Table Of ContentAlgebra und Zahlentheorie
Wolf P. Barth
Wintersemester 01/02, Sommersemester 02
Version vom 8. Juli 2002
Mathematis
hes Institut der Universit(cid:127)at
Bismar
kstr. 1 1/2, D - 91054 Erlangen
Inhaltsverzei
hnis 3.3 Normale K(cid:127)orpererweiterungen . . 122
3.4 Separable K(cid:127)orpererweiterungen . 131
0 Einfu(cid:127)hrung 2 3.5 Galoiss
he K(cid:127)orpererweiterungen. 142
1 Gruppen 4
4 Beispiele 154
1.1 De(cid:12)nitionen . . . . . . . . . . . . 4
4.1 Kreisteilungsk(cid:127)orper . . . . . . . . 154
1.2 Homomorphismen und Normal-
4.2 Endli
he K(cid:127)orper . . . . . . . . . 166
teiler . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Zyklis
he K(cid:127)orper . . . . . . . . . 172
1.3 Zyklis
he Gruppen . . . . . . . . 19
4.4 Au(cid:13)(cid:127)osbare K(cid:127)orper . . . . . . . . 181
1.4 Endli
h erzeugte Gruppen . . . . 26
4.4.1 Glei
hungenvomGraddrei185
1.5 Sylow-Untergruppen . . . . . . . 34
4.4.2 Glei
hungenvomGradvier189
1.6 Au(cid:13)(cid:127)osbare Gruppen . . . . . . . 42
4.4.3 Glei
hungen vom Grad
(cid:21)5 . . . . . . . . . . . . 193
2 Ringe 48
2.1 De(cid:12)nitionen . . . . . . . . . . . . 48
5 Miszellen 197
2.2 K(cid:127)orper . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1 Algebrais
her Abs
hluss . . . . . 197
2.3 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Ganze algebrais
he Zahlen . . . . 199
2.4 Quadratis
he Reste . . . . . . . . 80
5.3 Norm und Spur . . . . . . . . . . 203
2.5 Polynomringe . . . . . . . . . . . 88
2.6 Polynomre
hnen . . . . . . . . . 95
6 Algebrais
he Zahlk(cid:127)orper 209
2.6.1 Elementarsymmetris
he
6.1 DerRingderganz-algebrais
hen
Polynome . . . . . . . . . 96
Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 209
2.6.2 Resultante. . . . . . . . . 99
6.2 Einheiten . . . . . . . . . . . . . 218
2.6.3 Diskriminante . . . . . . . 104
6.3 Irreduzible ganz-algebrais
he
3 K(cid:127)orpererweiterungen 108 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 225
3.1 De(cid:12)nitionen . . . . . . . . . . . . 108 6.4 Die Fermats
he Vermutung . . . 234
3.2 Konstruktionen mit Zirkel und 6.5 Idealtheorie . . . . . . . . . . . . 244
Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.6 Idealklassen . . . . . . . . . . . . 255
0 Einfu(cid:127)hrung
Unter 'Algebra' verstand man urspru(cid:127)ngli
h die Theorie des Au(cid:13)(cid:127)osens von Polynomglei
hungen
in einer Unbekannten x. Lineare und quadratis
he Glei
hungen
2
p(cid:1)x+q =0; x +p(cid:1)x+q =0;
waren s
hon den A(cid:127)gyptern und Babyloniern bekannt. Mit kubis
hen Glei
hungen
3 2
x +p(cid:1)x +q(cid:1)x+r =0
bes
h(cid:127)aftigte man si
h s
hon im antiken Grie
henland. Die grie
his
he Mathematik beein(cid:13)usste
dieindis
henundarabis
henMathematiker,unddieses
hlie(cid:25)li
hdieitalienis
henMathematiker
der Renaissan
e. Um 1550 fanden sie L(cid:127)osungsformeln fu(cid:127)r Glei
hungen dritten und vierten Gra-
des. Seitdem war der Versu
h, sol
he Formeln au
h fu(cid:127)r Glei
hungen vom Grad (cid:21) 5 anzugeben,
eines der ganz gro(cid:25)en o(cid:11)enen Probleme in der Mathematik. Die L(cid:127)osung dieses Problems viel al-
lerdingsunerwartet negativ aus: RuÆni (1799) und Abel (1826) bewiesen, dass es i.a. unm(cid:127)ogl
h
ist, eine Glei
hung fu(cid:127)nften oder h(cid:127)oheren Grades dur
h (iteriertes) Wurzelziehen aufzul(cid:127)osen.
