Algorithmes Efficaces en Calcul Formel

686 Pages·2017·4.09 MB·French

ffi
Algorithmes E caces
en Calcul Formel
Bostan
Alin
Chyzak
Frédéric
Giusti
Marc
Lebreton
Romain
Lecerf
Grégoire
Salvy
Bruno
Schost
Éric
∂z
∂y
∂x
Versionpréliminairedu11janvier2017
AlinBostan GrégoireLecerf
INRIA, CNRS,UMR7161,
UniversitéParis-Saclay Écolepolytechnique,
Laboratoired’Informatique
FrédéricChyzak
INRIA,
UniversitéParis-Saclay
BrunoSalvy
INRIA,
MarcGiusti
ÉcoleNormaleSupérieuredeLyon,
CNRS,UMR7161,
Laboratoiredel’Informatiquedu
Écolepolytechnique,
Parallélisme,
Laboratoired’Informatique
CNRS,UMR5668
RomainLebreton
UniversitédeMontpellier,
Laboratoired’informatique,derobotique ÉricSchost
etdemicroélectroniquedeMontpellier, UniversityofWaterloo,
CNRS,UMR5506,CC477 CheritonSchoolofComputerScience
Copyright © 2016 Alin Bostan, Frédéric Chyzak, Marc Giusti, Romain Lebreton,
GrégoireLecerf,BrunoSalvy,ÉricSchost.Cet ouvrageestcouvertpar unelicense
CC-BY-SA4.0,https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.
Publiéparlesauteurs.Siteweb:https://hal.archives-ouvertes.fr/AECF/.
LestyleLATEXutiliséestuneadaptationdeTheLegrandOrangeBookdisponibleà
l’urlhttp://www.LaTeXTemplates.com/.
Versionpréliminairedu11janvier2017.
Table des matières
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Bibliographie 13
1 Calculformeletcomplexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Décider,calculer 15
1.2 Calculerrapidement 22
Conventions 29
Notes 30
Bibliographie 31
I Polynômes et séries
2 Multiplicationrapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1 Introduction,résultatsprincipaux 35
2.2 Algorithmenaïf 38
2.3 AlgorithmedeKaratsuba 38
2.4 TransforméedeFourierrapide 40
2.5 L’algorithmedeSchönhage–Strassen 46
2.6 Algorithmespourlesentiers 49
2.7 Unconceptimportant:lesfonctionsdemultiplication 50
Exercices 51
Notes 52
Bibliographie 54
3 Calculsrapidessurlesséries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1 Sériesformelles 58
3.2 LaméthodedeNewtonpourlecalculd’inverses 61
3.3 ItérationdeNewtonformelleetapplications 64
3.4 Lacompositiondesséries 72
Exercices 75
Notes 76
Bibliographie 78
4 Divisioneuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1 Introduction 81
4.2 Divisiondepolynômes 82
4.3 Suitesrécurrenteslinéairesàcoefficientsconstants 84
4.4 Développementdefractionsrationnelles 87
4.5 Applications 89
Notes 91
Bibliographie 92
5 Calculsmodulaires,évaluationetinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1 Introduction 95
5.2 Présentation,résultats 96
5.3 InterpolationdeLagrange 98
5.4 Algorithmesrapides 99
Exercices 106
Notes 106
Bibliographie 108
6 Pgcdetrésultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1 Algorithmed’Euclide 111
6.2 Résultant 116
6.3 Algorithmed’Eucliderapide 130
Exercices 134
Notes 135
Bibliographie 136
7 ApproximantsdePadéetdePadé–Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.1 Reconstructionrationnelle 139
7.2 ApproximantsdePadé–Hermite 145
Exercices 152
Notes 153
Bibliographie 154
II Matrices
8 Algèbrelinéairedense:deGaussàStrassen . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.1 Introduction 159
8.2 Multiplicationdematrices 162
8.3 Autresproblèmesd’algèbrelinéaire 170
Exercices 177
Notes 180
Bibliographie 184
9 Algèbrelinéairecreuse:algorithmedeWiedemann . . . . . . . . . . . 189
9.1 Introduction 189
9.2 Polynômeminimaletrésolutiondesystèmes 190
9.3 Calculdupolynômeminimal 190
9.4 Calculdudéterminant 191
9.5 Calculdurang 192
