Table Of ContentZur Darstellungstheorie von
Darstellungsringen
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)
vorgelegt dem Rat der Fakult(cid:127)at fu(cid:127)r Mathematik und Informatik der
Friedrich-Schiller-Universit(cid:127)at Jena
von Dipl.-Math. Markus Deiml
geboren am 28.7.1968 in Augsburg
Gutachter
1. Prof. Dr. Burkhard Ku(cid:127)lshammer, Jena
2. Prof. Dr. Adalbert Kerber, Bayreuth
3. Dr. habil. Robert Boltje, Augsburg
Tag des Rigorosums: 1. Dezember 1997
Tag der (cid:127)o(cid:11)entlichen Verteidigung: 15. Dezember 1997
Inhaltsverzeichnis
Einleitung iii
Notation vi
Kapitel 1. Geschlossene Algebren 1
1. De(cid:12)nition und Eigenschaften 1
2. Idempotente 3
3. Bl(cid:127)ocke und Halbeinfachheit 7
Kapitel 2. Der Burnside-Ring 10
1. Der gew(cid:127)ohnliche Fall 10
2. Der modulare Fall 13
3. Das Radikal 17
4. p-Gruppen 19
5. Symmetrie 22
Kapitel 3. Der Charakterring 28
1. Der gew(cid:127)ohnliche Fall 28
2. Der modulare Fall 29
3. Ein Induktionssatz 32
4. Radikal und Sockel 34
Kapitel 4. Der Grothendieck-Ring 39
1. Der gew(cid:127)ohnliche Fall 39
2. Der modulare Fall 41
Kapitel 5. Der Trivial-Source-Ring 44
1. Der gew(cid:127)ohnliche Fall 44
2. Verschiedene Charakteristiken 47
3. Gleiche Charakteristiken 48
4. Bl(cid:127)ocke 52
i
INHALTSVERZEICHNIS ii
Literaturverzeichnis 54
Lebenslauf 56
Selbst(cid:127)andigkeitserkl(cid:127)arung 57
Einleitung
Gegenstand derDarstellungstheorievonendlichenGruppenistdieKlassi(cid:12)kationderA(cid:127)hn-
lichkeitsklassen von Darstellungen einer endlichen Gruppe G u(cid:127)ber einem K(cid:127)orper F oder,
(cid:127)aquivalentdazu,derIsomorphieklassenvonFG-Moduln.EineM(cid:127)oglichkeit,andieseAufga-
beheranzugehen,istdasStudiumvonDarstellungsringen.ManbetrachtetdazudieMenge
a(FG) der Isomorphieklassenvon virtuellen\ FG-Moduln,diedurch direkte Summeund
"
Tensorprodukt eine wohlde(cid:12)nierte Ringstruktur erh(cid:127)alt. Diese Konstruktion wurde zuerst
vonJ.Greeneingefu(cid:127)hrtundwirddaheroftalsGreen-Ringbezeichnet. NachdemSatzvon
Krull-Schmidtista(FG) einfreierZ-ModulmitdenIsomorphieklassenvon unzerlegbaren
FG-Moduln als Basis.
Ist F ein algebraisch abgeschlossener K(cid:127)orper der Charakteristik 0, so sind die unzerlegba-
ren FG-Moduln zugleich einfach, und die Abbildung, die jedem FG-Modul den zugeh(cid:127)ori-
gen Charakter zuordnet, ist ein Ringisomorphismuszwischen a(FG) und dem Charakter-
ring R(G) von G.
Im Fall, da(cid:25) F die positive Charakteristik q besitzt, ist der Green-Ring jedoch meistens
zu gro(cid:25), um ihn (vernu(cid:127)nftig) beherrschen zu k(cid:127)onnen. Z.B. ist nach D. Higman [13] die
Anzahl der Isomorphieklassen von unzerlegbaren FG-Moduln (und damit der Z-Rang
von a(FG)) genau dann endlich, wenn G eine zyklische q-Sylowgruppe besitzt. Statt-
dessen betrachtet man daher gewisse Teil- und Faktorringe von a(FG), etwa den Ring
a(FG;Triv) der FG-Moduln mit trivialer Quelle oder den Grothendieck-Ring c(FG) der
Kategorie der FG-Moduln. Nicht zuletzt z(cid:127)ahlt auch der Burnside-Ring b(G), n(cid:127)amlich der
Grothendieck-Ring derKategorie derendlichenG-Mengen, zu denDarstellungsringen.Sie
alle sind kommutative Z-Ordnungen, die eine eigene Darstellungstheorie besitzen, die es
zu untersuchen gilt.
