análise complexa em uma variável e aplicações

216 Pages·2017·7.18 MB·Portuguese

ANÁLISE COMPLEXA
EM UMA VARIÁVEL
E APLICAÇÕES
Luis T. Magalhães
Agosto de 2018
IST
Departamento de Matemática Lisboa
• •
Estas notas sa˜o parte de um texto em prepara¸c˜ao, com cap´ıtulos adicionais.
IST
Facultam-se para utilizac¸˜ao exclusiva por professores e alunos do .
´
Indice
Pref´acio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1 Plano complexo 1
1.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Estrutura alg´ebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Estrutura m´etrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Estrutura topol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Func¸o˜es 11
2.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Representa¸c˜ao geom´etrica de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Func¸o˜es polinomiais e fun¸c˜oes racionais . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Func¸o˜es trigonom´etricas e hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Potˆencias e exponenciais de base complexa . . . . . . . . . . 21
2.8 Func¸o˜es trigonom´etricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9 Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Derivada 25
3.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Diferenciabilidade e derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Transforma¸c˜oes conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Integral 49
4.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Integral em caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Teorema de Cauchy local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 ´Indice de caminho fechado e homotopia de caminhos . . . . . 60
4.6 F´ormula de Cauchy local em conjuntos convexos . . . . . . . 64
5 Func¸o˜es anal´ıticas 67
5.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Sucess˜oes e s´eries de nu´meros complexos . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Sucess˜oes e s´eries de fun¸c˜oes uniformemente convergentes . . 71
5.4 S´eries de potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Definic¸˜ao e propriedades ba´sicas de fun¸c˜oes anal´ıticas . . . . 75
5.6 Zeros de fun¸c˜oes anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.7 F´ormula de Parseval para s´eries de potˆencias . . . . . . . . . 80
ii ´INDICE
6 Unificac¸˜aodeholomorfia,analiticidade,teoremadeCauchy 89
6.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 Holomorfia, analiticidade e teorema de Cauchy local . . . . . 91
6.3 Teorema Fundamental da A´lgebra . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4 Estrutura local de fun¸c˜oes holomorfas . . . . . . . . . . . . . 95
6.5 Analiticidade das s´eries de fun¸c˜oes anal´ıticas . . . . . . . . . 100
7 Teorema e fo´rmula de Cauchy globais 109
7.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Cadeias e ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3 Teorema e f´ormula de Cauchy globais . . . . . . . . . . . . . 114
7.4 Invariaˆncia de integrais de fun¸c˜oes holomorfas . . . . . . . . . 115
7.5 Regio˜es simplesmente e multiplamente conexas . . . . . . . . 116
7.6 Extenso˜es do Princ´ıpio do M´odulo M´aximo . . . . . . . . . . 119
8 Singularidades, fun¸co˜es meromorfas e teorema dos res´ıduos129
8.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 Singularidades e s´eries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3 Func¸˜oes meromorfas e teorema dos res´ıduos . . . . . . . . . . 134
8.4 Contagem de zeros e po´los de fun¸c˜oes meromorfas . . . . . . 142
Apˆendices 165
I. Elementos de topologia geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
II. Espa¸cos de homologia e teorema da curva de Jordan . . . . . . 189
Bibliografia 199
Pref´acio
Este´eumlivrodeapoio aoin´ıciodoestudodeAn´aliseComplexaecentra-se
nosaspectos ba´sicos defun¸c˜oescomplexasdeumavaria´vel. Otematemtrˆes
caracter´ısticas interessantes: ideias simples unificadoras e clarificadoras de
conceitos que(em ana´lisereal)aparecemcomodistintosoucomplicados, fer-
tilidade parao desenvolvimentodeoutras ´areas damatema´tica, e relevˆancia
para aplicac¸˜oes a outras ciˆencias e `a engenharia.
