Verschoven Schur Functies en de Schur-Weyl Dualiteit

43 Pages·2017·0.472 MB·Dutch

by  Kees Kok

Verschoven Schur Functies en de Schur-Weyl
Dualiteit
Kees Kok
juli, 2017
Bachelor Project
Begeleiding: prof. dr. Jasper Stokman
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Samenvatting
Er is een prachtige relatie tussen de representaties van de symmetrische groep S en
d
die van de complexe inverteerbare n×n matrices GL (C). Het is niet onverwacht dat,
n
op de torus van diagonaal matrices, de karakters van de polynomiale representaties van
GL (C)gerealiseerdkunnenwordenalssymmetrischepolynomen. Ditwordtbeschreven
n
aan de hand van de beroemde Schur-Weyl dualiteit.
Om dit te bewijzen, brengen we eerst de algemene theorie met betrekking tot de
symmetrische functies in de herinnering, waarna de Schur functies worden gedefinieerd.
Ook wordt gekeken naar speciale situaties wanneer er symmetrische polynomen aan
de hand van interpolatie eigenschappen gedefinieerd kunnen worden. In het bijzonder
komen we uit op de verschoven Schur functies. We eindigen met de binomiaal stelling,
die een relatie tussen al de bovengenoemde termen geeft.
Titel: Verschoven Schur Functies en de Schur-Weyl Dualiteit
Auteur: Kees Kok, 10791876
Begeleiding: prof. dr. Jasper Stokman
Tweede beoordelaar: prof. dr. Eric Opdam
Einddatum: juli, 2017
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam
http://www.science.uva.nl/math
Inhoudsopgave
Inleiding 1
1. Symmetrische Functies 2
1.1. Partities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Constructie van Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Schur Functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Hall Inproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Schur-Weyl Dualiteit 10
2.1. Representaties van GL (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
n
2.2. Representaties van de Symmetrische Groep . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Karakters van de Symmetrische Groep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Karakters van GL (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
n
3. Interpolatie Eigenschappen 21
3.1. Constructie van ΛΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Factori¨ele Schur Functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Verschoven Symmetrische Functies 26
4.1. Constructie van Λ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. Verschoven Schur Functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Binomiaal Stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5. Conclusie 32
Populaire Samenvatting 33
A. Appendix 35
Inleiding
Het vinden van de nulpunten van polynomiale vergelijkingen was in de 16de eeuw een
befaamd probleem. Al gauw werden algemene formules gevonden om derde en vierde
graads polynomen op te lossen. De zoektocht naar hogere graads formules kon gestaakt
wordentoenonderandereE´varisteGaloisbeweesdatergeenalgemeenalgoritmebestaat
voor exacte nulpunten van polynomen van graad vijf of hoger. De vraag kan nog steeds
andersom gesteld worden. Wat kan men van een polynoom zeggen als al dan niet alle
nulpunten bekend zijn? Dit interpolatie probleem is snel opgelost als maar met ´e´en
variabele gewerkt wordt. Het is echter een stuk lastiger om existentie of uniciteit van
eenpolynoominmeerderevariabelenteconcluderen,gegevenbepaaldeinterpolatieeisen.
Hetbijzondereis,alswenaareenspecialeklassevanpolynomenkijken,desymmetrische,
dan is er toch veel over dit soort interpolatie problemen te zeggen.
Het doel van dit document is om de lezer bekend te maken met de toepassingen van
de symmetrische functies binnen de wiskunde. We kunnen bijvoorbeeld elegante eisen
leggen op bepaalde interpolatie problemen, om existentie en uniciteit van het bijbeho-
rende interpolatiepolynoom te garanderen. Ook komen de symmetrische polynomen op
een natuurlijke manier terug in de representatietheorie. Deze link wordt in hoofdstuk 2
weergegeven aan de hand van representaties van de Lie-groep GL (C) en de beroemde
n
Schur-Weyl dualiteit1. Om dit grofweg te bevatten, beschouwen we een diagonaliseer-
bare g ∈ GL (C), met diagonalisatie hgh−1 = diag(x ,...,x ). Als we polynomialiteit
n 1 n
van een representatie V van GL (C) aannemen, dan zien we dat voor het karakter χ
n V
van V geldt
χ (g) = χ (hgh−1) = χ (x ,...,x ),
V V V 1 n
een symmetrisch polynoom in n variabelen.