Um diese Aufgabe zu erleichtern, erweitert man u(cid:127)blicherweise den Koe(cid:14)zientenring Z
zu einem K(cid:127)orper k mit der Eigenschaft, da(cid:25) die entstehende k-Algebra zerf(cid:127)allt. Auf diese
Weiseerh(cid:127)altmanAk(FG):=k(cid:15)Za(FG); Ck(FG):=k(cid:15)Zc(FG),usw.ImFallchark =0
ist die Struktur dieser Algebren meist bekannt. So folgt bereits aus den Arbeiten von
R. Brauer, da(cid:25) CC(FG) halbeinfach ist. BQ(G) und AC(FG;Triv) sind nach L. Solomon
[21] bzw. S. Conlon [6] ebenfalls halbeinfache Algebren, und dies tri(cid:11)t auch fu(cid:127)r AC(FG)
zu, wenn G eine zyklische q-Sylowgruppe besitzt (J. Green [11] und M. O’Reilly [20]).
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher auf dem Fall chark = p > 0, sozusagen der
modularen DarstellungstheorievonDarstellungsringen.DiebeidenCharakteristikenpund
q von k bzw. F k(cid:127)onnen dabei sowohl gleiche wie auch verschiedene Primzahlen sein.
Zun(cid:127)achst werden wir dazu im ersten Kapitel den Begri(cid:11) einer geschlossenen Algebra
einfu(cid:127)hren. Er erm(cid:127)oglicht es, allgemeine Ergebnisse fu(cid:127)r die Darstellungsringe, die wir un-
tersuchen wollen, zu formulieren. Durch eine geeignete Wahl des Koe(cid:14)zientenrings wird
iii
EINLEITUNG iv
n(cid:127)amlich jeder dieser Darstellungsringe zu einer geschlossenen Algebra. Es wird gezeigt,
da(cid:25) jede geschlossene R-Algebra A u(cid:127)ber dem Zerf(cid:127)allungsk(cid:127)orper von R halbeinfach ist,
und es wird beschrieben, wie die Bl(cid:127)ocke nach Reduktion modulo p zusammenfallen. Eine
wichtige Rolle spielen vor allem die Species von A, d.h. die R-Algebrenhomomorphismen
vonAnachR.Dennnotwendigdafu(cid:127)r,da(cid:25)Aeinegeschlossene Algebraist,istdieExistenz
von genu(cid:127)gend vielen\ Species.
"
Der Rest der Arbeit widmet sich der Reihe nach dem Burnside-Ring, Charakterring,
Grothendieck-Ring und dem Trivial-Source-Ring. Durchwegs behandelt dabei der jeweils
erste AbschnittinjedemKapiteldenFallchark =0 undstellteineZusammenfassungvon
bekannten Tatsachen dar.