A An´alise Complexa tem caracter´ısticas unificadoras e explicativas de
conceitosesituac¸˜oesencontradosem´algebraeana´liserealelementaresquese
tornam evidentes noquadrocomplexo, como se vˆecom os exemplos simples:
(i) Todo nu´mero real ou complexo diferente de zero tem exactamente n
ra´ızes complexas de ordem n distintas, igualmente espac¸adas numa
circunferˆencia de centro na origem do plano complexo, quando pode
ter zero, uma ou duas ra´ızes reais1.
(ii) As equa¸c˜oes polinomiais com coeficientes reais ou complexos degrau n
tˆem sempre n soluc¸˜oes complexas, contando multiplicidades, quando
at´e podem na˜o ter qualquer soluc¸˜ao real, mesmo quando tˆem coefici-
entes reais2.
(iii) No quadro complexo as fun¸c˜oes trigonom´etricas podem ser expressas
em termos da fun¸c˜ao exponencial, unificando fun¸c˜oes que no quadro
real aparecem desligadas.
(iv) As s´eries de Taylor3 de fun¸co˜es complexas indefinidamente diferen-
ci´aveis num ponto convergem absolutamente para o valor da func¸˜ao
nos pontos a uma distaˆncia menor do que um raio de convergˆencia e
divergem nos pontos a distaˆncia maior do que este valor, que ´e preci-
samente a distaˆncia do ponto considerado aos pontos mais pro´ximos
em que a fun¸c˜ao na˜o ´e diferencia´vel ou na˜o esta´ definida, quando a
s´erie de Taylor de uma fun¸c˜ao real indefinidamente diferencia´vel pode
na˜o convergir para a fun¸c˜ao sem que ocorram pontos em que deixe de
ser indefinidamente diferencia´vel4. Portanto, no quadro complexo as
1Resp.,2√ka, com a<0 e k N,2k+√1a, com a<0 e k N ou 2√ka, com a>0 e k N.
∈ ∈ ± ∈
Abrevia-se“respectivamente”por“resp.” em todo o texto.
2e.g.x2k+1=0, com k N.
3Taylor, Brook (1685-17∈31).
4e.g.afun¸c˜aoreal 1 ´eindefinidamentediferenci´avelemR,mastems´eriedeTaylor
1+x2
convergente se x <1 e divergente se x >1, enquanto a fun¸c˜ao complexa definida pela
| | | |
mesma f´ormula ´e indefinidamente diferenci´avel para x <1, mas n˜ao est´a definida nos
| |
pontos √ 1, quetˆem valor absoluto 1, o queexplica queo raio deconvergˆencia seja 1.
± −
iv An´alise Complexa em Uma Vari´avel
fun¸c˜oes anal´ıticas5 sa˜o precisamente as fun¸c˜oes diferencia´veis, o que
na˜o se verifica no quadro real. Al´em disso, uma func¸˜ao complexa dife-
rencia´vel´e automaticamente indefinidamentediferencia´vel e anal´ıtica,
quando uma fun¸c˜ao real diferencia´vel pode at´e na˜o ter segunda deri-
vada.