We zullen daarom in hoofdstuk 1 de nodige voorkennis over de symmetrische polyno-
mengeven, waaronderdeconstructievandesymmetrischefuncties endeSchur functies.
In hoofdstuk 3 worden de interpolatiepolynomen besproken, waar de factori¨ele Schur
functies speciale gevallen van zijn.
We eindigen met de theorie over de vervormde symmetrische polynomen in hoofdstuk
4, en hun link met de interpolatiepolynomen, wat betrekking heeft tot de verschoven
Schur functies. Ook wordt de relatie met de Schur-Weyl dualiteit gegeven.
De eerste stap is dus om de ring van symmetrische polynomen te begrijpen. En hoe
is een ruimte beter te begrijpen dan het bepalen van een basis ervoor. Het zal blijken
dat deze basis op een natuurlijke manier ge¨ındexeerd kan worden door de partities.
1Vernoemd naar Issai Schur en Hermann Weyl.
1
1. Symmetrische Functies
De partities hebben veel toepassingen in de wiskunde. In dit hoofdstuk wordt dat dui-
delijk, en we beginnen met de definitie ervan. De informatie komt in grote lijnen uit [1].
Alleen mooie of niet direct te verwijzen bewijzen zullen worden gepresenteerd.
1.1. Partities
Definitie 1.1.1. Een partitie van een getal n ∈ Z is een eindig of oneindig rijtje
≥0
λ = (λ ,λ ,...) met λ ∈ Z en λ ≥ λ ≥ ···, zodat |λ| := (cid:80) λ = n. We schrijven
1 2 i ≥0 1 2 i i
λ (cid:96) n als λ een partitie is van n.
We zullen de notatie (1n) gebruiken voor de partitie (1,...,1) (cid:96) n. Merk op dat een
partitie maar eindig veel niet nullen heeft. Dit onderbouwt de volgende definitie.
Definitie 1.1.2. Laat λ (cid:96) n, definieer (cid:96)(λ) als het aantal niet nul elementen in de
partitie λ.
Als twee partities alleen in het aantal nullen in de staart verschillen, dan beschou-
wen we die als hetzelfde. Dus (2,1,0) zien we bijvoorbeeld als dezelfde partitie als
(2,1,0,0,...). De context zal duidelijk maken welke realisatie gebruikt wordt. De ver-
(cid:83)
zameling van alle partities van n noteren we met P , en P := P de verzameling
n n≥0 n
van alle partities.
We kunnen partities mooi visualiseren door middel van Young diagrammen.
Definitie 1.1.3. Laat λ (cid:96) n, dan is het Young diagram van λ gedefinieerd als de verza-
meling vierkanten om de punten (i,j) ∈ Z2 met 1 ≤ j ≤ λ .
i
Informeelkomtditneeropλ vierkanteninrijiteplaatseninhetdiagram,metmatrix
i
notatie. Bijvoorbeeld de partitie λ = (4,3,1) van 8 geeft het volgende Young diagram
.
Definitie 1.1.4. Laat λ (cid:96) n. Definieer voor elke i, λ(cid:48) = #{j | λ ≥ i}. Dan heet de
i j
partitie λ(cid:48) = (λ(cid:48),λ(cid:48),...), de geconjugeerde van λ.
1 2
Allereerst zien we dat (cid:96)(λ) = λ(cid:48). Verder merken we op dat het Young diagram van λ(cid:48)
1
precies de getransponeerde van het diagram van λ is. Ter illustratie is de geconjugeerde
partitie van het vorige voorbeeld gelijk aan λ(cid:48) = (3,2,2,1), met diagram
.
2
Definitie 1.1.5. Schrijf λ ⊆ µ als λ ≤ µ voor elke i ∈ N.
i i
Er geldt dat λ ⊆ µ als het Young diagram van λ bevat zit in die van µ.
Definitie 1.1.6. Voor λ ∈ P en α = (i,j) een vierkant in het diagram van λ, defini¨eren
we de haaklengte van α, h(α), als
h(α) = λ +λ(cid:48) −i−j +1.
i j
Combinatorisch gezien zijn dit het aantal vierkanten onder en rechts van α, inclusief α,
in het diagram van λ.
