Table Of ContentББК 74.200.58
Т86
33-й Турнир им. М. В. Ломоносова 26 сентября 2010 года.
Задания.Решения.Комментарии/Сост.А.К.Кулыгин.—М.:
МЦНМО, 2012. — 182 с.: ил.
Приводятся условия и решения заданий Турнира с подробными коммен-
тариями(математика,физика,химия,астрономияинаукиоЗемле,биология,
история, лингвистика, литература, математические игры). Авторы постара-
лисьнаписатьнепростосборникзадачирешений,аинтереснуюнаучно-попу-
лярную брошюру для широкого круга читателей. Существенная часть мате-
риалаизложенанауровне,доступномдляшкольников7-гокласса.
ДляучастниковТурнира,школьников,учителей,родителей,руководите-
лейшкольныхкружков,организатороволимпиад.
ББК 74.200.58
Тексты заданий, решений, комментариев составили и подготовили: П.М.Аркадьев
(лингвистика), А.Г.Банникова (математические игры), С.Д.Варламов (физика),
Г.М.Виноградов(биология),Ю.Ю.Воротникова(биология),Г.А.Гальперин(мате-
матика),Т.О.Зверева(биология),М.В.Калякин(биология),Т.В.Караваева(мате-
матика), Е.И.Кудрявцева (биология), К.Н.Куличенкова (биология), А.К.Кулы-
гин(физика),А.Л.Леонтьева(лингвистика),С.В.Лущекина(химия),Г.А.Мерзон
(математика), А.А.Морковин (биология), И.И.Осипов (математика), Е.Г.Петраш
(биология), А.Ч.Пиперски (лингвистика), И.В.Раскина (математические игры),
А.М.Романов(астрономияинаукиоЗемле),Ф.Т.Романов(математика),З.П.Сви-
танько (химия), А.М.Сигунова (биология), С.Г.Смирнов (история), Я.Г.Тестелец
(лингвистика),Б.Р.Френкин(математика),А.В.Хачатурян(математическиеигры),
Н.А.Шапиро(литература),А.В.Шаповалов(математика),Н.Е.Шатовская(астро-
номияинаукиоЗемле),О.Ю.Шведов(физика),А.А.Шулаков(биология).
Турнир проведён при поддержке
Департамента образования города Москвы,
Фонда некоммерческих программ «Династия»,
НП «Социальное партнёрство развития Брянской области»,
компании «Яндекс», Дойче Банка, компьютерного супермаркета «Никс»,
Русского фонда содействия образованию и науке,
Благотворительного фонда содействия образованию «Дар».
Все опубликованные в настоящем издании материалы распространяются сво-
бодно, могут копироваться и использоваться в учебном процессе без ограничений.
Желательны(вслучаях,когдаэтоуместно)ссылкинаавторов.
Электроннаяверсия:http://www.turlom.info
(cid:13)c Московскийцентрнепрерывного
ISBN 978–5–94057–921–2 математическогообразования,2011.
XXXIII Турнир имени М. В. Ломоносова
26 сентября 2010 года
Задания. Решения. Комментарии
Москва
Издательство МЦНМО
2012
Предисловие
Ломоносовскийтурнир—ежегодныйтурнирпоразнымпредметамдля
всех желающих школьников. Традиционно он проводится в последнее
воскресенье перед первой субботой октября. XXXIII турнир состоялся
26 сентября 2010 года.
Турнир продолжается примерно 5–6 часов. Сколько предметов
выбрать, сколько времени потратить на каждый из них и в каком
порядке — участник решает сам (конкурсы проходят в разных аудито-
риях и всегда можно перейти из одной аудитории в другую1).
Всего в XXXIII Турнире имени М. В. Ломоносова приняли участие
46139 учащихся (в том числе2 46136 учащихся 1–11 классов), из них
9532 были награждены Грамотами за успешное выступление:
Класс 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Всего
Участников 1 5 47 85 843 4020 5605 6784 8608 8741 11397 46136
Грамот 1 2 16 34 190 1025 1364 1327 1665 1808 2100 9532
Всегорабочиегруппыпопредметампроверили102974работыучаст-
ников по различным дисциплинам.
Традиционно среди участников не определяются лучшие (1, 2 и 3
места). Грамотами с формулировкой «за успешное выступление на кон-
курсе по ...(предмету)» награждались все школьники, успешно спра-
вившиеся с заданием по этому предмету (или по нескольким предме-
там — тогда все эти предметы перечисляются в грамоте).
