Análisis matricial de estructuras Curso con MATLAB

177 Pages·2013·0.54 MB·Spanish

Análisis matricial de estructuras
Curso con MATLAB
JorgeEduardoHurtado
ProfesorTitular
UniversidadNacionaldeColombia

Índice general
1. Introduccióngeneral 1
1.1. Matrizderigidezdeunabarraatensión axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Formacióndelasmatricesdelaestructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Significadodelamatrizderigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Formaciónautomáticadelamatrizderigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5. Cálculodedesplazamientos yreacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Cálculodefuerzas internasenloselementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Ejemplo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Armadurasplanasyespaciales 19
2.1. Sistemasdecoordenadas localyglobal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Principiodelcontragradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Matrizderigidezdeunelementodearmadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Matrizderigidezdelaarmadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5. Cálculodereacciones yfuerzasinternas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6. Ejemplo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7. Armadurasespaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8. Ejemplo3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Vigas 53
3.1. Matrizderigidezdeunaviga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Ejemplo4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3. Análisisdevigasbiempotradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4. Cargasenelinterior deunaviga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5. Ejemplo5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4. Pórticosplanos 75
4.1. Matrizderigidezdeunelementodepórtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2. Ejemplo6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3. Elementoscargados enelinterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4. Ejemplo7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5. Ejemplo8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
III
IV ÍNDICEGENERAL
5. Edificios 93
5.1. Configuración deledificio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2. Nocióndediafragma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4. Condensación delasmatricesderigidezdepórticos planos . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.7. Matrizderigidezdeledificio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.8. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.9. Cargassísmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.9.1. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.9.2. Paresdetorsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.9.3. Acciónbidireccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.10. Resumendelanálisisdeedificiosbajocargassísmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.11. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.11.1. Fuerzassísmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.11.2. Matricesderigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.12. Consideración delosmovimientoshorizontales bajocargasverticales . . . . . . . . 129
5.12.1. Descomposición delosmovimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.12.2. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A. NocionesdeMATLAB 135
A.1. Características deMATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.2. Operaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.3. Vectoresymatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.4. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.5. Buclesydecisiones condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.6. Programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A.7. Archivosdedatosyresultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
B. Códigosdelosejemplos 149
B.1. Ejemplo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
B.2. Ejemplo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
B.3. Ejemplo3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
B.4. Ejemplo4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
B.5. Ejemplo5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
B.6. Ejemplo6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
B.7. Ejemplo7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
B.8. Ejemplo8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Índice de figuras