Die Argumente von RuÆni und Abel waren wohl ni
ht ganz vollst(cid:127)andig. Ein wirkli
hes
Verst(cid:127)andnis fu(cid:127)r die Gru(cid:127)nde der Ni
ht-Au(cid:13)(cid:127)osbarkeit algebrais
her Glei
hungen hatte zuerst Ga-
lois ((cid:24) 1830). Der Grund besteht in Symmetrien zwis
hen den L(cid:127)osungen. Der einfa
hste Fall ist
die Formel s
2
p p
x1;2 =(cid:0) (cid:6) (cid:0)q
2 4
fu(cid:127)rdiebeidenL(cid:127)osungen einerquadratis
henGlei
hung.DieSymmetrieste
kt hierindenbeiden
Vorzei
hen der Wurzel. Vor allem wegen seines fru(cid:127)hen tragis
hen Todes wurden die Argumente
vonGaloisdermathematis
henO(cid:127)(cid:11)entli
hkeiterstum1850bekannt.Dannaberhattensiegewal-
tige Konsequenzen: Die Untersu
hung von Symmetrien fu(cid:127)hrte zum Begri(cid:11) der Gruppe (Cau
hy
1844, Cayley 1854). Dieser Begri(cid:11) fu(cid:127)hrte zu radikaler Umgestaltung vieler mathematis
her Ge-
biete. Vor allem Emmy Noether ((cid:24) 1920) ver(cid:127)anderte die Algebra, die urspru(cid:127)ngli
hGlei
hungen
als Objekte hatte, zu einer Strukturtheorie. Mathematis
he Strukturen gewannen dann au
h in
vielen anderen Gebieten zentrale Bedeutung.
Die Strukturen der Algebra sind Gruppen, Ringe und K(cid:127)orper. Und in dieser Reihenfolge
wollenwirsieindieserVorlesungau
hbehandeln.DieseStrukturensindausInhaltenentstanden
und dienen dem Verst(cid:127)andnis dieser Inhalte. Es handelt si
h
bei um die Struktur hinter der
Gruppen Symmetrie
Ringen Teilbarkeit
K(cid:127)orpern Au(cid:13)(cid:127)osbarkeit von Glei
hungen
Bei derAusarbeitung dieser Vorlesung habei
h aus denfolgendenBu(cid:127)
hern, z.T. hemmungs-
los, abges
hrieben:
(cid:15) M. Artin: Algebra. Birkh(cid:127)auser 1993
2
(cid:15) N. Ja
obson: Basi
Algebra I. Freeman u. Co. 1985
(cid:15) B.L v.d. Waerden: Algebra I. Springer 1960
Vor etwa zehn Jahren habe i
h diese Vorlesung s
hon einmal (zum ersten Mal) gehalten. Weil
i
h kein strukturierter Algebraiker bin, ging das damals b(cid:127)ose ins Auge. (Die S
hwester eines
Studenten aus dieser Vorlesung, die sp(cid:127)ater bei mir ihre Diplomarbeit s
hrieb, meinte allerdings,
ganz so s
hlimm sei es do
h ni
ht empfunden worden.) Damals habe i
h das Bu
h
(cid:15) F. Lorenz: Einfu(cid:127)hrung in die Algebra I. BI 1992
benutzt. No
hmal wu(cid:127)rde i
h das ni
ht tun. Bei Studenten ziemli
h beliebt ist das Bu
h
(cid:15) K. Meyberg: Algebra, Teile 1 und 2. Hanser 1975/76
Diesmalhaltei
hdieseVorlesung,umLehramts-Studentenoptimalaufdies
hriftli
heAlgebra-
Pru(cid:127)fung im Hauptexamen vorzubereiten. Deswegen sind die Aufgaben au
h vor allem fru(cid:127)heren
Staatsexamen entnommen. I
h selbst habe au
h mal - vor langer, langer Zeit - das bayeris
he
Staatsexamen abglegt. Damals war der Algebra-Sto(cid:11) fest umrissen: Van der Waerden bis Seite
200. Heutzutage ist das ans
heinend ni
ht mehr so. Deswegen ist es s
hwierig den Sto(cid:11) so zu
strukturieren, dass alle wesentli
hen Inhalte des Staatsexamens abgede
kt werden. I
h werde es
versu
hen.