Um outroaspecto´eafertilidadedaAn´aliseComplexaparaodesenvolvi-
mentode outras ´areas da Matem´atica, como Teoria do Potencial e Equac¸˜oes
Diferenciais Parciais (dado que as partes real e imagina´ria de uma func¸˜ao
complexa diferencia´vel sa˜o soluc¸˜oes da equa¸c˜ao diferencial parcial de La-
place que ´e satisfeita pelo potencial associado a fen´omenos de equil´ıbrio de
processos conservativos emmeios cont´ınuos),An´aliseFuncionaleCa´lculode
Variac¸˜oes (pois as soluc¸˜oes da equa¸c˜ao de Laplace satisfazem o Princ´ıpio de
Dirichlet de minimiza¸c˜ao do quadrado da norma do resp. gradiante, o que
corresponde a minimizar a energia dos campos vectoriais de que sa˜o poten-
ciais), An´alise Harm´onica (uma vez que s´eries de Fourier e transforma¸c˜oes
de Fourier e de Laplace sa˜o definidas no quadro complexo), Geometria Di-
ferencial (em que a pro´pria no¸c˜ao de variedade diferencial e de Geometria
Riemanniana encontrou a primeira motiva¸c˜ao nas chamadas“superf´ıcies de
Riemann”inicialmente consideradas em An´alise Complexa para resolver por
fun¸c˜oes (que definem relac¸˜oes un´ıvocas) a“inversa˜o”de func¸˜oes na˜o injecti-
vas6), Topologia Alg´ebrica (pois asno¸c˜oes denu´meroderotac¸˜ao decaminho
fechado, homotopia, homologia, recobrimento, grupo fundamental ocorrem
naturalmente no estudo de fun¸c˜oes de uma varia´vel complexa), Geometria
Alg´ebrica (pois os conjuntos de n´ıvel de fun¸c˜oes complexas sa˜o curvas alg´e-
bricas), Teoria Anal´ıtica de Nu´meros (em que a distribuic¸˜ao dos nu´meros
primos pode ser esclarecida atrav´es da Func¸˜ao Zeta de Riemann7).
A An´alise Complexa tem muitas aplicac¸˜oes. O seu desenvolvimento
inicial confundiu-se com o de certas ´areas de aplicac¸˜ao como cartografia,
hidrodinaˆmica, aerodinaˆmica, elasticidade, electroesta´tica, electromagne-
tismo, processos de difusa˜o em qu´ımica e em biologia. A ligac¸˜ao da An´alise
Complexa a ´areas de outras ciˆencias e da engenharia´e t˜ao´ıntima que o pro´-
prio desenvolvimento de v´arias dessas ´areas se confundiu com os m´etodos
de An´alise Complexa, por exemplo no c´alculo do movimento de fluidos, da
elasticidade em so´lidos, dos campos el´ectricos e electromagn´eticos resultan-
tes de distribui¸c˜oes de cargas e correntes el´ectricas, da for¸ca de sustentac¸˜ao
de asas de avi˜oes, de sistemas de controlo, de ana´lise de sinais. Houve at´e
uma´epoca em queotermoMatem´atica Aplicadaerapraticamentesino´nimo
de m´etodos de ana´lise complexa e equa¸c˜oes diferenciais.
Com estas caracter´ısticas, na˜o ´e surpreendente que v´arios dos mais des-
tacados matema´ticos de toda a histo´ria se tenham interessado pela An´alise
5i.e.represent´aveis pors´eries depotˆencias numconjuntoaberto.
6e.g.z2.
7ζ(z)= ∞n=1n−z. Laplace,Pierre-Simon(1749-1827). Dirichlet,JohannPeterGustav
Lejeune (18P05-1859). Fourier, Joseph (1768-1830). Riemann,Bernhard (1826-1866).
Pref´acio v
Complexa. Encontramos na˜o so´ contribui¸c˜oes dos seis gigantes da histo´ria
da matema´tica que contribu´ıram especialmente para a An´alise Complexa
cujas biografias sa˜o resumidas no apˆendice IV – Euler, Gauss, Cauchy, Wei-
erstrass, Riemann e Poincar´e8 – como, mais recentemente, de matema´ticos
distintos entre os quais uma lista impressionante de premiados com a Me-
dalha Fields9 em v´arios anos desde 1936, quando este pr´emio comec¸ou a ser
atribu´ıdo de quatro em quatro anos10: L.Ahlfors (1936), A.Selberg (1950),
K. Kodaira (1954), J.P. Serre (1954), M. Atiyah (1966), A. Grothendieck
(1966), H. Hironaka (1970), E. Bombieri (1974), P. Deligne, C. Fefferman
(1978), S.-T.Yau (1982), S.Donaldson (1986). S.Mori (1990), J.-C.Yoccoz
(1994), C.McMullen (1998), M.Mirzakhani (2014).
