Table Of ContentTravaux de Gabber sur l’uniformisation
locale et la cohomologie étale des schémas
quasi-excellents
Séminaire à l’École polytechnique 2006–2008
dirigé par
Luc Illusie, Yves Laszlo et Fabrice Orgogozo
AveclacollaborationdeFrédéricDéglise,AlbanMoreau,VincentPilloni,Michel
Raynaud,JoëlRiou,BenoîtStroh,MichaelTemkinetWeizheZheng.
i
iii
Travaux de Gabber sur l’uniformisation
locale et la cohomologie étale des schémas
quasi-excellents
Séminaire à l’École polytechnique 2006–2008
dirigé par
Luc Illusie, Yves Laszlo et Fabrice Orgogozo
AveclacollaborationdeFrédéricDéglise,AlbanMoreau,VincentPilloni,Michel
Raynaud,JoëlRiou,BenoîtStroh,MichaelTemkinetWeizheZheng.
versiondu2016-11-14à13h36TU (19c1b56)
iv
Résumé
Les travaux d’Ofer Gabber présentés dans ce volume comportent deux parties étroitement
liées, l’une, géométrique, l’autre, cohomologique. La première est constituée de théorèmes
d’uniformisation locale, affirmant que tout couple formé par un schéma noethérien quasi-excellent
etunferméraredevient,aprèslocalisationpardesmorphismesétalesetdesaltérationsconvenables,
isomorphe au couple formé par un schéma régulier et un diviseur à croisements normaux. Il s’agit
de résultats de nature locale, mais leur démonstration fournit des corollaires globaux, raffinant
des théorèmes d’altération de de Jong pour les schémas de type fini sur un corps ou un anneau
de Dedekind. Des techniques de géométrie logarithmique, et, pour les résultats les plus fins, de
désingularisation canonique en caractéristique nulle jouent un rôle clef dans les démonstrations.
Dans la seconde partie, on donne des applications, accompagnées d’exemples et contre-exemples,
à des théorèmes de finitude (abéliens), de dimension cohomologique, et de dualité en cohomologie
étale sur les schémas quasi-excellents. On y démontre notamment la conjecture de dualité locale de
Grothendieck, et, par une nouvelle méthode, sa conjecture de pureté cohomologique absolue. Des
résultatsderigiditéetfinitudenonabélienssontégalementétablisdanslesderniersexposés.
Abstract
The work of Ofer Gabber presented in this book can be divided roughly into two closely related
parts, a geometric one and a cohomological one. The first part contains local uniformization the-
orems which state that any pair consisting of a quasi-excellent Noetherian scheme and a nowhere
denseclosedsubschemebecomesisomorphic,afterlocalizationbysuitableétalemorphismsandal-
terations, to a pair consisting of a regular scheme and a normal crossings divisor. These are local
results, but their proofs have global theorems as corollaries, refining alteration theorems of de Jong
for schemes of finite type over a field or a Dedekind ring. Techniques from logarithmic geometry
and,asregardsthefinestresults,canonicaldesingularizationincharacteristiczero,playakeyrolein
theproofs. Inthesecondpart,wegiveapplications,withexamplesandcounter-examples,toAbelian
finitenesstheorems, aswellastheoremsoncohomologicaldimensionanddualityinétalecohomol-
ogy over quasi-excellent schemes. In particular, Grothendieck’s local duality conjecture is proved,
andhisabsolutecohomologicalpurityconjectureisprovedbyanewmethod. Non-Abelianrigidity
andfinitenessresultsarealsoestablishedinthefinalexposés.
Introduction
Le présent volume rassemble les exposés d’un groupe de travail qui s’est tenu à l’École
polytechnique du printemps 2006 au printemps 2008 sur les travaux de Gabber présentés dans
[Gabber,2005a]et[Gabber,2005b].Ceux-ciportentsurlacohomologieétaleetl’uniformisationdes
schémasquasi-excellents.
Encequiconcernelacohomologieétale,unrésultatcentralestlethéorèmedefinitudesuivant:
THÉORÈME 1. Soient Y un schéma noethérien quasi-excellent (cf. I-2.10), f : X → Y un morphisme de
typefini,nunentierinversiblesurY,etFunfaisceauconstructibledeZ/nZ-modulessurX.Alors,pourtout
q,Rqf Festconstructible,etilexisteunentierNtelqueRqf F = 0pourq ≥ N.
(cid:63) (cid:63)
Rappelons que, sans hypothèse sur Y ni sur n, mais lorsqu’on suppose f propre et de présenta-
tion finie, les faisceaux Rqf F sont constructibles, et nuls pour q > 2d si d majore la dimension des
(cid:63)
fibres de f [SGA4 XIV 1.1]. Si f n’est pas supposé propre, l’hypothèse que n soit inversible sur Y
est essentielle : si k est un corps algébriquement clos de caractéristique p > 0 et X la droite affine
sur Y = Spec(k), H1(X,Z/pZ) est un Fp-espace vectoriel de dimension infinie (cf. [SGA4 XIV 1.3]).
Pour Y excellent de caractéristique nulle, 1 est démontré dans l’exposé d’Artin [SGA4 XIX]. Si S
est un schéma noethérien régulier de dimension ≤ 1 (non nécessairement quasi-excellent) et f un
morphismedeS-schémasdetypefini,laconclusionde1estencorevraie,d’après[SGA4½[Th.fini-
tude]1.1](cerésultatpeutd’ailleurssedéduirede1,cf.exposéXIII).
La démonstration d’Artin dans [SGA4 XIX] utilise la résolution des singularités de Hironaka
pour se ramener au cas où f est l’inclusion du complément d’un diviseur régulier dans un schéma
régulieretFunfaisceauconstant,auquelcaslaconclusiondécouleduthéorèmedepuretécohomo-
logiqueabsoluétabliégalementdansloc.cit.
LadémonstrationdeGabberde1suitlamêmeméthode,mais:
(a)ondoitfaireappelauthéorèmedepuretécohomologiqueabsoluétablidanslecasgénéralpar
Gabber[Fujiwara,2002],
(b) on ne dispose plus de la résolution des singularités sous la forme de Hironaka; celle-ci est
remplacée par un théorème d’uniformisation locale, dû à Gabber ([Gabber,2005b]), qui s’énonce
ainsi(IX-1.1):
THÉORÈME 2. Soient X un schéma noethérien quasi-excellent, Z un fermé rare de X et (cid:96) un nombre
premier inversible sur X. Il existe une famille finie de morphismes (p : X → X) , couvrante pour la
i i i∈I
topologiedes(cid:96)(cid:48)-altérationsettelleque,pourtouti ∈ I:
(i)X soitrégulieretintègre,
i
(ii)p−1(Z)soitlesupportd’undiviseuràcroisementsnormauxstrict.
i
Latopologiedes(cid:96)(cid:48)-altérationsestunetopologiedutypedecellesconsidéréesparVoevodsky(cf.
[Goodwillie&Lichtenbaum,2001]), pour laquelle les (cid:96)(cid:48)-altérations (i. e. les morphismes propres
surjectifs génériquement finis de degré résiduel générique premier à (cid:96)) et les recouvrements étales
complètementdécomposés(i.e.deNisnevich)sontdesfamillescouvrantes;voir(II-2.3)pourunedé-
finitionprécise.
Lapremièrepartiedecevolumeestconsacrée,aprèsdesrappels,dansI,surlesnotionsdeschéma
quasi-excellentouexcellent,àladémonstrationde2etdecertainscomplémentsetvariantes.
Ilyatroisgrandesétapes.
