Alfred Tarski

294 Pages·2012·1.07 MB·Polish

WPROWADZENIE
DO
LOGIKI
ALFRED
TA R SK I
PHILOMATH
http://tarski.calculemus.org
http://tarski.calculemus.org
Alfred Tarski
Wprowadzenie
do logiki
http://tarski.calculemus.org
http://tarski.calculemus.org
Alfred Tarski
Wprowadzenie do logiki
i do metodologii
nauk dedukcyjnych
Przekład z czwartej edycji angielskiej
wydanej pod redakcją Jana Tarskiego
Przełożyła Monika Sujczyńska
http://tarski.calculemus.org
Nakładem
FUNDACJI NA RZECZ INFORMATYKI
LOGIKI I MATEMATYKI
Warszawa, 2012
Wydanie trzecie (elektroniczne, PDF),
treść zgodna z wydaniem pierwszym
Tytuł oryginału
Introduction to Logic
and to theMethodology of Deductive Sciences
Oxford University Preee 1994
Fundacja na rzecz Informatyki, Logiki i Matematyki w Warszawie,
jako posiadacz praw wydawniczych do polskiego tłumaczenia,
nieodpłatnie udostępnia zainteresowanym elektroniczną kopię
oryginału pierwszego wydania (ISBN 83-901414-2-60) umieściwszy
ją w witrynie Fundacji pod adresem http://tarski.calculemu.org.
Dopuszcza się kopiowanie na użytek indywidualny i na serwerach
udostępniających książkę w Sieci pod warunkiem zamieszczenia
informacji: „Dzieło skopiowane za zgodą Wydawcy na podstawie
elektronicznego oryginału zamieszczonego pod adresem:
http://tarski.calculemus.org”.
Dopuszczalne jest również przekazywanie kopii na zewnętrznych
nośnikach pamięci. Rozpowszechniany może być wyłącznie plik PDF
w postaci oryginalnej, bez dokonywania w nim jakichkolwiek zmian.
Przekazanie przez użytkownika kopii elektronicznej lub jej wydruku
innemu użytkownikowi jest dopuszczalne tylko nieodpłatnie.
http://tarski.calculemus.org
Spis treści
Z przedmów Autora do poprzednich wydań . . . . . . ix
Od redaktora wydania amerykańskiego . . . . . . . . . xvii
Krótki szkic biograficzny Alfreda Tarskiego . . . . . . xxi
Część pierwsza. Elementy logiki.
Metoda dedukcyjna
I O użyciu zmiennych
§1 Stałe i zmienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2 Wyrażeniazawierającezmienne–funkcjazdaniowaifunk-
cja nazwowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§3 Konstrukcja zdań, w których występują zmienne – zdania
ogólne i egzystencjalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§4 Kwantyfikatory ogólne i egzystencjalne; zmienne wolne i
związane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§5 Znaczenie zmiennych w matematyce . . . . . . . . . . . . 13
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II O rachunku zdań
§6 Stałe logiczne; logika dawna i obecna . . . . . . . . . . . . 19
§7 Rachunek zdań; negacja zdania, koniunkcja i alternatywa
zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§8 Implikacje lub zdania warunkowe; implikacje w znaczeniu
materialnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§9 Użycie implikacji w matematyce . . . . . . . . . . . . . . 29
§10 Równoważność zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
§11 Zasady formułowania definicji . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§12 Prawa rachunku zdaniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§13 Symbolika rachunku zdań; funkcje zdaniowe złożone oraz
tabelki prawdziwościowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§14 Stosowanieprawrachunkuzdańwdowodachmatematycz-
nych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
§15 Reguły dowodzenia; dowody zupełne . . . . . . . . . . . . 46
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
http://tarski.calculemus.org
vi
III O teorii identyczności
§16 Pojęcia logiczne spoza rachunku zdań; pojęcie identyczności 55
§17 Podstawowe prawa teorii identyczności . . . . . . . . . . . 56
§18 Identyczność przedmiotów i identyczność ich oznaczeń;
użycie cudzysłowu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
§19 Równość w arytmetyce i w geometrii oraz jej związek z
identycznością logiczną . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§20 Kwantyfikatory ilościowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
IV O teorii klas
§21 Klasy i ich elementy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§22 Klasy i funkcje zdaniowe o jednej zmiennej wolnej . . . . 73
§23 Klasa pełna i klasa pusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
§24 Podstawowe relacje między klasami . . . . . . . . . . . . . 77
§25 Działania na klasach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
§26 Klasy równoliczne, liczba kardynalna klasy, klasy skoń-
czone i nieskończone; arytmetyka jako część logiki. . . 83
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