Natu(cid:127)rli
h ist es au
h Diplomern ni
ht verboten, diese Vorlesung zu h(cid:127)oren.
3
1 Gruppen
1.1 De(cid:12)nitionen
Was eine Gruppe ist, muss man s
hon in der Anf(cid:127)angervorlesung 'Lineare Algebra' lernen, weil
man ohne diesen Begri(cid:11) einfa
h ni
ht auskommt.
De(cid:12)nition 1.1 Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Verkn(cid:127)upfung
G(cid:2)G 3(g;h) 7! gh 2G:
F(cid:127)ur diese Verkn(cid:127)upfung gelten folgende Eigens
haften:
Assoziativit(cid:127)at: (gh)k =g(hk).
Existenz der Eins: Es gibt ein Element e2G mit eg =ge =g f(cid:127)ur alle g 2G.
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
Existenz des Inversen: Zu jedem g 2G gibt es ein g 2G mit gg =g g =e.
Beispiel 1.1 Die folgenden Mengenmit den angegebenen Verkn(cid:127)upfungen sind Gruppen: (ZZ;+),
(cid:3) (cid:3)
(Q;+), (IR;+), (Q ;(cid:1)), (IR ;(cid:1)). Diese Beispiele sind ebenso fundamental wie trivial. Ni
ht ganz
so trivial sind folgende Beispiele:
Die Permutationsgruppe Sn: Siebesteht aus allen bijektivenAbbildungender Menge f1;:::;ng
auf si
h. Die Verkn(cid:127)upfung ist die Hintereinanderausf(cid:127)uhrung:
((cid:27)(cid:28))(k) =(cid:27)((cid:28)(k)); k =1;:::;n:
Die Matrizengruppe GL(n;IR): Siebesteht aus allen invertierbaren n(cid:2)n-Matrizenmit reellen
Eintr(cid:127)agen. Die Gruppe GL(n;IR) hat viele interessante Untergruppen, wie etwa
SL(n;IR) Matrizen mit der Determinante 1,
O(n) orthogonale n(cid:2)n-Matrizen,
(cid:1)(n) invertierbare obere Dreie
ksmatrizen.
Es gibt au
h Gruppen ganzzahliger Matrizen: Die Gruppe SL(n;ZZ) besteht aus allen n(cid:2)n-
Matrizen, deren Eintr(cid:127)age ganze Zahlen sind, und deren Determinante = 1 ist. Dazu geh(cid:127)ort die
Einheitsmatrix, und mit je zwei Matrizen geh(cid:127)ort au
h deren Matrizenprodukt dazu. Ni
ht-trivial
ist, dass f(cid:127)urjede dieser Matrizen au
h dieinverse Matrix ganzzahlig ist. Das folgt aus der Formel
(cid:16) (cid:17)
(cid:0)1 1 i+j
A = (cid:1) ((cid:0)1) det(Aj;i) :
det(A) i;j
Dabei ist Ai;j die (i;j)-Strei
hungsmatrix von A, und deren Determinante ist wieder ganzzahlig.