(A)Fibrationencourbes.LaquestionétantlocalepourlatopologiedeNisnevich,etenparticulier
pour la topologie de Zariski, on peut supposer X de dimension finie. On raisonne par récurrence
v
vi INTRODUCTION
sur la dimension d de X. On peut supposer X local hensélien. L’hypothèse de quasi-excellence sur
X permet d’appliquer le théorème de Popescu ([Popescu,1986], I-10.3) au complété X(cid:98) de X, et de se
ramener,viadestechniquesd’approximationduesàGabber,expliquéesdansIII,aucasoùXestlocal
completdedimensiond,etmêmeintègre,normal,avecd ≥ 2.Ondisposealorsdesclassiquesthéo-
rèmes de structure de Cohen. Tels quels, ils sont toutefois insuffisants. Mais un délicat raffinement,
dû à Gabber, démontré dans IV, permet de se ramener, quitte à remplacer X par une extension finie
dedegrégénériquepremierà(cid:96),aucasoùXestlecomplétéenunpointferméd’unschémaX(cid:48)detype
fini et de dimension relative 1 sur un schéma local noethérien régulier complet de dimension d−1,
etleferméZlecomplétéd’unfermérareZ(cid:48) deX(cid:48).Cethéorèmede«fibration»,ou«d’algébrisation
partielle»,estétablidansV.Aprèsquelquesnouvellesréductionsfaciles,onestramenéaucasoùX
estunschémanormalintègre,propresurunschémaaffinenormalintègreexcellentY dedimension
d−1,àfibregénériquegéométriquementintègre,lisse,etdedimension1,etleferméZundiviseur
defibregénériqueétale.
(B) de Jong et log régularité. On peut alors appliquer le théorème de la courbe nodale de de Jong,
soussaformeéquivariante,[deJong,1997,2.4]:ilexisteungroupefiniGetunealtérationprojective
G-équivariantedumorphismef : X → Y enunmorphismef(cid:48) : X(cid:48) → Y(cid:48),quiestunecourbeprojective
nodale G-équivariante, et l’image inverse Z(cid:48) de Z un diviseur de composantes dominantes étales et
transverses au lieu lisse de f(cid:48) (IX-1.2). Appliquant l’hypothèse de récurrence au quotient de Y(cid:48) par
un (cid:96)-Sylow de G, et utilisant le lemme d’Abhyankar, on se ramène finalement au cas où G est un
(cid:96)-groupe,X = X(cid:48)/G,Y = Y(cid:48)/G,Y(cid:48) contientunfermé(G-équivariant)T(cid:48) telquelecouple(Y(cid:48),T(cid:48))soit
log régulier, ainsi que le couple (X(cid:48),f(cid:48)−1(T(cid:48))∪D), où D est un diviseur (G-équivariant) étale sur Y(cid:48),
avecZ(cid:48) ⊂ f(cid:48)−1(T(cid:48))∪D(cf.VI-1.9,VI-2.1).
(C)Modificationséquivariantes.Lequotientd’unlogschémalogrégulierparl’actiond’ungroupe
finin’estpasengénérallogrégulier.Enparticulier,X = X(cid:48)/G,munidufermé(f(cid:48)−1(T(cid:48))∪D)/G,n’est
pas nécessairement log régulier. Si ce couple était log régulier, la désingularisation de Kato-Nizioł
des schémas log réguliers ([Kato,1994], [Nizioł,2006]), généralisant la classique désingularisation
des variétés toriques [Kempfetal.,1973], terminerait la démonstration de 2. Gabber a dégagé des
conditions suffisantes assurant que le quotient d’un log schéma log régulier par un groupe fini est
encore log régulier. Il s’agit de la notion d’action très modérée, étudiée dans VI. Gabber montre qu’il
existe une modification projective G-équivariante p : X(cid:48)(cid:48) → X(cid:48) et un fermé G-équivariant D(cid:48)(cid:48) de X(cid:48)(cid:48)
contenant l’image inverse de f(cid:48)−1(T(cid:48))∪D tels que le couple (X(cid:48)(cid:48),D(cid:48)(cid:48)) soit log régulier, et l’action de
G sur (X(cid:48)(cid:48),D(cid:48)(cid:48)) très modérée. On conclut alors en appliquant la désingularisation de Kato-Nizioł au
quotient de (X(cid:48)(cid:48),D(cid:48)(cid:48)) par G. La démonstration de ce théorème de modification est donnée en VIII.
Elle s’appuie sur la théorie des désingularisations canoniques en caractéristique nulle (Hironaka,
Bierstone-Milman,Villamayor,Temkin).