1.1. Barrasometidaatensiónaxial. (a):Modelo. (b):Fuerzasinternasydesplazamientos. 1
1.2. Barra sometida a tensión axial discretizada en elementos finitos. (a): Discretización.
(b):Fuerzasinternasydesplazamientos enelelementofinitok. . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Equilibrio entreelementos para laformación delasmatrices delproblema detensión
axial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4. Numeracióndeelementosynodosdelabarrasometidaatensiónaxial. . . . . . . . . 6
1.5. Interpretación de lamatriz derigidez elemental. (a): Primera columna. (b): Segunda
columna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Interpretación delacuartacolumnadelamatrizderigidezgeneral(ecuación 1.27). . 8
1.7. Columnadesecciónvariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Armaduraestáticamente indeterminada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Fuerzasinternasenunelementodelaarmadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Fuerzasinternasenunelementodelaarmadura. (a)Sistemalocal;(b)sistemaglobal 21
2.4. (a)Paralelogramos defuerzasequivalentes. (b)Relaciones entrelasfuerzas. . . . . . 21
2.5. Generalización delatransformación decoordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6. Trabajorealizado porlasfuerzasenlossistemaslocalyglobal. . . . . . . . . . . . . 25
2.7. Ejemplo de correspondencia entre las numeraciones local y global de los grados de
libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8. Armaduradedosbarras.(a)Geometríaycargas.(b)Numeracióndegradosdelibertad. 29
2.9. Armaduraarticulada. Geometríaycargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.10. Armaduraarticulada. Numeracióndegradosdelibertad. . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.11. Estructura originalyposición deformada (conunfactordeamplificación de500). . . 42
2.12. Ejemplodearmaduraespacial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.13. Fuerzas internas en un elemento de armadura espacial. (a) Sistema local ortogonal;
(b)sistemaglobalortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.14. Armaduraespacialconformadecasqueteesférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.15. Posicióndeformada delcasqueteesférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1. Vigaenvoladizo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Problemasparadeducir lamatrizderigidez deunabarraenflexión.(a):Problema1;
(b)Problema2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3. Solucióndelosproblemascontrarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
V
VI ÍNDICEDEFIGURAS
3.4. Numeracióndelosgradosdelibertaddelaviga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5. Vigabiempotrada.(a)Modeloestructural.(b)Numeracióndenodosyelementos.(c)
Numeracióndegradosdelibertad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6. Equilibriodelosnodosenfuerzascortantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7. Equilibrio de los nodos en momentos flectores einterpretación de la deformación de
laviga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8. Diagramasdecortante ymomentoflector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.9. Viga biempotrada. (a) Modelo estructural. (b) Hipótesis de diagrama de momentos.
(c)Diagramademomentosfinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.10. Vigas biempotradas. (a) Modelos estructurales. (b) Diagramas de cortante. (c) Dia-
gramasdemomento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.11. (a) Descomposición de una viga biempotrada. (b) Implicaciones para una estructura
engeneral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.12. Viga continua. (a) Modelo estructural. (b) Numeración de nodos y elementos. (c)
Numeracióndegradosdelibertad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.13. Vigacontinua. (a)Fuerzasdeempotramiento enelelemento1.(b)Fuerzasdeempo-
tramientoenelelemento2.(c)ElementosdelvectordefuerzasR. . . . . . . . . . . 70
3.14. Vigacontinua. (a)Diagramadecortante. (b)Diagramademomentos. . . . . . . . . 74
4.1. Pórticodedosvanosytrespisossometidoalaaccióndecargasdegravedadysísmicas. 76
4.2. Fuerzasinternas enunelementodepórtico. (a)Sistemalocal;(b)sistemaglobal. . . 78
4.3. Fuerzasdeempotramiento deunelemento depórtico. (a)Sistemalocal(fuerzas r );
e
(b)sistemaglobal(fuerzasR ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
e
4.4. Pórtico sometido a una carga horizontal. (a) Modelo estructural. (b) Numeración de
nodosyelementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5. Diagramasdefuerzas internas delpórtico sometido acargalateral. (a)Fuerzasinter-
nas de cada elemento. (b) Diagrama de fuerzas axiales. (c) Diagrama de cortantes.
(d)Diagramademomentos. (e)Elástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6. Pórtico sometido auna carga vertical distribuida uniformemente. (a)Modelo estruc-
tural.(b)Numeración denodosyelementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.7. Diagramas de fuerzas internas del pórtico sometido a carga vertical distribuida uni-
formemente.(a)Fuerzasinternasdecadaelemento. (b)Diagramadefuerzasaxiales.