Ещё одна традиция турнира — балл многоборья. Он даётся за «про-
межуточные» результаты по предметам, когда в работе достигнуты
определённые успехи, но грамоту за это участник не получил. Если у
одного участника окажется 2 или больше таких баллов — его участие в
разных конкурсах будет отмечено грамотой «за успешное выступление
по многоборью». Ученикам начальной школы (1–4 классы), участво-
вавшим в турнире наравне со старшеклассниками, для награждения
достаточно получить балл многоборья только по одному предмету.
ВсематериалыТурнираимениМ.В.Ломоносова(выданныешколь-
никамзадания,материалыпроолимпиадыикружки,результатыучаст-
ников, статистические данные, критерии награждения, Положение о
1Учащиеся 11 классов выполняют все задания в одной аудитории, в остальном
порядокихучастиятакойже.
2Также участвовали учащиеся младших курсов профессиональных колледжей,
музыкальных и медицинских училищ и т. п. (что соответствует 10–11 классам) и
дети,обучающиесяневшколе.
3
Турнире) занимают достаточно большой объём. Не все они помеща-
ются в бумажный отчёт. С любыми из этих материалов можно озна-
комитьсянаwww-сайтетурнираhttp://www.turlom.info(публикация
всехматериалов,прозрачностьприподведенииитогов—одинизоснов-
ных принципов работы организаторов Турнира). Там же опубликована
и электронная версия сборника заданий, предисловие к которому вы
сейчас читаете.
В данном сборнике содержатся все задания, ответы и комментарии
к ним всех конкурсов по разным предметам XXXIII Турнира имени
М. В. Ломоносова 26 сентября 2010 года, а также статистика резуль-
татов, дающая представление о вариантах по предметам в целом и
отдельных заданиях с точки зрения школьников (насколько эти зада-
ния оказались сложными, интересными и удачными). Отметим наибо-
лее интересные задания и темы.
На конкурсе по математике предлагалось (задача № 4) разрезать
фигуру замысловатой формы на 3 равные части и сложить из них
правильный шестиугольник. На первый взгляд форма предложенной
дляразрезанияфигурыкажетсясовершеннонеподходящейдлясклады-
вания правильного шестиугольника, а решение оказывается несколько
неожиданным.
Разрезанию правильногошестиугольникатакжепосвященозадание
№ 1 конкурса по математическим играм.
На конкурсе по физике в задаче № 10 рассматривается оригиналь-
ный оптический опыт русского и советского астронома и астрофизика
конца19–начала20векаАристархаАполлоновичаБелопольского,ныне
уже почти забытый, но в своё время оказавший (как и автор опыта)
существенное влияние на дальнейшее развитие физики, астрофизики и
астрономии—вплотьдонашихдней.Школьникампредлагалосьповто-
рить путь первооткрывателей и самостоятельно предложить идею экс-
перимента. Обладая нынешними знаниями физики (хотя бы и в пре-
делах школьной программы), сейчас это сделать намного проще, чем
почти 100 лет назад, и некоторые участники Турнира успешно справи-
лись с этим трудным заданием.
В том, как покрыть слоем меди золотую монету и зачем для этого
кроме медной монеты и раствора хлорида железа нужна ещё и желез-
ная монета, можно разобраться, решив задачу задаче № 8 конкурса по
химии (или прочитав решение этой задачи).
В задаче № 8 конкурса по биологии рассматривается роль течений
в жизни морских животных. Многие примеры, относящиеся к данному
4
вопросу, оказываются неожиданными и удивительными. Так, речной
угорь по пути к местам нереста преодолевает путь в десятки тысяч
километров,азатемличинкивозвращаютсяобратно,преодолеваячасть
этого пути с помощью морских течений.
Уменьшительныеформыиформымножественногочиславрусском
и ингушском языках, их взаимные соответствия и связанные с этим
интересные эффекты при переводе с одного языка на другой и обратно
рассматриваются в задании № 2 конкурса по лингвистике.
Оказывается,предвестникамиземлетрясениймогутбытьизменения
вионосфере,расположеннойнавысотахсотникилометровотповерхно-
сти Земли. Возможные причины взаимосвязи землетрясений и процес-
сов в ионосфере рассматриваются в задании № 4 конкурса по астроно-
мии и наукам о Земле.