Hat man zwei Gruppen G und H, so ist deren kartesis
hes Produkt
G(cid:2)H =f(g;h) : g 2G;h 2Hg
wieder eine Gruppe. Man de(cid:12)niert die Verkn(cid:127)upfung komponentenweise
(g1;h1)(g2;h2)=(g1g2;h1h2):
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
Dann ist (eG;eH) das Eins-Element in G(cid:2)H und das Inverse zu (g;h) ist (g;h) =(g ;h ).
Man nennt die so de(cid:12)nierte Gruppe G(cid:2)H das direkte Produkt oder au
h direkte Summe der
Gruppen G und H.
4
Eine sehr h(cid:127)au(cid:12)g vorkommende Gruppe wird ZZn sein, die Gruppe der ganzen Zahlen modulo
n. Dabei ist n > 1 eine nat(cid:127)urli
he Zahl. Die Elemente von ZZn sind die nat(cid:127)urli
hen Zahlen
0;1;2;:::;n(cid:0)1. Und die Verkn(cid:127)upfung ist Addition modulo n:
(
k+l falls k+l <n
0 (cid:20)k;l <n: k+lmodn :=
k+l(cid:0)n falls k+l (cid:21)n:
Das Eins-Element ist nat(cid:127)urli
h e =0 und das Inverse zu k ist n(cid:0)k.
Beispiel 1.2 Die Kleins
he Vierergruppe V4 ist das direkte Produkt ZZ2 (cid:2)ZZ2. Wenn wir die
beiden Elemente in ZZ2 mit 0 und 1 bezei
hnen, so besteht die Gruppe V4 also aus den Elementen
(0;0); (0;1); (1;0); (1;1):
Satz 1.1 a) In einer Gruppe G gibt es nur ein einziges Eins-Element.
(cid:0)1
b) Zu einem Gruppenelement g gibt es nur ein einziges Inverses g .
) (K(cid:127)urzungsregel) Sind g;g1;g2 2 G Gruppenelemente mit gg1 = gg2, so folgt g1 = g2.
Ebenso folgt g1 =g2 aus g1g =g2g.
0
Beweis. a) Es seien e und e 2G zwei Eins-Elemente. Dann folgt
0 0
e = ee (e Eins-Element)
0
= e (e Eins-Element):
b) Aus gg1 =e=g1g und gg2 =e =g2g folgt
g1 =(g1g)g1 =(g2g)g1 =g2(gg1) =g2:
(cid:0)1
) Aus der Glei
hung gg1 = gg2 folgt dur
h Links-Multiplikation mit g dass g1 = g2 ist.
(cid:0)1
Analog folgt g1 =g2 aus der Glei
hung g1g =g2g dur
h Re
hts-Multiplikation mit g .
Oben haben wir vorausgegri(cid:11)en und den Begri(cid:11) der Untergruppe benutzt:
De(cid:12)nition 1.2 Eine Teilmenge H (cid:26) G der Gruppe G hei(cid:25)t Untergruppe, wenn sie mit der
Verkn(cid:127)upfung aus G selbst eine Gruppe ist. Das bedeutet:
eG 2H,
h1;h2 2H ) h1h2 2H;
(cid:0)1
h 2H ) h 2H:
In man
hen, aber nur in den allerwenigsten Gruppen gilt
gh =hg fu(cid:127)r alle g;h 2G:
Dann nennt man die Gruppe kommutativ oder abels
h. Die Permutationsgruppen Sn; n (cid:21) 3;
und die meisten Matrizengruppen sind ni
ht abels
h.
5
Beispiel 1.3 Die Quaternionengruppe H besteht aus a
ht Elementen, die man
(cid:6)1; (cid:6)i;(cid:6)j; (cid:6)k
s
hreibt. Das neutrale Element ist +1. Das Element (cid:0)1 multipliziert jedes Element aus h 2 H
auf (cid:0)h. Die Gruppenstruktur auf H wird festgelegt dur
h
2 2 2
i =j =k =(cid:0)1; ij =(cid:0)ji =k; jk =(cid:0)kj =i; ki =(cid:0)ik =j:
Die Gruppe hei(cid:25)t Quaternionengruppe, weil sie mit den Hamiltons
hen Quaternionen zu tun
hat. Sie ist ni
ht abels
h.