Tamb´em´einteressanteobservararapidezdodesenvolvimentodaAn´alise
Complexa de fun¸c˜oes de uma varia´vel, principalmente nos cem anos de 1810
a 1910 e, com menos intensidade, nos trinta anos seguintes, embora com
contribui¸c˜oes pontuais importantes durante todo o per´ıodo desde ent˜ao.
Este livro pode ser a base de uma primeira disciplina de um semestre
de An´alise Complexa, mas tem a particularidade dos primeiros oito cap´ı-
tulos serem apresentados de modo adequado a uma primeira disciplina de
meio semestre que tamb´em seja uma base so´lida para estudos subsequentes.
Usam-se frequentemente, desde o in´ıcio, representa¸co˜es geom´etricas com o
objectivo de desenvolver intuic¸˜ao sobre as restri¸c˜oes e as formas de transfor-
mac¸˜ao associadas `a diferenciabilidade de fun¸c˜oes complexas, em particular
explorando transforma¸c˜oes conformes, o que transparece nas cerca de 150
figuras inclu´ıdas.
Comec¸a-seporreveradefini¸c˜aodenu´meroscomplexos, asuarepresenta-
¸c˜ao geom´etrica como pontos de um plano e as estruturas alg´ebrica, m´etrica
e topol´ogica do plano complexo, dando ˆenfase `a extens˜ao alg´ebrica dos nu´-
meros reais pelos nu´meros complexos e `a identificac¸˜ao m´etrica e topol´ogica
do plano complexo com o plano real.
No cap´ıtulo 2 define-se exponencial complexa e as correspondentes fun-
¸c˜oes logaritmo, e sa˜o esclarecidas as suas relac¸˜oes com fun¸c˜oes trigonom´e-
tricas, hiperbo´licas e potˆencias, mostrando que no quadro complexo todas
8Euler, Leonhard (1707-1783). Gauss, Carl Friedrich (1777-1855). Cauchy, Augustin-
Louis (1789-1857). Weierstrass, Karl (1815-1897). Poincar´e, Henri(1854-1912).
9John Charles Fields (1863-1932) instituiu em 1936 as Medalhas Fields, consideradas
uma esp´ecie de Pr´emio Nobel da Matema´tica. Estas medalhas s˜ao tradicionalmente atri-
bu´ıdas a matem´aticos com menos de 40 anos no Congresso Internacional de Matema´tica
quereu´nede4em4anos,emboratenhahavidoumainterrup¸c˜aoentre1936e1950devida
`a IIGuerra Mundial.
10Ahlfors,Lars(1907-1966). Selberg,Atle(1917-2007). Kodaira,Kunhiiko(1915-1997).
Serre,JeanPierre(1926-). Atiyah,Michael(1929-). Grothendieck,Alexander(1928-2014).
Hironaka,Heisuke(1931-). Bombieri, Enrico (1940-). Deligne, Pierre (1944-). Fefferman,
Charles (1949-). Donaldson, Simon (1957-). Yoccoz, Jean-Christophe (1957-2016). Yau,
Shing-Tung (1949-). Mori, Shigefumi (1951-). McMullen, Curtis (1958-). Mirzakhani,
Maryam (1977-2017).
vi An´alise Complexa em Uma Vari´avel
estas fun¸c˜oes traduzem aspectos da fun¸c˜ao exponencial. Sa˜o introduzidos
diversos modos de representa¸c˜ao geom´etrica de fun¸c˜oes complexas: defor-
mac¸˜ao geom´etrica do plano pela representa¸c˜ao de fam´ılias de curvas e das
suas imagens, gra´ficos das partes real e imagina´ria, gra´ficos do mo´dulo e de
um argumento, linhas de n´ıvel das partes real e imagina´ria.