(c)Diagramadecortantes. (d)Diagramademomentos.(e)Elástica. . . . . . . . . . 88
4.8. Pórticobajocargaverticalconcentradayasimétrica.(a)Modeloestructural.(b)Elástica. 89
5.1. Configuración ycargasdeunedificiotípico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2. Diafragmaflexibleenunplanoortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3. Diafragmasflexibleyrígidoensuplano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4. Equivalencia defuerzasenundiafragmarígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5. Sobreelgradodelibertad torsional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.6. Seccionesdelascolumnas (a)ylasvigas(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.7. Pórticodeunvanoycincopisossometidoalaaccióndecargasverticales.(a)Modelo
estructural. (b)Numeracióndenodosyelementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
ÍNDICEDEFIGURAS VII
5.8. Gradosdelibertad móvilesconsiderados enelcálculodelamatrizcondensada. . . . 104
5.9. Vigadecortante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.10. Construcción delamatrizderigidez deunpórtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.11. Ejemplodecálculodelamatrizcondensada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.12. Gradosdelibertad considerados enelcálculodelamatrizcondensada. . . . . . . . . 112
5.13. Equivalencia de fuerzas en un diafragma rígido. (a): Fuerza en el sistema local. (b):
Fuerzasequivalentes enelsistemaglobal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.14. Ejemplodecálculodelamatrizderigidez deunedificio. . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.15. Acciónsísmicabireccional ytorsiónaccidental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.16. Edificiosometidoafuerzassísmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.17. Desplazamientos delospisos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.18. Pórticobajocargaverticalconcentradayasimétrica.(a)Modeloestructural.(b)Elástica.129
5.19. Superposición de análisis para considerar movimientos horizontales producidos por
cargas verticales. (a) Modelo estructural con restricción lateral. (b) Aplicación de la
reacción lateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Capítulo 1
Introducción general
Estecapítulo contiene unaintroducción general almétodomatricial derigidez para elanálisis de
estructuras. El propósito es ilustrar todos los pasos del método, con la excepción de la rotación de
coordenadas, que es explicada en el capítulo siguiente. Para ello, se utilizará una de las estructuras
más simples desde el punto de vista mecánico: una cadena de elementos sometidos a tensión axial.
Igualmente, se muestra la solución completa del problema por medio del lenguaje MATLAB en un
ejemploconcreto.
1.1. Matriz de rigidez de una barra a tensión axial
δ
P
A
l
1 2
R = P P
−
l
δ δ
1 2
(b)
Figura1.1:Barrasometidaatensiónaxial. (a):Modelo. (b):Fuerzasinternasydesplazamientos.
1
2 CAPÍTULO1. INTRODUCCIÓNGENERAL
Consideremos la figura 1.1. En ella aparece una barra de sección constante A y módulo de elas-
ticidad E empotrada en un extremo y sometida a tracción axial por una carga concentrada P. El
desplazamiento delextremolibrees
Pl
δ = (1.1)
AE
Portanto, lacargasepuedeexpresarenfuncióndeldesplazamiento como
P =kδ (1.2)
donde
AE
k = (1.3)
l
eslaconstante derigidezaxialdelabarra.Laecuación(1.2)permitelainterpretación siguiente:
Laconstantederigidezaxialdeunabarraempotradaenunextremoeslafuerzanecesa-
riaparacausarundesplazamiento unitario enelextremolibre.
Ahora bien, la reacción en el extremo izquierdo R = P y la fuerza aplicada, de igual valor
−
absoluto,sometenalabarraaunestadodetracción.Siconsideramos,engeneral,losdesplazamientos
delosdosextremosdelabarra,numeradoscomoapareceenlafigura,tendremosqueδ = 0yδ δ.
1 2
≡
Portanto, podremosexpresarlasfuerzasexternasenfuncióndeellos,delamanerasiguiente:
AE AE
P = δ = (δ δ ) (1.4)
2 1
l l −
y,portanto,
AE
R = P = (δ δ ) (1.5)
1 2
− l −
Lasecuaciones anteriores sepuedenreunirenformamatricial, así:
R EA 1 1 δ
= − 1 (1.6)
P l 1 1 δ
2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) − (cid:19)(cid:18) (cid:19)
Lostérminosquecomponen estaecuación sonelvectordedesplazamientos (ogradosdelibertad)
δ
d= 1 , (1.7)
δ
2
(cid:18) (cid:19)
elvectordefuerzas nodales
R
p= (1.8)
P
(cid:18) (cid:19)
ylamatrizderigidez: