Universit`a degli Studi di Bologna Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico 2013 ...

198 Pages·2013·5.05 MB·Italian

Universit`a degli Studi di Bologna
Scuola di Economia Management e Statistica
Corso di Laurea in Scienze Statistiche
Appunti del corso di
Analisi Matematica
Anno Accademico 2013–2014
prof. Daniele Ritelli
y
f(cid:72)b(cid:76)
f(cid:72)a(cid:76)
x
a b
n
s(f,σ) := m (x x )
i i i 1
− −
i=1
X
6 ottobre 2013
ii
INDICE
0 Insiemi, Relazioni, Funzioni 1
0.1 Alfabeto greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Il linguaggio degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.3 Prodotto cartesiano, relazioni e funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.4.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.4.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Numeri Reali 11
1.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Campo dei razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Ordinamento e Operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Valore Assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Propriet`a archimedea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Fattoriali e coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9.1 Disugualianza di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9.2 Disugualianza di Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.3 Disuguaglianza aritmetico geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10.1 Numeri naturali e principio di induzione: esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . 28
1.10.2 Numeri naturali e principio di induzione: esercizi proposti . . . . . . . . . . . . 34
1.10.3 Numeri razionali, irrazionali e reali: esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.10.4 Numeri razionali, irrazionali e reali: esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . 38
iv INDICE
2 Successioni 41
2.1 Definizioni e generalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 Progressioni aritmetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.2 Progressioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Successioni convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Successioni infinitesime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Algebra delle successioni convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Limiti e disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Successioni divergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Successioni mon`otone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7.1 Il numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.2 La funzione esponenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7.3 Estrazione di radice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7.4 Il criterio del rapporto per le successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.8 Teorema di Bolzano Weierstrass, Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.9 Forme indeterminate: Regole di Stolz-Ces`aro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.10.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.10.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3 Serie 83
3.1 Definizioni e generalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Alcune serie calcolabili esplicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.1 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.2 Serie di Mengoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Serie a termini positivi: criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.1 Criterio generale di convergenza e sue conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.2 I criteri della radice, del rapporto e di Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.3 Criterio di condensazione e serie armonica generalizzata . . . . . . . . . . . . . 92
3.4 Serie a termini alterni, convergenza assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4 Limiti e continuit`a 105
4.1 Funzioni reali di una variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Algebra delle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4 Limiti destri e sinistri. Limiti all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6 Continuit`a delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6.1 Funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
INDICE v
4.6.2 Funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.7 Discontinuit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.8 Teoremi fondamentali sulle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.8.1 Esistenza degli zeri. Valori intermedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.8.2 Esistenza degli estremi. Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.9 Continuit`a della funzione composta e della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.9.1 Radice n-esima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.9.2 Logaritmo naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.9.3 Inverse delle funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.9.4 Esponenziali e logaritmi di base qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.10 Limiti fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.11 Uniforme continuit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.12 Punti fissi di funzioni contrattive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.13 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.13.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 Calcolo differenziale 137
5.1 Funzioni derivabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 Derivate delle funzioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2.1 Funzione monomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2.2 Funzione esponenziale di base e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2.3 Funzione esponenziale di base qualunque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2.4 Funzione logaritmo naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2.5 Funzione seno goniometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2.6 Funzione coseno goniometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2.7 Funzione tangente goniometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3 Retta tangente ad una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4 Il teorema di Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.5 Derivate successive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.6 Derivabilit`a nel senso di Carath´eodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.7 Derivata della funzione composta e derivata dell’inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.7.1 Derivata della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.7.2 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.7.3 Potenza con esponente reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.7.4 Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.7.5 Derivate successive della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.8 I risultati fondamentali sulle funzioni derivabili in un intervallo . . . . . . . . . . . . . 155
5.8.1 Teoremi di Fermat e Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.8.2 I Teoremi di Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.8.3 Monotonia e segno della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.8.4 Ricerca di massimi e minimi con il criterio della derivata seconda . . . . . . . . 160
5.8.5 Il teorema della derivata nulla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.9 Forme indeterminate. Teoremi di de l’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
vi INDICE
5.10 Funzioni convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.10.1 Applicazioni della nozione di convessit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.11 Il metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.12 Polinomi osculatori. Teoremi di Taylor McLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.12.1 Simboli di Bachmann-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.13 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
INTRODUZIONE
Questi sono gli appunti che ho steso per preparare il corso di Analisi Matematica, presso la laurea
triennale in Scienze Statistiche dell’Universit`a di Bologna per l’anno accademico 2013/2014. Mi sono
ispirato liberamente ai seguenti manuali [CS74, Bra06, How01, Apo74, Bro96, Ros13, Zor04, GL06,
AB97, Wad04, Giu03, Pin73, Loy06, Kir95, HW08, Lan94, Gil92, MS96] oltre che alle mie precedenti
esperienze didattiche piu` che ventennali nelle (allora) Facolt`a di Economia, [RBT05].
Chiedo indulgenza al lettore/studente, si tratta di un work in progress in attesa, se le future mie
vicende accademiche lo renderanno, come spero e mia auguro, possibile, di preparare un manuale
che supporti pienamente il corso di Analisi Matematica per la laurea triennale in Scienze Statistiche
presso l’Universit`a di Bologna. Ci saranno sicuramente errori, refusi e ripetizioni, che si sistemeranno
solo con la pratica didattica negli anni. Inoltre `e molto importante, che lo studente non stampi
immediatamente l’intero documento, ci saranno aggiornamenti dello stesso durante il corso: invito
lo studente a controllare su http://campus.cib.unibo.it/ se la versione di cui `e in possesso sia la
piu` aggiornata prima di stampare. Allo stato attuale, per ragioni di rapidit`a, la materia qui esposta
`e presentata molto sinteticamente: ad oggi non sono presentate con particolare dettaglio le parti
discorsive, espositive e storiche che tratto durante le lezioni in aula e mancano ancora due capitoli
sull’integrazione e le serie di potenze che conto di rendere disponibili entro la fine del corso. Questi
appunti contengono comunque tutto quello che a priori vorrei trattare nel corso, spesso (sempre?) la
realt`adell’aularidimensionaimieibuonipropositi,tuttaviahosceltodipresentaretuttoilmaterialein
mioposesso, sperandochequalchestudenteinteressatosiaincuriositodagliargomenticheperqualche
ragione non hanno trovato spazio in classe.
Concludo con un paio di riflessioni.
Fra gli studenti, a seconda del tipo di formazione, c’`e certamente chi ha trattato alcuni temi che
sarannoalcentrodiquesticorso: ilcalcolodilimiti,laderivazionedellefunzioni,ilcalcolodiintegrali.
Qualchestudentepotrebbedomandarsiperch´eripeterequestecoseinuncorsodiAnalisiMatematica?
La risposta `e duplice: anche se qualche risultato dovesse essere stato dimostrato `e probabile che gli
aspetti piu` sottili, come la completezza dei numeri reali, l’uniforme continuit`a, siano stati trascurati.
Nella sostanza le abilit`a che vengono conseguite nelle scuole superiori sono, nella maggioranza dei
casi, di tipo puramente computazionale. In questo corso invece l’Analisi Matematica verr`a presentata
viii INDICE
dettagliatamente, con lo scopo di mettere lo studente nella condizione di produrre autonomamente le
sue dimostrazioni.
Ogni teoria matematica rigorosa parte da alcune nozioni non definite su cui si basa la teoria
e alcune propriet`a postulate, che sono chiamate assiomi, che sono assunte per vere senza darne la
dimostrazione. Il nostro studio`e basato sulle nozioni primitive di insieme e di numeri reali e su alcuni
postulati che introdurremo nei primi due capitoli.
Bologna 6 ottobre 2013
Appunti composti in LATEX2ε
CAPITOLO 0
INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
0.1 Alfabeto greco
Nel corso molte volte, indicheremo alcune quantit`a numeriche usando, come `e tradizione in Matematica, le
lettere dell’alfabeto greco. Per questa ragione le richiamiamo esplicitamente.
alfa α A iota ι I rho ρ P
beta β B cappa κ K sigma σ Σ
gamma γ Γ lambda λ Λ tau τ T
delta δ ∆ mu (mi) µ M iupsilon υ Υ
epsilon ε E nu (ni) ν N fi ϕ Φ
zeta ζ Z csi ξ Ξ chi χ X
eta η H omicron o O psi ψ Ψ
teta ϑ Θ pi π Π omega ω Ω
0.2 Il linguaggio degli insiemi
In questo corso avremo la necessit`a di lavorare con la nozione di insieme. Pertanto prima di iniziare `e bene
fissare un minimo di terminologia, notazione e propriet`a che saranno utili per tutto il seguito. In ogni caso
vogliamo ridurre nel nostro cammino le nozioni di teoria degli insiemi al minimo indispensabile per i nostri
scopi. Per approfondimenti suggeriamo [NS92].
Lenozionidiinsieme,oggettoeappartenenzasonointuitive. Gliinsiemisarannopernoicollezionidioggetti,
che per i nostri interessi saranno la maggior parte delle volte dei numeri.
Per introdurre la nozione di insieme in modo rigoroso usiamo tre assiomi.
A1 Assioma di esistenza
“Esiste ameno un insieme”
2 0. Insiemi, Relazioni, Funzioni
A2 Assioma di estensionalit`a fra insiemi
“DueinsiemiAeB sonouguali,A=B,seognioggettocheappartieneadAappartieneanche
a B e viceversa ogni oggetto che appartiene a B appartiene anche ad A”
A3 Assioma di specificazione
“Per ogni insieme A e per ogni condizione , esiste l’insieme B costituito da tutti e soli gli
P
oggetti di A che soddisfano la condizione . L’assioma A2 ne assicura l’unicit`a”
P
La propriet`a caratteristica non necessariamente `e unica. Infatti l’insieme costituito dalle lettere a, c, o, s
pu`oessereperesempioottenutocomeleletteredellaparola“caso”maancheconleletteredellaparola“sacco”.
Se A `e un insieme e a `e un elemento di A scriviamo a A e leggiamo la formula dicendo a appartiene ad
∈
A. Se a non `e elemento di A scriviamo a / A e leggiamo a non appartiene ad A. Gli insiemi possono essere
∈
descritti elencando i loro elementi all’interno di parentesi graffe, ad esempio l’insieme dei primi quattro numeri
naturali dispari`e
A= 1, 3, 5, 7 .
{ }
Nel caso di insiemi finiti questa`e una rappresentazione particolarmente conveniente, ma anche quando presen-
tiamo insiemi infiniti, come l’insieme dei numeri naturali
N= 1, 2, 3, ...
{ }
o l’insieme di tutti i numeri dispari
D= 1, 3, 5, 7,...
{ }
possiamo rappresentare gli elementi di un insieme per elencazione, dando per intese le propriet`a che regolano
l’appartenza all’insieme.
Si usano le parentesi graffe anche quando si vuole distinguere un insieme costituito da una solo elemento,
dettosingoletto,dall’elementostesso,quindiavremochea= a .Altromododidefinireuninsieme`eattraverso
6 { }
unapropriet`apossedutadatuttiisuoielementi. Adesempiol’insiemeDdeinumeridisparipu`oessereintrodotto
anche nei seguenti modi
D= n N: n 1`e divisibile per 2 = 2n 1: n N .
{ ∈ − } { − ∈ }
Da notare che i due punti si leggono “tale che”. La nozione di sottoinsieme `e intuitiva, ad esempio l’insieme
D `e sottoinsieme dell’insieme N dei numeri naturali perch´e ogni elemento di D `e anche elemento di N. Questo
fatto`e rappresentato dalla formula D N o dall’altro lato N D. Astraendo a insiemi qualsiasi diremo che B
⊆ ⊇
`e sottoinsieme di A scrivendo B A oppure A B se
⊆ ⊇
x B = x A.
∈ ⇒ ∈
Con questa definizione abbiamo che A A. Se interessa rappresentare la situazione in cui B A e B = A
⊆ ⊆ 6
scriveremo semplicemente B A e diremo che B `e un sottoinsieme proprio di A. Nell’esempio che abbiamo
⊂
fatto in precedenza chiaramente possiamo scrivere D N. Fra i sottoinsiemi di un insieme A considereremo
⊂
anche l’insieme vuoto che denoteremo con che`e l’insieme che non ha elementi.
∅
L’insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme A si chiama insieme delle parti di A (o anche insieme
potenza di A) e lo si denota con il simbolo (A). Si osservi che l’insieme ( )`e non vuoto in quanto possiede
P P ∅
l’elemento ed ha due sottoinsiemi distinti, e .
∅ ∅ {∅}
Dati due insiemi A e B entrambi sottoinsiemi di un stesso insieme M la loro unione A B `e:
∪
A B = m M : m A o m B
∪ { ∈ ∈ ∈ }
Qui la congiunzione “o” va intesa inclusivamente, vale a dire che si intende m A oppure m B o entrambe.
∈ ∈