Table Of ContentDIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERÜCKSICHTIGUNG DERANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL· F. HIRZEBRUCH . E. HOPF
H. HOPF . W. MAAK . W. MAGNUS . F. K. SCHMIDT
K. STEIN· B. L. VAN DER WAERDEN
BAND 34
ALGEBRA II
VON
B. L. VAN DER WAERDEN
VIERTE AUFLAGE
DER MODERNEN ALGEBRA
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
1959
ALGEBRA
VON
DR. B. L. VAN DER WAERDEN
PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT ZURICH
UNTER BENUTZUNG VON VORLESUNGEN
VON
E. ARTIN UND E. NOETHER
VIERTE AUFLAGE
DER MODERNEN ALGEBRA
ZWEITER TEIL
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
1959
ISBN 978-3-662-21601-9 ISBN 978-3-662-21600-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-21600-2
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER ÜBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
OHNE AUSDRÜCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES IST ES AUCH NICHT
GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM
WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFÄLTIGEN
COPYRIGHT 1936 AND 1950 BY SPRINGER-VERLAG OHG.,
BERLIN . GÖTTINGEN . HEIDELBERG
© BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG 1955 AND 1959
URSPRüNGLICH ERSCHIENEN BEI SPRINGER-VERLAG OHG.,
BERLIN . GÖTTINGEN . HEIDELBERG 1959.
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 4TH EDITION 1959
BRÜHLSCHE UNIVERSITÄTSDRUCKEREI GIESSEN
Vorwort zur vierten Auflage
Am Anfang des zweiten Bandes sind zwei neue Kapitel hinzu
gekommen, nämlich eines über algebraische Funktionen einer Variablen,
das bis zum Riemann-Rochschen Satz für beliebige Konstantenkörper
vorstößt, und eines über topologische Algebra, in dem hauptsächlich
die Komplettierung der topologischen Gruppen, Ringe und Schiefkörper,
sowie die Theorie der lokal beschränkten und der lokal kompakten
Schiefkörper behandelt wird. Herrn Dr. H. R. FISCHER, der diese beiden
Kapitel im Manuskript kritisch gelesen hat, danke ich für viele nützliche
Bemerkungen.
Das Kapitel "allgemeine Idealtheorie" wurde durch Aufnahme der
wichtigen Sätze von KRULL über symbolische Potenzen von Primi dealen
und über Primidealketten erweitert.
Im Kapitel "ganze algebraische Größen" wurde der Zusammenhang
der Idealtheorie der ganz-abgeschlossenen Ringe mit der Bewertungs
theorie deutlicher hervorgehoben. Dem Kapitel "Lineare Algebra"
wurde ein neuer § 140 über antisymmetrische Bilinearformen zugefügt.
Im Kapitel "Algebren" wurden die Beispiele vermehrt, die Theorie
des Radikals nach ]ACOBSON ohne Endlichkeitsbedingung entwickelt
und die grundlegenden Ideen von EMMY NOETHER über direkte Summen
und Durchschnitte von Moduln stärker betont. Durch Kombination der
Methoden von ]ACOBSON mit denen von EMMY NOETHER konnten die
Beweise der Hauptsätze stark vereinfacht werden.
Im Kapitel Darstellungstheorie wurden § 163-165 im Interesse
einer leichteren Verständlichkeit neu geschrieben.
Durch Kürzungen habe ich versucht, den Umfang des Buches in
annehmbaren Grenzen zu halten. So ist das Kapitel "Eliminations
theorie" weggefallen. Der Satz von der Existenz des Resultanten
systems für homogene Gleichungen, der früher mittels der Eliminations
theorie bewiesen wurde, erscheint jetzt in § 121 als Folge des Hilbertschen
N ullstellensa tzes.
VI Vorwort zur vierten Auflage
Den Herren W. BANDLER, Dr. J. J. BURCKHARDT, H. GROSS und
Dr. H. KELLER danke ich für ihre wertvolle Hilfe beim Korrigieren des
Manuskriptes und beim Lesen der Korrekturen.
Zürich, im Juni 1959 B. L. VAN DER W AERDEN
Inhaltsverzeichnis
Elftes Kapitel
Algebraische Funktionen einer Variablen
§ 83. Der Approximationssatz . . . . . . . . . . .