On établit dans X-1.1 une variante relative de ce théorème de modification, due à Gabber, où le
log schéma G-équivariant considéré est non seulement log régulier, mais log lisse sur une base log
régulière S, avec action triviale de G : on peut construire une modification équivariante respectant
la log lissité sur S. On en déduit notamment les raffinements suivants (également dus à Gabber) de
théorèmesdedeJong(X-2.1,X-2.4,X-3.5):
THÉORÈME 3. (1) Soit X un schéma séparé et de type fini sur un corps k, Z ⊂ X un fermé rare, (cid:96) un
nombre premier (cid:54)= car(k). Il existe alors une extension finie k(cid:48) de k de degré premier à (cid:96) et une (cid:96)(cid:48)-altération
h : X(cid:48) → Xau-dessusdeSpeck(cid:48) → Speck,avecX(cid:48) lisseetquasi-projectifsurk(cid:48),eth−1(Z)lesupportd’un
diviseur à croisements normaux strict. Si k est parfait, on peut prendre k(cid:48) = k et choisir h génériquement
étale.
(2) Soient S un schéma noethérien séparé, intègre, excellent, régulier, de dimension 1, de point générique
η,Xunschémaséparé,platetdetypefinisurS,(cid:96)unnombrepremierinversiblesurS,Z ⊂ Xunfermérare.
Alors il existe une extension finie η(cid:48) de η de degré premier à (cid:96), et une (cid:96)(cid:48)-altération projective h : X˜ → X
au-dessusdeS(cid:48) → S,oùS(cid:48) estlenormalisédeSdansη(cid:48),avecX˜ régulieretquasi-projectifsurS(cid:48),undiviseur
àcroisementsnormauxstrictT˜ surX˜,etunepartieferméefinieΣdeS(cid:48) telsque:
(i)endehorsdeΣ,lemorphismeX˜ → S(cid:48) estlisseetT˜ → S(cid:48) estundiviseurrelatifàcroisementsnormaux;
INTRODUCTION vii
(ii)localementpourlatopologieétaleautourdechaquepointgéométriquexdeX˜s(cid:48),oùs(cid:48) appartientàΣ,le
couple(X˜,T˜)estisomorpheaucoupleforméde
X(cid:48) = S(cid:48)[t ,...,t ,u±1,...,u±1]/(ta1···tarub1···ubs −π),
1 n 1 s 1 r 1 s
T(cid:48) = V(t ···t ) ⊂ X(cid:48)
r+1 m
autour du point (u = 1), (t = 0), avec 1 ≤ r ≤ m ≤ n, pour des entiers strictement positifs
i j
a ,··· ,a ,b ,··· ,b tels que pgcd(p,a ,··· ,a ,b ,··· ,b ) = 1, p désignant l’exposant caractéristique
1 r 1 s 1 r 1 s
des(cid:48),etπuneuniformisantelocaleens(cid:48);
(iii)h−1(Z)re´d estunsous-diviseurdeT˜ ∪(cid:83)s(cid:48)∈ΣX˜s(cid:48).
Diversesgénéralisations,duesàTemkin,decethéorèmeetduthéorèmed’Abramovich-Karude
réductionsemi-stablefaibleencaractéristiquenulle(voir[Abramovich&Karu,2000])sontdonnées
danslasection3del’exposéX.
Le théorème d’uniformisation 2 a le corollaire suivant, dit théorème d’uniformisation « faible »,
oùn’apparaîtplusdenombrepremier(cid:96):
COROLLAIRE4. SoientXunschémanoethérienquasi-excellent,ZunferméraredeX.Ilexisteunefamille
finiedemorphismes(p : X → X) ,couvrantepourlatopologiedesaltérationsettelleque,pourtouti ∈ I:
i i i∈I
(i)X soitrégulieretintègre,
i
(ii)p−1(Z)soitlesupportd’undiviseuràcroisementsnormauxstrict.
i
Latopologiedesaltérationsestdéfiniedemanièreanalogueàcelledes(cid:96)(cid:48)-altérations.Elleestplus
finequelatopologieétale,etaucunecontrainten’estimposéesurledegrédesextensionsrésiduelles
génériques,cf.II-2.3.3.Onpeutdémontrer4indépendammentde2,ensuivantseulementlesétapes
(A)et(B)décritesplushaut,àl’aide,dans(A),d’uneformefaibleduthéorèmedeCohen-Gabber.Le
théorèmedemodificationde(C)estinutile,iln’yapasbesoindefaireappelàlarésolutioncanonique
dessingularitésencaractéristiquenulle.LarésolutiondessingularitéstoriquesdeKato-Niziołsuffit.