De haaklengtes hebben een mooie eigenschap, die later terug zal komen. Het bewijs
is te vinden in de appendix A.2, waarin [1, Example 1] wordt uitgewerkt.1
(cid:81)
Propositie 1.1.7 (Haaklengte formule). Laat voor λ ∈ P, H(λ) := h(α) het
α∈λ
product van de haaklengtes van λ zijn. Er geldt
(cid:96)(λ)
(cid:89)
(λ +n−i)!
i
H(λ) = i=1 .
(cid:89)
λ −λ −i+j
i j
i<j
Er is een natuurlijke manier om partities partieel te ordenen.
Definitie 1.1.8. We defini¨eren een ordening, ≤, op P door
k k
(cid:88) (cid:88)
λ ≤ µ ⇐⇒ λ ≤ µ , ∀k ≥ 1.
i i
i=1 i=1
Dit wordt ook wel de natuurlijke ordening genoemd en het is niet moeilijk om na te
gaan dat dit een parti¨ele ordening definieert.
Er bestaat ook een natuurlijke werking op de partities.
Definitie 1.1.9. Laat λ = (λ ,...,λ ) ∈ Zn. We laten σ ∈ S op λ werken door
1 n n
σ·λ = (λ ,...,λ ).
σ−1(1) σ−1(n)
Als nu λ ∈ P, met (cid:96)(λ) ≤ n, dan kunnen we S laten werken op de eerste n compo-
n
nenten van λ. Hiermee komen we op een mooie eigenschap, samen met een klassificatie
van de partities. Het korte bewijs hiervan is terug te vinden in [1, (1.12)].
Propositie 1.1.10. Voor λ ∈ Nn geldt, λ ∈ P dan en slechts dan als σλ ≤ λ, voor elke
0
σ ∈ S .
n
Merkdusopdatvooreenλ ∈ Nn debaanvanλonderS precies´e´enkeerP doorsnijdt.
0 n
Er is ook een totale ordening op P, de zogeheten lexicografische ordening.
Definitie 1.1.11 (Lexicografische Ordening). Schrijf λ (cid:22) µ als het eerste niet-nul ver-
schil λ −µ negatief is.
i i
We zien bijvoorbeeld dat (1n) (cid:22) λ (cid:22) (n) voor elke λ ∈ P . Ook geldt
n
λ ≤ µ =⇒ λ (cid:22) µ, voor elke λ,µ ∈ P. (1.1)
1Het kan ook bewezen worden aan de hand van de dimensies van de irreducibele representaties van de
symmetrische groep, [6, Exercise 4.13].
3
1.2. Constructie van Λ
Zoals ge¨ıntroduceerd, een belangrijke klasse van polynomen bestaat uit de invarianten
onder de werking van de symmetrische groep.
Definitie 1.2.1. Beschouw de werking S ×Z[X ,...,X ] → Z[X ,...,X ], gegeven
n 1 n 1 n
door σ · f(X ,...,X ) := f(X ,...,X ). Een polynoom f ∈ Z[X ,...,X ] heet
1 n σ(1) σ(n) 1 n
symmetrisch als σ·f = f, voor elke σ ∈ S .
n
De werking van σ ∈ S op Z[X ,...,X ] definieert een ring automorfisme. We mogen
n 1 n
daarom het volgende defini¨eren.
Definitie 1.2.2. We schrijven Λ voor de deelring bestaande uit symmetrische polyno-
n
men. Dat wil zeggen Λn := Z[X1,...,Xn]Sn = {f ∈ Z[X1,...,Xn] | σf = f, ∀σ ∈ Sn}.
We schrijven Λk voor de abelse groep van homogeen symmetrische polynomen van
n
graadk,samenmethetnul-polynoom. Wezien,ΛkΛl ⊆ Λk+l,dusΛ iseengegradeerde
n n n n
ring via Λ = (cid:76) Λk.
n k≥0 n
Ominhetvervolgdenotatieoverzichtelijktehoudenschrijvenwevoorλ = (λ ,...,λ ) ∈
1 n
Nn het monoom Xλ := Xλ1···Xλn. Het makkelijkste voorbeeld voor een symmetrisch
0 1 n
polynoom is het volgende. Intu¨ıtief is dit een ‘gesymmetriseerd’ monoom.
Definitie 1.2.3 (Monomiaal Symmetrisch Polynoom). Laat λ ∈ P met (cid:96)(λ) ≤ n, dan
defini¨eren we het monomiaal symmetrisch polynoom in n variabelen als
(cid:88)
m (X ,...,X ) = Xµ ∈ Λ|λ|.