Exercices 192
Notes 193
Bibliographie 193
10 Algèbrelinéairestructurée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.1 Introduction 195
10.2 Lecasquasi-Toeplitz 201
Exercices 205
Notes 206
Bibliographie 206
11 Systèmeslinéairesàcoefficientspolynomiaux . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.1 Dessériesauxsolutionsrationnelles 210
11.2 Développementcommeunefractionrationnelle 210
11.3 L’algorithmedeStorjohann 211
Notes 214
Bibliographie 215
12 PrincipedetranspositiondeTellegen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.1 Introduction 217
12.2 LaversionentermesdegraphesduprincipedeTellegen 219
12.3 PrincipedeTellegenpourlesprogrammeslinéaires 220
12.4 Applications 223
Notes 230
Bibliographie 233
13 Équationsdifférentiellesàcoefficientsséries . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
13.1 Équationsdifférentiellesd’ordre1 237
13.2 Équationsd’ordresupérieuretsystèmesd’ordre1 240
13.3 Casparticuliers 244
13.4 Extensions 246
Notes 247
Bibliographie 247
III Équations différentielles et récurrences linéaires
14 Sériesdifférentiellementfinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
14.1 Équationsdifférentiellesetrécurrences 252
14.2 Propriétésdeclôture 257
14.3 Sériesalgébriques 260
14.4 Au-delà 264
Exercices 264
Notes 266
Bibliographie 267
15 Récurrenceslinéairesàcoefficientspolynomiaux . . . . . . . . . . . . . 269
15.1 CalculnaïfdeN!etdesuitespolynomialementrécurrentes 270
15.2 Pasdebébés,pasdegéants 272
15.3 Scindagebinaire 275
15.4 Récurrencessingulières 278
Exercices 285
Notes 286
Bibliographie 287
16 Résolutionderécurrenceslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
16.1 Suitessolution 290
16.2 Solutionsàsupportfini 295
16.3 Solutionspolynomiales 297
16.4 Solutionsrationnelles 303
Exercices 309
Notes 310
Bibliographie 310
17 Résolutiond’équationsdifférentielleslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . 311
17.1 Sériessolution 312
17.2 Solutionspolynomiales 315
17.3 Solutionsrationnelles 315
17.4 Sériesdifférentiellementfiniesanalytiques 317
Exercice 320
Notes 321
Bibliographie 322
IV Factorisation des polynômes
18 Factorisationssanscarréetséparable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
18.1 Introduction 327
18.2 Factorisationsanscarré 328
18.3 Séparabilitéetdéflation 331
18.4 Factorisationséparable 334
18.5 Réductionàlafactorisationdespolynômesséparables 341
Notes 342
Bibliographie 342
19 Factorisationdespolynômesàunevariablesuruncorpsfini . . . . 345
19.1 Corpsfinis,quelquesrappels 345
19.2 AlgorithmedeBerlekamp 348
19.3 AlgorithmedeCantoretZassenhaus 353
Notes 356
Bibliographie 357
20 RéductionderéseauxetalgorithmeLLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
20.1 Réseauxetvecteurscourts 359
20.2 Leprocédéd’orthogonalisationdeGram–Schmidt 362
20.3 L’algorithmeLLL 364
20.4 Preuvedel’algorithmeLLL 366
Notes 370
Bibliographie 371
21 Factorisationdespolynômesàunevariablesurlesrationnels . . . 373
21.1 Bornessurlescoefficientsdesfacteurs 374
21.2 Factorisationsanscarré 379
21.3 Algorithmeparremontéeetrecombinaison 385
21.4 AlgorithmedevanHoeij 390
Notes 396
Bibliographie 397
22 Factorisationdespolynômesàplusieursvariables . . . . . . . . . . . . 399
22.1 Algorithmenaïfparremontée 400
22.2 Recombinaisondesdérivéeslogarithmiques 403
22.3 AlgorithmedeLecerf 406
22.4 Réductionprobabilisteaucasdedeuxvariables 409
22.5 Casparticulierdescorpsfinis 411
Notes 412
Bibliographie 413