Отличительная черта конкурса по литературе — тексты ответов и
решений в основном подготовлены не жюри, а написаны самими участ-
никами в конкурсных работах. Задача жюри здесь — подобрать для
публикации наиболее удачные, точные, содержательные и интересные
ответы,дополнить,уточнитьипрокомментироватьих.Какпоказывает
опыт, серьёзные литературоведческие тексты, написанные взрослыми,
сточкизренияшкольниковчастооказываютсясложнымидлячтенияи
понимания,аиногдаипростоскучными.ЛитературныйконкурсЛомо-
носовскоготурнирапредоставляетуникальнуювозможностьисправить
эту ситуацию. Среди работ нескольких тысяч участников из разных
классов, разных школ и регионов обязательно находятся очень хоро-
шиеработы.Собранныевместе,онипозволяютсоставитьрешениязада-
нийлитературногоконкурсанамноголучше,понятнееиинтереснеедля
школьников, чем это получилось бы у жюри самостоятельно.
В соответствии с Положением (п. 1.5) Турнир имени М. В. Ломо-
носова проводится ежегодно Московским центром непрерывного мате-
матическогообразования,Московскимгосударственнымуниверситетом
имени М. В. Ломоносова, Московским институтом открытого образова-
ния Департамента образования города Москвы, Российской Академией
наук,Московскимавиационныминститутом(государственнымтехниче-
ским университетом), Московским государственным технологическим
университетом «СТАНКИН», другими образовательными учреждени-
ями, научными и образовательными организациями.
На странице сайта Турнира имени М. В. Ломоносова по адресу
http://registration.turlom.infoс28апреляпо13сентября2010года
проводился приём заявок (в электронной форме) от всех желающих
5
организаций, готовых провести Турнир на своей территории в любом
регионе (как в Российской Федерации, так и за её пределами). Боль-
шинство заявок на проведение турнира было удовлетворено. XXXIII
Турнир имени М. В. Ломоносова состоялся в воскресенье 25 сентября
2010 года в следующих населённых пунктах: г. Алексин Тульской обл.,
г. Алма-Ата, г. Апатиты Мурманской обл., г. Армавир Краснодарского
края,г.Астана,г.Астрахань,г.БалаковоСаратовскойобл.,г.Белгород,
г. Березники Пермского края, г. Бийск Алтайского края, с. Большебы-
ковоКрасногвардейскогорайонаБелгородскойобл.,с.БольшойМорец
Еланского района Волгоградской обл., с. Борискино-Игар Клявлин-
ского района Самарской обл., г. Брянск, г. Валуйки Белгородской обл.,
д.ВеледниковоИстринскогорайонаМосковскойобл.,с.Верхневилюйск
Республики Саха (Якутия), г. Владикавказ, г. Владимир, станция Вну-
ково (Ленинский район Московской обл.), г. Волгоград, г. Волгодонск
Ростовской обл., г. Воронеж, п. Выгоничи Брянской обл., п. Гордеевка
Брянской обл., г. Губкин Белгородской обл. г. Димитровград Улья-
новской обл., с. Дмитриевка Старооскольского района Белгородской
обл., г. Дмитров Московской обл., д. Добрунь Брянского района Брян-
ской обл., г. Донецк, п. Дубовое Белгородского района Белгородской
обл., п. Дубровка Брянской обл., г. Дятьково Брянской обл., г. Ейск
Краснодарского края, г. Елизово Камчатского края, г. Ессентуки Став-
ропольскогокрая,г.ЖелезногорскКурскойобл.,г.Железнодорожный
Московской обл., п. Жирятино Брянской обл., г. Жуковка Брянской
обл., д. Жуковка Одинцовского района Московской обл., г. Завитинск
Амурской обл., с. Замишево Новозыбковского района Брянской обл.,
г. Зеленогорск Красноярского края, г. Злынка Брянской обл., г. Ива-
ново, п. Ивня Белгородской обл., г. Истра Московской обл., с. Калинка
Хабаровского района Хабаровского края, с. Камызино Красненского
района Белгородской обл., г. Карачев Брянской обл., с. Кинель-Чер-
кассы Самарской обл., п. Клетня Брянской обл., п. Климово Брянской
обл., г. Клин Московской обл., г. Клинцы Брянской обл., г. Ковров
Владимирской обл., г. Коломна Московской обл., с. Коломыцево Крас-
ногвардейского района Белгородской обл., п. Комаричи Брянской обл.,
г. Кострома, п. Красная Гора Брянской обл., г. Краснодар, с. Крас-
ное Белгородской обл., п. Красные Баррикады Икрянинского района
Астраханской обл., г. Красный Сулин Ростовской обл., г. Кумертау
Республики Башкортостан, с. Курасовка Ивнянского района Белгород-