CettedémonstrationestexposéedansVII.
La démonstration de 1 est donnée dans (XIII-3), en application de 2 et du théorème de pureté
cohomologiqueabsolu.L’énoncéde1comportedeuxassertions:
(i)laconstructibilitédesRqf Fpourtoutq,
(cid:63)
(ii) l’existence d’un entier N (dépendant de (f,F)) tel que Rqf F = 0 pour q ≥ N, autrement dit,
(cid:63)
lefaitqueRf envoieDb(X,Z/nZ)dansDb(Y,Z/nZ),l’indicecdésignantlasous-catégoriepleinede
(cid:63) c c
Db forméedescomplexesàcohomologieconstructible.
Dans(XIII-3),cesdeuxassertionssontdémontréessimultanément.Onpeuttoutefoisdémontrer
(i) en n’invoquant que le théorème d’uniformisation faible 4 (et le théorème de pureté). Ceci est fait
dans(XIII-2).L’idéeestlasuivante.Si,dans4,lesmorphismesp étaientpropres,onpourrait,après
i
réductionaucasoùfestuneimmersionouverteetFunfaisceauconstant,seramener,pardescente
cohomologiquepropre,aucasdel’immersionducomplémentd’undiviseuràcroisementsnormaux
strict dans un schéma régulier, justiciable du théorème de pureté. Cependant, les p ne sont pas
i
propresengénéral.Gabbertourneladifficultéàl’aideduthéorèmedeconstructibilitégénériquede
Deligne[SGA4½[Th.finitude]1.9(i)]etd’unthéorèmed’«hyper-changementdebase»(XII -2.2.5).
A
Ce théorème est déduit dans loc. cit. d’un théorème de descente cohomologique « orientée » (XII -
A
2.2.3),quiutiliselanotiondeproduitorientédetopos,dueàDeligne[Laumon,1983].Lesdéfinitionset
propriétés de base sont rappelées dans l’exposé XI. Un résultat clé est un théorème de changement
de base pour des « tubes » (XI-2.4). Une démonstration de XII -2.2.5 indépendante de la notion de
A
produitorienté,dueàW.Zheng,estdonnéedansl’exposéXII .
B
D’après des exemples classiques de Nagata, un schéma noethérien quasi-excellent n’est pas né-
cessairement de dimension finie. Si Y est de dimension finie, alors Rf est de dimension cohomolo-
(cid:63)
gique finie, d’après un théorème de Gabber, présenté dans l’exposé XVIII , et par suite (ii) découle
A
de (i). Gabber prouve, plus précisément, que si X est un schéma noethérien, strictement local, de
dimension d > 0, et (cid:96) un nombre premier inversible sur X, alors, pour tout ouvert U de X, on a
cd (U) ≤ 2d−1.
(cid:96)
viii INTRODUCTION
L’hypothèse de quasi-excellence dans 1 est essentielle, comme le montre l’exemple donné
dans XIX, d’une immersion ouvertej : U → Xde schémas noethériens, avec2inversible surX, telle
queR1j (Z/2Z)nesoitpasconstructible.
(cid:63)
Gabber a démontré des variantes de 1 pour les faisceaux d’ensembles ou de groupes non com-
mutatifs[Gabber,2005a]:
THÉORÈME5. Soitf : X → Y unmorphismedetypefinientreschémasnoethériens.Alors:
(1)Pourtoutfaisceaud’ensemblesconstructibleFsurX,f Festconstructible.
(cid:63)
(2)SiYestquasi-excellent,etsiLestunensembledenombrespremiersinversiblessurY,pourtoutfaisceau
degroupesconstructibleetdeL-torsionFsurX,R1f Festconstructible.