V Systèmes polynomiaux
23 Basesstandard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
23.1 Lienentrealgèbreetgéométrie 421
23.2 Ordrestotauxadmissiblessurlemonoïdedesmonômes 425
23.3 Exposantsprivilégiésetescaliers 428
23.4 Noethérianitéetbasesstandard 429
23.5 Divisions 431
Notes 434
Bibliographie 435
24 Constructiondebasesstandard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
24.1 Algorithmenaïfparalgèbrelinéaire 437
24.2 Polynômedesyzygie 438
24.3 L’algorithmedeconstructiondeBuchberger 439
24.4 Exempledecalcul 441
24.5 Propriétésdesbasesstandardpourquelquesordres 442
Notes 444
Bibliographie 445
25 Nullstellensatzetapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
25.1 Nullstellensatzaffine 447
25.2 Idéauxdedimensionzéro 450
25.3 Projectiondesvariétésaffines 459
25.4 Nullstellensatzprojectif 461
25.5 Projectiondesvariétésprojectives 462
Notes 464
Bibliographie 464
26 FonctionetpolynômedeHilbert,dimension,degré . . . . . . . . . . . . 467
26.1 FonctionetpolynômedeHilbert 467
26.2 Démonstrationsetbornesupérieuredelarégularité 469
26.3 Dimensionetgéométrie 470
26.4 PositiondeNoetheretdegré 472
26.5 Suitesrégulières 475
26.6 BasesstandardpourlessuitesrégulièresenpositiondeNoether 478
Notes 480
Bibliographie 481
27 NormalisationdeNoether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
27.1 Introduction 483
27.2 AlgorithmedemiseenpositiondeNoether 484
27.3 UtilisationsdelapositiondeNoether 489
27.4 Paramétrisationendimensionquelconque 496
Notes 500
Bibliographie 500
28 Résolutiongéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
28.1 Introduction 501
28.2 Approcheincrémentale 507
28.3 Remontéed’uneparamétrisation 515
28.4 Algorithmeprincipal 519
Notes 522
Bibliographie 523
VI Sommation et intégration de suites et fonctions spéciales
29 Sommationhypergéométrique,solutionshypergéométriques . . . . 527
29.1 Sommationhypergéométriqueindéfinie.AlgorithmedeGosper 528
29.2 Sommationhypergéométriquedéfinie.AlgorithmedeZeilberger 534
29.3 Solutionshypergéométriques.AlgorithmedePetkovšek 539
Notes 541
Bibliographie 542
30 Équationsfonctionnelleslinéairesetpolynômestordus . . . . . . . . . 543
30.1 Polynômesnoncommutatifscommeopérateurslinéaires 543
30.2 Morphismesentreanneauxdepolynômestordus 547
30.3 Divisioneuclidienne 549
30.4 Recherchedesolutionsetfactorisationd’opérateurs 551
30.5 Algorithmed’Euclide 553
30.6 Relationsdecontiguïté 555
Notes 558
Bibliographie 559
31 AlgèbresdeOre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
31.1 AlgèbresdeOrerationnelles 561
31.2 Idéalannulateuretmodulequotient 562
31.3 BasesdeGröbnerpourlesidéauxàgauche 564
31.4 Modulequotientetdimensiondel’espacedessolutions 566
31.5 Lesfonctions∂-finiesetleursclôtures 570
Notes 576
Bibliographie 576
32 Sommationetintégrationsymboliquesdesfonctionsspéciales . . 579
32.1 Expressiondutélescopagecréatif 580
32.2 L’algorithmedesommation∂-finiedéfiniesurunexemple 581
32.3 Descriptiondesalgorithmesdesommationetintégration∂-finies 584
32.4 BasesdeGröbnerdemodulesetdécouplagedesystèmes 586
Notes 588
Bibliographie 588
Annexes
33 Exercicesrécapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
Notes 619
Bibliographie 619
Bibliographiegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
Listedesnotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
Listedesfiguresetalgorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
Indexdesauteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667