 𝑧 − 𝑧 = λ 𝑝, 𝑞, 𝑟 = (λ𝑝, λ𝑞, λ𝑟)
0 0 0
 Buradan 𝑥 = 𝑥 + λ𝑝, 𝑦 = 𝑦 + λ𝑞, 𝑧 = 𝑧 + λ𝑟 elde edilir 2
0 0 0
ki bu doğrunun parametrik denklemidir. Bu denklemden λ
parametresini çekersek
𝑥−𝑥 𝑦−𝑦 𝑧−𝑧
 𝜆 = 0, 𝜆 = 0, 𝜆 = 0 buna göre
𝑝 𝑞 𝑟
𝑥−𝑥 𝑦−𝑦 𝑧−𝑧
 0 = 0 = 0 = λ 3 elde edilir buda doğrunun
𝑝 𝑞 𝑟
standart denklemidir.
 𝑉 = (𝑝, 𝑞, 𝑟) vektörüne d doğrusunun doğrultman vektörü
p,q,r değerlerine d doğrusunun doğrultman parametreleri
denir.
Özel Haller
 Doğrunun doğrultman parametrelerinden biri yada ikisi
sıfır olabilir
 Doğrultman parametrelerinden bir tanesi sıfır olduğunda
𝑦−𝑦 𝑧−𝑧
𝑝 = 0 ise denklem 𝑥 − 𝑥 = 0, 0 = 0 = λ olup 𝑜𝑥 eksenine dik

0
𝑞 𝑟
konumda olan doğrunun denklemidir. Yani 𝑦0𝑧 düzlemine paralel
olan doğrunun denklemidir.
𝑥−𝑥 𝑧−𝑧
𝑞 = 0 ise denklem 0 = 0 = λ , 𝑦 − 𝑦 = 0 olup 𝑜𝑦 eksenine dik

0
𝑝 𝑟
konumda olan doğrunun denklemidir. Yani d ∥ 𝑥0𝑧 olan doğrunun
denklemidir.
𝑥−𝑥 𝑦−𝑦
𝑟 = 0 ise denklem 0 = 0 = λ , 𝑧 − 𝑧 = 0 olup 𝑜𝑧 eksenine dik

0
𝑝 𝑞
konumda olan doğrunun denklemidir. Yani d ∥ 𝑥0𝑦 olan doğrunun
denklemidir.
Özel Haller
 Doğrultman parametrelerinden iki tanesi sıfır olduğunda
 𝑝 = 𝑞 = 0 ise doğrunun 0𝑥 ve 0𝑦 eksenlerine dik konumda yani
𝑑 ⊥ x0y olan doğru olup denklemi 𝑥 − 𝑥 = 0, 𝑦 − 𝑦 = 0,
0 0
𝑧−𝑧
0 = λ şeklindedir.
𝑟
 𝑝 = 𝑟 = 0 ise doğrunun 0𝑥 ve 0𝑧 eksenlerine dik konumda yani
𝑑 ⊥ x0z olan doğru olup denklemi 𝑥 − 𝑥 = 0, 𝑧 − 𝑧 = 0,
0 0
𝑦−𝑦
0 = λ şeklindedir.
𝑞
 𝑞 = 𝑟 = 0 ise d doğrusu 0y ve 0𝑧 eksenlerine dik konumda yani
𝑑 ⊥ y0z olan doğru olup denklemi 𝑦 − 𝑦 = 0, 𝑧 − 𝑧 = 0,
0 0
𝑥−𝑥
0 = λ şeklindedir.
𝑝
Örnek
 A(2,-3,0) noktasından geçen ve 𝑉 =(4,7,-5) vektörüne
paralel olan doğrunun parametrik ve standart
denklemlerini yazınız.
 A(5,-1,4) noktasından geçen ve 𝑉 =(-1,4,0) vektörüne
paralel olan doğrunun parametrik ve standart
denklemini yazınız.
 M(3,7,0) noktasından geçen ve 𝑉 =(0,0,6) vektörüne
paralel olan doğrunun standart denklemini yazınız.
Aykırı Doğrular
 Uzayda iki doğru birbirine paralel değilseler ve hiçbir
ortak noktaları yoksa bu iki doğruya aykırı doğrular
denir.
2.Verilen İki Noktadan Geçen
Doğrunun Denklemi
 Uzayda verilen iki nokta A(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) ve B(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )
1 1 1 2 2 2
 0𝑋 = 0𝐴 + 𝐴𝑋
 0𝑋 = 0𝐴 + 𝜆𝐴𝐵
 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )+ 𝜆(𝑥 − 𝑥 , 𝑦 − 𝑦 , 𝑧 − 𝑧 )
1 1 1 2 1 2 1 2 1
𝑥 = 𝑥 + 𝜆(𝑥 −𝑥 )
1 2 1
 𝑦 = 𝑦 + 𝜆(𝑦 −𝑦 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚
1 2 1
𝑧 = 𝑧 + 𝜆(𝑧 −𝑧 )
1 2 1
 Bu durumda
 𝑉 = 𝐴𝐵 = 𝑝, 𝑞, 𝑟 = (𝑥 − 𝑥 , 𝑦 − 𝑦 , 𝑧 − 𝑧 )
2 1 2 1 2 1
𝑥−𝑥 𝑦−𝑦 𝑧−𝑧
 Buradan 1 = 1 = 1 = 𝜆 olur.
𝑥 −𝑥 𝑦 −𝑦 𝑧 −𝑧
2 1 2 1 2 1
Örnek
 A(4,-1,5) ve B(-2,-1,8) noktalarından geçen doğrunun
denklemini bulunuz?