DieSpeciesdesBurnside-RingssinddiesogenanntenMarkenhomomorphismen,diebereits
W. Burnside eingefu(cid:127)hrt hat. Sie z(cid:127)ahlen die Fixpunkte von G-Mengen unter jeweils einer
festen Untergruppe von G, unddurch sie wirdb(G) zu einer geschlossenen Z-Algebra. Die
modulareDarstellungstheoriedesBurnside-Rings(cid:12)ndetihrenAusgangspunktbeiA.Dress
[9], der die Primideale von b(G) beschrieben hat. Dies hat T. Yoshida [24] dazu benutzt,
um die primitiven Idempotente von Bk(G) anzugeben. Davon ausgehend untersuchen wir
in Kapitel 2 einzelne Bl(cid:127)ocke von Bk(G). Sie sind indiziert u(cid:127)ber die Konjugationsklassen
von p-perfekten Untergruppen von G, und wir nennen BH den zu H (cid:20) G geh(cid:127)origen
Block, falls H p-perfekt ist. Wir geben eine kanonische k-Basis von BH an, mit deren
Hilfe wir das Jacobson-Radikal JBH von BH beschreiben (Satz 2.16) und die Loewy-
r
L(cid:127)ange l(BH) von BH nach oben durch r+1 absch(cid:127)atzen k(cid:127)onnen, wenn jNG(H) : Hjp =p
ist (Satz 2.18). Ist G eine p-Gruppe, so ist Bk(G) eine lokale Algebra, und wir (cid:12)nden
auch eine Absch(cid:127)atzung der Loewy-L(cid:127)ange nach unten: Bezeichnet (cid:8)(G) die Frattinigruppe
von G, so gilt l(Bk(G)) (cid:21) r + 1, wobei r der Rang der elementarabelschen p-Gruppe
G=(cid:8)(G)ist(Satz2.20). IstGzus(cid:127)atzlichabelsch,sowirddieseAbsch(cid:127)atzungzurGleichheit.
Abschlie(cid:25)end geben wir ein Kriterium an, wann ein Block von Bk(G) fu(cid:127)r eine beliebige
endliche Gruppe G eine symmetrische Algebra ist. Dabei kommt es darauf an, genu(cid:127)gend
Elemente im Sockel eine(cid:45)s Blocks zu (cid:12)nden. Es stellt sich heraus, da(cid:25) BH genau dann
2
symmetrischist,fallsp jNG(H) : Hjist(Satz 2.27). Fu(cid:127)rBk(G) selbstwar eine(cid:127)ahnliches
Kriterium bereits bekannt (siehe [12]).
In Kapitel 3 untersuchen wir den Charakterring. Wir betrachten dabei R(G) u(cid:127)ber einem
Koe(cid:14)zientenring O, der die Werte aller Charaktere von G enth(cid:127)alt. Wir sind dann in der
Lage, Speciesdes Charakterringszude(cid:12)nieren,indemwirdieCharaktere jeweilsaneinem
festen Gruppenelementauswerten. Auf diese Weise k(cid:127)onnen wir die Ergebnisseaus Kapitel
1 auf den Charakterring anzuwenden. Wir geben die primitiven Idempotente von Rk(G)
explizit an (Satz 3.2 und 3.5) und zeigen, da(cid:25) Rk(G) genau dann halbeinfach ist, wenn
p die Gruppenordnung von G nicht teilt (Satz 3.6). Genauer charakterisiert Satz 3.6 die
einfachen Bl(cid:127)ocke. Nebenbei erhalten wir an dieser Stelle ein bekanntes Ergebnis, das auf
S. Berman [4] zuru(cid:127)ckgeht: Der Charakterring enth(cid:127)alt au(cid:25)er 0 und 1 keine Idempotente.
Alsn(cid:127)achstes stellenwirfest, da(cid:25)Rk(G)imGegensatz zuBk(G)injedemFalleinesymme-
trische k-Algebra ist (Satz 3.8), und wirbeweisen einen Induktionssatz fu(cid:127)r Rk(G), der auf
den p-quasielementaren Untergruppen von G basiert (Satz 3.11). Au(cid:25)erdem beschreiben
wir das Radikal von Rk(G) als Kern der Zerlegungsabbildung (Satz 3.14) und den Sockel
als Ring der projektiven Charaktere (Satz 3.19). Leider k(cid:127)onnen wir keine obere Schran-
ke fu(cid:127)r die Loewy-L(cid:127)ange von Rk(G), dafu(cid:127)r aber immerhin fu(cid:127)r den Nilpotenzgrad eines
Radikal-Elements angeben. Sie wird gegeben durch den p-Exponenten von G (Satz 3.16).