λ 1 n n
µ∈Sn·λ
Wezullenwaarmogelijkdenotatiem gebruikenvoorhetpolynoomm (X ,...,X ).
λ|n λ 1 n
We zien, omdat de baan van λ onder S de verzameling P precies ´e´en keer door-
n
snijdt, geldt dat {m | λ ∈ P,(cid:96)(λ) ≤ n} een Z-basis vormt voor Λ . Ookwel,
λ|n n
{m | λ ∈ P ,(cid:96)(λ) ≤ n} vormt een Z-basis voor Λk.
λ|n k n
Om ons geen zorgen te hoeven maken over het aantal variabelen, gaan we het idee van
oneindig variabelen precies maken. Laat m ≥ n ≥ 1 en beschouw het goed gedefinieerde
homomorfisme
ρ : Λ → Λ : f(X ,...,X ) (cid:55)→ f(X ,...,X ,0,...,0). (1.2)
m,n m n 1 m 1 n
Duidelijk geldt nu ρ = id , en ρ = ρ ρ , voor n ≤ k ≤ m.
n,n Λn m,n k,n m,k
Bekijk nu voor k ≥ 0 de goed gedefinieerde beperking ρk := ρ | : Λk → Λk,
m,n m,n Λk m n
m
dan defini¨eren we
(cid:77) (cid:89)
Λ := Λk, met Λk := {(f ) ∈ Λk | f = ρk (f ), ∀1 ≤ i ≤ j}. (1.3)
n n≥1 n i j,i j
k≥0 n≥1
Wedefini¨erendaarbijvoorm ≥ 1decanoniekeprojectiesρk : Λk → Λk : (f ) (cid:55)→ f ,
m m n n≥1 m
en ρ := (cid:76) ρk : Λ → Λ .
m k≥0 m m
Stel f,g ∈ Λ, dan zijn f en g dus van de vorm f = (cid:80)k (fi) en g = (cid:80)(cid:96) (gj) ,
i=0 n n≥1 j=0 n n≥1
met (fi),(gi) ∈ Λi, dan zien we (fi)·(gj) := (figj) ∈ Λi+j. Dus ΛiΛj ⊆ Λi+j en Λ is
n n n n n n
een gegradeerde ring met vermenigvuldiging f ·g = (cid:80)k+(cid:96) (cid:0)(cid:80) figj(cid:1) , wat de
m=0 i+j=m n n n≥1
ρ ring homomorfismen maakt.
n
4
Definitie 1.2.4. De gegradeerde ring Λ noemen we de ring van symmetrische functies.
We bekijken nu hoe deze constructe betrekking heeft op de m . Allereerst
λ|n
(cid:40)
m (X ,...,X ) als (cid:96)(λ) ≤ n
λ 1 n
ρ (m (X ,...,X )) = (1.4)
m,n λ 1 m
0 als (cid:96)(λ) > n.
Dusρ issurjectiefenρk isdatook. Hethomomorfismeρk isbijectiefalsm ≥ n ≥
m,n m,n m,n
k, immers als n ≥ k dan is {m | λ ∈ P } een basis voor Λk. Nu geldt dat de projectie
λ|n k n
ρk een isomorfisme is voor elke n ≥ k. Daaruit volgt dat {m | λ ∈ P } een Z-basis is
n λ k
voor Λk met m , λ (cid:96) k, gedefinieerd als het unieke element zodat ρk(m ) = m , voor
λ n λ λ|n
n ≥ k, wat goed gedefinieerd is wegens (1.4). We zien dus dat Λk een vrij Z-moduul is
van rang #P . Daarnaast vormt de verzameling {m | λ ∈ P} een basis voor Λ, en de
k λ
projecties ρ zijn isomorfismen in graden k met n ≥ k.
n
Kortom is een element f ∈ Λ dus een rijtje (f ) zodat f ∈ Λ , ρ f = f voor
n n≥1 n n m,n m n
m ≥ n, en max degf < ∞. We mogen f dus ook beschouwen als een polynoom in
n n
variabelen X ,X ,..., met de conventie f(X ,...,X ,0,0,...) = f .
