Algo pour le TNS

92 Pages·2010·2.76 MB·French

Algorithmes pour le Traitement Numérique du Signal
Olivier VENARD
ST4-SIG2
Année scolaire : 2009-2010
OlivierVENARD-2010
Table des matières
I Introduction 7
1 Implantationlogicielleet/oumatérielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Critèresdequalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Structured’implantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Puissancedecalcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Réalisationdesystèmesdiscrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II FiltresNumériques 11
1 FiltresFIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Structuredirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Structuresymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Structurecascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Réalisationrécursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 FiltresIIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 Formesdirectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Graphedeflotdedonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Décompositioncascade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Structurecouplée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 AlgorithmedeGOERTZEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1 Calculdelaréponseimpulsionnelled’unrésonnateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Amplitudedusignalàlasortiedurésonnateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III QuantificationetStabilité 27
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Modélisationdubruitdequantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Effetsdelaquantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Quantificationdescoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1 Positiondespôlesetdeszérosaprèsquantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Quantificationetstabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Variancedefonctiondetransfertenfonctiondelaquantificationdescoefficients . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Sensibilitédespôlesetdeszérosàlaquantificationdescoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Quantificationdesdonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1 Cycleslimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Miseàl’échelleetordonnancementdescellulesdansunestructurecascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.1 Appariementdespôlesetdeszéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2 Facteurd’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Bruitdecalculdansunfiltrerécursif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4 Ordonnancementdescellules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.5 Rapportsignalsurbruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
IV Traitementmulticadence 43
1 Suréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.1 TransforméeenZdusignalsuréchantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.2 Identitéremarquabledusuréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.3 Décompositionpolyphase,casdusuréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Décimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 TransforméeenZdusignaldécimé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Identitéremarquabledeladécimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1
2 TABLEDESMATIÈRES
2.3 Décompositionpolyphase,casdeladécimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Exempled’application:leconvertisseurSigma-Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Commutativitédeladécimationetdusuréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Changementdefréquenced’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1 Principegénéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Implantationpolyphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Bancdefiltres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 QuelquespropriétésdelatransforméeenZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Bancdefiltresà2canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Bancdefiltresmulticadenceà2canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Filtresmiroirsenquadrature(QMF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5 Filtreconjuguésenquadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
V Transforméeenondelettes 61
1 Bancdefiltres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 FiltresdeDaubechies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1 Calculdescoefficientsdufiltredemibande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2 Calculdescoefficientsdesfiltresd’analyseetdesynthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 Implantationdesbancsdefiltres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 LiftingScheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1 Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Décompositionpolyphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Exempledefactorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
VI TransforméedeFourierrapide 73
1 AlgorithmedeCOOLEY-TUCKEY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.1 Calculdunombred’opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2 Décimationentempsetfréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1 TFDdetaille2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2 Décimationentemps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3 Décimationenfréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4 Briquesdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5 Réalisationcomplètedel’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 Dérivationalgébriquedel’algorithmeenbase2avecdécimationentemps(P=2etQ=N/2) . . . . . . . . . . . . 81
3.1 1èreétapedel’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 Bruitdecalcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1 Facteurd’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 RapportsignalsurbruitdequantificationpouruneTFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Influencedufacteurd’échellesurleRSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 RapportsignalsurbruitdequantificationpouruneTFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5 RéalisationdelaTFRenvirguleflottanteparbloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Convolutionpartraitementparbloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1 Implantationdel’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