(cid:63)
La démonstration est donnée dans l’exposé XXI. Elle ne fait pas appel aux théorèmes d’uni-
formisation précédents. Elle utilise, pour le point clé, une technique d’ultraproduits, et un théo-
rème de rigidité pour les coefficients non abéliens, dû également à Gabber, qui est établi dans l’ex-
poséXX.Cethéorèmeestunevarianted’unthéorèmedeFujiwara-Gabberpourlescoefficientsabé-
liens[Fujiwara,1995,6.6.4,7.1.1](signaléedansloc.cit.,6.6.5).Ils’énonceainsi:
THÉORÈME 6. Soient (X,Y) un couple hensélien, où X = SpecA, Y = V(I), l’idéal I étant supposé de
type fini, X(cid:98) le complété I-adique de X, U un ouvert de X contenant X−Y, et U(cid:98) = X(cid:98)×X U. Alors, pour tout
champengroupoïdesind-finiCsurU,laflèchederestrictionΓ(U,C) → Γ(U(cid:98),C|U(cid:98))estuneéquivalence.
Ladémonstrationdonnéedansl’exposéXXestindépendantede[Fujiwara,1995].
Leresteduvolumeestconsacréàtroisautresapplicationsdesthéorèmesd’uniformisation.
(a) Lefschetz affine. Il s’agit de généralisations des théorèmes de [SGA4 XIV 3.1] (pour les mor-
phismes affines entre schémas de type fini sur un corps) et [SGA4 XIX 6.1] (pour les morphismes
affinesdetypefinideschémasexcellentsdecaractéristiquenulle),ainsiqueduthéorèmedeGabber
pour les morphismes affines de schémas de type fini sur un trait [Illusie,2003]. L’énoncé principal
estlesuivant(XV-1.1.2):
THÉORÈME 7. Soit f : X → Y un morphisme affine de type fini, où Y est un schéma noethérien quasi-
excellent,munid’unefonctiondedimensionδ ,etsoitnunentierinversiblesurY.Alors,pourtoutfaisceau
Y
constructibleFdeZ/nZ-modulessurX,ettoutentierq,ona:
(7.1) δ (Rqf F) ≤ δ (F)−q
Y (cid:63) X
Une fonction de dimension δ sur un schéma T est une fonction δ : T → Z telle que δ(y) = δ(x)−1
si y est une spécialisation étale immédiate de x. Cette notion est due à Gabber. Elle généralise celle
dedimensionrectifiéeintroduitedans[SGA4 XIV].Elleestdéfinieetétudiéedansl’exposéXIV.Dans
(7.1),lafonctionδ estreliéeàδ parδ (x) = δ (f(x))+deg.tr.(k(x)/k(f(x)),etpourunfaisceauG
X Y X Y
sur X (resp. Y) δ (G) (resp. δ (G)) désigne la borne supérieure des δ (x) (resp. δ (x)) pour G (cid:54)= 0.
X Y X Y x
Ladémonstrationde7sefaitparréductionauthéorèmedeGabbercitéplushaut,pourlesschémas
de type fini sur un trait, à l’aide du théorème d’uniformisation « faible » 4 et du théorème d’hyper-
changementdebase(XII ).De7résulte:
A,B
COROLLAIRE8. SiXestlocalnoethérien,hensélien,quasi-excellent,etdedimensiond,decorpsrésiduel
k,etsiUestunouvertaffinedeX,alors,pourtoutnombrepremier(cid:96)inversiblesurX,ona
(8.1) cd (U) ≤ d+cd (k).