ской обл., г. Курск, с. Левокумское Ставропольского, г. Лениногорск
Республики Татарстан, с. Лесниково Кетовского района Курганской
обл., п. Локоть Брасовского района Брянской обл., г. Магнитогорск
6
Челябинской обл., г. Мантурово Костромской обл., г. Мглин Брян-
ской обл., г. Междуреченск Кемеровской обл., г. Миасс Челябинской
обл., г. Морозовск Ростовской обл., г. Москва, г. Мурманск, п. Навля
Брянской обл., г. Нальчик, г. Нарткала Кабардино-Балкарской Респуб-
лики, г. Нелидово Тверской обл., п. Нижний Бестях Республики Саха
(Якутия), г. Нижний Новгород, г. Новозыбков Брянской обл., г. Ново-
московск Тульской обл., г. Новосибирск, г. Новоуральск Свердловской
обл., г. Обнинск Калужской обл., г. Озёрск Челябинской обл., г. Озёры
Московской обл., г. Оренбург, п. Парковый Тихорецкого района Крас-
нодарского края, п. Первое Мая Клинцовского района Брянской обл.,
г. Переславль-Залесский Ярославской обл., г. Пермь, п. Погар Брян-
ской обл., г. Почеп Брянской обл., г. Прокопьевск Кемеровской обл.,
г. Протвино Московской обл., г. Пущино Московской обл., п. Ракитное
Белгородскойобл.,г.РаменскоеМосковскойобл.,г.РжевТверскойобл.,
п. Рогнедино Брянской обл., г. Ростов-на-Дону, г. Рязань, г. Самара,
г. Санкт-Петербург, г. Саранск, г. Саров Нижегородской обл., г. Сая-
ногорск республики Хакасия, г. Севастополь, г. Севск Брянской обл.,
г.СельцоБрянскойобл.,г.Сергиев-ПосадМосковскойобл.,с.Сергиевск
Самарской обл., с. Сетище Красненского района Белгородской обл.,
с. Сорокино Красногвардейского района Белгородской обл., с. Сосно-
воборское Петровского района Саратовской обл., г. Стародуб Брянской
обл., г. Старый Оскол Белгородской обл., г. Стерлитамак Республики
Башкортостан, г. Строитель Яковлевского района Белгородской обл.,
г. Ступино Московской обл., п. Суземка Брянской обл., г. Сураж
Брянской обл., г. Сургут Ханты-Мансийского АО, г. Тверь, г. Томск,
г.ТроицкМосковскойобл.,г.ТрубчевскБрянскойобл.,п.ТуртасУват-
ского района Тюменской обл., с. Уват Тюменской обл., г. Ульяновск,
г. Унеча Брянской обл., г. Уфа, г. Фокино Брянской обл., г. Фрязино
Московской обл., г. Химки Московской обл., г. Чебоксары, г. Челя-
бинск, г. Череповец Вологодской обл., г. Шебекино Белгородской обл.,
с. Шкрябино Стародубского района Брянской обл., г. Электросталь
Московской обл., г. Юбилейный Московской обл., г. Якутск. Полный
список адресов проведения турнира в 2010 году опубликован по адресу
http://registration.turlom.info/cgi-bin/2010/mesta_provedenija
В существенной части регионов Российской Федерации все желаю-
щие школьники получили реальную возможность принять участие в
Турнире и воспользовались такой возможностью. Надеемся, что учи-
теля и энтузиасты работы со школьниками — организаторы Турнира в
регионах—такжеполучилиценныйположительныйопытотпроделан-
ной работы.
7
Также была проведена интернет-версия Турнира3, в которой могли
принять участие все желающие школьники, располагающие подклю-
чённым к сети Интернет компьютером. В интернет-версии турнира
приняли участие 2508 школьников, проверена 6561 работа. Грамотами
«за успешное заочное выступление» награждено 859 школьников (их
работы проверялись по тем же критериям, что и очные письменные
работы).
В 2010 году для всех желающих участников Турнира впервые в
экспериментальном порядке была организована возможность просмот-
реть на сайте Турнира свои отсканированные работы, а также подроб-
ную информацию о проверке своих работ. Для этого всем желающим
принять участие в таком эксперименте предлагалось заранее скачать
с сайта Турнира и распечатать специальные бланки для выполнения
работ,распечататьихипринестиссобойнаТурнир.Этибланки,содер-
жащие специальные машиночитаемые коды, сканировались, автомати-
ческисортировалисьипроверялисьжюринаэкранекомпьютера. Каж-
дый школьник, зная номер своего бланка, может просмотреть как ори-
гинальные файлы, полученные при сканировании работ, так и ознако-
митьсясдействиямижюри,которыевыполнялисьвпроцессеоднойили
несколькихпоследовательныхпроверокегоработ(сразупослевыполне-
ния таких проверок). Все остальные работы, выполненные на обычной
бумаге, проверялись как обычно.