OlivierVENARD-2010
Table des figures
I.1 Structureparallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2 Structurecascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.3 BriquesdebasepourlesalgosdeTNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.1 Structuredirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II.2 Étapederéalisationd’unfiltreàréponseimpulsionnellefinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.3 Multiplieur-accumulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.4 Gestiondutableaudedonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.5 Étapederéalisationd’unfiltreàréponseimpulsionnellefinieàl’aided’unmultiplieuraccumulateur . . . . . . . 14
II.6 Structuresymétriquepourunnombrepairdecoefficients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.7 Structurecascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II.8 Stucturecascadesymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II.9 Filtremoyenneur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II.10 FormedirecteI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.11 StructuredirecteII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.12 RéseaucorrespondantàlaformedirecteIIetmatricecorrespondante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.13 MatricetransposéeetRéseaucorrespondantobtenu(formedirectetransposéeII) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.14 FormedirectetransposéeII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.15 Structuredirectetransposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.16 Structurecouplée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.17 Résonnateuràcoefficientcomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II.18 Résonnateuravecpartierécusrsiveàcoefficientsréels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
III.1 Erreurd’arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III.2 Échantillonnageduplancomplexepourcelluled’ordre2implantéesousformedirecte . . . . . . . . . . . . . . 30
III.3 Échantillonnageduplancomplexepourunestructurecouplée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
III.4 Triangledestabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
III.5 Sensibilitédelafonctiondetransfertàlaquantificationdescoefficientsenfonctiondelastructured’implantation 34
III.6 Sourcesdebruitdanslecasd’unestructurerécursived’ordre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III.7 Sourcedebruitéquivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III.8 Phénomènedebandemorteequation(III.27),laréponseidéaleestreprésentéeenpointillé. . . . . . . . . . . . . 37
III.9 Phénomène de bande morte equation (III.28), la réponse idéale est représentée en noir, la réponse pour une
précisionde9bitsestengris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
III.10Suppressionduphénomènedebandemorteenutilisantunetroncaturevers0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III.11Circularitédelareprésentationencomplémentà2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III.12Appariementdespôlesetdeszéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.13CelluledirectedetypeII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.14StructuredirectedetypeIIavecmiseàl’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
IV.1 Structured’unmodulateurDQPSKenbandedebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
IV.2 représentationdusuréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
IV.3 Suréchantillonnaged’unfacteur3dansledomainetemporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
IV.4 Suréchantillonnagedansledomainefréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
IV.5 Filtred’interpolationaprèslesuréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
IV.6 Signalsuréchantillonnéetinterpolé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
IV.7 Filtred’interpolationidéaletfiltreencosinussurélevépourunrapportF /F =16(fréquenced’échantillonnage
e s
etfréquencesymbole) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
IV.8 Identitéremarquablesuréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3
4 TABLEDESFIGURES
IV.9 Structurepolyphasepourlesuréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
IV.10Modèleducommutateurpourl’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
IV.11Opérationdedécimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
IV.12représentationdeladécimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
IV.13Étapedeladécimationpar3d’unsignaldansledomainetemporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
IV.14Étapedeladécimationd’unsignalpar3dansledomainefréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
IV.15Filtreanti-repliementavantdécimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
IV.16Identitéremarquabledeladécimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
IV.17Décompositionpolyphasepourladécimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
IV.18Décompositionpolyphasepourladécimationaprèstranslationdeladécimationversl’entrée . . . . . . . . . . . 52
IV.19Modèleducommutateurpourladécimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
IV.20FiltragedubruitdequantificationpourunconvertisseurΣ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
IV.21Filtresmoyenneurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.22Structurerécursivepourunfiltremoyenneur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.23FiltremoyenneurdelongueurM suivid’unedécimationparM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.24Applicationdel’identitéremarquablepourladécimation(figIV.16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.25Suréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.26Décimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
IV.27Systèmecomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
IV.28StructureSFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