Seguem-setrˆescap´ıtulosdedicados,porordem,`asnoc¸o˜esdederivada,in-
tegralefun¸c˜aoanal´ıtica. Sa˜oestabelecidasascondic¸˜oesdeCauchy-Riemann
entre as derivadas parciais das partes real e imagina´ria da func¸˜ao em rela-
¸c˜ao `as partes real e imagina´ria da varia´vel independente que sa˜o necess´arias
para diferenciabilidadee exploram-se consequˆencias, em particular a defun-
¸c˜oes com derivadas diferentes de zero definirem transforma¸c˜oes conformes,
analisando-se em detalhe a importante classe das transforma¸c˜oes de M¨o-
bius11 e como deformam o plano complexo. No cap´ıtulo dedicado a integral,
al´em da resp. no¸c˜ao discute-se a existˆencia de primitiva, e estabelece-se o
Teorema de Cauchy (integrais de fun¸c˜oes holomorfas em caminhos fechados
sa˜o nulos) e a F´ormula de Cauchy (que da´ o valor de uma func¸˜ao holomorfa
em termos de integrais em caminhos fechados) locais para func¸˜oes holomor-
fas (i.e.diferencia´veis) em conjuntos convexos, com base no resultado de E.
Goursatqueem1900 dispensouahipo´tesedecontinuidadedaderivada; com
a F´ormula de Cauchy obt´em-se a Propriedade de Valor M´edio de func¸˜oes
holomorfas em c´ırculos fechados que da´ que o valor da func¸˜ao no centro ´e a
m´edia da fun¸c˜ao na circunferˆencia que limita o c´ırculo. Adopta-se a opc¸˜ao
de K.Weierstrass e E.Cartan de identificar a no¸c˜ao de func¸˜ao anal´ıtica com
fun¸c˜ao represent´avel por s´erie de potˆencias; esclarece-se o conceito de con-
vergˆencia simples, absoluta e uniforme de s´eries, e a convergˆencia de s´eries
de potˆencias. Como aplicac¸˜oes, estabelece-se que as func¸˜oes anal´ıticas sa˜o
indefinidamente diferencia´veis e as derivadas de qualquer ordem tamb´em
sa˜o anal´ıticas, esclarece-se que os zeros de fun¸c˜oes anal´ıticas em regio˜es (i.e.
conjuntos abertos conexos) em que na˜o se anulam sa˜o pontos isolados e tˆem
ordem finita, prova-se o Teorema de Unicidade de Func¸˜oes Anal´ıticas (fun-
¸c˜oes anal´ıticas numa regia˜o que coincidem num conjunto que tem um ponto
limite sa˜o iguais), estabelece-se a F´ormula de Parseval para s´eries de potˆen-
cias e usa-se esta f´ormula para obter as estimativas de Cauchy (majora¸c˜oes
das derivadas de qualquer ordem num ponto em termos de majorantes da
fun¸c˜ao num c´ırculo centrado no ponto e no raio do c´ırculo), o Teorema de
Liouville (as u´nicas fun¸c˜oes inteiras, i.e.anal´ıticas em todo C, limitadas sa˜o
as constantes), o Princ´ıpio do M´odulo M´aximo (fun¸c˜oes anal´ıticas com va-
lores absolutos que assumem um valor ma´ximo numa regia˜o sa˜o constantes)
e o correspondente resultado para m´ınimos12.
O cap´ıtulo seguinte ´e de unifica¸c˜ao das no¸c˜oes introduzidas indepen-
11i.e.fun¸c˜oes do tipo az+b, com a,b,c complexos e ad bc=0.
cz+d − 6
12M¨obius, AugustFerdinand(1790-1868). Goursat, E´douard(1858-1936). Cartan, E´lie
(1869-1951). Liouville, Joseph (1809-1882).