EINLEITUNG v
Anstelle der gew(cid:127)ohnlichen Charaktere benutzt man beim Grothendieck-Ring die Brauer-
charaktere von G, um Species zu de(cid:12)nieren. Sie zeigen, da(cid:25) c(FG) u(cid:127)ber einem K(cid:127)orper
der Charakteristik 0, der die Brauercharakterwerte enth(cid:127)alt, ein halbeinfacher Faktorring
des Green-Rings ist. Der modula(cid:45)re Grothendieck-Ring Ck(FG) dagegen ist genau dann
halbeinfach, wenn p = q oder p jGj ist (Satz 4.5). Bei der Untersuchung von Ck(FG)
beschr(cid:127)ankenwirunsansonstenaufdieBeschreibung derprimitivenIdempotente (Satz 4.2
und 4.4), dem Nachweis, da(cid:25) Ck(FG) eine symmetrische Algebra ist (Satz 4.7), und ei-
ner U(cid:127)bertragung der Nilpotenzaussagen des Charakterrings auf den Grothendieck-Ring
(Satz 4.8).
ImletztenKapitelbetrachten wirdenTrivial-Source-Ringoder denRingderq-Permutati-
onsmodulna(FG;Triv). Die Speciesdes Trivial-Source-Ringswurdenzum ersten Mal von
S.Conlonangegeben.WirbestimmeneinKriteriumdafu(cid:127)r,wanndieseSpeciesnachderRe-
duktion modulop zusammenfallen undmu(cid:127)ssen dazu die F(cid:127)alle p6= q und p=q unterschei-
den. Die Ergebnisse sind in Satz 5.7(cid:45)und Satz 5.11 zu (cid:12)nden. Es folgt, da(cid:25) Ak(FG;Triv)
genau dann halbeinfach ist, wenn p jGj ist (Satz 5.13). Diese Aussage beruht wie beim
Charakterring auf der Charakterisierung der einfachen Bl(cid:127)ocke von Ak(FG;Triv). Schlie(cid:25)-
lich zeigen wir, da(cid:25) auch a(FG;Triv) au(cid:25)er 0 und 1 keine Idempotente besitzt.
Bedanken m(cid:127)ochte ich mich abschlie(cid:25)end bei der Universit(cid:127)at Augsburg, die einen Teil mei-
ner Promotionszeit mit einem Stipendium unterstu(cid:127)tzt hat, und natu(cid:127)rlich bei meinem Be-
treuer Prof. Dr. B. Ku(cid:127)lshammerfu(cid:127)r viele lehrreiche Stunden undfu(cid:127)r seine Unterstu(cid:127)tzung,
die mir immer gewi(cid:25) war.
Notation
Allgemeines
N Halbring der natu(cid:127)rlichen Zahlen
Z Ring der ganzen Zahlen
Q K(cid:127)orper der rationalen Zahlen
C K(cid:127)orper der komplexen Zahlen
Fp Galois-Feld mit p Elementen
0 0
np;np p- bzw. p-Anteil einer natu(cid:127)rlichen Zahl n
Gruppen
jGj Ordnung einer Gruppe G
Z(G) Zentrum von G
(cid:8)(G) Frattinigruppe von G
0 0
Gp;Gp p- bzw. p-Elemente von G
0 0
gp;gp p- bzw. p-Faktor von g 2G
hgi (cid:46) von g erzeugte Untergruppe von G
(cid:24)G; G konjugiert bzw. subkonjugiert in G
jG: Hj Index einer Untergruppe H in G
G=H Menge der Linksnebenklassen von G nach H
NG(H) Normalisator von H in G
CG(H) Zentralisator von H in G
p
O (H) p-Residuum von H
g g (cid:0)1 (cid:0)1
h; H ghg bzw. gHg
G
ResH Restriktion von G nach H
G
IndH Induktion von H nach G
G
InfH In(cid:13)ation von G=H nach G
Ringe und Algebren
SpecR Primideal-Spektrum eines kommutativen Rings R
RP Lokalisierung von R nach einem Primideal P
rkRA R-Rang einer freien R-Algebra A
JA Jacobson-Radikal von A
n n
J A (JA) h(cid:127)ohere Radikalpotenzen von A
SocA Sockel von A
l(A) Loewy-L(cid:127)ange von A
vi
NOTATION vii
Kapitel 1 Seite
SpR(A) Menge der Species einer R-Algebra A 1
Supp(’;P) Tr(cid:127)ager von ’ bei P 1
’ (cid:24)P P-A(cid:127)quivalenz von Species ’; 2