Открытая публикация полных результатов — ещё одна из традиций
турнира. Именно на этом этапе выясняется и исправляется большое
количествонедоразуменийиошибок.Полнаятаблицарезультатовопуб-
ликована по адресу http://turlom.info/2010/rezultaty/all и содер-
жит регистрационные номера участников, классы и полный набор оце-
нок по каждому заданию каждого предмета4.
ТоржественноезакрытиеТурнира,вручениеграмотипризовшколь-
никам, принимавшим участие в турнире в Москве и Московском реги-
оне, состоялось 26 декабря 2010 года в Московском государственном
университете. По традиции были прочитаны популярные лекции по
материалам одного естественнонаучного и одного гуманитарного кон-
курсов турнира: по истории (С. Г. Смирнов) и по астрономии и наукам
о Земле (А. М. Романов), перед участниками и призёрами Турнира и
3Заочные интернет-версии Ломоносовского турнира проводятся начиная с 2006
года.
4По желанию участников (ответ на соответствующий вопрос в регистрационной
анкете)втаблицетакжеуказываетсяфамилия,имяишкола.
8
ихродителямивыступилПредседательоргкомитетаТурнираН.Н.Кон-
стантинов. Записи всех лекций и выступлений опубликованы на сайте
Турнира. Как участники, так и организаторы были вынуждены отме-
титьдостаточнооригинальныеиредкиедляМосквыпогодныеусловия
в этот день, и приложить немало усилий для того, чтобы добраться до
Московского университета. По этой причине многие школьники были
вынуждены остаться дома. А те, кто всё же пришёл в МГУ, запомнили
этот день надолго.
Оргкомитетблагодаритвсех,ктовэтомгодупринялучастиеворга-
низациитурнира.Понашимоценкамэтоболее2000человек—сотрудни-
ков и руководителей принимающих организаций, школьных учителей,
студентов, аспирантов, научных работников, и многих других — всех
принимавших участие в составлении и обсуждении заданий, организа-
циитурниранаместах,дежурствеваудиториях,проверкеработ,органи-
зации торжественного закрытия, подготовке к печати настоящего сбор-
ника материалов турнира.
Электронная версия настоящего издания, а также материалы тур-
ниров этого (2010) года и предыдущих лет (начиная с самого первого
Ломоносовского турнира 1978 года) опубликованы в интернете по адре-
сам:
http://turlom.info
http://www.mccme.ru/olympiads/turlom
http://ТУРЛОМ.РФ
ВсематериалыТурнирараспространяютсябезограниченийимогут
свободно использоваться в образовательных целях.
Следующие Турниры имени М. В. Ломоносова, напоминаем, плани-
руется провести
в воскресенье 25 сентября 2011 года
в воскресенье 30 сентября 2012 года
в воскресенье 29 сентября 2013 года
Приглашаем всех желающих школьников!
9
Конкурс по математике
Задания
Вскобкахуказано,какимклассамрекомендуетсязадача(причёмнеобя-
зательно решать абсолютно все задачи своего класса); решать задачи
более старших классов также разрешается.
1. (6–7) Можно ли заменить буквы цифрами в
ребусе
ШЕ СТЬ+1=СЕ МЬ
· ·
так, чтобы получилось верное равенство (разные
2
буквынужнозаменятьразнымицифрами,одина- V
3
ковые буквы — одинаковыми цифрами)?
2. (6–7) Ещё Архимед знал, что шар занимает
ровно2/3объёмацилиндра,вкоторыйонвписан
V
(шар касается стенок, дна и крышки цилиндра).
Вцилиндрическойупаковкенаходятся5стоящих
другнадругешаров.Найдитеотношениепустого
места к занятому в этой упаковке.
3. (6–8) БоряиМишаедутвпоездеисчитаютстолбызаокном:«один,
два, ...». Боря не выговаривает букву «Р», поэтому при счёте он про-
пускает числа, в названии которых есть буква «Р», а называет сразу
следующее число без буквы «Р». Миша не выговаривает букву «Ш»,
поэтомупропускаетчисласбуквой«Ш».УБорипоследнийстолбполу-
чил номер «сто». Какой номер этот столб получил у Миши?
4. (6–8) Покажите, как разрезать (не обязательно по линиям сетки)
фигуру на рис. 1 на три равные части и сложить из этих частей пра-
вильный шестиугольник, изображённый на рис. 2. Оставлять дырки и
накладывать части друг на друга нельзя.
Рис.1 Рис.2
10