Pref´acio vii
dentemente nos trˆes cap´ıtulos precedentes, estabelecendo a equivalˆencia de
holomorfia, validade do Teorema de Cauchy em conjuntos convexos, e ana-
liticidade. Prova-se o Teorema Fundamental da A´lgebra e esclarece-se a
estrutura local de fun¸c˜oes holomorfas, considerando-se tamb´em os teore-
mas da Func¸˜ao Inversa e da Aplica¸c˜ao Aberta. Prova-se um teorema de
Weierstrass que estabelece a analiticidade dos limites de sucess˜oes e s´eries
de fun¸c˜oes anal´ıticas uniformemente convergentes em conjuntos compactos.
Assim,ficaclaroqueoprocessodeextens˜aodefun¸c˜oespolinomiaisafunc¸˜oes
anal´ıticas pela considera¸c˜ao de s´eries, quando aplicado a fun¸c˜oes anal´ıticas
com a convergˆencia uniforme em conjuntos compactos, na˜o conduz a uma
nova extensa˜o das fun¸c˜oes consideradas. O cap´ıtulo termina com resultados
de A.Hurwitz13 sobre passagem dev´arias propriedadesdos termos de suces-
so˜es de fun¸c˜oes uniformemente convergentes em conjuntos compactos para
os resp. limites (inexistˆencia de zeros, injectividade e inclus˜ao de contrado-
m´ınios num mesmo conjunto).
No cap´ıtulo 7 estabelece-se o Teorema e a F´ormula de Cauchy globais,
expressos em termos de homologia de caminhos, que ´e definida com base
no nu´mero de rotac¸˜ao (ou´ındice) de um caminho fechado em relac¸˜ao a um
ponto. Como consequˆencia, o Teorema de Cauchy ´e imediatamente v´alido
para fun¸c˜oes holomorfas em regio˜es simplesmente conexas. Tamb´em se con-
sideram extens˜oes do Princ´ıpio do M´odulo M´aximo a regio˜es ilimitadas.
No cap´ıtulo seguinte consideram-se singularidades isoladas de func¸˜oes
complexas, que sa˜o classificadas como remov´ıveis, po´los e singularidades es-
senciais, e estabelece-se o desenvolvimento em s´erie de Laurent (s´erie de
potˆencias que inclui expoentes inteiros negativos) de uma fun¸c˜ao numa sin-
gularidade isolada. Introduz-se a no¸c˜ao de fun¸c˜ao meromorfa (sem singu-
laridades ou com singularidades que sa˜o po´los isolados) e estabelece-se o
Teorema dos Res´ıduos (que permite calcular integrais de fun¸c˜oes meromor-
fassobreumcaminhofechadoporsomaderes´ıduosdadospelo1o coeficiente
de ordem negativa da s´erie de Laurent em po´los na regia˜o limitada pelo ca-
minho) como corola´rio simples do Teorema de Cauchy Global do cap´ıtulo
precedente. Seguem-se v´arias aplicac¸˜oes do Teorema dos Res´ıduos ao c´al-
culo deintegrais de fun¸c˜oes complexas e de fun¸c˜oes reais, incluindointegrais
impr´oprios em R, e `a prova do Princ´ıpio do Argumento e do Teorema de
Rouch´e14 sobre contagem e localiza¸c˜ao de zeros e po´los. Termina aqui a
parte com o objectivo espec´ıfico de apoiar uma primeira disciplina de meio
semestre em fun¸c˜oes complexas de uma varia´vel.
Alguns t´opicos cl´assicos importantes de An´alise Complexa em Uma Va-
ria´velaparecemcomoexerc´ıcios, principalmenteapartirdocap´ıtulo6: prin-
c´ıpio de simetria para fun¸c˜oes holomorfas; ordem, tipo e g´enero de func¸˜ao
inteira; teorema dos trˆes c´ırculos de Hadamard; fun¸c˜ao Gama (que estende
13Hurwitz,Adolf (1859-1919).