RP Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die P-A(cid:127)quivalenzklassen von SpR(A) 2
e’ primitives Idempotent von AK 4
’ (cid:24) Zusammenhang von Species ’; 4
R Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Zusammenhangsklassen von SpR(A) 5
f’ primitives Idempotent von AP 6
S’ einfacher Ak-Modul 8
Kapitel 2
b(G) Burnside-Ring von G 10
BO(G) O(cid:15)Zb(G) 10
[X] Isomorphieklasse einer G-Menge X 10
S Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von
Untergruppen von G 10
’H Markenhomomorphismus von H 10
eH primitives Idempotent von BK(G) 11
P Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von
p-perfekten Untergruppen von G 13
p
SH fI 2S: O (I) (cid:24)G Hg (cid:45) 13
SH Element aus SH mit p jNG(SH)=SHj 14
fH primitives Idempotent von Bk(G) 14
BH Block Bk(G)fH von Bk(G) 15
0 (cid:46)
b(G;H) I2S;H6 IZ[G=I] 15
L
Kapitel 3
R(G) Charakterring von G 28
RO(G) O(cid:15)ZR(G) 28
Irr(G) Menge der irreduziblen Charaktere von G 28
(cid:27)g Species von RO(G) 28
C Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von G 28
eg primitives Idempotent von RK(G) 28
Cp0 Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die p0-Konjugationsklassen von G 29
Cg fh 2C: hp0 (cid:24)G gg 29
’S Brauercharakter eines kG-Moduls S 30
IBr(G) Menge der irreduziblen Brauercharaktere von G 30
fg primitives Idempotent von Rk(G) 30
(cid:31)^ zu (cid:31) dualer Charakter 32
Z Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von
zyklischen Untergruppen von G 32
NOTATION viii
Seite
0
E;Ep;Ep Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von
elementaren, p-elementaren bzw. p-quasielementaren
Untergruppen von G 32
p
R (G) Brauercharakterring von G 34
p
d Zerlegungsabbildung R(G) !R (G) 34
n
n-ter Adams-Operator 35
IPr(G) Menge der unzerlegbar projektiven Charaktere von G 38
pr
R (G) der von IPr(G) erzeugte Teilring von R(G) 38
Kapitel 4
c(FG) Grothendieck-Ring der Kategorie der FG-Moduln 39
CO(FG) O(cid:15)Zc(FG) 39
JMK A(cid:127)quivalenzklasse eines FG-Moduls M in c(FG) 39
S Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Isomorphieklassen von einfachen
FG-Moduln 39
(cid:27)g Species von CO(FG) 40
Cq0 Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die q0-Konjugationsklassen von G 40
eg primitives Idempotent von CK(FG) 40
Cfp;qg0 Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die fp;qg0-Konjugationsklassen von G 41
Cq0;g fh 2Cq0 : hp0 (cid:24)G gg 41
fg primitives Idempotent von Ck(FG) 41
Kapitel 5
a(FG;Triv) Trivial-Source-Ring von FG 44
AO(FG;Triv) O(cid:15)Za(FG;Triv) 44
[M] Isomorphieklasse eines q-Permutationsmoduls M in a(FG;Triv) 44
Sq(G) Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von
q-Untergruppen von G 44
PQ Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Isomorphieklassen von unzerlegbar
projektiven F[NG(Q)=Q]-Moduln 44
Y kanonische Basis von a(FG;Triv) 44
(cid:27)Q;g Species von AO(FG;Triv) 45
0
X f(Q;g) : Q ist q-Untergruppe von G; g 2NG(Q)q g 46
X Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von X 46
eQ;g primitives Idempotent von AK(FG;Triv) 46
X0;X0;XQ;g siehe Seite 52
fQ;g primitives Idempotent von Ak(FG;Triv) 52