V O teorii relacji
§27 Relacje, ich dziedziny i przeciwdziedziny; relacje i funkcje
zdaniowe z dwiema zmiennymi wolnymi . . . . . . . . 91
§28 Algebra relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§29 Kilka rodzajów relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§30 Relacje zwrotne, symetryczne oraz przechodnie . . . . . . 99
§31 Relacje porządkujące; przykłady innych relacji . . . . . . 101
§32 Relacje jednoznaczne czyli funkcje . . . . . . . . . . . . . 103
§33 Relacje wzajemnie jednoznaczne lub funkcje odwracalne
oraz odpowiedniość doskonała . . . . . . . . . . . . . . 108
§34 Relacje wieloczłonowe; funkcje kilku zmiennych i działania 111
§35 Znaczenie logiki dla innych nauk . . . . . . . . . . . . . . 113
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
VI O metodzie dedukcyjnej
§36 Podstawowe składowe nauki dedukcyjnej – terminy pier-
wotne i zdefiniowane, aksjomaty i twierdzenia . . . . . 123
§37 Modele i interpretacje nauki dedukcyjnej . . . . . . . . . . 126
§38 Prawo dedukcji; formalny charakter nauk dedukcyjnych . 131
http://tarski.calculemus.org
vii
§39 Wybór aksjomatów i terminów pierwotnych;
ich niezależność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§40 Formalizacja definicji i dowodów, sformalizowane nauki
dedukcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
§41 Niesprzeczność i zupełność nauki dedukcyjnej; zagadnie-
nie rozstrzygalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
§42 Rozszerzone pojęcie metodologii nauk dedukcyjnych . . . 145
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Część druga. Zastosowania logiki i metodologii
w konstruowaniu teorii matematycznych
VII Konstrukcja teorii matematycznej:
prawa uporządkowania liczb
§43 Terminy pierwotne konstruowanej teorii; aksjomaty, które
dotyczą podstawowych relacji między liczbami . . . . 165
§44 Prawa przeciwzwrotności dla podstawowych relacji; do-
wody nie wprost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
§45 Dalsze twierdzenia o podstawowych relacjach między licz-
bami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
§46 Inne relacje między liczbami . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
VIIIKonstrukcja teorii matematycznej:
prawa dodawania i odejmowania
§47 Aksjomaty dotyczące dodawania; ogólne własności dzia-
łań, pojęcie grupy i grupy abelowej . . . . . . . . . . . 181
§48 Prawa przemienności i łączności dla większej liczby skład-
ników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§49 Prawamonotonicznościdladodawania i ich odwrócenia . . 184
§50 Zamknięte systemy zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
§51 Kilka wniosków z praw monotoniczności . . . . . . . . . . 192
§52 Definicja odejmowania; działania odwrotne . . . . . . . . 195
§53 Definicje, których definiendum zawiera znak identyczności 196
§54 Twierdzenia o odejmowaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
http://tarski.calculemus.org
viii
IX Rozważania metodologiczne dotyczące
skonstruowanej teorii
§55 Eliminacja zbytecznych aksjomatów z pierwotnego sys-
temu aksjomatycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
§56 Niezależność aksjomatów systemu uproszczonego . . . . . 210
§57 Eliminacja zbytecznego terminu pierwotnego prowadząca
do uproszczenia systemu aksjomatycznego; pojęcie
grupy abelowej uporządkowanej . . . . . . . . . . . . . 213
§58 Dalsze uproszczenie systemu aksjomatycznego; możliwe
przekształcenia systemu terminów pierwotnych . . . . 216
§59 Zagadnienie niesprzeczności skonstruowanej teorii . . . . . 222
§60 Zagadnienie zupełności skonstruowanej teorii . . . . . . . 223
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
X Rozszerzenie skonstruowanej teorii: podstawy
arytmetyki liczb rzeczywistych
§61 Pierwszy system aksjomatyczny dla arytmetyki liczb rze-
czywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
§62 Bliższa charakterystyka pierwszego systemu aksjomatycz-
nego; jego metodologiczne zalety i dydaktyczne
braki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
§63 Drugi system aksjomatyczny dla arytmetyki liczb rzeczy-
wistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
§64 Bliższa charakterystyka drugiego systemu aksjomatycz-
nego; pojęcie ciała liczb i ciała uporządkowanego liczb 236
§65 Równoważność obu systemów aksjomatycznych; metodo-
logiczne braki i dydaktyczne zalety drugiego
systemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Posłowie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
http://tarski.calculemus.org