1 2 1 n n
We hadden met een willekeurige commutatieve ring A in plaats van Z als grond ring
kunnen beginnen. Omdat de ρ en ρ dan nog steeds isomorfismen blijven in graden
n m,n
k ≤ n ≤ m, mogen we het volgende defini¨eren.
Definitie 1.2.5. Voor een commutatieve ring A, schrijf ΛA := Λ⊗ZA.
De gegradeerde ring Λ bezit ook nog een mooie universele eigenschap. Laat I de
(cid:40)
{(cid:63)} als i ≤ j
categorie zijn met obI = N en Hom (j,i) = , en definieer de functor
I
∅ als i > j
X : I → GRing : i (cid:55)→ Λ en (j → i) (cid:55)→ ρ . Nu geldt dat Λ samen met de projecties ρ
i j,i n
de limiet is van deze functor in de categorie van gegradeerde ringen. Dit wordt ook wel
de inverse limiet, ten opzichte van de homomorfismen ρ , genoemd en genoteerd met
m,n
Λ = limΛ .
←− n
n
De rest van deze paragraaf zal gaan over andere bases geven voor Λ, samen met
de eigenschappen hoe deze aan elkaar gerelateerd zijn. We beginnen met twee nieuwe
symmetrische functies2.
Definitie 1.2.6 (Elementair Symmetrische Functies). Definieer voor elke r ∈ Z de
≥0
elementair symmetrische functies e , zodat e = 1, en
r 0
(cid:88)
e = m = X ···X ∈ Λr,
r (1r) i1 ir
i1<···<ir
wanneer r > 0. Formeel geldt nog, e = (0,...,0,m ,m ,...)
r (1r)|r (1r)|r+1
Definitie 1.2.7 (Compleet Symmetrische Functies). Definieer voor elke r ∈ Z de
≥0
compleet symmetrische functies h als
r
(cid:88) (cid:88)
h = m = Xλ ∈ Λr.
r λ
λ∈Pr λ∈N∞0 :
|λ|=r
2Omdat we niet meer met polynomen in eindig variabelen werken, wordt de term ‘functie’ gebruikt.
5
We zien bijvoorbeeld dat h = 1 = e en h = e . Ook houden we de conventie aan
0 0 1 1
dat e = 0 = h als r < 0. Daarnaast zullen we de volgende notatie gebruiken.
r r
Definitie 1.2.8. Laat λ = (λ ,λ ,...) een partitie, schrijf
1 2
e = e e ··· ,
λ λ1 λ2
h = h h ··· .
λ λ1 λ2
Omdat h = 1 = e is deze definitie inderdaad onafhankelijk van de keuze van de
0 0
representant voor de partitie λ.
Opnieuw zullen we waar nodig e en h schrijven voor de elementair en compleet
λ|n λ|n
symmetrische polynomen in n variabelen, zodat h = (h ,h ,...).
λ λ|1 λ|2
Er is een relatie tussen de e en de m , waarvan het bewijs terug te vinden is in [1,
λ λ
(2.3)], namelijk
(cid:88)
e = a m ,
λ(cid:48) λµ µ
µ≤λ
met a ≥ 0 en a = 1. We kunnen (a ) visualiseren als overgangsmatrix ten opzichte
λµ λλ λµ
van de lexicografische ordening tussen e en m . Wegens (1.1) krijgen we het volgende.
λ(cid:48) λ
Definitie 1.2.9. Een matrix (A ) ge¨ındexeerd door partities van n, wordt een
λ,µ λ,µ∈Pn
eenheids benedendriehoeksmatrix genoemd als A = 0 tenzij µ ≤ λ en A = 1.
λµ λλ
Weziendatdematrix(a )eeneenheidsbenedendriehoeksmatrixis,enisalsbijgevolg
λµ
niet singulier. Dit geeft de volgende stelling, samen met een direct gevolg.
Stelling 1.2.10. De verzameling {e | λ ∈ P} vormt een Z-basis voor Λ.
λ
Gevolg 1.2.11. De elementen e met r ≥ 1 zijn algebra¨ısch onafhankelijk, en er geldt
r
Λ = Z[e ,e ,...].
1 2
Merk op dat dit als leuk gevolg de bekende hoofdstelling van de symmetrische functies
heeft.
De h vormen, net als de e , ook een Z-basis voor Λ. Dit laten we zien met behulp
λ λ
van een goed gekozen endomorfisme.