IV.29StrutureDFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
IV.301èreétape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
IV.31Structurefinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
IV.32transformationpasse-baspasse-hautparmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
IV.33Bancdefiltresà2canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
IV.34Typedegabaritdesfiltresdubanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
IV.35Bancdefiltresà2canauxmulticadence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
IV.36Bancdefiltresmiroirsenquadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
IV.37Branchepasse-bas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
IV.38Branchepasse-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
IV.39Structurerésultantepourlebancd’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
IV.40Bancd’analyseetdesynthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
V.1 blocdebasedelatransforméeenondelettes,algorithmedeMallat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
V.2 gaindeP(z)etP(−z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
V.3 RacinesdeP(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
V.4 racinesdeH (z)etdeF (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
0 0
V.5 GaindeH (z)etH (z)danslecasorthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
0 1
V.6 racinesdeH (z)etdeF (z)danslecasbi-orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
0 0
V.7 Gaindubancd’analyseetdubancdesynthèsedanslecasbi-orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
V.8 Gainsdesfiltresdubancd’analyseetdubancdesynthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
V.9 Propriétéremarquabledeladécimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
V.10 Structurepolyphasepourlebancd’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
V.11 Identitéremarquablepourl’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
V.12 Structurepolyphasedubancdesynthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
V.13 Réseaucorrespondantàlafactorisationdelamatriceidentité(V.28) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
V.14 Réseaucorrespondantàlafactorisationdelamatriceidentité(V.29) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
V.15 Réseaucorrespondantàl’opérationde«lifting»etde«lifting»inverse(V.30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
V.16 Structured’unétagedetransforméeenondelette5-3aprèsfactorisationdelamatricepolyphase . . . . . . . . . 71
V.17 Dépendancedesdonnéespourlebancd’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
V.18 Dépendancedesdonnéespourlebancdesynthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
VI.1 AlgorithmedeCOOLEY-TUCKEY(P =3, Q=2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
VI.2 Structurepapillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
VI.3 Premièreétapedel’algorithmeavecunedécimationtemporelle,N =8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
VI.4 Secondeétapedel’algorithmeavecunedécimationtemporelle,N =8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
VI.5 StructurecomplèteavecdécimationentempspourN =8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
VI.6 Premièreétapedel’algorithmeavecunedécimationfréquentielle,N =8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
VI.7 Secondeétapedel’algorithmeavecunedécimationfréquentielle,N =8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
OlivierVENARD-2010
TABLEDESFIGURES 5
VI.8 StructurecomplèteavecdécimationenfréquencepourN =8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
VI.9 Structurepapillonpourladécimationentemps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
VI.10Structurepapillonpourladécimationenfréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
VI.11DécompositioncomplètepourN =8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
VI.12Ordonnancementdesdonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
VI.13Organigrammed’implantationd’uneTFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VI.141èreétapedeladécomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
VI.15Modèledubruitdecalculpourl’évaluationd’uneTFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
VI.16ContributiondespapillonsàunesortieX(k). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
VI.17ConvolutionLinéaire(Lespartiesgriséesreprésententlesupportdechacunedesséquences) . . . . . . . . . . . 87
VI.18ConvolutiondedeuxsignauxN périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
VI.19ConvolutioncirculairedelongueurN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
VI.20Convolutionlinéaireàl’aided’uneconvolutioncirculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
VI.21Représentationdel’algorithme«overlapandadd»aucoursdutemps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
VI.22Algorithme«overlapandadd» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
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6 TABLEDESFIGURES
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Chapitre I
Introduction
Cecoursportesurlestechniquesd’implantationnumériquedefonctiondetraitementdesignal.Nousétudieronsdeuxtypes
defonctions,lessystèmeslinéairesetinvariantsdansletemps(LIT)etlatransforméedeFOURIER.Cesdeuxtypesdefonctions
correspondentàdeuxdesprincipalesclassesdetraitementquel’onpeutrencontrerenTNS:
– Letraitementaufildel’eau,échantillonparéchantillon,pourlefiltragenumérique.Letempsdetraitementnécessairepour
l’algorithmedoitalorsêtreinférieuràlapérioded’échantillonnageT .
e
– letraitementparbloc,tableaud’échantillonpartableaud’échantillon,commelatransforméede FOURIERrapide(TFR),
parexemple.DanscecaslalimitesupérieuredutempsdetraitementestN ·T siN estlatailledutableaud’échantillons.
e
Cettedifférencedestructured’implantationinduituntempsdelatence1différent:
– Ilcorrespondàladuréedutraitementouplusgénéralementàunepérioded’échantillonnagedanslecasdutraitementau
fildel’eau,
– ilestégaleàladuréed’acquisitiond’untableau(N ·T )danslecasdutraitementparbloc.
e
Cesdeuxprincipesd’implantationnesontpashermétiquementcloisonnésetdufaitduthéorèmedeconvolutiononpeutse
douterqu’ilserapossibled’implanterunalgorithmedefiltragesouslaformed’untraitementparbloc.