(cid:96) (cid:96)
En particulier, si X est strictement hensélien, intègre, de corps des fractions K, on en déduit
cd(cid:96)(K) = d lorsque (cid:96) (cid:54)= 2, formule conjecturée dans [SGA4 X 3.1]. Plus généralement, la dimension
cohomologiquevirtuellevcd (K)estégaledanslecashensélienàvcd (k)+d,pourtout(cid:96)inversible
(cid:96) (cid:96)
sur X et de même pour la dimension cohomologique usuelle cd , lorsque (cid:96) (cid:54)= 2(i). Les valeurs
(cid:96)
possibles de cd (U), pour U ouvert, non nécessairement affine, de X sont étudiées dans XVIII
(cid:96) A
(i)Cetteformuleestalorsmiseendéfautpour(cid:96)=2sikestuncorpsformellementréelde2-dimensioncohomologique
virtuellefinie(cid:80)etKnonformellementréel,parexemplepourlehenséliséoulecomplétédel’anneaulocalenl’originedela
variétéréelle n X2 =0,n≥2.
i=1 i
INTRODUCTION ix
et XVIII . Gabber donne également des contre-exemples à (8.1) lorsqu’on omet l’hypothèse de
B
quasi-excellence.
(b)Unenouvelledémonstrationdelaconjecturedepuretéabsolue.Ladémonstrationdecetteconjecture
qui est donnée dans [Fujiwara,2002] utilise, dans sa dernière partie, des techniques de K-théorie
algébrique (résultats de Thomason). Gabber a annoncé dans [Gabber,2005b] qu’on peut éviter tout
recoursàlaK-théoriealgébrique,enutilisant,àlaplace,laformeraffinéeduthéorèmededeJong3(2).
Cette nouvelle démonstration est exposée en détail dans l’exposé XVI. Cet exposé contient en outre
unethéoriedeclassesfondamentalesgénéralisées(dueàGabber),utiliséepourconstruireunethéorie
de morphismes de Gysin pour les morphismes d’intersection complète lissifiables, généralisant les
constructionsde[SGA4½[Cycle]].
(c)Complexesdualisants.LanotiondecomplexedualisantestdueàGrothendieck.L’unicité,l’exis-
tence et les propriétés générales des complexes dualisants sont étudiées dans [SGA5 I]. Toutefois,
dans loc. cit. l’existence n’est établie qu’en caractéristique nulle, ou sous des hypothèses d’existence
derésolutiondessingularités,etdevaliditéduthéorèmedepuretéabsolue(conjecturaleàl’époque).
Danslecasdeschémasdetypefinisurunschémarégulierdedimension≤ 1,l’existenceestprouvée
inconditionnellementparDelignedans[SGA4½[Dualité]].Danslecasgénéral,l’existence,etlathéo-
riededualitélocalequienrésulte,ontétéannoncéesparGabberdans[Gabber,2005b].L’exposéXVII
exposecettethéorieendétail.SiXestunschémanoethérien,etΛ = Z/nZ,oùnestunentierinver-
siblesurX,uncomplexedualisantsurXestunobjetdeDb(X,Λ)telquelefoncteurD = RHom(−,K)
c K
envoie Db(X,Λ) dans Db(X,Λ) et que, pour tout L ∈ Db(X,Λ), la flèche de bidualité L → D D (L)
c c c K K
soit un isomorphisme. Cette définition diffère légèrement de celle de [SGA5 I 1.7], voir (XVII-0.1).
L’unicité, à décalage et torsion près par un Λ-module inversible, est prouvée dans [SGA5 I 2.1]. Le
résultatprincipaldel’exposéXVIIestque,siXestexcellentetadmetunefonctiondedimension,au
senspréciséplushaut,alorsXadmetuncomplexedualisant.Deplus,cescomplexesdualisantsont
les propriétés de fonctorialité attendues, et, si X est régulier, le faisceau constant Λ est dualisant.
X
Cettedernièreassertionétaituneconjecturedans[SGA5I],démontréedanslecasdecaractéristique
nulle. Nous renvoyons le lecteur à l’introduction de l’exposé XVII pour des énoncés plus complets,
etdesindicationssurlaméthodededémonstration,dontlesingrédientsessentielssontlethéorème
definitude1etlethéorèmed’algébrisationpartielledel’exposéV(voir(A)supra).
LesrésultatsprésentésdanscevolumeetleursdémonstrationssontdusàOferGabber,à
quelquesexceptionsprès,préciséesàlaplaceappropriéedanslesexposéscorrespondants.
LucIllusie
YvesLaszlo
FabriceOrgogozo