Viele Gruppen,vor allem die abels
hen, sind langweilig. Von Interesse sind sie oft nur wegen
zus(cid:127)atzli
her Strukturen. (Das gilt in besonderem Ma(cid:25) fu(cid:127)r die Vektorr(cid:127)aume aus der linearen
Algebra.) Interessant sind Gruppen, die Symmetrien darstellen. Das ma
hen wir jetzt exakt:
De(cid:12)nition 1.3 Es sei G eine Gruppe und M eine Menge. Eine Operation von G auf M ist
eine Abbildung
G(cid:2)M 3(g;m) 7!g(m) 2M
mit den Eigens
haften
e(m) =m f(cid:127)ur das Eins-Element e2G und alle m2M;
sowie
(gh)(m) =g(h(m)) f(cid:127)ur alle g;h 2G und m2M:
Beispiel 1.4 Die Permutationsgruppe Sn operiert auf der Menge f1;2;:::;ng. Die Matrizen-
n
gruppe GL(n;IR) operiert auf dem Vektorraum IR . Jede Gruppe operiert auf si
h selbst dur
h
Links-Multiplikation:
g(m) :=gm f(cid:127)ur g 2G; m2G:
Die Bedingung
(gh)(m) =g(h(m))
ist gerade die Assoziativit(cid:127)at in der Gruppe. Es gibt aber au
h eine Re
hts-Multiplikation von G
auf si
h: Das ist
g(m) := mg:
In diesem Fall ist aber i.a.
(gh)(m) =mgh 6=mhg =g(h(m)):
Aus der Re
hts-Multiplikation kann man allerdings eine Gruppenoperation ma
hen, wenn man
de(cid:12)niert:
(cid:0)1
g(m) :=mg :
Dann gilt n(cid:127)amli
h
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
(gh)(m) =m(gh) =mh g =g(h(m)):
6
OperiertdieGruppeGaufderMengeM,sode(cid:12)niertjedesElementm2M eineUntergruppe
Gm (cid:26)G:
Gm := fg 2G : g(m) =mg:
Dies ist tats(cid:127)a
hli
h eine Untergruppe: e 2 Gm wegen e(m) = m, g;h 2 Gm ) g(m) = h(m) =
(cid:0)1 (cid:0)1
m ) (gh)(m) = g(h(m)) = g(m) = m ) gh 2 Gm und g 2 Gm ) g (m) = g (g(m)) =
(cid:0)1
(g g)(m) = e(m) = m. Die soeben de(cid:12)nierte Untergruppe Gm hei(cid:25)t die Standgruppe oder
Isotropie-Gruppe oder Stabilisator des Elementes m.
Beispiel 1.5 Die Standgruppe der Zahl n unter der Operation von Sn auf der Menge f1;:::;ng
ist die Menge der Permutationen (cid:27) 2 Sn, die die Zahl n fest lassen. Diese Permutationen
permutieren nur die Zahlen 1;:::;n(cid:0)1 und bilden eine Untergruppe Sn(cid:0)1 (cid:26)Sn.
Interessante Gruppen-Operationenverk(cid:127)orpernSymmetriengeometris
her Objekte. Betra
h-
ten wir etwa ein regul(cid:127)ares n-E
k. Da gibt es n Drehungen um das Zentrum des n-E
ks, wel
he
diese Figur in si
h u(cid:127)berfu(cid:127)hren. Das sind aber no
h ni
ht alle Symmetrien des regul(cid:127)aren n-E
ks:
Jede E
ke liegt auf einer Geraden dur
h das Zentrum, und die Spiegelung an dieser Geraden ist
au
h eine Symmetrie der Figur. Aber s
hon wird das Leben kompliziert: Nur wenn n ungerade
ist,erhaltenwirsodievolleSymmetriegruppe.SiebestehtausnDrehungenundnSpiegelungen,
insgesamt aus 2n Symmetrien. Wenn n jedo
h gerade ist, liegen immer zwei E
ken gegenu(cid:127)ber
auf der Spiegelungs-Gerade. Wir bekommen so nur n=2 Spiegelungen. No
heinmal n=2 Spie-
gelungen bekommen wir, wenn wir Spiegel-Geraden nehmen, die die Mittelpunkte gegenu(cid:127)ber
liegender Seiten verbinden. So kommen wir dann au
h hier auf eine Gruppe aus n Drehungen
und n Spiegelungen. Diese Symmetrie-Gruppe des regul(cid:127)aren n-E
ks hei(cid:25)t Dieder-Gruppe Dn.