§ 84. Reihenentwicklungen nach Ortsuniformisierenden 4
§ 85. Divisoren und ihre Multipla . 8
§ 86. Das Geschlecht g . . . . . . . . . . . . 10
§ 87. Vektoren und Covektoren. . . . . . . . . 14
§ 88. Differentiale. Der Satz vom Spezialitätsindex 16
§ 89. Der Riemann-Rochsche Satz ...... . 20
§ 90. Separable Erzeugung von Funktionenkörpern . 23
§ 91. Differentiale und Integrale im klassischen Fall. 24
Zwölftes Kapitel
Topologische Algebra
92. Der Begriff topologischer Raum 28
93. Umgebungsbasen ......... . 30
94. Stetigkeit. Limites . . . . . . . . . 31
95. Trennungs- und Abzählbarkeitsaxiome 32
96. Topologische Gruppen ..... . 32
97. Die Umgebungen der Eins ... . 33
98. Untergruppen und Faktorgruppen 35
99. T-Ringe und T-Schiefkörper. 36
§ 100. Gruppenkomplettierung. . 38
§ 101. Topologische Vektorräume .. 42
§ 102. Ringkomplettierung. . . . . 47
§ 103. Komplettierung von Schiefkörpern 49
§ 104. Durch Bewertungen definierte Topologien 51
§ 105. Lokal bikompakte Schiefkörper 55
Dreizehntes Kapitel
Allgemeine Idealtheorie der kommutativen Ringe
§ 106. Noethersche Ringe . . . . . . . . . 59
§ 107. Produkte und Quotienten von Idealen 63
§ 108. Primideale und Primärideale . 67
§ 109. Der allgemeine Zerlegungssatz . . . . 71
§ 110. Der erste Eindeutigkeitssatz . . . . . 75
§ 111. Isolierte Komponenten und symbolische Potenzen 78
§ 112. Theorie der teilerfremden Ideale 80
§ 113. Einartige Ideale 83
§ 114. Quotientenringe . . . . . . . 85
VIII Inhaltsverzeichnis
§ 115. Df'r Durchschnitt aller Potenzen eines Ideals . . . . . . . . . . . 87
§ 116. Die Länge eines Primärideals. Primidealketten in Noetherschen Ringen 90
Vierzehntes Kapitel
Theorie der Polynom ideale
§ 117. Algebraische Mannigfaltigkeiten 93
§ 118. Universalkörper . . . . . . . 96
§ 119. Die Nullstellen eines Primideals 97
§ 120. Die Dimensionszahl . . . . . . 100
§ 121. Der Hilbertsche Nullstellensatz. Resultantensysteme für homogene
Gleichungen . . . . . 102
§ 122. Die Primärideale. . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§ 123. Der Noethersche Satz. . . . . . . . . . . . . . . 107
§ 124. Zurückführung der mehrdimensionalen Ideale auf nulldimensionale 111
Fünfzehntes Kapitel
Ganze algebraische Größen
§ 125. Endliche ?\-Moduln. . . . . . . . . 115
§ 126. Ganze Größen in bezug auf einen Ring . . . . . 117
§ 127. Die ganzen Größen eines Körpers. . . . . . . . 120
§ 128. Axiomatische Begründung der klassischen Idealtheorie 125
§ 129. Umkehrung und Ergänzung der Ergebnisse . . . . . 129
§ 130. Gebrochene Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . 132
§ 131. Idealtheorie beliebiger ganz-abgeschlossener Integritätsbereiche 134
Sechzehntes Kapitel
Lineare Algebra
§ 132. Moduln. Linearformen. Vektoren. Matrices . . . . . . . . 141
§ 133. Moduln in bezug auf einen Schiefkörper. Lineare Gleichungen 146
§ 134. Moduln in euklidischen Ringen. Elementarteiler 149
§ 135. Der Hauptsatz über abelsche Gruppen 153
§ 136. Darstellungen und Darstellungsmoduln . . . . 157
§ 137. Normalformen für eine Matrix in einem kommutativen Körper. 160
§ 138. Elementarteiler und charakteristische Funktion 164
§ 139. Quadratische und Hermitesche Formen 166
§ 140. Antisymmetrische Bilinearformen 173
Siebzehntes Kapitel
Algebren
§ 141. Direkte Summen und Durchschnitte . 177
§ 142. Kommutative Algebren . . . . . . . 180
§ 143. Beispiele von nichtkommutativen Algebren 183
§ 144. Produkte und verschränkte Produkte . . . 188
§ 145. Algebren als Gruppen mit Operatoren. Moduln und Darstellungen 196
§ 146. Das kleine und das große Radikal 200
§ 147. Das Sternprodukt . . . . . . . . . . . . . 204
§ 148. Ringe mit Minimalbedingung . . . . . . . . . 206
§ 149. Zweiseitige Zerlegungen und Zentrumszerlegung 210
Inhaltsverzeichnis IX
§ 150. Einfache und primitive Ringe . . . . . . 212
§ 151. Der Endomorphismenring einer direkten Summe . 216
§ 152. Struktursätze für halbeinfache und einfache Ringe 218
§ 153. Das Verhalten der Algebren bei Erweiterung des Grundkörpers . 220
Achtzehntes Kapitel
Darstellungstheorie der Gruppen und Algebren
§ 154. Problemstellung . . . . . . . 225
§ 155. Darstellung von Algebren . . . 226
§ 156. Die Darstellungen des Zentrums 230
§ 157. Spuren und Charaktere . . . . 232
§ 158. Darstellung abelscher Gruppen. 234
§ 159. Darstellungen endlicher Gruppen. 237
§ 160. Gruppencharaktere . . . . . . . 241
§ 161. Die Darstellungen der symmetrischen Gruppen. 246
§ 162. Halbgruppen von linearen Transformationen. 249
§ 163. Doppelmoduln und Produkte von Algebren . 252
§ 164. Die Zerfällungskörper einer einfachen Algebra 258
§ 165. Die Brauersche Gruppe. Faktorensysteme 260
Namen- und Sachverzeichnis ..... . 268
Leitfaden
übersicht über die Kapitel der beiden Bände
und ihre logische Abhängigkeit
1
Mengen
2
Gruppen
3
Ringe
I
4
Polynome
13
6 5
Allgemeine
Gruppen Körper
Idealtheorie
I I
t
16 7 15
17
Lineare Galoissche Ganze algebr.
Algebren
Algebra Theorie Größen
I I
18 10 8
Darstellungs- Bewertete Unendliche
theorie Körper Körper
11 12 9 14
Algebraische Topologische Reelle Polynom-
Funktionen Algebra Körper Ideale