14Rouch´e,Eug`ene(1832-1910).
viii An´alise Complexa em Uma Vari´avel
factorial de nu´meros naturais); teorema de Mittag-Leffler (de existˆencia de
fun¸c˜oes meoromorfas com po´los e partes singulares pr´e-estabelecidas); pro-
dutos infinitos (incluindo o teorema de factoriza¸c˜ao de Weierstrass que es-
tende para fun¸c˜oes inteiras a factoriza¸c˜ao de polino´mios em factores ele-
mentares, cada um dependente de um dos zeros da func¸˜ao); func¸˜ao zeta
de Riemann (a s´erie dos rec´ıprocos dos nu´meros naturais elevados a cada
ponto do dom´ınio, associada `a distribui¸c˜ao dos nu´meros primos e `a relacio-
nada Hip´otese de Riemann); expanso˜es assimpt´oticas em s´eries de potˆencias
(dando aproxima¸c˜oes de fun¸c˜oes num ponto por s´eries que podem divergir);
f´ormula de Jensen (para o valor de uma fun¸c˜ao no centro de um c´ırculo
fechado em que ´e holomorfa); fun¸c˜oes el´ıpticas, i.e. func¸˜oes meromorfas
biperio´dicas, incluindo a fun¸c˜ao-℘ de Weierstrass; dom´ınio ma´ximo de exis-
tˆencia de uma fun¸c˜ao holomorfa e dom´ınio de holomorfia de uma func¸˜ao
(incluindo que toda regia˜o de C ´e dom´ınio de holomorfia de alguma fun-
¸c˜ao); teorema de Runge (de aproxima¸c˜ao de fun¸c˜oes holomorfas por func¸˜oes
racionais com po´los pre-fixados fora do conjunto de holomorfia); teorema
de Mittag-Leffler (de existˆencia de fun¸c˜oes meromorfas com po´los e partes
singulares pre-fixados)15.
Tamb´em se incluem muitos exerc´ıcios sobre aplicac¸˜oes a diversas ´areas,
e.g. circuitos el´ectricos, sistemas mecaˆnicos, hidrodinaˆmica, electroesta´tica,
propaga¸c˜ao de calor em equil´ıbrio, ana´lise e processamento desinais, ana´lise
e controlo de sistemas lineares, dinaˆmica de fluidos, aerodinaˆmica, elastici-
dade.
A parte final do livro consiste em cinco cap´ıtulos adicionais em temas
fundamentais mais avanc¸ados, com incidˆencia em aspectos geom´etricos jul-
gados particularmente u´teis para continuac¸˜ao do estudo de An´alise Com-
plexa. Podem ser usados como base para a segunda parte de uma disciplina
de um semestre ou para partes de disciplinas subsequentes, mas a princi-
pal raza˜o para os incluir ´e para despertar a curiosidade de estudantes pelos
temas inclu´ıdos e apoiar o estudo individual desses assuntos.
O cap´ıtulo 9 ´e sobre fun¸c˜oes harm´onicas, que sa˜o as func¸˜oes que satis-
fazem num conjunto a equa¸c˜ao diferencial parcial de Laplace. Tˆem uma
campo de aplicac¸˜ao vasto porque as suas soluc¸˜oes correspondem a poten-
ciais de campos vectoriais conservativos com divergˆencia nula e descrevem
soluc¸˜oes deequil´ıbriodesistemas descritos emmeios cont´ınuos,porexemplo
para campo gravitacional num conjunto sem massas, campo el´ectrico num
conjunto sem cargas el´ectricas, campo de velocidades de um fluido incom-
press´ıvel estaciona´rio e irrotacional, densidade em processos de difusa˜o (em
f´ısica, qu´ımica, biologia). Considera-se o Problema de Dirichlet de deter-
minac¸˜ao de uma fun¸c˜ao harm´onica num conjunto limitado que na fronteira
tem valores dados por uma fun¸c˜ao cont´ınua, primeiro em c´ırculos e depois
15Hadamard, Jacques (1865-1963). Mittag-Leffler, Magnus G¨osta (1846-1927). Jensen,
Johan Ludwig (1859-1925). Runge,Carl David(1856-1927).