Spiegelungsa
hsen des regul(cid:127)aren
............. .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ............. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Viere
ks Fu(cid:127)nfe
ks
De(cid:12)nition 1.4 Eine Operation der Gruppe G auf der Menge M hei(cid:25)t transitiv, falls zu je zwei
Elementen m1;m2 2M ein Gruppenelement g 2G existiert mit g(m1) =m2. Ist die Operation
ni
ht transitiv, so hei(cid:25)t sie intransitiv.
Beispiel 1.6 Die Operation dersymmetris
hen Gruppe Sn auf der Mengef1;:::;ng isttransitiv:
Zu je zwei Zahlen n1;n2 gibt es die Transposition (n1;n2) 2 Sn, wel
he diese beiden Zahlen
vertaus
ht. Die oben angegebene Untergruppe Sn(cid:0)1 (cid:26) Sn, die Standgruppe der Zahl n operiert
allerdings ni
ht transitiv auf der Menge f1;:::;ng, denn es gibt kein Element in Sn(cid:0)1, wel
hes
die Zahl n auf irgend eine andere Zahl abbildet.
7
Ist die Operation ni
ht transitiv, dann bildet G jedes Element m 2 M nur auf Elemente
einer e
hten Teilmenge von M ab. Sol
he Teilmengen G(cid:1)m = fg(m) : g 2 Gg hei(cid:25)en Bahnen
von G auf M. Diese Bahnen bilden eine disjunkte Zerlegung von M = [Mi in Teilmengen Mi,
auf denen G transitiv operiert.
De(cid:12)nition 1.5 Enth(cid:127)alt die Gruppe G nur endli
h viele Elemente, so hei(cid:25)t die Anzahl dieser
Elemente die Ordnung jGj der Gruppe G.
Satz 1.2 (Bahnensatz) Die endli
he Gruppe G operiere transitiv auf der Menge M. Dann
gilt f(cid:127)ur die Ordnung der Gruppe G, die Ordnung jGmj einer jeden Standgruppe Gm (cid:26) G, und
die Anzahl der jMj Elemente von M:
jGj =jGmj(cid:1)jMj:
Beweis. Wir (cid:12)xieren ein Element m0 2M und betra
hten die Abbildung
G !M; g 7!g(m0):
Diese Abbildungist surjektiv wegen der Transitivit(cid:127)at der Operation. Insbesondere ist deswegen
jMj au
h endli
h. Zu jedem Element m2M gibt es die Teilmenge
Um :=fg 2G : g(m0) =mg:
Wegen der Transitivit(cid:127)at der Operation ist Um; m 2 M, nie leer. Fu(cid:127)r m1 6= m2 2 M gilt
Um1 \ Um2 = ;. Jedes Element in Um1 \ Um2 wu(cid:127)rde n(cid:127)amli
h m sowohl auf m1 als au
h auf
m2 6=m1 abbilden, das geht ni
ht. So erhalten wir eine Zerlegung
[
G = Um
m2M
in disjunkte Teilmengen Um. Fu(cid:127)r die Anzahlen jUmj von Elementen in den Teilmengen Um folgt
daraus
X
jUmj =jGj:
m2M
Die Behauptung ergibt si
h, wenn wir zeigen:
jUmj=jGm0j fu(cid:127)r alle m2M:
Sei ein m2M fest gehalten und g 2Um ein Gruppenelement mit g(m0) =m. Fu(cid:127)r alle h 2Gm0
gilt dann au
h
(gh)(m0) =g(h(m0)) =g(m0) =m:
Die Menge
g(cid:1)Gm0 =fgh : h2Gm0g
istalso eineTeilmenge vonUm.Wenn hdieElementevon Gm0 dur
hl(cid:127)auft,erhalten wirso lauter
vers
hiedene Elemente von Um. Deren Anzahlist aber=jGm0j. Die Behauptung folgt, wenn wir
zeigen: Um =g(cid:1)Gm0. Sei dazu u2Um, also u(m0) =m=g(m0). Wegen
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
(g u)(m0) =g (u(m0)) =g (m) =m0
(cid:0)1
ist h:=g u 2Gm0, also u=g(cid:1)h2g(cid:1)Gm0.