Definitie 1.2.12. Definieer een endomorfisme ω : Λ → Λ van gegradeerde ringen door
ω(e ) = h , voor r ≥ 0, samen met algebra¨ısche uitbreiding hierop.
r r
Merk op, de e zijn algebra¨ısch onafhankelijk, dus ω is goed gedefinieerd. Er geldt dat
r
ω een involutie is, [1, (2.7)], wat het volgende resultaat geeft.
Stelling 1.2.13. De verzameling {h | λ ∈ P} vormt een Z-basis voor Λ. En de
λ
elementen h , met r ≥ 1, zijn algebra¨ısch onafhankelijk, en er geldt
r
Λ = Z[h ,h ,...].
1 2
We hebben nu drie bases voor Λ, m ,e en h , alle geidexeerd door de partities λ. We
λ λ λ
eindigen deze paragraaf met de zogeheten macht sommen en hun relatie met de eerder
genoemde bases.
Definitie 1.2.14 (Machtsom). We defini¨eren voor r ≥ 0 de machtsom p door
r
(cid:88)
p := m = Xr ∈ Λr.
r (r) i
i≥1
En opnieuw als λ = (λ ,λ ,...), dan p := p p ···.
1 2 λ λ1 λ2
6
Stel het aantal variabelen is eindig, dan staat p (X ,...,X ) = (cid:80)n Xr ook wel
r 1 n i=1 i
bekend onder het Newton polynoom.
We beginnen met de relevante eigenschap.
Stelling 1.2.15. Er geldt dat de verzameling {pλ | λ ∈ P} een Q-basis vormt voor ΛQ.
Daarnaast geldt
ΛQ = Q[p1,p2,...],
en de p zijn algebra¨ısch onafhankelijk over Q.
r
Bewijs. Dit is [1, (2.12)], wat volgt uit mooie relaties tussen de e , h en p .
r r r
Met soortgelijke berekeningen, te vinden bij [1, (2.13)], zien we dat de involutie ω
bijna de identiteit op de p is.
λ
Gevolg 1.2.16. Laat λ een partitie zijn, dan geldt ω(p ) = ε p , met ε = (−1)|λ|−(cid:96)(λ).
λ λ λ λ
We kunnen de elementair en compleet symmetrische functies ook als lineaire com-
binatie van de p schrijven. De elegante berekening hiervan is weer te vinden in [1,
λ
(2.14’)].
Propositie 1.2.17. Er geldt
(cid:88) (cid:88)
h = z−1p , e = ε z−1p ,
n λ λ n λ λ λ
|λ|=n |λ|=n
met zλ = (cid:81)i≥1imi ·mi!, waarbij mi = mi(λ) := #{j | 1 ≤ j ≤ (cid:96)(λ), λj = i}.
1.3. Schur Functies
In deze paragraaf zullen de Schur functies geconstrueerd worden. We beginnen met een
definitie, en een schoon bewijs over de wel bekende Vandermonde determinant.
Definitie 1.3.1. Definieer voor α ∈ (Z )n het polynoom in n variabelen
≥0
(cid:88)
a (X ,...,X ) = (cid:15)(σ)Xσα,
α 1 n
σ∈Sn
waarbij (cid:15)(σ) het teken van de permutatie σ is.
Merk op dat a anti-symmetrisch is, dat wil zeggen σ·a = (cid:15)(σ)a , voor σ ∈ S .
α α α n
Propositie 1.3.2. Er geldt det[Xn−j] = (cid:81) (X −X ), met (cid:0)Xn−j(cid:1)
i 1≤i,j≤n 1≤i<j≤n i j i 1≤i,j≤n
de Vandermonde matrix.
Bewijs. BekijkdepolynoomringZ[X ,...,X ], enschrijfA− voordedeelringbestaande
1 n n
uit de anti-symmetrische polynomen. Merk op dat voor δ = (n−1,n−2,...,1,0)
det[Xn−j] = (cid:88) (cid:15)(σ)Xσδ = a (X ,...,X ) ∈ A−.
i 1≤i,j≤n δ 1 n n
σ∈Sn
Daarnaastisiederanti-symmetrischpolynoomdeelbaardoorelkeX −X ,1 ≤ i < j ≤ n,
i j
en dus ook door hun product
(cid:89)
∆(X) := (X −X ).
i j
1≤i<j≤n
7