1 Implantation logicielle et/ou matérielle
l’implantationlogicielleconduit«naturellement»àunestructuredeboucledutype«FOR»ou«WHILE»oùlesressources
matérielles sont réutilisées et conduit donc à un séquencement des opérations élémentaires alors que l’implantation matérielle
conduitàuneimplantationdérouléeparallèleousérie.
1.1 Critèresdequalité
L’étudedel’implantationd’algorithmesconduitàlescompareretdoncàavoirdescritèresdecomparaisonetdequalité.Les
critèresquivontconduireàunemodificationdel’implantationsont:
– Lacomplexitédecalcul,
– Lecoûtmémoire,
– Leseffetsinduitsparlaquantification(précisionfiniedelamachinedecalcul).
– Laminimisationdescheminscritiques.
Complexitédecalcul
La complexité de calcul se résume en général au nombre d’opérations, toutefois l’ «unité» de quantification de cette com-
plexitédiffèred’unecibleàl’autreetdépendraenquelquesortedelagranularitéd’opérationdecelle-ci:
– Dans le cas d’une structure micro-programmée, (Processeur de Traitement du signal, DSP), la granularité correspond à
l’opération que l’on peut réaliser en un cycle machine; en l’occurence, indifférement, une multiplication-accumulation
MAC,unemultiplicationouuneaddition.
– Dans le cas d’une implantation circuit, c’est la surface silicium qui sera importante. Une multiplication aura un coût
beaucoupplusélevéqu’uneaddition,enfonctiondel’algorithmeutilisépourimplantercettemultiplication,delalargeur
duchemindedonnée...
1. Letempsdelatenceestletempsentrel’arrivéedupremieréchantillonetlarestitutiondupremierrésultat.
7
8 Introduction
Coûtmémoire
Le coût mémoire caractérise essentiellement la quantité de mémoire nécessaire à l’éxécution d’un algorithme, cependant
sa technique d’accès, différente suivant la cible pourra avoir des conséquences sur le temps de traitement. Du point de vue
architecture d’accès mémoire on rencontre deux types de DSP. Dans le premier type le bus mémoire accède directement au
chemindedonnéesletempsd’accèsauxdonnéesestdoncinclusdansletempsd’exécutiondel’opération.Danslesecondcas,
quel’onnommegénéralementarchitectureorientéregistre,lechemindedonnéen’estaccédéqu’autraversderegistre.Ainsile
tempsd’accèsauxdonnéespourrainduireuntempsdecyclesupplémentaire.
longueurfiniedesmots
lalongueurfiniedesmotspourreprésenterlesdonnéesenmémoirecontraintladynamique(bitsdepoidsforts)etlaprécision
(bitsdepoidsfaibles).
Desalgorithmesconduisantsàdesstructureséquivalentespourunearithmétiqueenprécisioninfiniepourrontprésenterdes
comportementsprofondémentdifférents,entermedesensibilitédanslecasd’unearithmétiqueenprécisionfinie.
1.2 Structured’implantation
Outre les critères de «qualité» définis ci-dessus , d’autre considérations peuvent être prises en compte dans le choix d’un
algorithme,notammentl’architecturedelacible:
– Structureparallèleconduisantàunestructured’algorithmeadditiveH(z) = H (z)+H (z)+H (z)(figureI.1).Cette
1 2 3
approcheutiliselatechniquededécompositionenélémentssimples.
– StructurecascadeoupipelinesupposantuneformemultiplicativeH(z)=H (z)·H (z)·H (z)(figureI.2).Cetteapproche
1 2 3
reposesurunefactorisation.
FIGUREI.1–Structureparallèle
FIGUREI.2–Structurecascade
1.3 Puissancedecalcul
La complexité de calcul d’un traitement peut être évaluée en fonction de plusieurs paramètres. Le premier concerne la
périodicitédecalculT quipeutcorrespondreàlapérioded’échantillonnagedanslecasd’untraitementaufildel’eauouàun
c
multiple decelle-ci dansle cas d’untraitement par bloc. Lesecond paramètre concernele nombred’opération N nécessaire
op
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