8
Satz 1.3 (von Lagrange) Es sei H (cid:26) G eine Untergruppe der endli
hen Gruppe G. Dann
teilt die Ordnung jHj von H die Ordnung jGj der Gruppe G.
Beweis. Zu jedem Gruppen-Element g 2G betra
hten wir die Links-Nebenklasse
g(cid:1)H =fg(cid:1)h: h2Hg:
Wenn si
h zwei sol
he Nebenklassen, etwa g1H und g2H s
hneiden, dann gilt g1h1 = g2h2 mit
(cid:0)1
h1;h2 2 H. Es folgt g2 = g1h1h2 2 g1H und g2H = g1H. Weil jedes Element g = ge 2 gH in
seiner eigenen Nebenklasse liegt, ist die Vereinigung der Nebenklassen die ganze Gruppe. Und
wie wir eben sahen, ist diese Vereinignung eine disjunkte Vereinigung.
DieAnzahljgHjderElementeineinerNebenklassegH istimmerglei
hderGruppenordnung
jHj. Ist k die Anzahl der Nebenklassen, so ist also jGj =k(cid:1)jHj.
De(cid:12)nition 1.6 (Index) Es sei H eine Untergruppe der endli
hen Gruppe G. Dann hei(cid:25)t die
(na
h Lagrange ganze) Zahl
[G :H℄ :=jGj=jHj
der Index von H in G.
Aufgabe 1.1 Es sei (i1;:::;ik) 2Sn ein Zyklus. Zeigen Sie f(cid:127)ur alle (cid:27) 2Sn:
(cid:0)1
(cid:27)(i1;:::;ik)(cid:27) =((cid:27)(i1);:::;(cid:27)(ik)):
Aufgabe 1.2 (H 98, T 3, Aufg 1) a) Geben Sie eine Untergruppe der Ordnung 20 in der
symmetris
hen Gruppe S5 an.
b) Gibt es Untergruppen der Ordnung 20 in A5?
Aufgabe 1.3 (F 94, T1, A1a)) Es sei (cid:24) 2 Sn ein Zykel der L(cid:127)ange n. Bestimmen Sie alle
(cid:25) 2Sn, die mit (cid:24) vertaus
hbar sind.
Aufgabe 1.4 (H 93, T1, Teil von A3) Sei (G;+) eine endli
he abels
he Gruppe mit neu-
tralem Element 0 und G2 =fx 2G : 2x=0g. Man setzt
X
(cid:27)(G) := x:
x2G
Zeigen Sie:
i) G2 ist eine Untergruppe von G, und es ist (cid:27)(G) = (cid:27)(G2). Hinweis: Betra
hten Sie auf G
die A(cid:127)quivalenzrelation x(cid:24)y , x =y oder x=(cid:0)y; (x;y 2G).
ii) Ist #G2 6= 2, so ist (cid:27)(G) = 0; ist #G2 = 2, so ist (cid:27)(G) das von 0 vers
hiedene Element
aus G2.
Aufgabe 1.5 (F 92, T1, A1) Eine Gruppe der Ordnung 55 operiere auf einer Menge M mit
18 Elementen. Zeigen Sie, dass die Gruppe auf M mindestens 2 Fixpunkte hat.
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1.2 Homomorphismen und Normalteiler
De(cid:12)nition 1.7 G und H seien Gruppen, ' : G ! H eine Abbildung. Die Abbildung ' hei(cid:25)t
(Gruppen)-Homomorphismus, oder einfa
h Morphismus, falls f(cid:127)ur alle g1;g2 2G gilt
'(g1g2) ='(g1)'(g2):
Beispiel 1.7 Ist G (cid:26) H eine Untergruppe, so ist die Inklusion G ! H, bei der jedes Element
aus G auf dieses glei
he Element, aufgefasst als in H liegend, abgebildet wird, ein Morphismus.
(cid:3)
Die Determinante det : GL(n;IR) ! IR ist ein Morphismus von Gruppen. Dabei verste-
(cid:3)
hen wir unter IR die Gruppe der reellen Zahlen 6= 0 mit der Multiplikation als Verkn(cid:127)upfung.
Dass diese Abbildung A 7! det(A) ein Homomorphismus ist, das ist gerade die Aussage des
Determinanten-Multiplikations-Satzes.
(cid:3)
Die Exponentialfunktion exp : (IR;+) ! (IR ;(cid:1)) ist au
h ein Morphismus wegen der Funk-
tionalglei
hung exp(r+s)=exp(r)(cid:1)exp(s).
Au
h die Signum-Funktion sign : Sn ! f(cid:6)1g ist ein Homomorphismus. Dabei muss man
die Menge f(cid:6)1g mit der Multiplikation zu einer Gruppe ma
hen.
Wie u(cid:127)bli
h nennt man einen Morphismus Monomorphismus, wenn er injektiv ist, und Epi-
morphismus, wenn er surjektiv ist. Ein bijektiver Morphismus hei(cid:25)t Isomorphismus. Hierzu ein
Beispiel:
Satz 1.4 (von Cayley) Jede endli
he Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer sym-
metris
hen Gruppe Sn f(cid:127)ur ein geeignetes n2IN.
Beweis. Es sei n=jGj die Ordnungder Gruppe G. Wir ordnen die Elemente von G irgenwie
an, etwa G=fg1;::::;gng. Die Links-Translation von G auf si
h selbst
G3g : h7!g(cid:1)h; bzw g(cid:23) 7! g(cid:1)g(cid:23) =g(cid:23)0
0
bewirkt eine Abbildung (cid:27)g : (cid:23) 7! (cid:23) der Indexmenge f1;:::;ng auf si
h selbst. Jedem Gruppen-
element g 2 G wird so eine Permutation (cid:27)g der Zahlen 1;:::;n zugeordnet und wir erhalten so
eine Abbildung G! Sn.
0 0
Aus der Assoziativit(cid:127)at (gg )h = g(g h) folgt (cid:27)gg0 = (cid:27)g(cid:27)g0, d.h., die Abbildung G ! Sn; g 7!
(cid:27)g; ist ein Gruppenhomomorphismus. Dieser ist injektiv. Denn aus (cid:27)g = (cid:27)g0 folgt insbesondere
0 0
g (cid:1)e = g (cid:1)e und g = g . Also ist dieser Homomorphismus ein Isomorphismus von G auf eine
Untergruppe der symmetris
hen Gruppe Sn
DiesersogenannteSatzvonCayleyistrelativbanal,vommodernenStandpunktausgeradezu
trivial.Dassagtaberni
htsdaru(cid:127)ber,wiewi
htigCayleyfu(cid:127)rdieEntwi
klungderGruppentheorie
war: Vor Cayley betra
htete man nur Untergruppen der symmetris
hen Gruppe Sn. Cayley war
der erste, der Gruppen ganz losgel(cid:127)ost von Permutationen untersu
hte.
Satz 1.5 (Homomorphismen) F(cid:127)ur jeden Gruppen-Homomorphismus ' : G!H gilt:
a) '(eG) =eH;
(cid:0)1 (cid:0)1
b) '(g ) ='(g) ;
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